25.2 正比例函数（题型专练）数学新教材沪教版五四制八年级下册

25.2 正比例函数 题型一 正比例函数的识别 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 2．（23-24八年级·上海·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级·上海·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 题型二 根据正比例函数定义求参数 1．（23-24八年级·上海·月考）已知是关于x的正比例函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．任何实数 2．（23-24八年级·上海·月考）若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（八年级上·上海·月考）若函数是正比例函数，则的值为 ． 4．（22-23八年级上·上海·期中）已知函数，当 ．时，这个函数为正比例函数． 题型三 根据已知条件求正比例函数解析式 1．（八年级·上海·月考）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 ． 3．（八年级·上海静安·课后作业）正比例函数的图像过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是 ． 4．（八年级上·上海徐汇·月考）已知与的函数如图所示，则与的函数解析式为 . 题型四 正比例函数经过的象限问题 1．（2023·上海普陀·二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（    ） A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小 2．（八年级上·上海长宁·期末）关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点（﹣1，﹣2）在这个图象上 B．函数值y随自变量x的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 3．（23-24八年级上·上海·月考）若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是 ． 4．（22-23八年级上·上海·期中）已知正比例函数的图象经过一、三象限，且经过点，则 ． 题型五 正比例函数的增减性 1．（八年级上·上海·月考）在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx，y的值随x值的增大而减小的图像是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·上海·课后作业）已知正比例函数的图象上的两点，当时，有，那么的取值范围是 ． 3．（20-21八年级·上海·期末）写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 题型一 利用正比例函数图象读取信息 1．（八年级·上海·期末）如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（    ）    A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m 2．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是 ． 3．（八年级上·上海金山·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 4．（八年级·上海·课后作业）如图，直线l是某正比例函数的图象，点，是否在该函数的图象上？ 题型二 正比例函数图像的绘制 1．（22-23八年级·上海·假期作业）在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）；（2）；（3）；（4）．    2．（23-24八年级·上海·月考）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 3．（23-24八年级·上海·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 4．（23-24八年级·上海·课后作业）如图是某产品的销售成本（万元）关于销售量x（台）的函数关系图象，已知该产品的销售收入（万元）与销售量x（台）之间满足正比例函数关系，当且仅当该产品销售量超过4台时，该产品才开始赢利．请根据以上信息在下图中补全关于x的函数关系图象． 1．（23-24八年级上·上海·月考）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 2．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 3．（八年级上·上海杨浦·期中）如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．    4．（23-24八年级·上海·期中）在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称为点M和点N的k系和点． 例如，已知，，点M和点N的2系和点为．已知，． (1)点A和点B的3系和点的坐标为__________； (2)已知点，若点B和点C的k系和点为点． ①求m的值； ②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，则k的值为__________； ③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 25.2 正比例函数 题型一 正比例函数的识别 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列关系中，属于成正比例函数关系的是（    ） A．正方形的面积与边长 B．从甲地到乙地，所用的时间和行驶速度 C．圆的面积与它的半径 D．等边三角形的周长和边长 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数定义的应用，根据各个选项中的说法，利用学过的数学知识得到变量之间的关系式，判断它们的函数关系是否是正比例函数关系即可得到答案．读懂题意，判断变量之间是否满足正比例函数关系是解决问题的关键． 【详解】解：A、正方形的面积与边长的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； B、从甲地到乙地距离固定为，所用的时间和行驶速度的关系是，不是正比例关系，故选项不符合题意； C、圆的面积与它的半径的关系是，不是正比例函数关系，故选项不符合题意； D、等边三角形的周长和边长的关系是，是正比例函数关系，故选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级·上海·期末）下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义：形如为常数且的函数是正比例函数，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，是一次函数但不是正比例函数，故此选项不符合题意； B、，不是正比例函数，故此选项不符合题意； C、，是正比例函数，故此选项符合题意； D、，不是正比例函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 3．（23-24八年级·上海·期中）下列函数：①；②；③；④；⑤．其中y是x的正比例函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是正比例函数的识别，形如，这样的函数是正比例函数，根据定义逐一分析即可． 【详解】解：是正比例函数； 当时，是正比例函数； 是一次函数； 不是正比例函数， 不是正比例函数． 故是正比例函数的有①③，共2个， 故选：B． 4．（23-24八年级上·上海金山·期中）下列问题中，两个变量成正比例的是（　　） A．一个人的体重和年龄 B．圆的周长和直径 C．车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间 D．周长一定时，长方形的长和宽 【答案】B 【分析】本题考查正比例的概念，根据正比例的定义，分别分析判断即可．理解并掌握正比例的定义（两个量的比值一定，则这两个量成正比关系）是本题的关键． 【详解】解：一个人的体重和年龄不成正比例， ∴A不符合题意； 圆的周长直径（一定）， ∴圆的周长和直径成正比例， ∴B符合题意； 速度时间路程（一定）， ∴车辆行驶的路程一定时，行驶的速度和时间成反比例， ∴C不符合题意； （长宽）长方形的周长（一定）， ∴周长一定时，长方形的长和宽不成正比例， ∴D不符合题意． 故选：B． 题型二 根据正比例函数定义求参数 1．（23-24八年级·上海·月考）已知是关于x的正比例函数，则m的值为（    ） A． B．2 C． D．任何实数 【答案】C 【分析】本题考查正比例函数的定义，根据形如的函数是正比例函数列关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的正比例函数， ∴，且， 解得， 故选：C． 2．（23-24八年级·上海·月考）若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的知识，解题的关键是掌握正比例函数的定义，，即可． 【详解】∵函数是正比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：B． 3．（八年级上·上海·月考）若函数是正比例函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据正比例函数的定义可得关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】由题意得：，， 解得：． 故答案为：． 【点睛】解答本题的关键是掌握正比例函数的定义条件：正比例函数的定义条件是：为常数且，自变量次数为． 4．（22-23八年级上·上海·期中）已知函数，当 ．时，这个函数为正比例函数． 【答案】2 【分析】根据正比例函数的定义列式求解即可． 【详解】解：由题意得 且， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，正比例函数的定义是形如（k是常数，）的函数，其中k叫做比例系数． 题型三 根据已知条件求正比例函数解析式 1．（八年级·上海·月考）已知正比例函数的图象经过点（1，－2），则正比例函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用待定系数法把（1，-2）代入正比例函数y=kx中计算出k即可得到解析式． 【详解】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，将（1，－2）代入，得：， ∴正比例函数的解析式为. 故选B. 2．（23-24八年级上·上海黄浦·期中）已知是的正比例函数，且当时，；那么关于的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】由题意可设，把，的值代入该函数解析式，即可求解． 【详解】解：由题意可设． 将，代入可得， 解得， ∴y关于x的函数解析式是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，利用待定系数法求得解析式是关键． 3．（八年级·上海静安·课后作业）正比例函数的图像过A点，A点的横坐标为3．且A点到x轴的距离为2，则此函数解析式是 ． 【答案】或 【分析】根据题意确定A点纵坐标是2或者-2，设出正比例函数解析式，然后分情况将A点坐标代入解析式即可求出． 【详解】根据题意可得A点坐标或， 设正比例函数解析式为：y=kx， 代入解析式可得：k=或， ∴函数解析式是或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了正比例函数解析式，根据题意确定点A的坐标是解题的关键． 4．（八年级上·上海徐汇·月考）已知与的函数如图所示，则与的函数解析式为 . 【答案】. 【分析】从图象可知，所求函数为正比例函数，故可设函数解析式为：y=kx，把点（-7，2）代入解析式求出k的值即可得解. 【详解】从图象可知，所求函数为正比例函数， 设函数解析式为y=kx， ∵函数图象过点（-7，2）， ∴-7k=2， 解得，k=-， 所以，y与x的函数解析式为. 故答案为. 【点睛】此题主要考查了待定系数法求正比例函数关系式，关键是设出关系式，代入x，y的值求k． 题型四 正比例函数经过的象限问题 1．（2023·上海普陀·二模）已知函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限，下列说法中正确的是（    ） A． B．图像一定经过点 C．图像是双曲线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【分析】根据正比例函数的图象与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：函数（k是常数，）的图像经过第一、三象限， A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. 当时，，则图像一定经过点，故该选项正确，符合题意； C. 图像是直线，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，的值随的值增大而增大，时，的值随的值增大而减小故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的图象与性质是解题的关键． 2．（八年级上·上海长宁·期末）关于正比例函数y=2x的图象，下列叙述错误的是（　　） A．点（﹣1，﹣2）在这个图象上 B．函数值y随自变量x的增大而减小 C．图象关于原点对称 D．图象经过一、三象限 【答案】B 【分析】分别利用正比例函数的性质分析得出即可． 【详解】A．当x=-1时，y=2×（-1）=-2，所以点（-1，-2）在这个图象上，此选项正确； B．由k=2＞0知函数值y随自变量x的增大而增大，此选项错误； C．正比例函数图象都关于原点对称，此选项正确； D．由k=2＞0知图象经过一、三象限，此选项正确； 故选B． 【点睛】此题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． 3．（23-24八年级上·上海·月考）若正比例函数经过第一、三象限，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，正比例函数的图象经过第一、三象限，则得到，解不等式即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（22-23八年级上·上海·期中）已知正比例函数的图象经过一、三象限，且经过点，则 ． 【答案】1 【分析】先根据正比例函数的性质求出k的取值范围，再把P点坐标代入求解即可． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过一、三象限， ∴． 把代入，得 ， 解得或（舍去）． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于（k为常数，），当时，的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当时，的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 题型五 正比例函数的增减性 1．（八年级上·上海·月考）在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx，y的值随x值的增大而减小的图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的性质判断即可． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴选项B，选项D不符合题意， ∵y的值随x值的增大而减小， ∴选项C符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了正比例函数图象与系数的关系：对于y=kx（k为常数，k≠0），当k＞0时， y=kx的图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时， y=kx的图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 2．（24-25八年级上·上海·课后作业）已知正比例函数的图象上的两点，当时，有，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由当时，有，可得出随的增大而增大，结合函数的性质可得出，解之即可得出的取值范围． 【详解】解：∵正比例函数的图象上的两点，当时，有， ∴随的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 3．（20-21八年级·上海·期末）写出一个y随x的增大而减小的正比例函数的表达式 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查正比例函数的性质．根据正比例函数，当时，函数值随的值增大而减小写出表达式即可． 【详解】解：设一个正比例函数为， ∵当时，函数值随的值增大而减小， ∴写出一个函数值随的值增大而减小的正比例函数为（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 4．（23-24八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数，y的值随x的值的增大而增大，那么m的取值范围是 【答案】/ 【分析】本题考查正比例函数的性质，根据正比例函数，当时，y的值随x的值的增大而增大；当时，y的值随x的值的增大而减小解答即可，也是解题关键． 【详解】解：∵正比例函数，y的值随x的值的增大而增大， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型一 利用正比例函数图象读取信息 1．（八年级·上海·期末）如图，正比例函数y＝kx，y＝mx，y＝nx在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则比例系数k，m，n的大小关系是（    ）    A．n＜m＜k B．m＜k＜n C．k＜m＜n D．k＜n＜m 【答案】A 【分析】根据函数图象所在象限可判断出k＞0，m＞0，n＜0，再根据直线上升的快慢可得k＞m，进而得到答案． 【详解】解：∵正比例函数y＝kx，y＝mx的图象在一、三象限， ∴k＞0，m＞0， ∵y＝kx的图象比y＝mx的图象上升得快， ∴k＞m＞0， ∵y＝nx的图象在二、四象限， ∴n＜0， ∴k＞m＞n， 故选：A． 【点睛】本题考查了正比例函数图象，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线， 当k＞0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k＜0时，图象经过二、四象限，y随x的增大而减小． 2．（22-23八年级上·上海青浦·期中）已知正比例函数图像上点P的横坐标为 ，点P关于x轴对称点为Q，点Q、M在同一个正比例函数的图像上，的面积为12，则点M的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了待定系数法求正比例函数解析式，坐标与图形的性质，数形结合是解答本题的关键．先求出点P的坐标，再求出点Q的坐标，进而求出直线解析式，设，然后根据的面积为12列方程求解即可． 【详解】解：∵当时，， ∴． ∵点P关于x轴对称点为Q， ∴． 设解析式为， 把代入得，， ∴， ∴． 设， ∵的面积为12， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∴点M的坐标是或 故答案为：或． 3．（八年级上·上海金山·期中）已知如图，在平面直角坐标系中，点A（3，7）在正比例函数图像上． （1）求正比例函数的解析式． （2）点B（1，0）和点C都在x轴上，当△ABC的面积是17.5时，求点C的坐标． 【答案】（1）；（2）或． 【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可得； （2）如图（见解析），过点作轴于点，从而可得，设点的坐标为，从而可得，再根据三角形的面积公可求出的值，由此即可得出答案． 【详解】解：（1）设正比例函数的解析式为， 将点代入得：，解得， 则正比例函数的解析式为； （2）如图，过点作轴于点， ， ， 设点的坐标为，则， 的面积是， ，即， 解得或， 故点的坐标为或． 【点睛】本题考查了求正比例函数的解析式、点坐标，熟练掌握待定系数法是解题关键． 4．（八年级·上海·课后作业）如图，直线l是某正比例函数的图象，点，是否在该函数的图象上？ 【答案】点与点都在该函数图象上． 【分析】根据题意先设直线l的解析式为y=kx（k≠0），再把（-1，3）代入求出k的值，把A、B两点代入进行检验即可． 【详解】解：设直线l的解析式为y=kx（k≠0）， ∵直线过点（-1，3）， ∴3=-k，解得k=-3， ∴直线l的解析式为y=-3x． ∵当x=-4时，y=12；当x=3时，y=-9， ∴点A（-4，12），B（3，-9）在该函数的图象上． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟练掌握一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 题型二 正比例函数图像的绘制 1．（22-23八年级·上海·假期作业）在同一直角坐标平面内画出下列函数图像． （1）；（2）；（3）；（4）．    【答案】见解析 【分析】根据两点法画出函数图像即可求解． 【详解】解：如图所示，同一直角坐标平面内画出下列函数图像．    【点睛】本题考查了画正比例函数图像，数形结合是解题的关键． 2．（23-24八年级·上海·月考）已知三个函数的解析式分别为，，． (1)如图，请在同一平面直角坐标系中画出三个函数的大致图象，并标记好函数； (2)仔细观察画出的函数图象，写出3条函数的图象特征． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了画正比例函数图象，正比例函数的性质； （1）根据题意画出三个正比例函数的图象，即可求解； （2）根据正比例函数的性质结合图象写出3条函数的图像特征即可求解． 【详解】（1）解：列表如下， … … … … … … … … 三个函数的大致图象，如图所示， （2）性质1，三个函数的函数值都随着的增大而增大； 性质2，三个函数的图象都经过； 性质3，三个函数的图象都经过一、三象限， 3．（23-24八年级·上海·期中）已知y是x的正比例函数，且当时，． (1)求这个正比例函数的解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)若点，在该函数图象上，试比较，的大小． 【答案】(1)，函数图象见解析 (2) 【分析】本题考查待定系数法及正比例函数的图象和性质，熟知待定系数法及正比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法可求出正比例函数的解析式，再按要求画出函数图象即可． （2）将和分别代入函数关系式即可解决问题． 【详解】（1）设正比例函数的解析式为， 则， 解得， 所以这个正比例函数的解析式为． 函数图象如图所示， （2）将代入得， ； 将代入得， ； 因为， 所以． 4．（23-24八年级·上海·课后作业）如图是某产品的销售成本（万元）关于销售量x（台）的函数关系图象，已知该产品的销售收入（万元）与销售量x（台）之间满足正比例函数关系，当且仅当该产品销售量超过4台时，该产品才开始赢利．请根据以上信息在下图中补全关于x的函数关系图象． 【答案】见解析 【分析】本题考查正比例函数的实际应用，根据正比例函数的性质，图象过原点，结合当且仅当该产品销售量超过4台时，该产品才开始赢利，得到图象过点，画出图象即可． 【详解】解：∵销售收入（万元）与销售量x（台）之间满足正比例函数关系， ∴图象过原点， ∵当且仅当该产品销售量超过4台时，该产品才开始赢利， ∴图象过点；画图如下： 1．（23-24八年级上·上海·月考）已知正比例函数经过点A，点A在第四象限，过点A作轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且的面积为3． (1)求正比例函数的解析式； (2)在x轴上能否找到一点P，使的面积为5．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由 (3)在（2）的条件下，是否在正比例函数上存在一点M，使得若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由 【答案】(1)正比例函数的解析式是 (2)P点坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个． （1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式； （2）利用三角形的面积公式求得，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标． （3）设点，当或时，分点M在线段上与在线段延长线两种情况，由列方程，从而可得点M的坐标． 【详解】（1）解：∵点A的横坐标为3，且的面积为3 ∴， 解得，， ∴点A的坐标为， ∵正比例函数经过点A， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式是； （2）解：存在． 设， ∵的面积为5，点A的坐标为， ∴， ∴或， ∴P点坐标为或． （3）解：设，如图， ①点在上时， 当时，， 又, 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； ②点在的延长线上时， 当时，， 若时，， ∴， 解得，， ∴， ∴点的坐标为； 当点时，， 若时，同理可得，点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 2．（22-23八年级上·上海黄浦·期中）已知：如图，直线上有一点，直线上有一点． (1)求点P和点Q的坐标（其中点Q的坐标用含k的代数式表示）． (2)过点P分别作轴，轴，过点Q分别作轴，如果的面积等于的面积的两倍，请求出k的值． (3)在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）将点代入求得，即可求得点的坐标，将代入即可求得的坐标， （2）根据，，求得面积根据题意列出方程，即可求解； （3）根据（2）的结论，以及列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上 ∴， ∴, ∵点在直线 ∴ 解得， ∴， （2）∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，，，， ， ， ∵的面积等于的面积的两倍 ∴， 即， 解得，则， （3）当时，，则，的解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴当时，， ∴， 当时，， ∴; 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了正比例函数的性质，坐标与图形，分类讨论是解题的关键． 3．（八年级上·上海杨浦·期中）如图，平面直角坐标系中，直线l经过原点O和点A（6，4），经过点A的另一条直线交x轴于点B（12，0）． （1）求直线l的表达式； （2）求△AOB的面积； （3）在直线l上求点P，使S△ABP＝S△AOB．    【答案】（1）；（2）24；（3）或 【分析】（1）直线l是正比例函数的图象，用待定系数法即可求得； （2）过点A作AC⊥OB于点C，则可得AC的长度，从而可求得△AOB的面积； （3）设点P的坐标为，分点P在线段OA上和点P在线段OA的延长线上两种情况考虑即可． 【详解】（1）设直线l的解析式为：y=kx，其中k≠0 ∵点A（6，4）在直线y=kx上 ∴6k=4 ∴ ∴直线l的解析式为 （2）过点A作AC⊥OB于点C，如图    ∵A（6，4），B（12，0） ∴AC=4，OB=12 ∴ （3））设点P的坐标为 ∵ S△ABP＝S△AOB ∴S△ABP＝8 当点P在线段OA上时，如图所示 ∵ ∴△POB的面积为24-8=16 即 解得：a=4 此时点P的坐标为    当点P在线段OA的延长线上时，如图所示 ∵ ∴△POB的面积为24+8=32 即 解得：a=8 此时点P的坐标为    综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求正比例函数的解析式，图形面积，正比例函数的图象等知识，涉及分类讨论思想． 4．（23-24八年级·上海·期中）在平面直角坐标系中，，，对于任意的实数，我们称为点M和点N的k系和点． 例如，已知，，点M和点N的2系和点为．已知，． (1)点A和点B的3系和点的坐标为__________； (2)已知点，若点B和点C的k系和点为点． ①求m的值； ②横坐标、纵坐标都为整数的点叫做整点，若点D为整点，且三角形BCD的内部（不包括边界）恰有3个整点，则k的值为__________； ③若三角形BCD的面积为14．求点D的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或；③点D的坐标为或． 【分析】本题考查了新定义、求直角坐标系中点的坐标等知识点，准确理解材料是解题关键． （1）根据定义计算即可； （2）①先根据点B和点C的k系和点为点D，列出方程，再根据点D的横坐标等于纵坐标，即可求得； ②由条件得点在一三象限角平分线上，画出图，找到合适的点即可； ③分两种情况讨论，求得当点在第一象限和点在第三象限时，利用三角形面积公式列式计算即可求解． 【详解】（1）解；，， 且，， 点A和点B的3系和点的坐标为． 故答案为：； （2）解：①∵点为和的k系和点， ，． 即． ， ， ， ∴； ②∵， ，， ∵点在一三象限角平分线上，如图， ∴符合条件的点有两个，且坐标分别为，， 或， ∴或， 故答案为：或； ③∵，， ∴的面积为2， 当点在第一象限时，四边形的面积为16， ∴的面积为8， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 当点在第三象限时，四边形的面积为12， ∴的面积为6， ∵， ∴，解得， ∴点D的坐标为； 综上，点D的坐标为或． 2 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $