专题02 代数式、方程与不等式（复习讲义）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题02 代数式、方程与不等式（组） 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 代数式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：代数式化简求值 题型二：因式分解 题型三：分式有意义 题型四：二次根式有意义 必备知识 知识1 整式的混合运算 知识2 因式分解 知识3 分式的运算 命题预测 考点二 方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：解不等式（组） 题型二：解分式方程 题型三：一元二次方程根与系数的关系 题型四：列方程解决实际问题 必备知识 知识1 解一元一次不等式（组） 知识2 解分式方程 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现运算灵活的特点，以文代数式的转换为主，突出对运算能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1）代数式：侧重运算基础，熟悉各公式为考试重点。 2）方程与不等式：侧重实际应用，从大段文字中分析出主要数据为重要能力，再构建方程为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 代数式的运算与化简求值 T19：乘法公式逆用与整体代入 T19：乘法公式逆用与整体代入 T19：分式化简与整体带入 T19：整式乘法运算与整体带入 T19：整式乘法完全平方公式与整体带入 因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 分式、二次根式有意义 T9：二次根式有意义的条件 T11：解分式方程 T9：二次根式有意义的条件 T11：解分式方程 T9：分式有意义的条件 T11：解分式方程 T9：二次根式有意义的条件 T11：解分式方程 T9：二次根式有意义的条件 T11：解分式方程 方程与不等式 T5：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 T22：一元一次方程实际应用 T4：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 T21：一元一次方程实际应用 T5：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 T21：一元一次方程实际应用 T6：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 T21：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 命题预测 1. 考情预测 · 代数式： · 基础题：侧重运算准确性，平方车公式、完全平方公式、整体代入法为必考点。 · 工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。 · 方程与不等式： · 核心考点：一元二次方程的判别式、跟与系数的关系、不等式组的解法、一元一次方程的实际应用。 · 情境创新：以 “分析生活实际” 为背景，数量关系复杂，考查数学应用。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。 · 突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。 · 关注创新：熟悉生活实际场景类题型，培养数据分析与推理能力。 考点一 代数式 题型一 代数式化简求值 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与分式各种运算法则，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 1．(25-26九下·北京十一晋元中学·零模)已知：，求代数式的值． 2．(25-26九上·北京通州区潞河中学·月考)已知，求代数式的值． 3．(24-25九下·北京丰台区·一模)已知，求代数式的值． 4．(24-25九下·北京东城区·一模)已知，求代数式的值． 5．(25-26九下·北京西城区·零模)先化简，然后a在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 题型二 因式分解 先提公因式再用平方差公式或者完全平方公式进行因式分解. 忽略提公因式之后的平方差公式，如. 1．(25-26九下·北京第十三中分校·零模)因式分解：_____． 2．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·模拟)分解因式：______． 3．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·统练)分解因式：______． 4．(25-26九下·北京三帆中学·模拟)分解因式：________ 5．(25-26九·北京清华大学附属中学数学·统练)分解因式：_____． 题型三 分式有意义的条件 一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 1．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·统练)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 2．(25-26九下·北京海淀区北京理工大学附属中学·月考)若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 3．(25-26九下·北京三帆中学·月考)若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 4．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学西山学校·统练)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 题型四 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件为：被开方数大于等于0. 1．(25-26九·北京二中教育集团·月考)式子成立的条件是______． 2．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学朝阳学校·统练)当x______时，分式有意义． 3．(24-25九下·北京三帆中学·月考)使式子有意义的x的取值范围是________． 4．(25-26九上·北京第十四中学·开学考)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____. 知识1 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数________即 幂的乘方 底数不变，指数________，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别________，再把所得的积________，即 同底数幂的除法 底数不变，指数________，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 知识2 因式分解 知识3 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．(25-26九下·北京清华大学附属中学·统练)已知，求代数式的值． 2．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·月考)，求代数式的值． 3．(24-25九下·北京朝阳区·二模)已知，求代数式的值． 4．(25-26九下·北京昌平区新学道临川学校·月考)要使分式有意义，则应满足的条件是 ________ ． 5．(25-26九下·北京二中教育集团·月考)若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 6．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·月考)已知a是方程的一个根，求代数式的值． 7．(25-26九下·北京师范大学附属实验中学·开学考)已知是方程的一个根，求代数式的值． 8．(25-26九上·北京十一学校·月考)已知是方程的一个根，求代数式的值． 9．(24-25九上·北京西城区·一模)分解因式：________． 10．(25-26九上·黑龙江哈尔滨萧红中学校·月考)分解因式：______． 11．(25-26九·北京景山学校·月考)因式分解：___________． 12．(25-26九上·山东济南钢城区钢城区艾山第一初级中学·月考)分解因式_______． 13．(25-26九下·北京海淀区北京理工大学附属中学·统练)分解因式：______． 14．(25-26九·北京西城区德胜中学·统练)若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 15．(25-26九下·北京三帆中学·模拟)若有意义，则的取值范围是_____． 16．(25-26九下·北京昌平·模拟)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 17．(25-26九上·北京昌平区部分中学·月考)函数中，自变量的取值范围为_______． 考点二 方程与不等式 题型一 解不等式（组） 求出每一个不等式的解集，并在数轴上表示出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集. 1） 不等式左右同时乘除一个负数的时候，不等式的方向、数字的符号均改变. 2） 不等式去分母时注意常数或者不等号右侧不能漏乘. 1．(25-26九下·北京十一学校·月考)解不等式组： 2．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·月考)解不等式组： 3．(2025年陕西西安碑林区西工大附中·一模)解不等式组：． 4．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·统练)解不等式组： 5．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·统练)解不等式组： 6．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·月考)某陶艺工坊有和两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示． 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品． 某批次共生产了18个大尺寸陶艺品，69个中尺寸陶艺品，138个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用______次； （2）若款电热窑每次烧制成本为55元，款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为______元． 题型二 解分式方程 找到分式方程的最简公分母之后去分母，化为一元一次方程，进而去括号、移项合并同类项，最后系数化为1. 分式方程的解答题及实际应用题中，要写检验或者经检验未知数的步骤，防止未知数的值为增根.增根是使得分式方程分母为0的未知数的值. 1．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·统练)方程的解为_______． 2．(25-26九下·北京第三中学·月考)方程的解为_____． 3．(25-26九·北京第八中学·月考)分式方程的解为_____． 4．(25-26九下·北京师达中学·月考)分式方程的解为_____． 5．(25-26九·北京清华大学附属中学上地学校·月考)方程的解为___________． 题型三 一元二次方程根与系数的关系 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 1．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·统练)关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 2．(24-25九下·北京好题汇编·模拟)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 3．(25-26九·北京一六一中学·月考)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 4．(25-26九下·北京第四中学·统练)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（   ） A．0 B． C． D． 5．(25-26九下·北京一零一教育集团·月考)已知关于的方程有两个不相等的实数根．则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 6．(25-26九上·北京十一学校·月考)用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 题型四 方程实际应用 根据题干所给的数量关系列出方程解方程. 1．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·月考)某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨・千米），铁路运价为1.2元/（吨・千米）．若从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元，求这批产品的销售款是多少元？ 2．(25-26九下·北京十一晋元中学·统练)羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛也可以进行双打比赛，如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 3．(25-26九下·北京师达中学·月考)北京宫灯制作技艺是国家级非物质文化遗产．某校传统工艺社团为校园文化节制作一款六角宫灯骨架，骨架由主支撑杆、横向辐条、竖向围条三类竹条组成，其尺寸关系如下：宫灯骨架的总高度由头部高度、灯身高度、底座高度三部分构成，且三者之比为．已知单根横向辐条长度是灯身高度的；一根主支撑杆比单根横向辐条长；主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和．求这款宫灯骨架的总高度． 4．(25-26九上·北京师达中学·月考)秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮同时到达终点，求两人每小时各走多少千米？ 知识1 解一元一次不等式（组） 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识2 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 1．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·月考)小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，： ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵16首，最少背诵5首． （1）若，则的所有可能取值为___________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为___________首． 2．(25-26九下·北京清华大学附属中学·月考)学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 3．(24-25九上·山西实验中学·月考)根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 4．(25-26九上·北京昌平区部分中学·月考)已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 5．(25-26九上·湖南衡阳衡山县衡山三校联考·期中)已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 6．(25-26九下·北京十一学校·月考)方程的解为_________． 7．(24-25九下·北京三帆中学·月考)方程的解为_________． 8．(25-26九下·北京交通大学附属中学·开学考)分式方程的解是__________． 9．(25-26九·北京第五中学分校·月考)方程的解为________． 10．(25-26九·北京西城区德胜中学·月考)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 11．(25-26九下·北京三帆中学·开学考)方程的解为_______． 12．(25-26九下·北京师范大学附属实验中学·开学考)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 13．(25-26九·北京第八中学·月考)解不等式组：． 14．(25-26九·北京景山学校·月考)解不等式组，并写出它的所有整数解． 15．(25-26九下·北京第四中学·月考)解不等式组：． 16．(25-26九下·北京陈经纶中学·月考)解不等式组：． 17．(25-26九下·北京师达中学·月考)解不等式组：． 18．(24-25九下·北京第五十七中学·月考)为防治污染，保护和改善生态环境，某汽车厂生产新型汽车，汽车尾气排放量要求如下：A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过．已知该型号汽车的A类比B两类物质排放量多．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合要求，并说明理由． 19．(2025·北京中考真题)北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 20．(2025·北京大兴区二模)列方程（组）解应用题： 五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？ 21．(2025·北京丰台区二模)2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 22．(2025·北京海淀区二模)为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 23．(2025·江苏中考真题模拟)我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 24．(24-25九下·北京陈经纶中学分校·月考)高速公路某收费站出城方向有编号为的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 (1)在五个收费出口中，判断每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口． (2)节假日期间，高速公路收费站出城方向的车流量整体增加．假设各收费出口每20分钟通过的小客车数量同比增长相同的百分比．此时同时开放出口和分钟内通过的车辆数为300辆．求增长率的值（精确到）． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 代数式、方程与不等式（组） 目 录 01 析·考情目标 02 筑·专题框架 03 攻·重难考点 考点一 代数式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：代数式化简求值 题型二：因式分解 题型三：分式有意义 题型四：二次根式有意义 必备知识 知识1 整式的混合运算 知识2 因式分解 知识3 分式的运算 命题预测 考点二 方程与不等式（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 真题动向 题型一：解不等式（组） 题型二：解分式方程 题型三：一元二次方程根与系数的关系 题型四：列方程解决实际问题 必备知识 知识1 解一元一次不等式（组） 知识2 解分式方程 命题预测 命题 透视 命题形式：呈现运算灵活的特点，以文代数式的转换为主，突出对运算能力、逻辑推理的考查，渗透数学文化与应用意识。 命题内容： 1）代数式：侧重运算基础，熟悉各公式为考试重点。 2）方程与不等式：侧重实际应用，从大段文字中分析出主要数据为重要能力，再构建方程为核心考点。 热考角度 考点 2025年 2024年 2023年 2022年 2021年 代数式的运算与化简求值 T19：乘法公式逆用与整体代入 T19：乘法公式逆用与整体代入 T19：分式化简与整体带入 T19：整式乘法运算与整体带入 T19：整式乘法完全平方公式与整体带入 因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 T10：提公因式与平方差公式因式分解 分式、二次根式有意义 T9：二次根式有意义的条件 T11：解分式方程 T9：二次根式有意义的条件 T11：解分式方程 T9：分式有意义的条件 T11：解分式方程 T9：二次根式有意义的条件 T11：解分式方程 T9：二次根式有意义的条件 T11：解分式方程 方程与不等式 T5：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 T22：一元一次方程实际应用 T4：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 T21：一元一次方程实际应用 T5：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 T21：一元一次方程实际应用 T6：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 T21：一元二次方程根与系数的关系 T18：解不等式组 命题预测 1. 考情预测 · 代数式： · 基础题：侧重运算准确性，平方车公式、完全平方公式、整体代入法为必考点。 · 工具性：因式分解、分式化简仍为核心工具，贯穿综合题解答。 · 方程与不等式： · 核心考点：一元二次方程的判别式、跟与系数的关系、不等式组的解法、一元一次方程的实际应用。 · 情境创新：以 “分析生活实际” 为背景，数量关系复杂，考查数学应用。 2. 备考建议 · 夯实基础：熟练掌握数与式的运算法则、方程与不等式的解法，确保基础题不失分。 · 突破中档：重点训练整体思想、参数讨论、整数解问题，总结解题模板。 · 关注创新：熟悉生活实际场景类题型，培养数据分析与推理能力。 考点一 代数式 题型一 代数式化简求值 在进行每一种运算时，都要弄清它的运算法则，不要混淆整式加减法、整式乘除法法则与分式各种运算法则，同时要注意运算顺序，适当运用乘法公式简化运算，计算过程或结果中若有同类项，要及时合并同类项. 1．(25-26九下·北京十一晋元中学·零模)已知：，求代数式的值． 【答案】1 【分析】先把小括号内的式子通分化简，再约分化简，接着求出的值，最后代入求值即可． 【详解】解：               ， ， ∴原式． 2．(25-26九上·北京通州区潞河中学·零模)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了分式化简求值， 关键是熟练掌握分式化简，整体代入求值；根据可得，将分式化简后把整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴当时，上式． 3．(24-25九下·北京丰台区·一模)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的性质是关键． 根据分式的性质化简，再代入求值即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 4．(24-25九下·北京东城区·一模)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据题意得到，将代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 5．(25-26九下·北京西城区·零模)先化简，然后a在﹣2，0， 1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】化简得：原式=；当时，原式=． 【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，把a=0代入计算即可求出值． 【详解】原式= = =． 当a取﹣2，2，3，分式无意义． 当时，=． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 题型二 因式分解 先提公因式再用平方差公式或者完全平方公式进行因式分解. 忽略提公因式之后的平方差公式，如. 1．(25-26九下·北京第十三中分校·零模)因式分解：_____． 【答案】4 【分析】先确定多项式各项的公因式，再提取公因式完成分解即可． 【详解】解： = =． 2．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·模拟)分解因式：______． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 3．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·统练)分解因式：______． 【答案】/ 【分析】先提取公因式a，再用完全平方公式分解． 【详解】解： ． 4．(25-26九下·北京三帆中学·模拟)分解因式：________ 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：． 5．(25-26九·北京清华大学附属中学数学·统练)分解因式：_____． 【答案】/ 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 题型三 分式有意义的条件 一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 1．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·统练)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是_____________． 【答案】且 【分析】根据二次根式和分式的有意义的条件列式求解即可． 【详解】解：在实数范围内有意义， 且， 解得且． 2．(25-26九下·北京海淀区北京理工大学附属中学·月考)若分式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件可得，再求出解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 所以实数x的取值范围是． 3．(25-26九下·北京三帆中学·月考)若分式有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】/ 【分析】根据分式的分母不为0即可求解． 【详解】解：分式有意义的条件是． 解不等式得． 4．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学西山学校·统练)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到x的取值范围. 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴分母． 解得． 题型四 二次根式有意义的条件 二次根式有意义的条件为：被开方数大于等于0. 1．(25-26九·北京二中教育集团·月考)式子成立的条件是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，列出不等式求解． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得， ， ∴． 2．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学朝阳学校·统练)当x______时，分式有意义． 【答案】 【分析】根据分母不为零，且被开方数需大于等于零进行列式计算即可． 【详解】解：分式有意义， ，即，则，解得． 3．(24-25九下·北京三帆中学·)使式子有意义的x的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，且分式的分母不为0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴二次根式的被开方数需满足，且分式的分母， 即， 解得． 4．(25-26九上·北京第十四中学·开学考)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握被开方数为非负数是关键，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须大于或等于零． 【详解】解：若在实数范围内有意义， ∴， 解得，， 故答案为：． 知识1 整式的混合运算 1.整式的加减运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 2.幂的运算 法则（m，n都是整数） 示例 同底数幂的乘法 底数不变，指数________即 幂的乘方 底数不变，指数________，即 积的乘方 积的乘方等于把每一个因式分别________，再把所得的积________，即 同底数幂的除法 底数不变，指数________，即（a≠0） 3.整式的乘法 单项式乘单项式 单项式与单项式相乘，把它们的系数，同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式. 单项式乘多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 即. 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．即. 乘法 公式 平方差公式： 完全平方公式： 4.整式的除法 单项式除以单项式 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 多项式除以单项式 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即 知识2 因式分解 知识3 分式的运算 加减运算 1）同分母分式：分母不变，把分子相加减，即. 2）异分母分式：先通分，变为同分母的分式，再加减，即. 乘除运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，即. 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即. 乘方运算 分式的乘方是把分子、分母分别乘方，即（n为正整数，且b≠0） 混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行. 1．(25-26九下·北京清华大学附属中学·统练)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先求出的值，再把所求式子的分子和分母都分解因式后约分得到，据此代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·月考)，求代数式的值． 【答案】6 【分析】先算括号内的分式减法，然后算分式除法，通过约分化成最简，最后代入即可求解． 【详解】解： =， =， =， =， ∵， ∴， 则原式=． 3．(24-25九下·北京朝阳区·二模)已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】将分式通分相减，再约分化简，最后将已知等式代入计算求值即可． 【详解】解： ， ， 原式． 4．(25-26九下·北京昌平区新学道临川学校·月考)要使分式有意义，则应满足的条件是 ________ ． 【答案】 【分析】分式有意义的条件是分母不为，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 5．(25-26九下·北京二中教育集团·月考)若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【分析】依据“分式有意义的条件是分母不为零”，令分母，求解即可得到实数的取值范围． 【详解】解：由代数式有意义得：， 解得． 6．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·月考)已知a是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】3 【分析】根据题意可得，对化简变形再代入即可求得答案． 【详解】解：是方程的根， ，，即， 原式． 7．(25-26九下·北京师范大学附属实验中学·开学考)已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 8．(25-26九上·北京十一学校·月考)已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】 12 【分析】根据一元二次方程的根的定义得到，把原式变形后利用整体代入的方法计算即可． 本题主要考查了代数式求值，一元二次方程的根的定义和整体思想，熟练掌握一元二次方程的根的定义和整体思想是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴ ． 9．(24-25九上·北京西城区·一模)分解因式：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式继续分解因式． 【详解】解：原式 ． 10．(25-26九上·黑龙江哈尔滨萧红中学校·月考)分解因式：______． 【答案】 【分析】分解因式时先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】 ． 11．(25-26九·北京景山学校·月考)因式分解：___________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解因式 【详解】解： 12．(25-26九上·山东济南钢城区钢城区艾山第一初级中学·月考)分解因式_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可. 【详解】解：， 故答案为：． 13．(25-26九下·北京海淀区北京理工大学附属中学·统练)分解因式：______． 【答案】 【分析】原式先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 14．(25-26九·北京西城区德胜中学·统练)若代数式的值为，则满足要求的所有的值为______． 【答案】 【分析】先令分子为求出候选解，再用分母不为的条件排除无效解，得到正确答案． 【详解】解：要使代数式的值为，可得： ，解得或，即或； ，解得． 故． 15．(25-26九下·北京三帆中学·模拟)若有意义，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于x的一元一次不等式，求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵二次根式有意义的条件为被开方数是非负数．有意义， ∴． 解得． 16．(25-26九下·北京昌平·模拟)若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是___________． 【答案】 【分析】二次根式在实数范围内有意义的条件是被开方数．根据该条件列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴，解得， 故答案为：． 17．(25-26九上·北京昌平区部分中学·月考)函数中，自变量的取值范围为_______． 【答案】且 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0，且二次根式下被开方数需要大于等于0，可得答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得且， 故答案为：且． 考点二 方程与不等式 题型一 解不等式（组） 求出每一个不等式的解集，并在数轴上表示出两个解集的公共部分，即为不等式组的解集. 1） 不等式左右同时乘除一个负数的时候，不等式的方向、数字的符号均改变. 2） 不等式去分母时注意常数或者不等号右侧不能漏乘. 1．(25-26九下·北京十一学校·月考)解不等式组： 【答案】 【分析】依次解不等式，取其公共部分即可． 【详解】解：不等式组， 解不等式①：， 化简得， 解得； 解不等式②：， 去分母得， 化简得， 解得； ∴不等式组的解集为． 2．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·月考)解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以，不等式组的解集为：． 3．(202年陕西西安碑林区西工大附中·一模)解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得： ∴原不等式组的解集为． 4．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·统练)解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再取交集即可求得不等式组的解集． 【详解】解：解不等式组： ， 由①去括号得： ， 移项、合并同类项得： ， 系数化为1得： ； 由②去分母得： ， 解得： ， ∴不等式组的解集为 ． 5．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·统练)解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的最终解集，用到不等式的基本性质求解． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴原不等式组的解集为． 6．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·月考)某陶艺工坊有和两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示． 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品． 某批次共生产了18个大尺寸陶艺品，69个中尺寸陶艺品，138个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用______次； （2）若款电热窑每次烧制成本为55元，款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为______元． 【答案】 【分析】（1）设烧制这批陶艺品，款电热窑使用了次， 根据“共生产了个大尺寸陶艺品”列不等式求解即可； （2）根据款电热窑至少使用次，分别讨论款使用次和次时的情况，结合替换规则计算中、小尺寸陶艺品的剩余需求量，确定款电热窑的使用次数，最后比较总成本得出最低费用． 【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，款电热窑使用了次， 根据题意得， 解得， 为正整数， 的最小值为， 即烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用次； （2）由（1）知款电热窑至少使用次，当款电热窑使用次时， 款电热窑提供的大尺寸位置总数为（个）， 烧制个大尺寸陶艺品后，剩余大尺寸位置（个）， 设剩余的个大尺寸位置中，有个替换为中尺寸，个替换为小尺寸， 则，且，为非负整数， 此时款电热窑共提供中尺寸个，小尺寸个， 还需款电热窑提供的中尺寸为个， 还需款电热窑提供的小尺寸为个， 若款电热窑使用次，可提供个中尺寸和个小尺寸， 需满足， 解得， 为整数， ， 又， 当时，，满足条件， 此时总成本为（元）； 若款电热窑使用次，可提供个中尺寸和个小尺寸， 则，解得， ， ，矛盾，故款至少使用次； 当款电热窑使用次时， 仅款成本为（元）， ， 烧制这批陶艺品成本最低为元． 题型二 解分式方程 找到分式方程的最简公分母之后去分母，化为一元一次方程，进而去括号、移项合并同类项，最后系数化为1. 分式方程的解答题及实际应用题中，要写检验或者经检验未知数的步骤，防止未知数的值为增根.增根是使得分式方程分母为0的未知数的值. 1．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·统练)方程的解为_______． 【答案】或 【分析】先去分母将分式方程转化为整式方程求解，求解后需检验分式方程的根． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得 整理得 因式分解得 则或 解得或 检验：当时，，符合要求；当时，，符合要求； 因此原方程的解为或． 2．(25-26九下·北京第三中学·月考)方程的解为_____． 【答案】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为零，即可得到原分式方程的解． 【详解】解： 方程两边同时乘以最简公分母，去分母得， 化简得 解得 检验：当时， 因此是原分式方程的解． 3．(25-26九·北京第八中学·月考)分式方程的解为_____． 【答案】 【分析】先将分式方程转化为整式方程求解，再对所得根进行检验即可． 【详解】解：原方程可变形为 方程两边同乘最简公分母，得 解得 经检验，当时，原分式方程的分母均不为， 所以是原分式方程的解． 4．(25-26九下·北京师达中学·月考)分式方程的解为_____． 【答案】 【详解】解：， ， ， ， 经检验：时，， 是该分式方程的解． 5．(25-26九·北京清华大学附属中学上地学校·月考)方程的解为___________． 【答案】 【分析】将分式方程去分母，化为整式方程，再解方程验根即可． 【详解】解： ，， 所以分式方程的解为． 题型三 一元二次方程根与系数的关系 前提条件：已知方程是一元二次方程（二次项系数不为0）. 1）有根Δ≥ 0; 2）有两个不等根Δ＞0; 3）有两个相等根Δ= 0; 4）无实数根Δ＜0. 1．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·统练)关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，根的判别式大于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：因为一元二次方程，有两个不相等的实数根， 所以， 即 解得． 2．(24-25九下·北京好题汇编·模拟)若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根的判别式的性质，当方程有两个不相等的实数根时，判别式大于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 解不等式得， 即的取值范围是． 3．(25-26九·北京一六一中学·月考)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是________． 【答案】且 【分析】由于关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，由此可以得到，并且方程的判别式，由此即可求出m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且， 且． 4．(25-26九下·北京第四中学·统练)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则k的取值可能是（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此求出k的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴该方程是一元二次方程，即，且判别式， ， 解得：， ∴k的取值范围是且，选项中只有符合该范围． 5．(25-26九下·北京一零一教育集团·月考)已知关于的方程有两个不相等的实数根．则的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得，且． 6．(25-26九上·北京十一学校·月考)用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（    ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题考查配方法的应用，已知字母的值，求代数式的值．通过配方法将方程化为完全平方形式，确定和的值，即可得的值． 【详解】解：∵ , ∴, ∴, ∴， ∴， ∴． 故选：D． 题型四 方程实际应用 根据题干所给的数量关系列出方程解方程. 1．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·月考)某种原料的价格为每吨1000元，用该原料制成产品后将损耗，产品的价格是每吨8000元，如图，丝路纺织厂与两地由公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批原料运回工厂，将原料制成产品后全部运往B地．已知公路运价为1.5元/（吨・千米），铁路运价为1.2元/（吨・千米）．若从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元，求这批产品的销售款是多少元？ 【答案】这批产品的销售款是2400000元． 【分析】设购买的原料为x吨，则产品的重量为吨，根据“从A地到B地的整个运输过程中公路运输费和铁路运输费共计112200元”列出一元一次方程，求解即可． 【详解】解：设购买的原料为x吨，则产品的重量为吨， 公路运输费合计：元， 铁路运输费合计：元， 根据题意得， 解得， ∴产品的重量为吨， ∴这批产品的销售款是元， 答：这批产品的销售款是2400000元． 2．(25-26九下·北京十一晋元中学·统练)羽毛球运动深受大众喜爱，该运动的场地是一块中间设有球网的矩形区域，它既可以进行单打比赛也可以进行双打比赛，如图是羽毛球场地的平面示意图，已知场地上各条分界线宽均为，场地的长比宽的倍还多（包含分界线宽），单、双打后发球线（球网同侧）间的距离与单、双打边线（中线同侧）间的距离之比是．根据图中所给数据，求单、双打后发球线间的距离． 【答案】球网同侧的单、双打后发球线间的距离是 【分析】设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设球网同侧的单、双打后发球线间的距离是，则中线同侧的单、双打边线间的距离是， 由题意可得， 解得， ∴， ∴球网同侧的单、双打后发球线间的距离是． 3．(25-26九下·北京师达中学·月考)北京宫灯制作技艺是国家级非物质文化遗产．某校传统工艺社团为校园文化节制作一款六角宫灯骨架，骨架由主支撑杆、横向辐条、竖向围条三类竹条组成，其尺寸关系如下：宫灯骨架的总高度由头部高度、灯身高度、底座高度三部分构成，且三者之比为．已知单根横向辐条长度是灯身高度的；一根主支撑杆比单根横向辐条长；主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和．求这款宫灯骨架的总高度． 【答案】这款宫灯骨架的总高度为 【分析】设底座高度为，根据比例关系可得头部高度为，灯身高度为，进而表示出单根横向辐条长度为，再根据主支撑杆的长度构造方程，解出的值后，求出宫灯骨架的总高度． 【详解】解：设底座高度为， ∵头部高度、灯身高度、底座高度之比为， ∴头部高度为，灯身高度为， ∵单根横向辐条长度是灯身高度的， ∴单根横向辐条长度为， ∵一根主支撑杆比单根横向辐条长； ∴主支撑杆的长度为， 根据主支撑杆长度等于灯身高度和底座高度之和，可列方程： ， 解得， 这款宫灯骨架的总高度为． 答：这款宫灯骨架的总高度为． 4．(25-26九上·北京师达中学·月考)秋天是北京四季中最美的季节，深秋的北京香山更是景美如画，金代诗人周昂在《香山》中用诗句“山林朝市两茫然，红叶黄花白一川”描绘了香山红叶与黄花交相辉映的自然美景．小明和小亮都是登山爱好者．金秋十月，两人相约去香山爬山赏景，挑战香炉峰．小明沿北线步道上山，小亮沿南线步道上山，北线步道长度为，南线步道长度为．两人分别从各自步道起点同时出发，小明比小亮每小时少走，结果小明和小亮同时到达终点，求两人每小时各走多少千米？ 【答案】小亮每小时走1千米，小明每小时走0.5千米 【来源】北京市师达中学2025-2026学年上学期12月月考九年级数学试题. 【分析】此题考查了分式方程的应用，设小亮每小时走千米，小明每小时走千米．结果小明和小亮同时到达终点，即两人的时间相同，据此列方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设小亮每小时走千米，小明每小时走千米． 根据题意，得 ． 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ． 答：小亮每小时走1千米，小明每小时走0.5千米． 知识1 解一元一次不等式（组） 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识2 解分式方程 解分式方程的基本思路：将分式方程转化为整式方程，即. 具体作法：将分式方程两边同乘最简公分母，约去分母，化为整式方程，再求根验根. 1）去分母→方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程； 2）解整式方程→去括号、移项、合并同类项、系数化为1. 3）验根→ 将整式方程的解代入最简公分母， 若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，（可将这个解代入分式方程看左右两边是否相等） 若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 【易错点】 1）去分母时漏乘某些项而导致计算结果错误. 2）方程两边同乘最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根． 1．(25-26九下·北京首都师范大学附属中学·月考)小云想用7天的时间背诵若干首诗词，背诵计划如下： ①将诗词分成4组，第组有首，： ②对于第组诗词，第天背诵第一遍，第天背诵第二遍，第天背诵第三遍，三遍后完成背诵，其它天无需背诵，： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 第1组 第2组 第3组 第4组 ③每天最多背诵16首，最少背诵5首． （1）若，则的所有可能取值为___________； （2）7天后，小云背诵的诗词最多为___________首． 【答案】 5或6 26 【分析】（1）根据每天最少背诵5首得出，，，根据每天最多背诵16首结合表格中第4天和第5天的信息列出不等式，则可求，即可求解； （2）根据每天最多背诵16首得出，，，，根据不等式的性质求出，即可求解． 【详解】解：（1）∵每天最多背诵16首，最少背诵5首，， ∴第1天，满足； 第2天，满足； 第3天，满足； 第4天，解得， 又， ∴； 第5天，得， 又， ∴； 第6天，满足； 第7天， ∴。 ∵为整数， ∴的可能取值为5或6； （2）∵每天最多背诵16首，最少背诵5首， ∴①，②，③，④， ∴，得，即⑤， 由③得⑥， ∴，， ∴， 即， ∴7天后，小云背诵的诗词最多为26首． 2．(25-26九下·北京清华大学附属中学·月考)学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 3．(24-25九上·山西实验中学·月考)根据下表得知估算一元二次方程的一个根的范围是（   ） x … … … … A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的估算，找到的值由负变正时x所处的范围即可得到答案． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴一元二次方程的一个根的范围是， 故选：D． 4．(25-26九上·北京昌平区部分中学·月考)已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围为（   ）． A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的定义和根的判别式，掌握好判别式的计算公式是解题关键． 一元二次方程有两个实数根需满足判别式非负且二次项系数不为零． 【详解】解：方程的判别式， ∵有两个实数根， ∴且， 即， 化简得，， ∴， 当时， 两边同除以得，，即， ∵， ∴， 当时， 两边同除以得，，即， ∵， ∴ 综上所述，或． 故选：A． 5．(25-26九上·湖南衡阳衡山县衡山三校联考·期中)已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后解不等式即可． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴ 且， ∴ 且． 故选：D． 6．(25-26九下·北京十一学校·月考)方程的解为_________． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程．解分式方程首先需要去分母，化为整式方程求解，注意最后要检验，才能得出结论． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 合并同类项得， 解得， 检验：当时，且， ∴是原方程的解． 7．(24-25九下·北京三帆中学·月考)方程的解为_________． 【答案】 【分析】先通过去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解后检验所得解是否使原方程分母不为0． 【详解】解： 两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为1，得， 检验：当时，，即原方程分母不为0， 故是原分式方程的解． 8．(25-26九下·北京交通大学附属中学·开学考)分式方程的解是__________． 【答案】 【分析】去分母将分式方程化为整式方程，解整式方程后检验，即可得到原方程的解. 【详解】解： 方程两边同乘最简公分母，得， 展开得， 移项合并同类项得， 解得. 经检验，当时，， 因此是原分式方程的解. 9．(25-26九·北京第五中学分校·月考)方程的解为________． 【答案】 【分析】先通过去分母将分式方程转化为一元一次方程，求解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解． 【详解】解：， 去分母，方程两边同乘最简公分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验：当时，， 因此是原分式方程的解． 10．(25-26九·北京西城区德胜中学·月考)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】且 【分析】先根据一元二次方程的定义确定二次项系数不为0，再利用根的判别式建立不等式，联立求解即可得到的取值范围； 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， ∵该方程有两个不相等的实数根， ∴根据一元二次方程根的判别式， 即：， 解得：， 实数的取值范围是且． 11．(25-26九下·北京三帆中学·开学考)方程的解为_______． 【答案】 【分析】先通过去分母将分式方程转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得解是否使原分式方程分母不为，进而确定原方程的解． 【详解】解： 两边同乘最简公分母得：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 12．(25-26九下·北京师范大学附属实验中学·开学考)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则c的值可以是____________． 【答案】2（答案不唯一，即可） 【分析】利用一元二次方程根的判别式求出c的取值范围即可得到答案． 【详解】解：因为方程有两个不相等的实数根， 所以， 解得， 故答案为：2（答案不唯一，即可） 13．(25-26九·北京第八中学·月考)解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：解不等式， ， ； 解不等式， ， ， ， ， 不等式组的解集为． 14．(25-26九·北京景山学校·月考)解不等式组，并写出它的所有整数解． 【答案】；所有整数解为，，， 【分析】先分别求解两个不等式，即可得出不等式组的解，再得出所有整数解． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解为， 它的所有整数解为，，，． 15．(25-26九下·北京第四中学·月考)解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求出不等式组中两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 16．(25-26九下·北京陈经纶中学·月考)解不等式组：． 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式的解集为． 17．(25-26九下·北京师达中学·月考)解不等式组：． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为得； 解不等式， 两边同乘去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 原不等式组的解集为． 18．(24-25九下·北京第五十七中学·月考)为防治污染，保护和改善生态环境，某汽车厂生产新型汽车，汽车尾气排放量要求如下：A类物质排放量不超过，A，B两类物质排放量之和不超过．已知该型号汽车的A类比B两类物质排放量多．经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为．判断这次技术改进后该汽车的A类物质排放量是否符合要求，并说明理由． 【答案】不符合，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列方程是解题的关键． 设该型号汽车技术改进前的类物质排放量为，则该型号汽车的类物质排放量为，列方程求解即可． 【详解】解：不符合，理由如下： 设该型号汽车技术改进前的类物质排放量为，则该型号汽车的类物质排放量为， ∵经过一次技术改进，该汽车的A类物质排放量降低了，B类物质排放量降低了，A，B两类物质排放量之和为． ∴， 解得： ∴， 这次技术改进后该汽车的A类物质排放量不符合“标准”． 19．(2025·北京中考真题)北京风筝制作技艺是国家级非物质文化遗产．为制作一只京燕风筝，小明准备了五根直竹条（如图1）：一根门条、两根等长的膀条和两根等长的尾条．他将门条和膀条分别烤弯后与尾条一起扎成风筝的骨架（如图2），其头部高、胸腹高与尾部高的比是．已知单根膀条长是胸腹高的5倍，门条比单根膀条短10cm，图1中的长是门条长的，的长均等于胸腹高．求这只风筝的骨架的总高． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，弄清量之间的关系、列出一元一次方程是解题的关键． 设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为；由列方程求出，进而求出风筝的骨架的总高即可． 【详解】解：设胸腹高为，则单根膀条长为，门条的长度为，，，头部高为x，尾部高为，这只风筝的骨架的总高为， 由，可得：，解得：； 所以这只风筝的骨架的总高． 答：这只风筝的骨架的总高． 20．(2025·北京大兴区二模)列方程（组）解应用题： 五一期间，在“国家补贴+商场直降”双重优惠推动下，消费者家电换新需求得到充分激活．国家补贴政策是购买两款空调均可享受原价的国家补贴；商场促销规则是购买空调的原价不低于4000元时，享受国家补贴后商场再直降500元，购买空调原价低于4000元时，只享受国家补贴．已知款空调原价（高于4000元）比款空调原价（低于4000元）的2倍少300元．若按此销售规则购买一台款空调比一台款空调多花1500元，购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省多少元？ 【答案】购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元，再根据题意建立方程求出，再计算节省的费用． 【详解】解：设一台款空调的原价为元，则一台款空调的原价为元， 由题意可知， ． 解得：， ， 所以， 答：购买一台款空调和一台款空调与原价比共节省2120元． 21．(2025·北京丰台区二模)2024年12月29日，“”动车组样车在北京发布，标志着“科技创新工程”取得重大突破．北京南站与上海虹桥站之间的铁路长约为，若“”动车投入使用后，某日上午，“”、“复兴号”两辆动车同时分别从北京南站、上海虹桥站出发，相向而行，匀速行驶，当日上午相遇．此后，“复兴号”动车的速度提升了，当日12：30到达北京南站．若“”动车的速度不变，则“”动车当日12：00前是否可以到达上海虹桥站，并说明理由． 【答案】“”动车可以在当日12:00前到达，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用，掌握速度路程时间是解题关键．设相遇前“复兴号”动车的速度为，根据题意列方程求出，进而求出“”动车的速度，得到“”动车的行驶时间，即可求解． 【详解】解：“”动车可以在当日12:00前到达，理由如下： 设相遇前“复兴号”动车的速度为． 由题意可知，．解得． 所以“”动车的速度为． 所以“”动车的行驶时间为． 所以“”动车到达上海虹桥站的时间为当日11:15，可以在当日12:00前到达． 22．(2025·北京海淀区二模)为了解新能源汽车的能耗情况，某测评公司推出了“真实路况能耗挑战”测试．测试路线由市区道路和高速道路两部分组成．如果挑战结束后车辆的百公里平均能耗不高于，则视为挑战成功．一款新能源汽车在测试路线的市区道路中百公里平均能耗为，在高速道路中百公里平均能耗为，此次测试的总能耗为．若本次测试道路中市区道路的长度是高速道路长度的4倍，请通过计算判断该车是否能挑战成功． 【答案】该车能挑战成功，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里，根据题意，列出方程，可得本次测试的总道路长度为2百公里，即可求解． 【详解】解：设本次测试道路高速道路长度为百公里，市区道路长度为百公里． 依题意，得． 解得． ． 即本次测试的总道路长度为2百公里． 本次测试的总能耗为． 本次测试的百公里平均能耗为． 本次测试的百公里平均能耗不高于． 该车能挑战成功． 23．(2025·江苏中考真题模拟)我国首台千万亿次超级计算机“天河一号”现在安装的是由我国自行设计制造的“飞腾”计算机中央处理器（CPU）芯片．据了解，安装“飞腾”芯片后，“天河一号”的运算速度将在原来的基础上提速，达到每秒1200万亿次．已知一项复杂的运算任务在安装“飞腾”芯片后比安装前使用其他芯片快10分钟，请算出“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需多长时间． 【答案】“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间 【分析】本题考查一元一次方程的应用．设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟，则“天河一号”原来的运算速度为，根据这项任务的总量不变列出方程求解即可． 【详解】解：设以现在的运算速度完成这项任务需x分钟． ， 解得． 答：“天河一号”以现在的运算速度完成这项任务需50分钟时间． 24．(24-25九下·北京陈经纶中学分校·月考)高速公路某收费站出城方向有编号为的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 (1)在五个收费出口中，判断每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口． (2)节假日期间，高速公路收费站出城方向的车流量整体增加．假设各收费出口每20分钟通过的小客车数量同比增长相同的百分比．此时同时开放出口和分钟内通过的车辆数为300辆．求增长率的值（精确到）． 【答案】(1)B出口 (2) 【分析】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，一元一次方程的实际应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据表中数据两两相比较即可得到结论； （2）由原来的通过客车数量乘以即为现在通过的车辆数，可建立方程求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 由和得 由和得 ∴每分钟通过小客车数量最多的一个收费出□的编号是， （2）解：由题意得，， 解得：， 答：增长率为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $