精品解析：云南昭通市盐津县第二中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

盐津县第二中学2026年春季学期高二年级第一次月考 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 (其中为虚数单位)，，且，则实数的值为（ ） A. -3 B. 3 C. 3或-3 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】由题知必须为实数，进而得答案. 【详解】解：因为，所以中的必须为实数， 所以，此时实部恰为，满足题意. 故选：B. 【点睛】本题主要考查了数的概念的扩展简单应用，属于基础试题，解题的关键在于根据集合交集运算得必须为实数，进而求解.． 2. 一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是（位移单位：，时间单位：），则此物体在时的瞬时速度为（ ）. A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】D 【解析】 【分析】根据瞬时速度是位移函数的导数对原函数求导，代入求值即可. 【详解】因为，所以（瞬时速度是位移函数的导数）. 当时，. 故选：D. 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的性质及求和公式即可求解. 【详解】由等差数列的性质可得， 所以，解得. 故选:D. 4. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据导函数的图象判断出函数的单调区间、极值、最值，由此确定正确选项. 【详解】根据图象知： 当，时，函数单调递减； 当，时，函数单调递增. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故选项A不正确，选项D正确； 故当时，取得极小值，选项C不正确； 当时，不是取得最小值，选项B不正确； 故选：D. 5. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基底将向量进行表示，利用基底将向量进行表示，通过向量建立的方程组，求解这个方程组即可得到的值，从而得到所求. 【详解】由题意可知，设， 所以， 解得，则， 则以为基底时的坐标是． 故选：D． 6. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，确定圆心到直线的距离的取值范围，根据点到直线的距离公式及不等式的性质，求得的取值范围. 【详解】由题意，圆的圆心为，半径， 圆心到直线，即的距离， 由圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个， 得，即， 解得或． 故选：C． 7. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由于，所以构造函数，然后利用导数判断函数的单调性，再利用单调性比较大小即可 【详解】， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以，， 因为， 所以， 所以 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据导数的运算法则及复合函数求导公式依次判断即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由指数函数求导公式可得，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 9. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据数列的周期性以及与的关系可判断ABD，根据递推关系可判断C. 【详解】因为，， 所以，，， 所以数列是以3为周期的周期数列， 所以，，故A正确，B错误； 因为，， 所以，故C正确； ，故D错误． 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ） A. 其中一条渐近线的倾斜角为 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 C. 为定值 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由圆心到渐近线的距离等于半径求得，即可得渐近线判断A；设出的内切圆与其三边的切点，利用切线的性质得出点横坐标判断B；设点，求出，代入点在双曲线上的条件判断C；利用余弦定理求，并由基本不等式求最小值判断D. 【详解】双曲线，左右焦点为，且渐近线为， 由圆与渐近线相切，且圆心为，半径为1， 所以（负值舍），故渐近线方程为， 其中一条渐近线斜率为，即倾斜角为，A对； 由点为双曲线右支上（异于右顶点），设内切圆与三边切点分别为，如图， 由圆的切线性质知， ，即， 所以，当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上，B错； 设双曲线右支上的动点，则， 又双曲线的渐近线方程为，则为定值，C对； 由A分析，知直线为，倾斜角为，如下图示， 所以，则，结合C项的分析， 故， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：利用双曲线渐近线与圆相切及点线距离公式求参数，确定双曲线方程，综合运用双曲线定义、圆的切线性质、余弦定理、基本不等式知识判断各选项. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据条件，可得，即可求解. 【详解】由题知，又，则， 解得， 故答案为：. 12. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为，女生身高样本均值为160cm，方差为.则每个女生被抽入到样本的概率均为______，所有样本的方差为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】计算出抽样比即可得到每个女生被抽入到样本的概率，求出所有样本均值，再根据分层抽样方差计算公式计算可得. 【详解】依题意，每个女生被抽入到样本的概率等于抽样比； 由分层抽样知，样本中男生有人，女生有人， 则所有的样本均值为： ， 所以所有样本的方差 故答案为：； 13. 已知函数，且满足，则实数的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】构造函数，证明其为奇函数且单调递增，再对不等式变形为，即，则得到，再利用导数即可得到值. 【详解】令，其定义域为， 则，则为奇函数， 且， 因为和在上均单调递增，且恒成立， 则在上单调递增， 由得， 即， 则，， 令，则， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故时取最小值0，故不等式的解为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 设的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理，边角互化，利用三角恒等变换求解； （2）根据正弦定理和余弦定理求出边长，利用面积公式求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 可得， ，由，得， ，由为三角形内角，可得． 【小问2详解】 因为，所以由正弦定理可得 因为，， 所以，解得，所以， 所以． 15. 如图，在四棱锥中，平面，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明如下： 由平面，得， 由，得， ∵，∴， ∵，∴平面， ∵平面，∴. （2）. 【解析】 【分析】（1）由平面，得，由，得，由，得，从而平面，由此能证明． （2）在平面作于，连结，作于，连结，由平面，得，由，得平面，从而平面平面，进而平面，是直线与平面所成角，由此能求出直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在平面作于，连结，作于，连结， 由平面，得， 又，∴平面， 又平面，得平面平面， 结合，得平面， ∴是直线与平面所成角， 在四边形中，可得， 在中，可得， 在中，可得， 在中，， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】本题考查线线垂直的证明、线面角的正弦值的求法、空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识，考查转化与化归思想，考查空间想象能力和运算求解能力． 16. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且. （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程； （2）过点的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值. 【答案】（1） （2）证明：（1）当直线斜率存在时，如图1，设：， 联立直线与椭圆方程，可得， 显然，设，，则，， 所以. 由已知得，则，，所以，即为定值. 当直线斜率不存在时，直线垂直于轴，如图2，显然，可得，即. 综上所述，为定值. 【解析】 【分析】（1）依题意，根据椭圆的定义计算求解. （2）通过设直线方程与椭圆方程联立，再利用韦达定理、斜率公式进行计算求解. 【小问1详解】 由已知可得.又， 所以点的轨迹为以、为焦点的椭圆. 设椭圆的方程为， 则，所以，，，， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 略 17. 已知等比数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列及数列的前项和； （3）设，求的前项和. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）由及可得的值，由可得的值，进而求解即可； （2）结合等比数列的求和公式可得，进而得到，，进而结合错位相减法求和即可； （3）由题意可得，进而结合裂项相消法求和. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， 由题意得：，， 可得， 由，可得，由，可得，可得， 可得. 【小问2详解】 由，可得， 由，可得，可得， 可得的通项公式：， 可得：，① 则，② ①②得： ， 可得. 【小问3详解】 由可得， 可得： . 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴； （3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围． 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2） ，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 由题意可知，，解得． 所以，则， 又，则， 所以曲线在处的切线方程为， 故曲线在处的切线平行于轴． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再根据导数的正负得出单调区间； （2）根据导函数得出函数的单调性，再代入计算得出切线即可证明； （3）先求出导函数，再构造函数，再结合单调性得出参数范围. 【小问1详解】 当时，， 当时，，当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在上有两个零点，即方程在上有2个根． 设，则， 令，则，所以在上单调递增， 即在上单调递增， 又，则当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，当时，，当时，， 由题意可知，直线与曲线有两个交点，则， 故实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 盐津县第二中学2026年春季学期高二年级第一次月考 数学试题 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 集合 (其中为虚数单位)，，且，则实数的值为（ ） A. -3 B. 3 C. 3或-3 D. -1 2. 一个做直线运动的物体，其位移与时间的关系是（位移单位：，时间单位：），则此物体在时的瞬时速度为（ ）. A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 12 B. 10 C. 9 D. 8 4. 如图是函数的导函数的图象，下列结论中正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 当时，取得最小值 C. 当时，取得极大值 D. 在上是增函数，在上是减函数 5. 已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标是（　　） A. B. C. D. 6. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知，则的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 8. 下列求导数运算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列满足，，记数列的前项和为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知双曲线的左、右焦点分别为，为双曲线右支上的动点，过作两渐近线的垂线，垂足分别为．若圆与双曲线的渐近线相切，则下列命题正确的是（ ） A. 其中一条渐近线的倾斜角为 B. 当点异于顶点时，的内切圆的圆心总在直线上 C. 为定值 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 11. 若，是函数两个相邻的零点，则实数的值为______． 12. 某高中有学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息，按照分层随机抽样的方法抽取了容量为50的样本.经计算得到男生身高样本均值为170cm，方差为，女生身高样本均值为160cm，方差为.则每个女生被抽入到样本的概率均为______，所有样本的方差为______. 13. 已知函数，且满足，则实数的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 设的内角，，的对边分别为，，，已知． （1）求角； （2）若，，求的面积． 15. 如图，在四棱锥中，平面，，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 16. 17世纪荷兰数学家舒腾设计了多种圆锥曲线规，其中的一种如图1所示.四根等长的杆用铰链首尾链接，构成菱形.带槽杆长为，点，间的距离为2，转动杆一周的过程中始终有.点M在线段的延长线上，且. （1）建立如图2所示的平面直角坐标系，求出点E的轨迹Γ的方程； （2）过点的直线与Γ交于A、B两点.记直线MA、MB的斜率为、，证明：为定值. 17. 已知等比数列的前项和为且. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列及数列的前项和； （3）设，求的前项和. 18. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，若函数的最小值为，证明：曲线在处的切线平行于轴； （3）若函数在上有两个极值点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $