专题05 圆（复习讲义）（天津专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题05 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 与圆有关的热考题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：圆周角定理 题型二：切线的判定与性质 必备知识 知识1 圆的基本性质 知识2 切线相关 知识3 与圆有关的计算 命题预测 命题透视 1）从命题形式上看，呈现出“模型化、综合化、情境化”的特点，载体多以典型几何图形（垂径图、切割图、双切图）或实际生活场景（摩天轮、拱桥、扇形工件）为主，凸显对圆核心模型迁移能力的考查，兼顾几何直观与逻辑推理的双重素养。 2）从命题内容上看，切线的判定与性质、圆周角定理及其推论、圆与相似/三角函数的综合是历年中考命题的核心区域，圆与坐标系、动点最值的结合则成为区分度拉满的压轴命题热点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 切线的判定与性质 T18 T18 圆周角定理及其推论 T10 T18 T18 T18 圆的综合 T21 T21 T21 T21 T21 命题预测 圆的二轮复习，核心是抓基础、练模型、破综合： · 基础题围绕垂径定理、圆周角、切线判定、圆内接四边形展开，是必拿分点； · 中档题聚焦双切图、中点弧、多结论判断，侧重模型迁移与计算能力； · 压轴题则以圆与相似/三角函数/坐标系/函数的综合为核心，结合动点最值、存在性问题，是拉开差距的关键。 整体命题趋势是淡化偏难怪定理，突出核心性质+基本模型，强调几何直观与逻辑推理的双重素养。 考点一 与圆有关的热考题型 题型一 圆周角定理 1．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为____________； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 【答案】 见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理的推论，等腰三角形的性质，正方形的性质，三角形中位线的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用圆周角定理的推论，正方形的性质确定圆心，再根据全等三角形和等腰三角形的三线合一确定线段的中点，利用网格确定点为线段的中点，则为三角形的中位线，利用一组平行线确定点为线段的中点，证明和，得出，即，最后利用切线的性质和等腰三角形的性质，得出为等腰三角形，再利用等腰三角形的性质得出． 【详解】解：（1）由勾股定理得， 故答案为：； （2）如图所示，点即为所求， 作法：直线PA与射线BC的交点为；取圆与网格线的交点和，连接；取格点，连接，与相交于点；连接并延长，与相交于点，与直线相交于点；连接并延长，与网格线相交于点，连接，与网格线相交于点；连接，与线段的延长线相交于点，则点M，N即为所求． 理由：∵， ∴为圆的直径， ∵为正方形的对角线， ∴, ∴垂直平分线段， ∴点为圆的圆心， ∴， 又， ， ， 平分， ∴点为线段的中点， 由网格可知点为线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴点为线段的中点， ∵， ， ， ∴， 又， ∴， , 即， 延长交于点， ∵， ∴, ， ∴ ∵为圆的切线， ∴， ， , ∴， 即， ∵， ， ∴为等腰三角形， ∴， ∴点即为所求． 2．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为______； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明）______． 【答案】 图见解析，说明见解析 【分析】此题考查了勾股定理、切线的性质等知识，根据题意正确作图是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）作点关于、的对称点、，连接、，分别与、相交于点、，的周长等于的长，等腰三角形的腰长为，当的值最小时，的值最小，此时是切点，由此作图即可． 【详解】（1）由勾股定理可知，， 故答案为： （2）如图，根据题意，切点为；连接并延长，与网格线相交于点；取圆与网格线的交点和格点，连接并延长，与网格线相交于点；连接，分别与，相交于点，，则点，，即为所求．    3．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．    （1）线段的长为________； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】(1) (2)画图见解析；如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求 【分析】（1）在网格中用勾股定理求解即可； （2）取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点M，连接；连接与网格线相交于点G，连接并延长与网格线相交于点H，连接并延长与圆相交于点I，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求，连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，由图可得，根据全等三角形的性质可得和，根据同弧所对圆周角相等可得，进而得到和，再通过证明即可得到结论． 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求； 连接，，过点E作网格线，过点G作网格线，      由图可得：∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴，即， ∴，即， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形，此时点Q即为所求； 故答案为：如图，取与网格线的交点E，F，连接并延长与网格线相交于点G；连接与网格线相交于点H，连接并延长与网格线相交于点I，连接并延长与圆相交于点K，连接并延长与的延长线相交于点Q，则点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图—复杂作图，勾股定理、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是理解题意，灵活运用所学知识是关键． 4．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理，从图中找出EF所在直角三角形的直角边的长进行计算； （Ⅱ）由图可找到点Q，，即四边形EFBQ是正方形，因为，所以，点M在EQ上，BM、BN与圆的交点为直径端点，所以EQ与PD交点为M，通过BM与圆的交点G和圆心O连线与圆相交于H，所以H在BN上，则延长BH与PF相交点即为N． 【详解】解：（Ⅰ）从图中可知：点E、F水平方向距离为3，竖直方向距离为1， 所以， 故答案为：； （Ⅱ）连接，与竖网格线相交于点O，O即为圆心；取格点Q（E点向右1格，向上3格），连接与射线相交于点M；连接与相交于点G；连接并延长，与相交于点H；连接并延长，与射线相交于点N，则点M，N即为所求， 理由如下：连接 由勾股定理算出， 由题意得， 四边形为正方形， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 从而确定了点的位置． 【点睛】本题考查作图，锐角三角函数、圆周角定理，三角形全等的判定及性质，解题的关键是掌握圆周角的定理． 5．（2021·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段的长等于_____； （Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 见解析 【分析】（Ⅰ）根据勾股定理计算即可； （Ⅱ）先将补成等腰三角形，然后构建全等三角形即可． 【详解】解：（Ⅰ）∵每个小正方形的边长为1， ∴， 故答案为：； （Ⅱ）如图，取与网格线的交点D，则点D为BC中点，连接并延长，与半圆相交于点E，连接并延长，与的延长线相交于点F，则OE为中位线，且，连接交于点G，连接并延长，与相交于点P，因为，则点P即为所求． 【点睛】本题主要考查复杂作图能力，勾股定理，中位线定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，掌握以上知识点并与已知图形结合是解决本题关键． 题型二 切线的判定与性质 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 6．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 【答案】(1) (2)3， 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）连接，切线的性质得到，三线合一，求出的度数，圆周角定理求出的度数即可； （2）平行线的性质，结合三角形的外角的性质，得到，直径得到，解，进行求解即可． 【详解】（1）解：连接． 与相切于点， ．又， 平分． ∴． ， ． 在中，， ． （2）由（1）知：． ， ． 为的一个外角， ． 由题意，为的直径， ． 又的半径为3，则：． 在中，， ． 7．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质，切线的性质，解直角三角形，灵活运用相关性质定理是解答本题的关键． （1）根据等边对等角得到，然后利用三角形的内角和得到，然后利用平行线的性质结合圆周角定理解题即可； （2）连接，求出，再在中运用三角函数解题即可． 【详解】（1）为的弦， ．得． 中，， 又， ． 直线与相切于点为的直径， ．即． 又， ． 在中，． ， ． （2）如图，连接． ∵ 直线 与 相切于点 ， ∴ ∵ ∴． ，得． 在中，由， 得． ． 在中，， ． 8．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据半径垂直于弦，可以得到，从而得到，结合已知条件即可得到，根据即可求出； （2）根据，结合，推算出，进一步推算出，在中，，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，半径垂直于弦，    ∴，得． ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：如图，连接． 同（1）得． ∵在中，， ∴． ∴． 又， ∴． ∵与相切于点E， ∴，即． 在中，， ∴． 【点睛】本题考查圆周角定理、切线的性质和直角三角函数，解题的关键是灵活运用相关知识． 9．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由圆周角定理得，由C为的中点，得，从而，即可求得的度数，通过勾股定理即可求得AC的长度； （2）证明四边形为矩形，FD=CE= CB，由勾股定理求得BC的长，即可得出答案． 【详解】（1）∵为的直径， ∴， 由C为的中点，得， ∴，得， 在中，， ∴； 根据勾股定理，有， 又，得， ∴； （2）∵是的切线， ∴，即， ∵，垂足为E， ∴， 同（1）可得，有， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，于是， 在中，由，得， ∴． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的性质，等腰直角三角形的性质，垂径定理，勾股定理和矩形的判定和性质等，解题的关键是利用数形结合的思想解答此题． 10．（2021·天津·中考真题）已知内接于，点D是上一点． （Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小． 【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）． 【分析】（Ⅰ）由圆周角定理的推论可知，，即可推出；由等腰三角形的性质结合三角形内角和定理可求出，从而求出． （Ⅱ）连接，由平行线的性质可知．由圆内接四边形的性质可求出．再由三角形内角和定理可求出．从而由圆周角定理求出．由切线的性质可知．即可求出． 【详解】（Ⅰ）为的直径，   ∴． ∵在中，， ∴； ∵， ∴． ∴． （Ⅱ）如图，连接． ∵， ∴． ∵四边形是圆内接四边形，， ∴． ∴． ∴． ∵是的切线， ∴，即． ∴． 【点睛】本题为圆的综合题．考查圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，圆的内接四边形的性质以及切线的性质．利用数形结合的思想以及连接常用的辅助线是解答本题的关键． 知识1 圆的基本性质 1.垂径定理及推论 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例：如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE，. 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例：如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.. 【小技巧】一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 2.弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 示例：如下图，两 3.圆周角定理及其推论 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 4.圆内接四边形及其性质 1）圆内接四边形：如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 2）圆内接四边形的性质： 1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. 如图，∠1=∠2 知识2 切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 2.性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 判定 1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； 2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； 3）判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA，PB两条线段的长为点P到⊙O切线长（PA，PB与⊙O相切）. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 1．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上． （1）线段的长为______； （2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点 【分析】（1）可利用勾股定理计算线段的长度； （2）先借助网格特点确定的垂直平分线；观察图可知，根据切线的性质，得到圆心在上，则的垂直平分线与的交点即为圆心；再结合的条件，利用圆的相关性质，即可找到符合条件的点M． 【详解】（1）由网格可知，、的水平间距为，竖直间距为， 根据勾股定理得： ； （2）先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点． 2．（2026·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点在格线上，以为直径作半圆，半圆弧的中点为． （1）的度数为________°； （2）若点在圆上，与相交于点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 45 取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 【分析】（1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质解答； （2）先确定圆心O，再确定的中点F，连接，可知是的中位线，可得，然后根据，可得，进而推导出，即． 【详解】解：（1）∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴； （2）如图所示，取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 3．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与网格线相交于点C，D． （1）的大小为________（度）； （2）点P在直径上，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 作点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求 【分析】（1）由圆周角定理即可得出结果； （2）连接并延长交格点于点，连接，交圆于点，连接、，交点为点，连接并延长，交于点，交圆于点，证明点为的垂心，得出，由垂径定理可得垂直平分，即，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接、，由圆周角定理可得，证明，得出，即点与点关于对称，连接，交于点，连接，点即为所求． 【详解】解：（1）∵为直径， ∴； （2）如图，连接并延长交格点于点，连接，交圆于点，连接、，交点为点，连接并延长，交于点，交圆于点， ， ∵为直径， ∴，即，， ∴点为的垂心， ∴， ∵为直径， ∴由垂径定理可得垂直平分， 连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接、， ∴， 由圆周角定理可得：， ∵， ∴， ∴，即点与点关于对称， 连接，交于点，连接，点即为所求． 4．（2026·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点． （1）点A和点B的距离为________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________． 【答案】 取圆与格线交点M，N，连接交于点O，延长交格线于点T，连接交圆O于点P，点P即为所求 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，此时，即为直径，即点O为圆心；延长（2条）交格线于点T，根据题意是圆的切线，点C为切点；连接（3条）交圆O于点P，根据切线长定理可知，易证，可知，则，故点P即为所求． 【详解】解：（1）由网格可知，； （2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，延长（2条）交格线于点T，连接（3条）交圆O于点P，点P即为所求． 二、解答题 5．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，由垂径定理可得，即得，得到，又由切线的性质得，再根据四边形内角和解答即可求解； （）过点作于，连接，由切线长定理可得，即可得，进而由矩形的性质得，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图，过点作于，连接， ∵分别与相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 【答案】(1)，； (2)，的面积为． 【分析】（1）由切线长定理和切线的性质，可得，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，即可得，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，即可得； （2）由（1）可知，，，由同弧所对的圆周角相等，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由三角形外角的性质，可得的度数，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 7．（2026·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，经过格点A，B，且与网格线相交于点C． (1)线段的长等于______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出线段绕点A顺时针旋转得到的线段（其中点M与点B对应，点N与点C对应）．请简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据旋转的性质求解即可； 【详解】（1）解：根据勾股定理，得； （2）解：取格点M， 使， 连接并延长，与相交于点D， 连接并延长，与格线（横）相交于点N，点M，N即为所求． 简单证明如图所示： 根据直径所对的圆周角是直角得出，根据证明图中阴影部分的两个三角形全等可得出. 8．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】（1）根据切线定理，得出，再根据垂径定理得到，且，，结合，证明四边形为平行四边形，推出，最后根据圆周角定理即可求解； （2）有（1）得四边形为平行四边形和，求出，，根据求出，设的半径为，即，再根据求出的半径，即可求出． 【详解】（1）解：∵为的直径，为的切线， ∴，即， ∵弦，且为直径， ∴，且，， ∴； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵由（1）得，四边形为平行四边形， ∴，， ∵由（1）得，， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可知， ∵设的半径为， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，解得， ∴的半径为， ∴， ∵， ∴的长为． 9．（2026·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为_____； （2）是圆的直径，圆与网格线交于点C，过点C作圆的切线，与网格线交于点M．过点M作圆的切线，切点为D（点D与点C不重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 画图见详解；取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求． 【详解】解：（1）； （2）如图：点D即为所求： 取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求． 10．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由题意可得，即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，求出，即可得出结果； （2）连接、、，由圆周角定理可得，即，先证明四边形为菱形，得出，再证明为等边三角形，求出，，，即可得出，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵弦，垂足为G， ∴， ∴， 如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接、、， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11．（2026·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 【答案】 2 见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与无刻度的直尺作图，解题的关键是利用网格特征构造垂直平分线和利用对称性构造切线． （Ⅰ）取中点，由且得是的垂直平分线，从而； （Ⅱ）作中位线，连接交得圆心，延长交横格线于点，直线为切线，射线与的交点即为所求点． 【详解】解：（Ⅰ）如图，取的中点，连接， 点,C,D均在格点上， , , 是的垂直平分线 ， 又, ． 故答案为：2； （Ⅱ）1：确定圆心 作的中位线，点在上，点在上，连接与的交点即为圆心； 2：作圆的切线 延长交横格线于点，此时，作直线，则即为圆的切线； 3：确定点 射线交直线于一点，则此点即为所求作的点． 故答案为：作的中位线在上，在上)，连接交于圆心，延长交横格线于点，作切线，射线交切线于点，点即为所求． 12．（2026·天津河东·一模）已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，，求出，即可得到，再根据圆周角定理即可求出答案． （2）连接，，，证明，，证明为等边三角形，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，， 与切于点， ． ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，，， 与切于点， ， ，点为中点， ， 点在上， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 在中， ，， ． ． 13．（2026·天津河北·一模）已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据切线的性质和四边形的内角和为，可求得，从而得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，在中，利用，即可解答； （2）根据切线的性质易证，得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，可求得，由根据两直线平行，内错角相等，可知 ，从而求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵切于点C， 于点C，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵切于点E，切于点C， 于点E，于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴．1．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上． （1）线段的长为______； （2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点 【分析】（1）可利用勾股定理计算线段的长度； （2）先借助网格特点确定的垂直平分线；观察图可知，根据切线的性质，得到圆心在上，则的垂直平分线与的交点即为圆心；再结合的条件，利用圆的相关性质，即可找到符合条件的点M． 【详解】（1）由网格可知，、的水平间距为，竖直间距为， 根据勾股定理得： ； （2）先作出的垂直平分线，并交于点，点即为圆心，连接并延长交圆于一点，此点即为点． 2．（2026·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点在格线上，以为直径作半圆，半圆弧的中点为． （1）的度数为________°； （2）若点在圆上，与相交于点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 45 取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 【分析】（1）根据圆周角定理的推论和等腰三角形的性质解答； （2）先确定圆心O，再确定的中点F，连接，可知是的中位线，可得，然后根据，可得，进而推导出，即． 【详解】解：（1）∵是的直径，点C是的中点， ∴， ∴； （2）如图所示，取格点，，，，连接，分别与格线交于，，射线交于圆心：作射线交格线于点，连接交格线于，连接交圆弧于点，则点即为所求． 3．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与网格线相交于点C，D． （1）的大小为________（度）； （2）点P在直径上，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________． 【答案】 作点关于的对称点，连接，交于点，点即为所求 【分析】（1）由圆周角定理即可得出结果； （2）连接并延长交格点于点，连接，交圆于点，连接、，交点为点，连接并延长，交于点，交圆于点，证明点为的垂心，得出，由垂径定理可得垂直平分，即，连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接、，由圆周角定理可得，证明，得出，即点与点关于对称，连接，交于点，连接，点即为所求． 【详解】解：（1）∵为直径， ∴； （2）如图，连接并延长交格点于点，连接，交圆于点，连接、，交点为点，连接并延长，交于点，交圆于点， ， ∵为直径， ∴，即，， ∴点为的垂心， ∴， ∵为直径， ∴由垂径定理可得垂直平分， 连接，交于点，连接并延长交圆于点，连接、， ∴， 由圆周角定理可得：， ∵， ∴， ∴，即点与点关于对称， 连接，交于点，连接，点即为所求． 4．（2026·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点． （1）点A和点B的距离为________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________． 【答案】 取圆与格线交点M，N，连接交于点O，延长交格线于点T，连接交圆O于点P，点P即为所求 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，此时，即为直径，即点O为圆心；延长（2条）交格线于点T，根据题意是圆的切线，点C为切点；连接（3条）交圆O于点P，根据切线长定理可知，易证，可知，则，故点P即为所求． 【详解】解：（1）由网格可知，； （2）取圆与格线交点M，N，连接（1条）交于点O，延长（2条）交格线于点T，连接（3条）交圆O于点P，点P即为所求． 二、解答题 5．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，由垂径定理可得，即得，得到，又由切线的性质得，再根据四边形内角和解答即可求解； （）过点作于，连接，由切线长定理可得，即可得，进而由矩形的性质得，再利用解答即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵分别与相切于点， ∴，， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图，过点作于，连接， ∵分别与相切于点， ∴，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查了垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线的性质，切线长定理，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 6．（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 【答案】(1)，； (2)，的面积为． 【分析】（1）由切线长定理和切线的性质，可得，，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，即可得，由直径所对的圆周角是直角，结合直角三角形的两个锐角互余，即可得； （2）由（1）可知，，，由同弧所对的圆周角相等，可得，由等腰三角形的性质，结合三角形的内角和定理，可得，由三角形外角的性质，可得的度数，可得，作于，由角所对的直角边与斜边的关系，可得，即可得的面积． 【详解】（1）解：∵是的直径，，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为直径， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 作于，在Rt中，， ∴的面积． 7．（2026·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，经过格点A，B，且与网格线相交于点C． (1)线段的长等于______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出线段绕点A顺时针旋转得到的线段（其中点M与点B对应，点N与点C对应）．请简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）根据旋转的性质求解即可； 【详解】（1）解：根据勾股定理，得； （2）解：取格点M， 使， 连接并延长，与相交于点D， 连接并延长，与格线（横）相交于点N，点M，N即为所求． 简单证明如图所示： 根据直径所对的圆周角是直角得出，根据证明图中阴影部分的两个三角形全等可得出. 8．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 【答案】(1)，； (2)；． 【分析】（1）根据切线定理，得出，再根据垂径定理得到，且，，结合，证明四边形为平行四边形，推出，最后根据圆周角定理即可求解； （2）有（1）得四边形为平行四边形和，求出，，根据求出，设的半径为，即，再根据求出的半径，即可求出． 【详解】（1）解：∵为的直径，为的切线， ∴，即， ∵弦，且为直径， ∴，且，， ∴； ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形． ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵由（1）得，四边形为平行四边形， ∴，， ∵由（1）得，， ∴， ∵在中，，， ∴由勾股定理可知， ∵设的半径为， ∴， 在中，，，， ∴由勾股定理可知，解得， ∴的半径为， ∴， ∵， ∴的长为． 9．（2026·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为_____； （2）是圆的直径，圆与网格线交于点C，过点C作圆的切线，与网格线交于点M．过点M作圆的切线，切点为D（点D与点C不重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 【答案】 画图见详解；取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求 【分析】（1）根据勾股定理计算即可； （2）取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求． 【详解】解：（1）； （2）如图：点D即为所求： 取圆与网格线的交点E，连接交于点O，则为直径，延长至点F，使得M为中点，连接交圆于点D，点D即为所求． 10．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由等边对等角并结合三角形内角和定理可得，由题意可得，即可得出的度数；连接，由圆周角定理可得，求出，即可得出结果； （2）连接、、，由圆周角定理可得，即，先证明四边形为菱形，得出，再证明为等边三角形，求出，，，即可得出，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵弦，垂足为G， ∴， ∴， 如图：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，连接、、， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点E作的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、切线的性质、圆周角定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 11．（2026·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 【答案】 2 见解析 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与无刻度的直尺作图，解题的关键是利用网格特征构造垂直平分线和利用对称性构造切线． （Ⅰ）取中点，由且得是的垂直平分线，从而； （Ⅱ）作中位线，连接交得圆心，延长交横格线于点，直线为切线，射线与的交点即为所求点． 【详解】解：（Ⅰ）如图，取的中点，连接， 点,C,D均在格点上， , , 是的垂直平分线 ， 又, ． 故答案为：2； （Ⅱ）1：确定圆心 作的中位线，点在上，点在上，连接与的交点即为圆心； 2：作圆的切线 延长交横格线于点，此时，作直线，则即为圆的切线； 3：确定点 射线交直线于一点，则此点即为所求作的点． 故答案为：作的中位线在上，在上)，连接交于圆心，延长交横格线于点，作切线，射线交切线于点，点即为所求． 12．（2026·天津河东·一模）已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，切线的性质，圆周角定理，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）连接，，求出，即可得到，再根据圆周角定理即可求出答案． （2）连接，，，证明，，证明为等边三角形，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，， 与切于点， ． ，， ， ，， ， ； （2）解：连接，，， 与切于点， ， ，点为中点， ， 点在上， ， ， ， ， ， 为等边三角形． 在中， ，， ． ． 13．（2026·天津河北·一模）已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据切线的性质和四边形的内角和为，可求得，从而得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，在中，利用，即可解答； （2）根据切线的性质易证，得到，然后根据直径所对的圆周角为直角，可求得，由根据两直线平行，内错角相等，可知 ，从而求得，即可解答． 【详解】（1）解：∵切于点C， 于点C，即， 又∵，， ∴， ∴， ∵为直径，， ∴， 在中，， ∴； （2）解：∵切于点E，切于点C， 于点E，于点C， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 与圆有关的热考题型（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：圆周角定理 题型二：切线的判定与性质 必备知识 知识1 圆的基本性质 知识2 切线相关 知识3 与圆有关的计算 命题预测 命题透视 1）从命题形式上看，呈现出“模型化、综合化、情境化”的特点，载体多以典型几何图形（垂径图、切割图、双切图）或实际生活场景（摩天轮、拱桥、扇形工件）为主，凸显对圆核心模型迁移能力的考查，兼顾几何直观与逻辑推理的双重素养。 2）从命题内容上看，切线的判定与性质、圆周角定理及其推论、圆与相似/三角函数的综合是历年中考命题的核心区域，圆与坐标系、动点最值的结合则成为区分度拉满的压轴命题热点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 切线的判定与性质 T18 T18 圆周角定理及其推论 T10 T18 T18 T18 圆的综合 T21 T21 T21 T21 T21 命题预测 圆的二轮复习，核心是抓基础、练模型、破综合： · 基础题围绕垂径定理、圆周角、切线判定、圆内接四边形展开，是必拿分点； · 中档题聚焦双切图、中点弧、多结论判断，侧重模型迁移与计算能力； · 压轴题则以圆与相似/三角函数/坐标系/函数的综合为核心，结合动点最值、存在性问题，是拉开差距的关键。 整体命题趋势是淡化偏难怪定理，突出核心性质+基本模型，强调几何直观与逻辑推理的双重素养。 考点一 与圆有关的热考题型 题型一 圆周角定理 1．（2025·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点P，A均在格点上． （1）线段的长为____________； （2）直线与的外接圆相切于点．点在射线上，点在线段的延长线上，满足，且与射线垂直．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）____________． 2．（2024·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点，，均在格点上．    （1）线段的长为______； （2）点在水平网格线上，过点，，作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与，的延长线相交于点，，中，点在边上，点在边上，点在边上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，，，使的周长最短，并简要说明点，，的位置是如何找到的（不要求证明）______． 3．（2023·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等边三角形内接于圆，且顶点A，B均在格点上．    （1）线段的长为________； （2）若点D在圆上，与相交于点P．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点Q，使为等边三角形，并简要说明点Q的位置是如何找到的（不要求证明）________． 4．（2022·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及的一边上的点E，F均在格点上． （Ⅰ）线段的长等于___________； （Ⅱ）若点M，N分别在射线上，满足且．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明）___________． 5．（2021·天津·中考真题）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上． （Ⅰ）线段的长等于_____； （Ⅱ）以为直径的半圆的圆心为O，在线段上有一点P，满足，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 题型二 切线的判定与性质 【公共点已知时判定切线的方法】已知直线与圆的公共点时，可根据切线的判定定理证明.若未给出过该公共点的半径，可先连接公共点和圆心，再证明，口诀：连半径，证垂直. 【公共点未知时判定切线的方法】当直线与圆的公共点不明确时，先过圆心作该直线的垂线，然后根据“若圆心到直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线”进行证明，口诀：作垂直，证相等. 6．（2025·天津·中考真题）已知与相切于点与相交于点D，E为上一点． (1)如图①，求的大小； (2)如图②，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为3，求和的长． 7．（2024·天津·中考真题）已知中，为的弦，直线与相切于点． (1)如图①，若，直径与相交于点，求和的大小； (2)如图②，若，垂足为与相交于点，求线段的长． 8．（2023·天津·中考真题）在中，半径垂直于弦，垂足为D，，E为弦所对的优弧上一点．    (1)如图①，求和的大小； (2)如图②，与相交于点F，，过点E作的切线，与的延长线相交于点G，若，求的长． 9．（2022·天津·中考真题）已知为的直径，，C为上一点，连接． (1)如图①，若C为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长． 10．（2021·天津·中考真题）已知内接于，点D是上一点． （Ⅰ）如图①，若为的直径，连接，求和的大小； （Ⅱ）如图②，若//，连接，过点D作的切线，与的延长线交于点E，求的大小． 知识1 圆的基本性质 1.垂径定理及推论 1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例：如图，CD是O的直径，AB为弦，CD⊥AB于点E，则AE＝BE，. 2）垂径定理的推论 （1）平分弦（非直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 示例：如图，CD是O的直径，AE＝BE，则CD⊥AB，. （2）平分弦所对的一条弧的直径垂直于弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.. 【小技巧】一条直线如果具备：①经过圆心；②垂直于弦，③平分弦（非直径），④平分弦所对的优弧，⑤平分弦所对的劣弧，上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其它三个结论，简称“知二推三”. 2.弧、弦、圆心角的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 【注意】不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果遗漏了这个前提条件，即使圆心角相等，所对的弧、弦也不一定相等. 示例：如下图，两 3.圆周角定理及其推论 1）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.（即：圆周角=） 2）圆周角定理的推论 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等. 推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径. 4.圆内接四边形及其性质 1）圆内接四边形：如果一个四边形的所有顶点均在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做这个四边形的外接圆. 2）圆内接四边形的性质： 1）圆内接四边形对角互补. 如图，∠BAD+∠BCD=180°，∠ABC+∠ADC=180° 2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（即与该外角相邻 的内角的对角）. 如图，∠1=∠2 知识2 切线相关 1.切线的定义：线和圆只有一个公共点时，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫做切点． 2.性质与判定： 性质定理 圆的切线垂直于经过切点的半径. 判定 1）定义法：当直线与圆有且只有一个公共点时，直线与圆相切； 2）数量关系法：当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； 3）判定定理法：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 3.切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.如图中的PA，PB两条线段的长为点P到⊙O切线长（PA，PB与⊙O相切）. 4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角． 1．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上． （1）线段的长为______； （2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 2．（2026·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点在格线上，以为直径作半圆，半圆弧的中点为． （1）的度数为________°； （2）若点在圆上，与相交于点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 3．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与网格线相交于点C，D． （1）的大小为________（度）； （2）点P在直径上，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________． 4．（2026·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点． （1）点A和点B的距离为________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________． 二、解答题 5．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 6．（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 7．（2026·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，经过格点A，B，且与网格线相交于点C． (1)线段的长等于______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出线段绕点A顺时针旋转得到的线段（其中点M与点B对应，点N与点C对应）．请简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 8．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 9．（2026·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为_____； （2）是圆的直径，圆与网格线交于点C，过点C作圆的切线，与网格线交于点M．过点M作圆的切线，切点为D（点D与点C不重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 10．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 11．（2026·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 12．（2026·天津河东·一模）已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 13．（2026·天津河北·一模）已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． ∴．1．（2026·天津和平·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，C，D，E，F均在格点上． （1）线段的长为______； （2）直线与的外接圆相切于点P，点M在上，满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点M，并简要说明点M的位置是如何找到的（不要求证明）________． 2．（2026·天津河西·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点在格点上，点在格线上，以为直径作半圆，半圆弧的中点为． （1）的度数为________°； （2）若点在圆上，与相交于点．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，使，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明）________． 3．（2026九年级下·天津红桥·学业考试）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，以为直径的圆与网格线相交于点C，D． （1）的大小为________（度）； （2）点P在直径上，当取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）________． 4．（2026·天津河北·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A和点B是格点，点C在格线上，圆的直径与点C所在的格线互相垂直，垂足为C，是圆的切线，点F为切点． （1）点A和点B的距离为________； （2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在半圆上画出的中点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明，所作的直线，射线或线段的条数不得大于5）________． 二、解答题 5．（2026·天津和平·一模）已知分别与相切于点，为半径，连接． (1)如图①，延长与相交于点，若，垂足为点，，求的度数； (2)如图②，延长与相交于点，若，，，求的半径． 6．（2026·天津河西·一模）如图，已知是的直径，，是的两条切线，，为切点，且，连接． (1)求和的大小； (2)如图，在直径上取一点，使，延长交于点，连接，若，，求的度数及的面积． 7．（2026·天津南开·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，经过格点A，B，且与网格线相交于点C． (1)线段的长等于______； (2)请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出线段绕点A顺时针旋转得到的线段（其中点M与点B对应，点N与点C对应）．请简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证明） 8．（2026·天津南开·一模）为的直径，为的切线，为切点，弦，垂足为点，，连接，． (1)如图，若，求和大小； (2)如图，若，，求的半径和的长． 9．（2026·天津北辰·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点A，B均在格点上． （1）线段的长为_____； （2）是圆的直径，圆与网格线交于点C，过点C作圆的切线，与网格线交于点M．过点M作圆的切线，切点为D（点D与点C不重合）．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点D，并简要说明点D的位置是如何找到的（不要求证明）_____． 10．（2026·天津北辰·一模）已知中，，为的直径，，与分别相交于点D，E，弦，垂足为G，连接． (1)如图①，若，求和的大小； (2)如图②，若经过点O，过点E作的切线，交于点H，的半径为3，求和的长． 11．（2026·天津河东·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点，均在格点上，点在格线上，且． （Ⅰ）线段的长为________； （Ⅱ）圆过点，，，过点画这个圆的切线，点在这条切线上，且满足．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点，并简要说明点的位置是如何找到的（不要求证明） __________________________________________________________________________________________． 12．（2026·天津河东·一模）已知，，过点，且与边切于点，点是上一点． (1)如图①，若，点在上，且与边交于点，连接和，求的大小； (2)如图②，点为中点，与边交于点，连接，当时，若，，，求的长． 13．（2026·天津河北·一模）已知是的切线，切点为C，连接，与有一个公共点E，为直径． (1)如图①，点D在上，，，，求的大小与线段的长； (2)如图②，点D在外，切于点E，G为上一点，连接，，，若，，求的大小． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $