专题03 四边形综合压轴题（期中复习专项训练）八年级数学下学期新教材湘教版

专题03 四边形综合压轴题 题型1 特殊平行四边形中最值问题 题型4 四边形综合解答之探究类题型 题型2 四边形中多结论问题 题型5 四边形中新定义类题型 题型3 四边形折叠问题 题型6 四边形中动点问题 13 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 特殊平行四边形中最值问题（共5小题） 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_____． 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）正方形的边长为，以正方形的一边向外作等边三角形，点G，F分别为边，上一动点（不与端点重合），且，随着点G，F的运动，的最小值为___________． 3．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，，，点M，N分别在边，上，将矩形沿着折叠，使点C的对应点正好落在边上（不与两端点重合）．若，则____________；折痕的长度的取值范围为____________． 4．（25-26八年级下·福建莆田·月考）已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 5．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 题型二 四边形中多结论问题（共5小题） 6．（25-26八年级下·上海青浦·月考）如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，则③，其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3．个 7．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形的对角线相交于点O．E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 8．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．（25-26八年级下·福建·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 10．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 题型三 四边形折叠问题（共5小题） 11．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，已知正方形边长为2，点E，F分别在边上，将四边形沿着翻折，点C的对应点恰好落在边上．若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 14．（25-26九年级下·河南信阳·月考）如图，矩形中，，，为中点，为上不与重合的一动点．将矩形沿翻折，分别是的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为___________． 15．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 题型四 四边形综合解答之探究类题型（共5小题） 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形的边长为1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a，证明，则，这样，可实现四边形的面积向面积的转化； 小丽：如图b，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 （填一个数值）； （2）【类比探究】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“含的菱形”，即，当绕点O旋转时，的边交边于点M，交边于点N． 请猜想： ①线段与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ； （3）【拓展应用】 ①对上面的问题进行进一步的探究，如图3，将图2中的沿方向平移至如图所示位置，若（m为常数）请描述与的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由； ②在①的条件下，若，试说明点P恰为的重心． 17．（2024·辽宁·模拟预测）【操作判定】 （1）如图1，在中，，，点E在上（且不与点B、C重合），在的外部作，使，，连接，过点作，过点作，交于点，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是______，______； 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接．若，求的长． 【拓展应用】 （3）将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，当四边形为菱形时． ①求的长； ②当点D在左侧时，请直接写出的长． 18．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）已知等腰中，，，现做如下操作： 步骤1：取的中点O，过点O作直线； 步骤2：在直线l上任取一点D（不与O重合），作点D关于的对称点E，连接，，，． 【操作发现】 （1）如图，根据题意补全图形，判断四边形的形状为_________（不需证明）； 【问题探究】 （2）若点D在延长线上时，求四边形的面积； 【拓展延伸】 （3）若四边形为正方形时，连接，并求的长． 19．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． (2)若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 20．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 题型五 四边形中新定义类题型（共5小题） 21．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 22．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 23．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 24．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，这条对角线叫做它的“筝线”． (1)在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有______； (2)在“筝形”中，为它的“筝线”，与对角线相交于点，且． ①如图1，若，点为对角线上一点，且为等腰三角形，求的值； ②如图2，延长至点，使得，连接，为上一点，且，，，求四边形面积的最大值． 25．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 题型六 四边形中动点问题（共4小题） 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若两点同时出发． ①当t为何值时，四边形为平行四边形？ ②当t为何值时，？ (2)若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，为直角三角形． 27．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 ． (1)当__________时，四边形是矩形． (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 28．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度沿线段移动（不与点A重合）设点E，F 同时出发移动t秒． (1)当时，求的长； (2)在点E，F移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由； (3)如图2，点G，H，分别在边，上，且，连接，交于点P，当与的夹角为，求t的值． 29．（23-24九年级上·陕西渭南·月考）如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ (3)（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？ $专题03 四边形综合压轴题 题型1 特殊平行四边形中最值问题 题型4 四边形综合解答之探究类题型 题型2 四边形中多结论问题 题型5 四边形中新定义类题型 题型3 四边形折叠问题 题型6 四边形中动点问题 28 / 28 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 特殊平行四边形中最值问题（共5小题） 1．（25-26九年级下·陕西宝鸡·期中）如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】本题延长到点，使，连接、、，根据正方形的性质可得，，然后得到，，进而得到，再根据两点之间线段最短，然后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：延长到点，使，连接、、，如图： ， ∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴由图可得的最小值为， 在中，勾股定理可得， ∵，， 解得：， ∴的最小值为：， 2．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）正方形的边长为，以正方形的一边向外作等边三角形，点G，F分别为边，上一动点（不与端点重合），且，随着点G，F的运动，的最小值为___________． 【答案】 【分析】构造直角三角形建立关系式．过点作于点， 设，用分别表示出和，由勾股定理得到关于的表达式，再利用配方法求出最小值． 【详解】解：四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， 过点作于点，交于点，则， 在中，， 设， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，有最小值， 的最小值为， 的最小值为． 3．（2026·河南商丘·一模）如图，在矩形中，，，点M，N分别在边，上，将矩形沿着折叠，使点C的对应点正好落在边上（不与两端点重合）．若，则____________；折痕的长度的取值范围为____________． 【答案】 【分析】（1）设，则，运用勾股定理计算即可； （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值，当与点A重合时，取得最大值，运用折叠性质，勾股定理计算即可． 【详解】解：（1）∵矩形中，，，沿着折叠矩形， ∴，，，，； 设，则， 由勾股定理， ∴， 解得， ∴． （2）根据垂线段最短，可得当时，取得最小值， ∵矩形中，，，， ∴四边形是矩形， ∴； 当与点A重合时，取得最大值， ∵矩形中，，，沿着折叠矩形， ∴，，，； 设，则， ∴， ∴， 解得． ∵矩形中，沿着折叠矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∴； 过点N作于点E， 则四边形是矩形， ∴，，； ∴， ∴， 故折痕的长度的取值范围为． 4．（25-26八年级下·福建莆田·月考）已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 5．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答； （2）如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算； （3）如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，且，， ∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴． （2）解：如图，连接，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中，， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． （3）解：如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． 题型二 四边形中多结论问题（共5小题） 6．（25-26八年级下·上海青浦·月考）如图，经过对角线的交点，交于点，交于点．有下列结论：①图中共有4对全等三角形；②若，则③，其中正确的个数有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3．个 【答案】C 【分析】①通过平行四边形的性质分析、列举全等三角形的对数判断是否为4对；②利用平行四边形对角线互相平分和三角形三边关系求出的范围；③通过全等三角形的面积相等，将四边形的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴ ， 同理可证 ，， ∴图中共有6对全等三角形，结论①错误； ∵四边形是平行四边形 ∴ ， 在中，根据三角形三边关系：， ∴，即 ∵ ∴，结论②正确 ∵ ∴​， ∵​，​ ∴​， ∵​， ∴​， ∵​， ∴，结论③正确 综上，正确的结论是②和③．即选项C符合题意． 7．（2026·黑龙江佳木斯·一模）如图，平行四边形的对角线相交于点O．E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点， ， 又∵ ， ∵ ∴， 是等边三角形， ，， ， ， 即，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故③正确； ∵平行四边形是菱形， ， 在中，， ，则，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故④正确； 正确的结论①②③④． 8．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，，点是延长线上一点，以，为邻边作平行四边形，连接，有下列结论：①的面积不变；②的最小值为；③的最小值为4，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】过点作于点，证明得到，再由三角形面积公式即可判断①；确定点在直线上运动，延长至点，使得，交直线于点，连接，则点为点关于直线上的对称点，那么，则，当点三点共线时，取得最小值为，在中，求出，即可判断②；由于点在直线上运动，则，故的最小值为4，即可判断③． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不变，故①正确； 由上知， ∴点到直线的距离为2， ∴点在直线（直线l在直线下方，，且直线l到直线的距离为2）上运动， 如图所示，延长至点，交直线于点，使得，连接， ∵，， ∴， ∴点为点关于直线上的对称点， ∴， ∴， 当点三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴的最小值为，②错误； ∵点在直线上运动， ∴， ∴的最小值为4，故③正确， ∴正确的为①③， 9．（25-26八年级下·福建·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ） ； ； ； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】首先证明，再利用角的关系求得，即可判断；沿对折，得到，利用角的关系求出，从而判断；设，则，，利用勾股定理可得，即，解得，从而判断． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵分别为的中点， ∴， 又， ∴， ∴，正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 所以，正确； 根据折叠的对称性可知， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； 设，则， ∵， ∴， 在中，利用勾股定理可得， 即， 解得，即，正确， 综上可得：正确，共个． 10．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由个全等的直角三角形与个小正方形拼成的一个大正方形，如图，若拼成的大正方形为正方形，面积为，中间的小正方形为正方形，面积为，连接，交于点，交于点，①，②；③，④，以上说法中正确的个数为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先根据正方形的性质以及四个大三角形全等，证明，故①正确；根据三角形全等得到三角形的面积相等，根据对应边相等，得到，再利用三角形和四边形的面积差得到结论，故②错误；根据勾股定理得到，根据，继而根据完全平方公式得到，继而得到，，故③正确；根据，，两式相加，得到，故④正确． 【详解】解：∵， ∴，， ∵在正方形中，，． ∴， ∴，故①正确； ，， ∵， ∴， ∴， ，即，故②错误； ， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故③正确； ， ∴，故④正确. 故①③④正确，②错误． 故选：． 题型三 四边形折叠问题（共5小题） 11．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，已知正方形边长为2，点E，F分别在边上，将四边形沿着翻折，点C的对应点恰好落在边上．若，则线段长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点O，过点F作于G；可证明四边形是矩形，则；由得；设，则，，从而；再证明，则；在中利用勾股定理建立方程可求得x的值，再由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点F作于G； 则， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴； 设，则，， ∴； 由折叠知，， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， 即， 整理得：，即， ∴； 在中，，由勾股定理得． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，证明三角形全等是解题的关键． 12．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解． 根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数． 【详解】解：∵四边形是正方形， ，， ∵E为边的中点， ， ∵沿折叠后得到， ，，， ，， ，． 设，， ， ， ∵中，， ∴， 又∵， ， ， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 13．（24-25八年级下·湖北武汉·期中）如图，正方形中，M为边上一点，将沿翻折到，点B折到点N，连，，则的最小值为（   ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的构造，以及用垂线段最短解决几何最值问题．利用三垂直全等模型构造全等三角形，利用轴对称及等腰三角形三线合一得比值，利用垂线段最短解决最小值问题． 【详解】解：如图： ∵正方形， ∴，， 分别作于E，于F，则， ∴， ∴， ∴， ∴， 由轴对称可得：， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，根据垂线段最短可得：， ∴， 故的最小值为， 故选：A． 14．（25-26九年级下·河南信阳·月考）如图，矩形中，，，为中点，为上不与重合的一动点．将矩形沿翻折，分别是的对应点，连接，当为直角三角形时，的长为___________． 【答案】或 【分析】本题考查图形翻折的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形，等腰直角三角形的性质，矩形的性质等知识点． 根据矩形的性质和图形翻折的性质，根据当时和当时，分两种情况讨论，通过证明三角形全等或相似，得到对应线段相等或成比例，继而得到的长度． 【详解】解：为的中点， ， 四边形是矩形， ，， 如图，当时，连接，交于点， 是直角三角形，由折叠的性质, 得 ，，，，， ，， 点在同一条直线上， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 如图，当时，是直角三角形， 连接，，延长交于点，连接， 交于点， 由折叠的性质, 可得： ，，，，， 为的中点， ， 又 ， ， ， ， 在和中， ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ，，， ， ， 又 ，， ， ，，， ， ， ， 又 ，， ， ， ， ， ， ， 由图可知，当时，，点和点重合， 这种情况不存在， 综上所述，的长为或． 15．（24-25八年级下·山西大同·期末）如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析； (2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 题型四 四边形综合解答之探究类题型（共5小题） 16．（23-24九年级上·江苏盐城·期末）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形的边长为1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a，证明，则，这样，可实现四边形的面积向面积的转化； 小丽：如图b，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 （填一个数值）； （2）【类比探究】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“含的菱形”，即，当绕点O旋转时，的边交边于点M，交边于点N． 请猜想： ①线段与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ； （3）【拓展应用】 ①对上面的问题进行进一步的探究，如图3，将图2中的沿方向平移至如图所示位置，若（m为常数）请描述与的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由； ②在①的条件下，若，试说明点P恰为的重心． 【答案】（1）；1；（2）①；②；（3）①，理由见解析；②见解析 【分析】（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论； （2）①取的中点E，连接，根据三角形中位线定理可得，可得到是等边三角形，再证明，可得，即可解答； ②根据，可得，即可解答； （3）①过点P作交于点F，交于点G，延长至点H，使，则，先证明，可得，再证明，可得，即可解答； ②连接，延长交于点Q，根据直角三角形的性质可得，从而得到，进而得到，，再由菱形的性质可得到是边的中线，是等边三角形，，然后在中，根据直角三角形的性质可得，从而得到，再由勾股定理可得，从而得到，再结合等边三角形的性质可得是的中线，即可解答． 【详解】解：（1）小明：∵四边形是正方形，，边长为1， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴，； 小丽：过点O分别作于点G，于点H， ∴， ∵四边形是正方形，边长为1， ∴，，，， ∴四边形为矩形，，， ∴四边形为正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，； 故答案为：；1； （2）①如图，取的中点E，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； ②∵， ∴， ∴； 故答案为：； （3）①，理由如下： 如图，过点P作交于点F，交于点G，延长至点H，使，则， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，连接，延长交于点Q， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， 是边的中线， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的中线， ∴点P恰为的重心． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、菱形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质、勾股定理、平行线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质、菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 17．（2024·辽宁·模拟预测）【操作判定】 （1）如图1，在中，，，点E在上（且不与点B、C重合），在的外部作，使，，连接，过点作，过点作，交于点，连接．根据以上操作，判断：四边形的形状是______，______； 【变换探究】 （2）如图2，将图1中的绕点B逆时针旋转，使点E落在边上，过点A作，过点D作，交于点F，连接．若，求的长． 【拓展应用】 （3）将图1中的绕点B顺时针旋转，使点D在的右侧，过点A作，过点D作，交于点F，连接，若，当四边形为菱形时． ①求的长； ②当点D在左侧时，请直接写出的长． 【答案】（1）平行四边形，；（2）；（3）①；② 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，从而得到，再证明点D，E，F三点共线，可得，然后根据勾股定理，即可求解； （2）连接，证明四边形是矩形．可得，，再证明，可得，．从而得到．继而得到是等腰直角三角形，即可求解； （3）①连接并延长交于点，连接，根据四边形是菱形，可得到．设交于点，交于点，交于点．证明，可得，，可得到是等腰直角三角形．从而得到．进而得到是线段的中垂线，即可；②类比①的方法解答，即可求解． 【详解】解：（1）∵，， ∴四边形是平行四边形； ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点D，E，F三点共线， ∴， ∴， 即； 故答案为：平行四边形，；． （2）如图，连接． ，， 四边形是平行四边形． 又， 四边形是矩形． ，， 又， ． 又，， ， ， ． ， ，． ， 即． 是等腰直角三角形． ， 即， ， ； （3）①如图，连接并延长交于点，连接． 四边形是菱形， ，， ， ． 设交于点，交于点，交于点． ， ， ， ，， ， ， ，． 又， ， 是等腰直角三角形． ． ，， 是线段的中垂线． ，， ． ， ； ②延长交于， ，， ． ， ， ． ∵， ． ∵， ∴． ， ， 为等腰直角三角形． ． 设交于点． 由①得：是线段的中垂线． ， ∴． ， ． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质等知识．熟练掌握平行四边形的判定，矩形的判定与性质，旋转的性质，菱形的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质是解题的关键． 18．（23-24八年级下·贵州遵义·期末）已知等腰中，，，现做如下操作： 步骤1：取的中点O，过点O作直线； 步骤2：在直线l上任取一点D（不与O重合），作点D关于的对称点E，连接，，，． 【操作发现】 （1）如图，根据题意补全图形，判断四边形的形状为_________（不需证明）； 【问题探究】 （2）若点D在延长线上时，求四边形的面积； 【拓展延伸】 （3）若四边形为正方形时，连接，并求的长． 【答案】（1）补全图形见解析；菱形；（2）20；（3） 【分析】（1）根据题意画图，根据菱形的判定方法得出四边形为菱形即可； （2）过点A作于点F，根据等腰三角形的性质得出，根据勾股定理得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，最后得出四边形的面积即可； （3）过点A作于点F，过点D作于点N，延长，过点A作于点M，证明四边形为矩形，得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，根据勾股定理求出． 【详解】解：（1）补全图形，如图所示： ∵点O为的中点，， ∴直线l垂直平分， ∵点与点D关于直线l对称， ∴， ∴与垂直平分， ∴四边形为菱形， 故答案为：菱形； （2）过点A作于点F，如图所示： ∵，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， 根据解析（1）可知，四边形为菱形， ∴设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； （3）过点A作于点F，过点D作于点N，延长，过点A作于点M，如图所示： ∵四边形为正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴根据勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或， 不符合题意舍去， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定，正方形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握菱形的判定和性质，作出辅助线． 19．（23-24八年级下·山西朔州·期末）综合与实践 问题情境：在矩形纸片中，点E是边上一动点，连接，将沿折叠得到，并展开铺平． 操作探究： (1)如图1，若点M落在边上，则四边形的形状是______． (2)若点M落在矩形内部． ①如图2，过点B作，垂足为H，交于点F．连接．请判断四边形的形状，并说明理由． ②如图3，E，F为边的三等分点，且点E在点F的左侧．连接并延长，交边于点G．试判断线段与的数量关系，并说明理由． (3)如图4，，若以点M，C，D为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出的长． 【答案】(1)正方形 (2)①四边形为菱形；理由见解析；②；理由见解析 (3)或5 【分析】（1）根据折叠得出，，根据，证明四边形为矩形，根据，即可证明四边形为正方形； （2）①根据折叠得出，， ，证明，得出，证明，即可证明结论； ②先证明，根据矩形中，，，证明四边形为平行四边形，得出，求出，即可得出结论； （3）分三种情况进行讨论：当时，当时，当时，分别画出图形进行求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形， ∴， 根据折叠可知：，， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴四边形为正方形； （2）证明：①四边形为菱形；理由如下： 根据折叠可知：，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为菱形； ②；理由如下： ∵E，F为边的三等分点， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵矩形中，，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为矩形，， ∴，，， 根据折叠可知：，，， 当时，过点M作，如图所示： 则， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当时，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴此时点M在上， 根据解析（1）可知，此时四边形为正方形， ∴； 连接，如图所示： 根据勾股定理得：， ∵两点之间线段最短， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴与相等不存在； 综上分析可知：或5． 【点睛】本题主要考查了四边形的综合应用，菱形，矩形，正方形和平行四边形的证明，勾股定理，等腰三角形的性质，折叠的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 20．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）四边形是正方形，点是射线上的一个动点，连接，过点作交正方形的外角的平分线于点． 【提出问题】 （1）如图1，当点在边上时，与有怎样的数量关系？ 以下是乐乐的解题思路： 如图1，乐乐在上截取，连接． 通过证全等可得________（填“>”“<”或“=”）； 【深入探究】 （2）如图2，在（1）的基础上，过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上，求证：； 【思维拓展】 （3）过点作交直线于点．以为斜边向右作等腰直角三角形，点在射线上．当，时，直接写出线段的长． 【答案】（1）=；（2）证明见解析；（3）线段的长为4或12 【分析】（1）根据即可证明，然后根据全等三角形的对应边相等即可证得； （2）在上截取，连接，同理，即可求解； （3）利用全等三角形的性质结合等腰直角三角形的性质证明，再分当在线段上和当在延长线上时两种情况讨论，同上的方法即可求解． 【详解】解：（1）四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ，， ． ． ． 故答案为：； （2）证明：在上截取，连接． 则， 是等腰直角三角形， ，则，，， ， ； （3），则是等腰直角三角形， ， ， ， ； 当在线段上时， ，即， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ； 当在延长线上时，延长，使，连接， 则是等腰直角三角形， ，，，， ， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ； 综上，线段的长为4或12． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识点．正确引出辅助线解决问题是解题的关键． 题型五 四边形中新定义类题型（共5小题） 21．（2024·浙江杭州·三模）（1）认识研究对象：如图，我们把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．我们已经学习了①平行四边形②菱形③矩形④正方形，在这四种图形中是垂美四边形的是 ． （2）探索研究方法：如图1．已知四边形是垂美四边形，求证：． （3）尝试问题解决：已知，，分别以的边和向外作等腰和等腰； ①如图2，当，连接，求的长； ②如图3．当，点G、H分别是中点，连接．若，求的面积． 【答案】（1）②④；（2）见解析；（3）①；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形性质，勾股定理，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）根据平行四边形，菱形，正方形和矩形的性质，结合垂美四边形的定义，进行判断即可； （2）运用勾股定理可得：，，，，即可证得结论； （3）①如图，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理可得，再证得 ，得出，，运用勾股定理即可求得答案．②分别过点A、D作于点M，于点N，连接，证明，得到，设，勾股定理求出的值，利用面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵菱形、正方形的对角线垂直， ∴菱形、正方形都是垂美四边形， 故答案为：②④； （2）证明：∵四边形ABCD是垂美四边形， ，垂足为，如图， ，，，， ，， ． （3）解：①解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ， ， 和都是等腰直角三角形， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ， 在中，． ②如图3，，分别过点A、D作于点M，于点N，连接， 又∵等腰和等腰，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则， ∵点G、H分别是中点，连接， ∴， 在和中，由勾股定理得： ， ∴，即， 解得：，即， ∴． 22．（23-24八年级下·江苏盐城·期末）定义图形 如图1，在四边形中，M、N分别是边、的中点，连接．若两侧的图形面积相等，则称为四边形的“对中平分线”      提出问题 有对中平分线的四边形具有怎样的性质呢? 分析问题 （1）如图2，为四边形的“对中平分线”，连接，，由M为的 中点，知与的面积相等，则，有怎样的位置关系呢?请说明理由． （2）在（1）的基础上，小明提出了下列三个命题，其中假命题的是_____（请把你认为假命题的序号都填上） ①若，则四边形是平行四边形； ②若，则四边形是菱形； ③若，则四边形是矩形． 深入探究 如图3，四边形有两条对中平分线，分别是，，且相交于点O，若．请探索四边形的形状并说明理由． 【答案】（1）；理由见解析；（2）①；（3）四边形为菱形；理由见解析 【分析】分析问题：（1）过点A作于点E，过点D作于点F，得出，根据，，得出，即，得出，证明四边形为平行四边形，即可得出结论； （2）①根据平行四边形的判定和性质，进行证明即可； ②根据四边形为平行四边形时，，即可说明此命题是假命题； ③根据四边形为等腰梯形时，，说明此命题为假命题； （3）根据解析（1）可得：，，证明四边形为平行四边形，再证明，，得出，说明四边形为菱形． 【详解】解：分析问题：（1）；理由如下： 过点A作于点E，过点D作于点F，如图所示：    ∵，， ∴， ∵为四边形的“对中平分线”， ∴， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵N是的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 即； （2）①∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故①是真命题；    ②当四边形为平行四边形时，，， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴当四边形为平行四边形，而不是菱形时，，故②是假命题； ③当四边形为等腰梯形时，延长、交于点E，如图所示：    ∵四边形为等腰梯形， ∴， ∴， ∵点N为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∴四边形为等腰梯形，， ∴时，四边形不一定是矩形，故③是假命题； 综上分析可知：真命题为①． （3）四边形为菱形；理由如下： ∵四边形有两条对中平分线，分别是，， ∴根据解析（1）可得：，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵M、N分别是边、的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 同理可得：四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定，等腰三角形的判定与性质，三角形面积的计算，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握特殊四边形的判定方法． 23．（23-24八年级下·河南洛阳·期中）定义：如果一个凸四边形沿着它的一条对角线对折后能完全重合，我们就把这个四边形称为“忧乐四边形”．如图1，凸四边形沿对角线对折后完全重合，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形” (1)下列四边形一定是“忧乐四边形”的有_______ (填序号)； ①平行四边形②菱形③矩形④正方形 (2)如图2，在矩形中，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“优乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点． 求证：四边形是“忧乐四边形” (3)如图3，在四边形中，，，，，点是边上的中点，四边形是以直线为对称轴的“忧乐四边形”（点在四边形内部），连接并延长交于点．当是直角三角形时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)②④ (2)见解析 (3)或 【分析】（1）根据“忧乐四边形”的定义对几个四边形进行逐一判定即可解决问题； （2）连接，证明，得出四边形沿折叠完全重合，则可得出结论； （3）分两种情况，由折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理可得出答案． 【详解】（1）①平行四边形，③矩形，沿着它的一条对角线对折后不能完全重合；②菱形，④正方形，沿着它的一条对角线对折后能完全重合． ②菱形，④正方形一定是忧乐四边形； 故答案为：②④； （2）证明：如图2，连接， 四边形是矩形， ， 是的中点， ， 将沿折叠后得到， ，，， ， ， ， 四边形沿折叠完全重合， 四边形是“忧乐四边形”； （3）． 若，连接，则四边形是矩形， ， 由（2）知，， 设，则，， ， ， ， ； 若，连接，过点作于点，，交的延长线于点，如图， 由（2）知， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 设， ， （负值舍）， ． 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了新定义，矩形的性质，平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．深入理解题意，理解新定义是解决问题的关键． 24．（23-24八年级下·湖南长沙·期中）若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”，这条对角线叫做它的“筝线”． (1)在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有______； (2)在“筝形”中，为它的“筝线”，与对角线相交于点，且． ①如图1，若，点为对角线上一点，且为等腰三角形，求的值； ②如图2，延长至点，使得，连接，为上一点，且，，，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)菱形，正方形 (2)①或；② 【分析】（1）由“筝形”的定义结合平行四边形，矩形，菱形，正方形的性质即可得出答案； （2）①由“筝形”的定义得出平分与，证明，得出，求出，设，，则，求出，，，再分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得出答案；②由①可得，，证明四边形为平行四边形，得出，连接，证明四边形为矩形，得出，由勾股定理结合题意得出，表示出，即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做“筝形”， 在平行四边形，矩形，菱形，正方形中，一定为“筝形”的有菱形，正方形， 故答案为：菱形，正方形； （2）解：①为“筝形”的“筝线”， 平分与， ，， 又， ， ， 又，， ， ， 由，不妨设，， 在中，， 又，， 点，在的垂直平分线上， ，， 在中，， ， 在中，， ， 当时，， ，， ； 当时，设，则， ， 在中，， 即， 解得， ， ； 当时，不合题意， 综上所述，的值为或； ②由①可得，， ， 又，即， ， ， 又， ， 又， ， ， 四边形为平行四边形， ， 又， ， 连接， 由，， 四边形为平行四边形， 又， 为矩形， ，， ， 在中，， 由， 有， 即， 化简得， 又， ， 又四边形显然为直角梯形， ， ， 当时，四边形的面积最大值为． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了三角形全等的判定与性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的定义、线段垂直平分线的性质、正方形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 25．（23-24八年级下·江苏常州·期中）定义：对于一个四边形，我们把依次连结它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，那么我们把原四边形叫做“中方四边形”． (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________； A．平行四边形    B．矩形    C．菱形    D．正方形 (2)如图1，以锐角的两边为边长，分别向外侧作正方形和正方形，连结，求证：四边形是“中方四边形”； (3)如图2，四边形是“中方四边形”，若的值为32，则的最小值是________．（不需要解答过程） 【答案】(1)D (2)见解析 (3)8 【分析】（1）根据定义“中方四边形”，即可得出答案； （2）如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K，利用三角形中位线定理可证得四边形是平行四边形，再证得，推出四边形是菱形，再由，可得菱形是正方形，即可证得结论； （3）如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接，可得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质可得，根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长，再结合（2）的结论即可求得答案． 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”，理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直， 故选：D； （2）证明：如图，取四边形各边中点分别为P、Q、R、L并顺次连接成四边形，连接交于P，连接交于K， ∵四边形各边中点分别为M、N、R、L， ∴分别是的中位线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， 又∵∠， ∴， 即， 在和中， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴菱形是正方形， 即原四边形是“中方四边形”； （3）解：如图，分别作的中点E，F，M，N，并顺次连接，连接交于O，连接， ∵四边形是“中方四边形”，M，N分别是的中点， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵M，F分别是的中点， ∴， ∴， ∵的值为32， ∴， 根据题意得：当点O在上（即M、O、N共线）时，最小，最小值为的长， ∴， 由（2）知：， 又∵M，N分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为8． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的中位线的性质，正方形的判定和性质，勾股定理，两点之间线段最短等知识，理解“中方四边形”的定义并运用是本题的关键． 题型六 四边形中动点问题（共4小题） 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）如图，在四边形中，，，点从点出发，以的速度向点运动；点从点出发，以秒的速度问点运动，规定其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点运动的时间为秒．    (1)若两点同时出发． ①当t为何值时，四边形为平行四边形？ ②当t为何值时，？ (2)若P点先运动3秒后停止运动，此时Q点从C点出发，到达D点后运动立即停止，则t为何值时，为直角三角形． 【答案】(1)① ②或 (2)或 【分析】（1）①四边形为平行四边形时，根据即可得到答案； ②分点Q在P的右边和左边两种情况计算即可； （2）分和两种情形进行讨论求解即可． 本题主要考查了四边形的动点问题，矩形的性质与判定，平行四边形的判定和性质，勾股定理等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． 【详解】（1）①根据题意，得， ∵, ∴, ∵四边形为平行四边形， ∴, ∴, 解得， 故当秒时，四边形为平行四边形． ②当在点P的右边时，根据①四边形为平行四边形时，， 此时． 当在点P的左边时，过点B作于点E， ∵, ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 过点作于点F， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴, ∵， ∴, ∴, 解得， 故当秒或时，．    （2） 当时， 根据题意，得，四边形是矩形， ∴, ∴, ∴, 解得，    当时， 过点作于点G，过点B作于点E， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 解得． 综上所述，当或时，为直角三角形． 27．（23-24八年级下·广东东莞·期中）如图，在四边形中，，，，，，动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，同时动点从点出发沿边以的速度向点匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为 ． (1)当__________时，四边形是矩形． (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)四边形是否能成为菱形？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)6.5 (2)6 (3)不能．理由见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）由在四边形中，，，可得当时，四边形是矩形，即可得方程：，解此方程即可求得答案． （2）由在四边形中，，可得当时，四边形是平行四边形，即可得方程：，解此方程即可求得答案； （3）由若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（2）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得四边形不可能是菱形； 【详解】（1）根据题意得： ， ， ，，， ，， 在四边形中，，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：， 当时，四边形是矩形； 故答案为：6.5； （2）在四边形中，， 当时，四边形是平行四边形， 根据（1）得：， 解得：， 当时，四边形是平行四边形； （3）不能，理由如下： 若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 根据（2）得：， ， 过点作于， 四边形是矩形， ， ，， ， 四边形不可能是菱形． 28．（23-24七年级下·福建福州·期中）如图1，正方形的边长为，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度移动，点从点出发，向点以每秒个单位长度的速度沿线段移动（不与点A重合）设点E，F 同时出发移动t秒． (1)当时，求的长； (2)在点E，F移动过程中，连接，，，请判断的形状并说明理由； (3)如图2，点G，H，分别在边，上，且，连接，交于点P，当与的夹角为，求t的值． 【答案】(1) (2)是等腰直角三角形 (3)2 【分析】（1）根据题意得到，得到，，利用勾股定理即可求解； （2）通过证明得到，，则易推知是等腰直角三角形； （3）如图3，连接，，与交于．根据四边形是平行四边形，则其对边相等：．所以在中，由勾股定理得到：，故． 【详解】（1）解：根据题意当时：， 正方形的边长为， ，， 在中， ； （2）解：等腰直角三角形．理由如下： 如图1，在正方形中，，． 依题意得：． 在与中， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形； （3）解：如图3，连接，，与交于，与交于点．    由（1）得， 又， ， 又， 四边形是平行四边形， ， 在中，得， ． 【点睛】本题考查了四边形综合题．解题过程中，涉及到了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理的应用．解答该类题目时，要巧妙的作出辅助线，构建几何模型，利用特殊的四边形的性质（或者全等三角形的性质）得到相关线段间的数量关系，从而解决问题． 29．（23-24九年级上·陕西渭南·月考）如图，在直角梯形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．    (1)当时，求的面积； (2)当t为何值时，以A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？ (3)（2）中的平行四边形会不会是菱形？若能，请说明理由，若不能，当Q速度不变，求出P点速度？ 【答案】(1)48 (2)当秒或秒 (3)（2）中的平行四边形不会是菱形；当速度不变，点速度为每秒个单位长 【分析】（1）若过点作于，则四边形为矩形，得出，由 ，由三角形面积公式得出的面积 ； （2）由题意得出，分两种情况，由题意得出方程，解方程即可得出答案； （3）作于，则四边形是矩形，得出，由勾股定理得出，由，则5；由，则；得出（2）中的平行四边形不会是菱形；当速度不变，设点速度为每秒个单位长，则 ，解得即可． 【详解】（1）解：过点作 于，如图1所示：则四边形为矩形．    ∴， ∵， ∴的面积． 把代入得：的面积； （2）∵， 当时，以，为顶点的四边形为平行四边形时，当点在点右侧时， 解得：， 当点在点左侧时，， ∴， 解得：； 综上所述，当秒或秒时，以为顶点的四边形为平行四边形； （3）（2）中的平行四边形不会是菱形； 理由如下： 作于，如图2所示： 则四边形是矩形， 当时，（2）中的平行四边形是菱形， 由，则； 由，则； ∴（2）中的平行四边形不会是菱形； 当速度不变，设点速度为每秒个单位长， 则， 解得：， 即当速度不变，点速度为每秒个单位长时，（2）中的平行四边形是菱形．    【点睛】本题是四边形综合题，考查了梯形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定及勾股定理的应用等知识；熟练掌握平行四边形的性质和菱形的判定是解题的关键． $