精品解析：吉林长春吉大附中实验学校2025-2026学年高一下学期集中大练习数学试卷

2025-2026学年下学期高一年级 集中大练习数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）. 1. （ ） A. B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量加减法法则求解即得. 【详解】. 故选：D 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】设外接圆的半径为， 因为，，由正弦定理，， 解得，故外接圆的周长为. 3. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】E为的中点，， 是平行四边形，， . 4. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算结合投影向量的定义运算求解. 【详解】因为，则， 所以在方向上的投影向量坐标为. 故选：B. 5. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据单位向量的定义及加法的几何意义有对应向量在的角平分线上，进而有的角平分线与边垂直，结合等腰三角形的性质即可得. 【详解】由几何意义知，对应向量在的角平分线上， 由，即的角平分线与边垂直， 所以三角形ABC的形状一定是等腰三角形. 故选：B 6. 已知向量，满足，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过平方的方法，结合向量数量积运算求得正确答案. 【详解】由得， 两边平方得， 所以. 故选：A 7. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理得，进而求得的正余弦值，再根据，即可求解． 【详解】在中，由正弦定理得，即， 解得， ， 则． 故选：B． 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先用平方去掉条件中的绝对值号，通过解不等式求出，再用向量的三角不等式求最小值. 【详解】平方去绝对值号，由，则， 根据向量与的条件可得， 化简可得， 令，由于函数开口向上，所以需要满足，所以. 观察所求式子内部，两者相减可将约掉，所以可用向量的三角不等式求解， 即， 又， 则的最小值为 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量是否共线，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，假设，则使得， 因为不共线得且，则无解， 故，不共线可作为一组基底； 对于B，因为，所以，不能作为基底； 对于C，因为，所以，不能作为基底； 对于D，假设，则使得，则因为不共线得且，则无解，故和不共线可作为一组基底. 故选:BC. 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 【答案】ABC 【解析】 【分析】由余弦定理角化边，因式分解得到或，从而判断的形状，得到A选项；根据正弦函数在的单调性得到B选项；根据三角形的个数判断C选项；利用正弦定理只能得到为锐角，无法证明D选项. 【详解】对于A，若，则由余弦定理得， 即，， 所以，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A正确； 对于B，在锐角中，，故且， 故，所以不等式恒成立，故B正确； 对于C，若，且有两解， 则，故，即，故C正确； 对于D，若，则， 即，由正弦定理得，所以角为锐角， 但角未知，无法判断为锐角三角形，故D错误. 故选：ABC. 11. 某个简谐运动可以用函数，来表示，其中部分图象如图所示，则（ ） A. B. 该简谐运动的频率为2，初相位为 C. 直线是的一个对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图象可得，选项A，利用的图象与性质可得，即可判断选项A的正误；选项B，由频率和初相位的定义，结合，即可求解；选项C，直接求解对称轴即可判断C；选项D，，利用性质，求出的对称轴和对称中心，即可判断出选项D的正误. 【详解】由图知，由图像知，又，所以， 又由五点作图法知，第三个点为，所以，得到， 所以， 对于选项A：设，由， 得到，即， 因为对应的是方程在轴右侧的第一个与第二个解，故, 所以，故选项A正确； 对于选项B：因为，所以频率为，由知初相位为，所以选项B错误； 对于选项C：令，解得， 当时，，故直线是的一个对称轴，选项C正确； 对于选项D：因为， 由，即， 故点是曲线的一个对称中心，故选项D正确； 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三角形中， 若 ，，，则角的大小是_________________； 【答案】## 【解析】 【分析】利用正弦定理计算可得. 【详解】由正弦定理，即，解得， 由，所以，所以. 故答案为： 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】##0.25 【解析】 【分析】由题意，可根据向量运算法则得到，从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值． 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 14. 在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，分别为的中点，连接，，利用向量的线性运算以及数量积的定义将转化为，即可求得答案. 【详解】由题意知的外接圆圆心为，为的中点，则； 设，分别为，的中点，连接，则，， ， 结合，，可知，, 故，即. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量垂直的坐标表示，可得 （2）根据向量夹角为锐角，可得数量积大于且不共线，代入坐标计算即可. 【小问1详解】 因为 ，且 . 所以 ，即. 因为 ，所以 . 【小问2详解】 因为 ，所以 ，又 ， 所以 . 因为 和 的夹角为锐角， 所以 且 与 不共线， 则 ，解得 . 因为 与 不共线，所以，即 ， 所以 的取值范围是 . 16. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 【答案】（1） （2）15km 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，即可求； （2）由正弦定理有求出，再由余弦定理有即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，， 在中，由余弦定理 因为, 所以 【小问2详解】 ，,， 由题意知： 在中，由正弦定理得：，所以 由余弦定理得：， 即， 解得：或（舍） ，之间的距离为 17. 如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. （1）求线段的长度， （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将、当作一组基底表示，平方之后求模即可； （2）设，将、当作一组基底表示、，再利用垂直关系即可求解. 【小问1详解】 因为， ， ， ，，， 所以，所以. 【小问2详解】 设，因为， 所以，， ， 所以，所以. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先应用正弦定理化边为角，再应用两角和的正弦公式计算化简得出角A； （2）先根据向量关系，左右两边平方后结合余弦定理得出，进而得出面积即可； （3）应用正弦定理边角转化应用辅助角公式化简，再根据角的范围应用正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 由正弦定理可知， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，∴， ∵，∴． 【小问2详解】 由（1）及余弦定理得，即，① 又因为，则， 则， 即， 所以，② 由得， 所以． 【小问3详解】 由（1）得，则，即， 由正弦定理可知，， 所以 ． 因为△ABC为锐角三角形，所以，， 即，， 则，即， 则， 故△ABC的周长的取值范围为． 19. 已知函数，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数和的解析式； （2）若，求的所有可能的值； （3）求函数（为正常数）在区间内的所有零点之和. 【答案】（1）， （2）1和 （3）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据平方差公式、二倍角公式化简可得的解析式，根据平移、伸缩变换的方法，可得的解析式. （2）由题意得，根据二倍角公式，结合一元二次方程的解法，可得的所有取值，即可得值，根据两角差的正弦公式，即可求得答案. （3）由（1）得的解析式，令，可得关于的一元二次方程，即可求得二次方程的根，分别讨论、和三种情况，根据根的范围，结合正弦函数的对称性，分析求解，即可得答案. 【小问1详解】 由题意 ； 将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得， 再把所得图象向右平移个单位长度，得. 【小问2详解】 由，得，则， 所以，解得或， 当时，， 则； 当时，， 则， 即或， 综上，的所有可能的值为1和. 【小问3详解】 由题意， 令，则，即， 令，则， 所以，判别式恒成立，解得， 由，得， 根据正弦函数的对称性得，与的图象在上有2个解， 且2个解之和为， 则方程在内所有实根之和为； 当时，则，此时无解，即无解； 当时，则，即，解集为， 所以在内所有实根之和为， 当时，， 则与的图象在上有2个解， 且2个解之和为， 则方程在内所有实根之和为， 综上，当时，函数在区间内的所有零点之和为； 当时，函数在区间内的所有零点之和为； 当时，函数在区间内的所有零点之和为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年下学期高一年级 集中大练习数学学科试卷 考试时间：120分钟 试卷满分：150分 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）. 1. （ ） A. B. 0 C. D. 2. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，则外接圆的周长为（ ） A. 2π B. 4π C. 2 D. 1 3. 如图，在平行四边形中，E为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量，则在方向上的投影向量坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 已知三角形ABC满足，则三角形ABC的形状一定是（ ） A. 正三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 6. 已知向量，满足，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 记的内角的对边分别为，则（ ） A. B. C. 或 D. 8. 已知平面向量，，，且已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设是平面内的一组基底向量，则下列四组向量中，不能作为基底的是（ ） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 10. 已知分别为内角的对边，下面四个结论正确的是（ ） A. 若，则为等腰三角形或直角三角形 B. 在锐角中，不等式恒成立 C. 若，，且有两解，则的取值范围是 D. 若，则为锐角三角形 11. 某个简谐运动可以用函数，来表示，其中部分图象如图所示，则（ ） A. B. 该简谐运动的频率为2，初相位为 C. 直线是的一个对称轴 D. 点是曲线的一个对称中心 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三角形中， 若 ，，，则角的大小是_________________； 13. 如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 14. 在中，是边BC的中点，是的外接圆圆心，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 直角坐标系中，已知向量，. （1）若，求的值； （2）若，且和的夹角为锐角，求的取值范围. 16. 如图，观测站在目标的南偏西方向，经过处有一条南偏东走向的公路，在处观测到与相距31km的处有一人正沿此公路向处行走，走20km到达处，此时测得，相距21km. （1）求； （2）求，之间的距离. 17. 如图，在中，已知，，，为边上一点，点在线段上，且，. （1）求线段的长度， （2）求的值. 18. 在中，角，，的对边分别为，，，，. （1）求角； （2）若是线段的中点，且，求； （3）若为锐角三角形，求的周长的取值范围. 19. 已知函数，将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求函数和的解析式； （2）若，求的所有可能的值； （3）求函数（为正常数）在区间内的所有零点之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $