考点01 正比例函数的图像与性质（13种题型）（专项训练）数学新教材人教版八年级下册

考点01 正比例函数的图像与性质 考点一：正比例函数 定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 考点二：正比例函数的图像与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图像 形状 过原点的一条直线 k的取值 k＞0 k＜0 示意图 经过的位置 第一、三象限 第二、四象限 趋势 从左到右呈上升趋势 从左到右呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 【补充】 1）正比例函数图像的位置和增减性由k决定. 2）正比例函数中，|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越靠近x轴， 【小技巧】通常画正比例函数的图像时只需取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线即可. 题型一：根据正比例函数的定义求参数 正比例函数解析式需满足以下几个条件：1）自变量的指数为1；2）比例系数不为0. 1．（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知函数（m是常数）是正比例函数，则_______． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知是正比例函数，则的值是_____． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）若是关于的正比例函数，求的值． 题型二：用待定系数法求函数解析式 可利用待定系数法求解，因为两点确定一条直线，将已知点的坐标代入解析式，通过解关于k的方程，就可以求出解析式. 4．（24-25八年级下·河南南阳·期末）写出一个图象经过点的正比例函数解析式__________． 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知与成正比，当时，，求y与x之间的函数关系式． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)若点在这个函数图象上，求n的值． 题型三：判断正比例函数的图像 正比例函数图像的位置和增减性由k决定，当k＞0时，函数图像经过第一、三象限，当k＜0时，函数图像经过第二、四象限. 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A．B．C． D． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A．B．C．D． 9．（24-25八年级下·河北唐山·期中）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 题型四：判断正比例函数图像上的点 将这个点的坐标代入正比例函数解析式中，若等式两边的值相等，则该点在正比例函数图像上. 10．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知正比例函数经过点和，则x的值为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）若点A在函数第一象限的图象上，且点A到原点O的距离为4，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 题型五：根据正比例函数解析式求其性质 13．（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 14．（24-25八年级下·云南昆明·期中）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．当时， B．随的增大而增大 C．图象经过第一、三象限 D．图象经过点 15．（21-22八年级·全国·假期作业）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点（-1，2） C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 题型六：根据正比例函数图像判断比例系数的大小关系 16．（上海市市北初级中学北校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（河南省驻马店市泌阳县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 18．（安徽省合肥市第三十八中学2025--2026学年上学期八年级数学期中试卷）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是___________．（用连接） 题型七：判断正比例函数图像通过象限 19．（24-25九年级上·广西玉林·期末）已知正比例函数，则它经过的象限是（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 20．（2023八年级下·全国·专题练习）正比例函数的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 21．（24-25八年级下·江西宜春·期末）若函数是正比例函数，则函数图象经过________象限． 题型八：已知正比例函数图像经过象限求其参数 22．（24-25八年级下·吉林辽源·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（20-21八年级上·上海金山·期中）若函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，则_______． 24．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 题型九：比较正比例函数中函数值的大小 25．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知函数图象上存在两点，，则（   ） A． B． C． D．a、b大小无法确定 26．（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 27．（25-26八年级上·浙江台州·期末），，是正比例函数上的三个点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 题型十：根据正比例函数的增减性求参数 28．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在正比例函数中，函数值y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值：_______． 29．（24-25八年级下·北京·期中）已知正比例函数满足随增大而减小，则的取值范围是______． 30．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）若是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值是______． 题型十一：画正比例函数图像 31．（24-25八年级下·福建厦门·期中）（1）在下图中画出的图象． （2）若点在函数图象上，求这个点的坐标． 32．（23-24八年级上·广西梧州·月考）我们知道正比例函数的图像是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画正比例函数图像简化成“定两点，画图像”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数和图像的过程．请你回答下列问题． (1)列表：把下表补充完整为： …… … … … (2)描点并连线得函数图像： 33．（23-24八年级下·江西南昌·月考）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 题型十二：与正比例函数有关的平移问题 34．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 35．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 36．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 题型十三：与正比例函数有关的最值问题 37．（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，正比例函数的最大值是___________，最小值是___________． 38．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则_______． 39．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）当时，函数的最大值与最小值的和为______． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 2．（25-26八年级上·江苏常州·月考）已知关于x的正比例函数． (1)当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？ (2)当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？ 3．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知函数． (1)当为何值时，此函数是正比例函数？ (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点，点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较的大小． 7．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 正比例函数的图像与性质 考点一：正比例函数 定义：一般地，形如的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 考点二：正比例函数的图像与性质 表达式 自变量的取值范围 全体实数 图像 形状 过原点的一条直线 k的取值 k＞0 k＜0 示意图 经过的位置 第一、三象限 第二、四象限 趋势 从左到右呈上升趋势 从左到右呈下降趋势 增减性 y随x增大而增大， 即当， y随x增大而减小， 即当， 【补充】 1）正比例函数图像的位置和增减性由k决定. 2）正比例函数中，|k|越大，直线越靠近y轴；|k|越小，直线越靠近x轴， 【小技巧】通常画正比例函数的图像时只需取一点(1，k)，然后过原点和这一点画直线即可. 题型一：根据正比例函数的定义求参数 正比例函数解析式需满足以下几个条件：1）自变量的指数为1；2）比例系数不为0. 1．（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知函数（m是常数）是正比例函数，则_______． 【答案】1 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，函数形式应为，因此常数项必须为0且x的系数不为0，即可作答． 【详解】解：∵函数（m是常数）是正比例函数， ∴， 解得， 故答案为：1． 2．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）已知是正比例函数，则的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，代数式求值，根据正比例函数的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， 解得 ， ∴， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽安庆·期末）若是关于的正比例函数，求的值． 【答案】 【分析】由正比例函数定义得到，分别解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式得到，代入代数式计算即可得到答案． 【详解】解：是关于的正比例函数， ， 解得或； 解得； 解得 ， ． 【点睛】本题考查代数式求值，涉及正比例函数的定义、解绝对值方程、解一元一次方程、解一元一次不等式等知识，熟记正比例函数定义得到相应方程及不等式求解是解决问题的关键． 题型二：用待定系数法求函数解析式 可利用待定系数法求解，因为两点确定一条直线，将已知点的坐标代入解析式，通过解关于k的方程，就可以求出解析式. 4．（24-25八年级下·河南南阳·期末）写出一个图象经过点的正比例函数解析式__________． 【答案】 【分析】本题考查求正比例函数解析式，运用待定系数法求解即可． 【详解】解：设图象经过点的正比例函数解析式为， ∴， ∴， ∴这个正比例函数解析式为． 故答案为： 5．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）已知与成正比，当时，，求y与x之间的函数关系式． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的定义，先理解与成正比，得，再代入数值，得，即可作答． 【详解】解：∵与成正比， ∴设， 当时，，可得 解得， ∴ ∴． 6．（25-26八年级上·安徽蚌埠·期中）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数解析式； (2)若点在这个函数图象上，求n的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了正比例函数的定义，正比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据题意可设函数解析式为，整理得，结合题意代入，求出的值，即可解答； （2）代入点到，求出n的值即可求解． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设函数解析式为， 整理得：， ∵当时，， ∴， 解得， ∴y与x的函数解析式为； （2）解：代入点到，得， 解得， ∴n的值为3． 题型三：判断正比例函数的图像 正比例函数图像的位置和增减性由k决定，当k＞0时，函数图像经过第一、三象限，当k＜0时，函数图像经过第二、四象限. 7．（25-26八年级上·安徽淮北·期中）已知，则其在平面直角坐标系中的图象大致为（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的图象，掌握正比例函数的图象是解题的关键；当时，在第三象限；当时，在第四象限；由此即可判断． 【详解】解：当时，在第三象限；当时，在第四象限； 故函数的图象在第三、四象限， 故选：D． 8．（24-25八年级下·四川绵阳·期末）已知正比例函数，且y的值随x的增大而减小，如果，那么和在同一个直角坐标系中的大致图象为（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象，根据题意可得，，进而判断函数图象经过的象限，即可求解． 【详解】解：在中，随的增大而减小， ， 函数图象在二、四象限， ， ， 函数的图象在一、三象限， 故选：B． 9．（24-25八年级下·河北唐山·期中）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，再结合直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象，可得，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， 如图，直线为第一、第三象限的角平分线组成的图象， ∴， ∴的值可以为：， ∴选项C符合题意． 故选：C． 题型四：判断正比例函数图像上的点 将这个点的坐标代入正比例函数解析式中，若等式两边的值相等，则该点在正比例函数图像上. 10．（25-26八年级上·安徽马鞍山·期中）已知正比例函数经过点和，则x的值为（   ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的解析式与待定系数法，解题的关键是利用函数图象上的点求出比例系数． 先将已知点代入正比例函数求出的值，再将另一点代入函数求解． 【详解】解：正比例函数经过点， 将代入得：，解得， 则函数解析式为， 又函数经过点， 将代入解析式得：，解得． 故选：D． 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·期中）已知正比例函数，则下列各点在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的图象与性质，只需将各点的坐标代入函数解析式，进行验证是否满足方程，即可作答． 【详解】解：A、当时，，与点的纵坐标一致，故在图象上； B、当时，，故点不在图象上； C、当时，，故点不在图象上； D、当时，，故点不在图象上； 故选：A． 12．（24-25八年级下·甘肃陇南·期末）若点A在函数第一象限的图象上，且点A到原点O的距离为4，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了正比例函数的性质和勾股定理．设点A，根据点A到原点O的距离为4得到，求出，即可得到答案． 【详解】解：∵点A在函数第一象限的图象上， ∴可设点A， ∵点A到原点O的距离为4， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴点A的坐标为， 故选：C 题型五：根据正比例函数解析式求其性质 13．（24-25八年级下·云南德宏·期末）已知正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．图象是一条射线 B．y随x的增大而减小 C．图象必经过点 D．图象经过第二、三、四象限 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的图象及性质，根据正比例函数的图象及性质逐项判断即可． 【详解】解：A、正比例函数的图象是一条直线，故本选项的结论错误； B、y随x的增大而增大，故本选项的说法错误； C、当时，， ∴图象必经过点，故本选项的说法正确； D、图象经过第一、三象限，故本选项的说法错误． 故选：C 14．（24-25八年级下·云南昆明·期中）关于函数，下列结论正确的是（   ） A．当时， B．随的增大而增大 C．图象经过第一、三象限 D．图象经过点 【答案】A 【分析】本题主要考查正比例函数的性质，根据正比例函数的性质分析各选项的正误即可． 【详解】解：A．当时，中为正数，必为负数，故，故此选项正确，符合题意； B．函数的，因此随的增大而减小，故此选项错误，不符合题意； C．当时，一次函数图象经过第二、四象限，而非第一、三象限，故此选项错误，不符合题意； D．将代入函数得，与点不符，故此选项错误，不符合题意； 故选：A． 15．（21-22八年级·全国·假期作业）已知正比例函数，下列结论正确的是（　　　） A．图象是一条射线 B．图象必经过点（-1，2） C．图象经过第一、三象限 D．随的增大而减小 【答案】D 【分析】根据正比例函数的图象和性质逐一判断即可． 【详解】解：A．正比例函数的图象是一条直线，故A错误； B．当时，，∴图象不经过点（-1，2），故B错误； C．∵，∴图象经过第二、四象限，故C错误； D．∵，∴随的增大而减小，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查的是正比例函数的图象和性质． 题型六：根据正比例函数图像判断比例系数的大小关系 16．（上海市市北初级中学北校2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题）如图，三个正比例函数的图像分别对应的解析式是：①，②，③，下列用“”表示的不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正比例函数的图象与性质，在图中画出直线，得出此直线与三个正比例函数图象的交点，再根据它们的位置关系即可解决问题．熟知正比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：作直线，如图所示： 则点，点，点， 结合三个点的位置可知，． 故选：B． 17．（河南省驻马店市泌阳县2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题）如图表示光从空气斜射入水中入水前与入水后的光路图，若按如图建立平面直角坐标系，并设入水前与入水后光线所在直线的表达式分别为，，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数中值的大小比较，解题的关键是作直线与已知直线产生交点，将值转为交点的纵坐标．作直线与两直线分别交于A，B两点，将值的大小比较转化为A，B两点的纵坐标大小比较． 【详解】如下图所示，作直线与两直线分别交于A，B两点，易得，， 由图知，，即． 故选：A． 18．（安徽省合肥市第三十八中学2025--2026学年上学期八年级数学期中试卷）如图，三个函数图像分别对应的表达式是：①；②；③．则，，的大小关系是___________．（用连接） 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的图像与性质，解题的关键是根据正比例函数图像经过的象限判断系数的正负，再通过直线靠近y轴的程度判断系数绝对值的大小，进而比较系数大小． 根据正比例函数的图像特征：图像过第一、三象限时，过第二、四象限时；直线越靠近y轴，|k|越大．先判断、、的正负，再比较负数的绝对值大小，最终确定三者的大小关系． 【详解】解：∵ 正比例函数的图像特征为： 图像过第一、三象限时，；图像过第二、四象限时，； 直线越靠近轴，|k|越大． ∴ 由图像可知：①过第一、三象限，故； ②③过第二、四象限，故，； ②比③更靠近轴，故， 负数比较大小，绝对值大的数更小，故． 综上，． 故答案为：． 题型七：判断正比例函数图像通过象限 19．（24-25九年级上·广西玉林·期末）已知正比例函数，则它经过的象限是（   ） A．第二、四象限 B．第一、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， 故选：A． 20．（2023八年级下·全国·专题练习）正比例函数的图象经过（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】B 【分析】根据正比例函数中k的符号即可确定正比例函数的图象经过的象限． 【详解】解：正比例函数中， 因此图象经过第一、三象限， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的性质，熟记“当时，正比例函数的图象经过第二、四象限；当时，正比例函数的图象经过第一、三象限”是解决问题的关键． 21．（24-25八年级下·江西宜春·期末）若函数是正比例函数，则函数图象经过________象限． 【答案】一、三 【分析】本题考查了正比例函数的性质，根据正比例函数的定义得到，，解得，，由此即可求解． 【详解】解：函数是正比例函数， ∴， 解得，， ∴， ∴正比例函数解析式为， ∴函数图象经过第一、三象限， 故答案为：一、三 ． 题型八：已知正比例函数图像经过象限求其参数 22．（24-25八年级下·吉林辽源·期末）已知正比例函数的图象经过二、四象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的图象，根据正比例函数的图象经过第二、四象限的条件，确定比例系数的符号，进而求解的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过二、四象限， ∴， 解得． 故选：C． 23．（20-21八年级上·上海金山·期中）若函数是正比例函数，且图像经过一、三象限，则_______． 【答案】 【分析】本题考查正比例函数的定义与性质，一元一次不等式，掌握知识点是解题的关键． 根据自变量的次数等于1，系数大于0，列式求解即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数，且图像经过一、三象限， ∴且， 即且， ∴． 故答案为：． 24．（24-25八年级下·云南昆明·期中）已知正比例函数． (1)若点在它的图象上，求正比例函数的解析式及的值； (2)若函数图象经过第二、四象限，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了求正比例函数的解析式、正比例函数的性质、解一元一次不等式，熟练掌握正比例函数的性质是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据正比例函数的性质可得，求解即可． 【详解】（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴正比例函数的表达式为． （2）解：∵的图象经过第二、四象限， ∴， ∴． 题型九：比较正比例函数中函数值的大小 25．（24-25八年级下·云南曲靖·期末）已知函数图象上存在两点，，则（   ） A． B． C． D．a、b大小无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了正比例函数图象的性质，根据解析式可得y随x增大而增大，再由即可得到答案． 【详解】解：∵正比例函数解析式为， ∴y随x增大而增大， ∵点，在正比例函数的图象上，且， ∴， 故选：A． 26．（24-25八年级下·黑龙江黑河·期末）、是正比例函数图象上的两点，下列判断中，正确的是（    ） A． B． C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】根据正比例函数解析式判断增减性，再结合选项判断即可． 【详解】解：∵正比例函数中，比例系数， ∴随的增大而增大， 选项A、B未给出与的大小关系，无法判断与的大小，因此A、B错误； 当时，根据函数增减性可得，因此C正确，D错误． 27．（25-26八年级上·浙江台州·期末），，是正比例函数上的三个点，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的性质． 先根据得到正比例函数中，随的增大而减小，进而根据各点纵坐标判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴正比例函数中，随的增大而减小， ∵， ∴． 故选：C． 题型十：根据正比例函数的增减性求参数 28．（25-26八年级上·广东深圳·期中）在正比例函数中，函数值y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的m的值：_______． 【答案】2（答案不唯一，即可） 【分析】根据正比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数值y随x的增大而增大，解答即可． 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据正比例函数的性质，当比例系数大于0时，函数值y随x的增大而增大， 由， 故， 解得， 取， 故答案为：2（答案不唯一，即可）． 29．（24-25八年级下·北京·期中）已知正比例函数满足随增大而减小，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题主要考查正比例函数图象的性质．理解直线所在的位置与k的符号有直接的关系是解题的关键．当时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小． 根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式求解即可． 【详解】解：∵正比例函数中，y的值随自变量x的值增大而减小， ∴，解得． 故答案为：． 30．（24-25八年级下·辽宁盘锦·期中）若是正比例函数，且y随x的增大而减小，则m的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，解不等式，根据题意得，进行计算即可得；掌握正比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵是正比例函数，且y随x的增大而减小， ∴， 解得，． 故答案为：． 题型十一：画正比例函数图像 31．（24-25八年级下·福建厦门·期中）（1）在下图中画出的图象． （2）若点在函数图象上，求这个点的坐标． 【答案】（1）作图见解析；（2） 【分析】本题考查的是画正比例函数的解析式，正比例函数的性质，掌握“利用描点法画函数图象”是解本题的关键． （1）先列表，再描点，连线即可； （2）把代入函数解析式求m，再代入坐标即可． 【详解】解：列表： x 0 1 y 0 2 描点，连线如图 ； （2）解：当点在图象上， 则 解得：， 把代入点的坐标得， 所以这个点的坐标为． 32．（23-24八年级上·广西梧州·月考）我们知道正比例函数的图像是一条直线，又因为“两点确定一条直线”，从而我们把画正比例函数图像简化成“定两点，画图像”的简易方法，下面就是用这种简易方法画正比例函数和图像的过程．请你回答下列问题． (1)列表：把下表补充完整为： …… … … … (2)描点并连线得函数图像： 【答案】(1)补充表格见解析 (2)作图见详解 【分析】（1）当时，分别代入和求得对应的函数值，当时，分别代入和求得对应的函数值，然后将对应的函数值填入表格即可； （2）将点和在直角坐标系中描出并连接可得正比例函数的图像，将点和在直角坐标系中描出并连接可得正比例函数的图像． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，，， ∴表格补充完整如下： …… … … … （2）描点并连线得，如图所示：      【点睛】本题考查正比例函数的图像，函数图像上点的坐标特征，函数图像上点的坐标适合解析式是解题的关键． 33．（23-24八年级下·江西南昌·月考）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画正比例函数图象，正比例函数的性质； （1）根据题意画出三个正比例函数的图象，即可求解； （2）根据正比例函数的性质结合图象写出3条函数的图像特征即可求解． 【详解】（1）解：列表如下， … … … … … … … … 三个函数的大致图象，如图所示， （2）性质1，三个函数的函数值都随着的增大而增大； 性质2，三个函数的图象都经过； 性质3，三个函数的图象都经过一、三象限， 题型十二：与正比例函数有关的平移问题 34．（24-25八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，则平移后的图象不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象与系数的关系，先由“左加右减”的平移规律求出正比例函数的图象向右平移一个单位后的解析式，再根据一次函数图象与系数的关系即可求解． 【详解】解：将正比例函数的图象向右平移一个单位长度，得到， ，， 平移后的图象经过一，三，四象限，不经过第二象限， 故选：B． 35．（24-25八年级下·山东聊城·期末）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向左平移个单位长度后，图象经过点，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的平移，以及正比例函数图象上点的坐标特征，根据正比例函数平移的规律，向左平移m个单位后的解析式为．将点代入解析式即可求解m的值． 【详解】原函数向左平移m个单位后，解析式变为． ∵平移后的图象经过点， ∴将，代入，得方程： 解得：． 故选A． 36．（24-25八年级上·上海普陀·期末）定义：如果函数图像上的一个点向左平移个单位，再向上平移个单位后仍在这个函数图像上，我们称这个函数是“可回旋”函数，称为这个函数的“可回旋单位”．如果是“可回旋”函数，那么这个函数的“可回旋单位”是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的平移，根据过点，利用点的平移规则，求出经过平移后的点的坐标，代入中，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴经过点， 点向左平移个单位，再向上平移个单位后得到， 由题意，也在直线上， ∴， 解得：； 故答案为：． 题型十三：与正比例函数有关的最值问题 37．（23-24八年级下·全国·课后作业）当时，正比例函数的最大值是___________，最小值是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握性质，根据，结合函数解析式得出当时，正比例函数有最大值，当时，正比例函数有最小值，然后求出结果即可． 【详解】解：∵正比例函数中， ∴y的值随x值的增大而减小， 又∵， ∴当时，正比例函数有最大值，为， 当时，正比例函数有最小值，为． 故答案为：；． 38．（2023·江苏镇江·二模）正比例函数，当时，函数y的最大值和最小值之差为4，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，熟知正比例函数的增减性是解题的关键．先根据判断出函数的增减性，再把与代入一次函数，由函数y的最大值和最小值之差为4求出k的值即可． 【详解】解：∵正比例函数， ∴y随x的增大而减小， ∵当时，，当时，， ∵当时，函数y的最大值和最小值之差为4， ∴，解得． 故答案为：． 39．（25-26九年级上·辽宁铁岭·月考）当时，函数的最大值与最小值的和为______． 【答案】2 【分析】此题主要考查了一次函数在自变量限定范围内的最值，需利用一次函数增减性求解，掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 由函数解析式可知，y随x的增大而减小，所以当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，最后将最大值与最小值相加即可． 【详解】解：， y随x的增大而减小， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为； 当时，函数的最大值与最小值的和为． 故答案为：2． 1．（2025八年级下·全国·专题练习）已知函数，，，． (1)在同一坐标系内画出函数的图象； (2)探索发现： 观察这些函数的图象可以发现：随着的增大，直线与y轴的位置关系有何变化？ (3)灵活运用： 已知正比例函数与在同一坐标系中的图象如图所示，则与的大小关系为 ． 【答案】(1)见详解 (2)随着的增大，直线与y轴的夹角减小 (3) 【分析】本题考查了画出正比例函数的图象，以及正比例函数的性质，正确画出图象是解题的关键． （1）由两条直线的解析式可知其图象均过原点，再分别令求出的值，描出各点，根据两点确定一条直线画出函数图象； （2）比较分析可得答案． （3）由（2）分析的规律即可判断． 【详解】（1）解：依题意，令时，则，，，． 如图： （2）解：观察这些函数的图象可以发现，随着的增大直线与轴的夹角越小． （3）解：由（2）规律可知，， 由图可知， ∴ 故答案为：． 2．（25-26八年级上·江苏常州·月考）已知关于x的正比例函数． (1)当m取何值时，函数图象经过第一、三象限？ (2)当m取何值时，y的值随着x值的增大而减小？ 【答案】(1)当时，函数图象经过第一、三象限 (2)当时，y的值随着x值的增大而减小 【分析】本题考查正比例的图象与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）根据正比例函数比例系数大于0时图象经过第一、三象限； （2）根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限； ∴， 解得：； ∴当时，图象经过一、三象限； （2）解：∵正比例函数中y随着x的增大而减小； ∴， 解得：； ∴当时，y随着x的增大而减小． 3．（25-26八年级上·江苏盐城·月考）已知，且是关于的正比例函数． (1)求与的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中，画出该正比例函数的图像； (2)若，求函数的最小值． 【答案】(1)，图像见解析 (2) 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义与正比例函数的性质应用，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． （1）先根据正比例函数表达式的定义，列出关于的方程，且，确定函数表达式为，然后画出图像； （2）依据正比例函数的增减性“系数为负时，随的增大而减小”，在的条件下，找到的最大值为，代入函数求出的最小值为． 【详解】（1）解：，且是关于的正比例函数， ，， ， ， 函数的图像如下图： ． （2）中，随的增大而减小，且， 当时，函数有最小值，最小值为． 答：函数的最小值． 4．（25-26八年级上·甘肃张掖·期中）已知函数． (1)当为何值时，此函数是正比例函数？ (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1)当，时，函数是正比例函数； (2)． 【分析】本题考查了正比例函数的定义，求正比例函数值． （1）根据正比例函数的定义，要求函数形式为（），即无常数项且x的指数为1，系数不为0计算即可； （2）将代入函数解析式计算即可． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴常数项，且x的指数，且系数． 即且且， 即，， ∴当，时，函数是正比例函数； （2）解：当，时，， 当时，． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读与思考：阅读下列材料，完成相应的任务． 探索函数图象与性质之间的关系图象与性质是函数研究的主要内容，从函数的数量特征和图象的几何特征两个角度分析函数的性质，是研究函数的基本思路和方法．例如，在研究正比例函数的图象与性质时，可以用函数的数量特征解释相应的图象几何特征，分析如下： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征      图象经过①_______ 由表达式可知，当时，； 图象经过第②_______象限 因为，且，所以当时，，当时，y___③，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而④_______． …… 类似地，我们可以用这种思路与方法研究其他函数的图象与性质． 任务： (1)上述材料中横线上空缺的内容依次为：①_______；②_______；③_______；④_______ (2)如下表所示，小华模仿上述材料画出函数的图象．请你完成填空并证明． 图象 图象的几何特征 证明过程      图象关于_______对称 【答案】(1)原点（或）；一、三；；增大 (2)y轴；证明见解析 【分析】本题主要考查正比例函数的图像和性质，利用数形结合的思想得到函数的性质是解题的关键． （1）根据函数的图像即可确定函数的性质，填空即可； （2）利用数形结合思想，得出函数的性质即可． 【详解】（1）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 函数的数量特征    图象经过原点 由表达式可知，当时，； 图象经过第一、三象限 因为，且，所以当时，，当时，，即当时，x，y同号； 从左往右图象是上升趋势 设点，是该函数图象上的点（其中），所以，， 因为，所以， 所以， 即，所以， 所以，y的值随x值的增大而增大． …… 故答案为：原点（或）；一、三；；增大； （2）解：如表所示： 图象 图象的几何特征 证明过程    图象关于y轴对称 设点，是该函数图像上的两点，其中， 所以，， 因为，所以， 则， 所以，即． 6．（25-26八年级上·全国·课后作业）已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点，点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较的大小． 【答案】(1) (2)点不在函数图象上，点在函数图象上 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A或点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A或点是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数图象上； 当时，， ∴点在这个函数图象上； （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 7．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）已知关于的正比例函数的图象过第二、四象限． (1)求的值； (2)若，是图象上的两点，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了正比例函数的定义、图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题关键． （1）先根据正比例函数的定义可得，，从而可得，，再根据正比例的图象可得，由此即可得； （2）先求出正比例函数的解析式，再将点，代入计算即可得． 【详解】（1）解：∵函数时正比例函数， ∴，， ∴，， 又∵这个函数的图象过第二、四象限， ∴， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，， ∴， ∴正比例函数的解析式为， ∵，是图象上的两点， ∴，， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $