精品解析： 山东省济南市历城第三中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年山东省济南市历城三中八年级（下）月考 数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共16小题，每小题4分，共64分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列式子中错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 把多项式分解因式，应提的公因式是（　　） A. B. C. D. 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么是直角三角形且 D. 如果，那么是直角三角形 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 把分式中的，都扩大2倍，则分式的值（ ）． A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 缩小2倍 9. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. ＝m3 B. ＝ C. ＝﹣1 D. ＝ 11. 如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 12. 若关于的方程有增根，则的值为（ ） A. B. 7 C. 5 D. 13. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 6 14. 如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b（k＜0）相交于点（m，4），则不等式（2﹣k）x＞b的解集为（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x＞4 D. x＜4 15. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 16. 如图，在中，，，，点是直角边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，随点位置的改变，线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）解下列不等式：； （2）解下列不等式组：； （3）因式分解：； （4）因式分解：； （5）先化简，再求值：，请在1、2、3中选择一个喜欢的数值作为x的值． 18. 解方程： （1） （2） 19. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△； （2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转中心的坐标； （3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 21. “灯笼翠干从高揭，火繖流苏直下垂”，春节将至，家家户户都要贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某商超计划购进型灯笼和型灯笼年前进行销售，已知700元购买型灯笼的个数是315元购买型灯笼个数的2倍，一个型灯笼的进价比一个型灯笼的进价高1元．销售时，两种灯笼的售价均为15元/个． （1）求一个型灯笼和一个型灯笼的进价分别是多少元？ （2）该商超计划购进这两种灯笼共200个，其中购进型灯笼的数量不少于型灯笼数量的，且不超过150个．当商超进货时，若一次性购进型灯笼超过80个，则型灯笼超过的部分可按进价打7折．问该商超应购进型灯笼和型灯笼各多少个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大？同时最大利润是多少元？ 22. （1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年山东省济南市历城三中八年级（下）月考 数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共16小题，每小题4分，共64分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 2. 下列各式中，从左到右的变形属于因式分解且正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的定义是解题的关键．利用因式分解的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、不能变形为，故此选项变形不正确，不符合题意； B、，故此选项属于因式分解且正确，符合题意； C、 不能变形为，故此选项变形不正确，不符合题意； D、不能变形为，故此选项变形不正确，不符合题意； 故选：B． 3. 若，则下列式子中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； B、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项错误，符合题意； D、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 把多项式分解因式，应提的公因式是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】公因式的确定，一看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母：公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的． 【详解】多项式的公因式为． 故选D． 【点睛】本题考查了公因式的定义，一个多项式各项都含有的相同的因式叫做这个多项式的公因式． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式以及在数轴上表示不等式的解集，不等式的解集在数轴上表示出来，向右画；，向左画），注意在表示解集时“”，“ ”要用实心圆点表示；“”，“ ”要用空心圆点表示．先求出不等式的解集，再根据不等式解集的表示方法可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴在数轴上可表示为： 故选：A． 6. 在中，的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ） A. 如果，那么是直角三角形 B. 如果，那么是直角三角形 C. 如果，那么是直角三角形且 D. 如果，那么是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，根据勾股定理逆定理，三角形的内角和定理，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； B、，则：，故是直角三角形，结论正确，不符合题意； C、如果，那么是直角三角形且，原结论错误，符合题意； D、如果，则：，故，故，那么是直角三角形，结论正确，不符合题意； 故选C． 7. 如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形的平移，正确找出平移规律是解答本题的关键．根据点A和点的坐标可得出平移规律，从而进一步可得出结论． 【详解】解：∵顶点的对应点是， 又∵， ∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到， ∵， ∴的坐标是，即， 故选：B． 8. 把分式中的，都扩大2倍，则分式的值（ ）． A. 不变 B. 扩大2倍 C. 扩大4倍 D. 缩小2倍 【答案】A 【解析】 【分析】把分式中的x，y都扩大2倍，约分再与原式比较． 【详解】解: 故选A． 【点睛】解答此类题一定要熟练掌握分式的基本性质． 9. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B， ∴点B为旋转中心． 故选：B． 10. 下列各式中，运算正确的是（　　） A. ＝m3 B. ＝ C. ＝﹣1 D. ＝ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据分式的基本性质进行化简，再得出选项即可． 【详解】解：A．，故本选项不符合题意； B．，故本选项符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】此题主要考查了分式的基本性质进行化简，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 11. 如图，在等边三角形中，，点D是的中点，过点D作于点F，过点F作于点E，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形，由等边三角形性质得到，，根据含角的直角三角形求出，求出，再根据含角的直角三角形求出，即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 12. 若关于的方程有增根，则的值为（ ） A. B. 7 C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根问题，先解分式方程，根据增根列式求解即可得到答案． 【详解】解：两边同时乘以得， ， 解得：， ∵有增根， ∴， 解得：， 故选：A． 13. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为（ ） A. 9 B. C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，利用面积的和差关系解决不规则图形的面积是解决此题的关键． 根据旋转的性质得到，，所以是等腰三角形，依据得到等腰三角形的面积，由图形可以知道，最终得到阴影部分的面积． 【详解】解:在中，， 将绕点按逆时针方向旋转后得到， ， ， 是等腰三角形，， 如图，过作于，则， ， ，， ， 故答案为：A． 14. 如图，直线y＝2x与直线y＝kx+b（k＜0）相交于点（m，4），则不等式（2﹣k）x＞b的解集为（　　） A. x＞2 B. x＜2 C. x＞4 D. x＜4 【答案】A 【解析】 【分析】首先求得A的坐标，不等式（2-k）x＞b，即kx+b＜2x，根据图象即可直接求得解集． 【详解】解：把A（m，4）代入y=2x得：m=2，则A的坐标是（2，4）． 不等式（2-k）x＞b，即kx+b＜2x， 根据图象，得：不等式的解集是：x＞2． 故选：A． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是求得m的值，然后利用数形结合的方法确定不等式的解集． 15. 如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于，交于，过点作于，下列五个结论：其中一定正确的结论有（ ）个． ①；②；③；④点到各边的距离相等；⑤设，，则．（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和定理：①根据角平分线定义及可得出，，由此可得出结论；②由于与不一定相等，则与不一定相等，进而得到与不一定相等；③先根据角平分线的性质得出，再由三角形内角和定理即可得出结论；④根据角平分线的性质即可得出结论；⑤连接，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：和的平分线相交于点G， ， ， ， ， ， 同理可得， ，故①正确； ∵与不一定相等，， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故②错误； 和的平分线相交于点G， ， ，故③错误； 和的平分线相交于点G， 点G到的距离相等，到的距离相等， 点G到各边的距离相等，故④正确； 如图所示，连接， 点G到各边的距离相等，，， ，故⑤正确． 故选：C． 16. 如图，在中，，，，点是直角边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，随点位置的改变，线段的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查含30度角直角三角形的性质及旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键；取的中点F，连接，由题意易得，由旋转的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：取的中点F，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 要求线段的最小值，即求线段的最小值， ∴当时，线段有最小值， ∵，， ∴； 故选B． 二、解答题：本题共6小题，共66分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）解下列不等式：； （2）解下列不等式组：； （3）因式分解：； （4）因式分解：； （5）先化简，再求值：，请在1、2、3中选择一个喜欢的数值作为x的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5），10． 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，提公因式法与公式法的综合运用以及分式的化简求值，熟练掌握这些运算法则是解此题的关键． （1）先去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （3）首先提公因式，再利用平方差进行二次分解即可； （4）首先提公因式，然后再利用完全平方进行分解即可； （5）先根据分式的减法法则进行计算，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，根据分式有意义的条件求出x不能为1和2，取，最后代入求出答案即可． 【详解】解：（1）去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1，得：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集是； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ， 要使分式有意义，必须且， 所以x不能为1和2， 当时， 原式． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2）方程无解 【解析】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是熟练掌握解分式方程的步骤． （1）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． （2）将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， 分式方程的解为； 【小问2详解】 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 检验：当时，， 分式方程无解． 19. 如图，在中，平分，于D，于C，且，． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2） 解：由知，，且， ， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，通过证明是解题的关键． （1）只需证即可； （2）先证，再根据证即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的三个顶点分别是A（－3，2），B（0，4），C（0，2）． （1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△C；平移△ABC，若A的对应点的坐标为（0，-4），画出平移后对应的△； （2）若将△C绕某一点旋转可以得到△，请直接写出旋转中心的坐标； （3）在轴上有一点P，使得PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标． 【答案】（1）如下图；（2）（，）；（3）（－2，0）． 【解析】 【分析】（1）根据网格结构找出点A、B以点C为旋转中心旋转180°的对应点A1、B1的位置，然后与点C顺次连接即可；再根据网格结构找出点A、B、C平移后的对应点A2、B2、C2的位置，然后顺次连接即可； （2）根据中心对称的性质，连接两对对应顶点，交点即为旋转中心，然后写出坐标即可； （3）根据轴对称确定最短路线问题，找出点A关于x轴的对称点A′的位置，然后连接A′B与x轴的交点即为点P． 【详解】（1）画出△A1B1C与△A2B2C2如图 （2）如图所示,旋转中心的坐标为:（，-1） (3) 如图所示,点P的坐标为（-2，0）. 21. “灯笼翠干从高揭，火繖流苏直下垂”，春节将至，家家户户都要贴春联，挂灯笼，欢天喜地迎新年．某商超计划购进型灯笼和型灯笼年前进行销售，已知700元购买型灯笼的个数是315元购买型灯笼个数的2倍，一个型灯笼的进价比一个型灯笼的进价高1元．销售时，两种灯笼的售价均为15元/个． （1）求一个型灯笼和一个型灯笼的进价分别是多少元？ （2）该商超计划购进这两种灯笼共200个，其中购进型灯笼的数量不少于型灯笼数量的，且不超过150个．当商超进货时，若一次性购进型灯笼超过80个，则型灯笼超过的部分可按进价打7折．问该商超应购进型灯笼和型灯笼各多少个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大？同时最大利润是多少元？ 【答案】（1）一个型灯笼的进价是元，一个型灯笼进价是元 （2）该商超应购进型灯笼个，型灯笼个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应； （1）等量关系式：700元购买型灯笼的个数315元购买型灯笼个数，据此列方程，解方程，即可求解； （2）设购进一个型灯笼个，则购进型灯笼个，总利润为元，由不等关系求出的取值范围，总利润售卖型灯笼获得的利润售卖型灯笼获得的利润，据此列出一次函数，利用一次函数的性质进行求解即可． 【小问1详解】 解：设一个型灯笼进价是元，则一个型灯笼的进价是元， 由题意得， 解得：， 经检验：是所列方程的根，且符合实际意义； （元）， 答：一个型灯笼的进价是元，一个型灯笼进价是元； 【小问2详解】 解：设购进一个型灯笼个，则购进型灯笼个，总利润为元，由题意得 ， 解得：； ， ， 当时， （元）， （个）， 故该商超应购进型灯笼个，型灯笼个，才能在两种灯笼全部售出后所获利润最大，最大利润是元． 22. （1）一节数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，点M，N在斜边上，，，，你能求出的长度吗？ 小清通过观察，分析，思考，形成了如下思路： 思路一：将绕点逆时针旋转，得到，显然，连接；求出的长度； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到，显然，连接，求出的长度； 请参考小清的思路，任选一种写出完整解答过程． （2）【类比探究】如图2，在等边中，点、在边上，，，，求的长．（直接写出答案） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）思路一：将绕点逆时针旋转，得到，易得为直角三角形，证明，得到，利用勾股定理求出的长即可；思路二：同思路一； （2）将绕点逆时针旋转，得到，同理得到，推出，作交的延长线于点，设，利用直角三角形的性质结合勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 思路一：将绕点逆时针旋转，得到， ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； 思路二：将绕点顺时针旋转，得到， ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 在中：； （2）∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， 将绕点C逆时针旋转，得到， ∴，连接， 则：，，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 作交的延长线于点， ∵， ∴，， ∴，， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质和勾股定理，解题的关键是通过旋转构造全等三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $