14.4.2-14.4.4 用样本估计总体的离散程度参数等（讲义）高一数学苏教版必修第二册

第十四章 统计 14.4.2-14.4.4 用样本估计总体的离散程度参数等 知识点一 用样本估计总体的离散程度参数 1.极差（全距） （1）定义：一组数据中最大值与最小值的差，即R=xmax−xmin （2）意义：最简单的离散程度度量，反映数据的波动范围；计算简便，但仅利用了极端值，无法体现中间数据的分布，易受极端值影响。 2. 样本方差、样本标准差： （1）样本方差、样本标准差： （2）方差意义：方差越大，数据的离散程度越大、波动越剧烈；方差越小，数据越集中在平均数附近。 （3）样本标准差意义：与原数据单位一致，更直观地反映数据的离散程度，实际应用中更常用；性质与方差一致：标准差越大，离散程度越大。 3.频率型方差公式：一般地，若取值为x1 ,x2 ,…,xn的频率分别为p1 ,p2 ,…,pn，则其方差为： 也可写成求和形式： 其中：是加权平均数（频率平均数）； pi是取值xi对应的频率，满足。 4. 分层抽样数据的方差计算公式： 即学即练 （24-25高一上·江西南昌·期末）某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图    女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 (1)求和的值； (2)计算男生样本的平均数和方差； (3)根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 【答案】(1)，； (2)平均数为169，方差为89 (3)平均数为166，方差为100.8. 【知识点】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、估计总体的方差、标准差、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据频率和为1求，由频率公式求的值； （2）根据平均数、方差公式求解； （3）根据分层抽样的平均数、方差公式求解. 【详解】（1）因为， 所以， 因为的频数为4，频率为0.1，所以样本容量为40， 则，所以； （2）由男生样本的频率分布直方图知， 平均数为， 方差为 ； （3）由女生样本的频率分布表可知 平均数为， 方差为 所以平均数为， 方差为. 所以估计高一年级全体学生身高的平均数为166，方差为100.8. 知识点二 用频率直方图估计总体分布 1.频率直方图绘制步骤： （1）计算全距R （2）确定组距与组数：数据量n<100时，通常分 5~12 组，组距d=（需取整，保证分组覆盖所有数据） （3）分组：将数据按组距划分为若干区间 （4）统计频数、计算频率：频数为每组内数据个数，频率= （5）绘制直方图：横轴为数据分组，纵轴为，每个矩形的面积 = 组距×=该组频率，所有矩形面积和为1。 2.用频率直方图估计总体数字特征： 数字特征 估计方法 几何意义 众数 最高矩形底边的中点横坐标 数据分布最集中的位置 中位数 左右两侧直方图面积相等的点（累计频率为 0.5 的位置） 将数据分为等比例的两部分 平均数 每个矩形的面积（频率）×该矩形底边中点的横坐标，求和 数据的加权平均，反映总体平均水平 3.频率直方图核心特征： 频率直方图不保留原始数据，仅反映数据的分布规律，因此基于直方图的数字特征均为估计值，与实际计算值存在偏差，且受分组方式影响。 即学即练 （24-25高二上·河南信阳·期中）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 【答案】(1) (2)平均数为，方差为. 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差、总体百分位数的估计 【分析】（1）依题意可知题目所求是第分位数，先判断第分位数落在哪个区间再求解即可； （2）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可. 【详解】（1）前4组的频率之和为， 前5组的频率之和为， 第分位数落在第5组，设为x，则，解得. “防溺水达人”的成绩至少为分. （2））的频率为，）的频率为， 所以的频率与的频率之比为 的频率与的频率之比为 设内的平均成绩和方差分别为， 依题意有，解得 ，解得， 所以内的平均成绩为，方差为. 知识点三 百分位数 1.定义：一般地，一组数据的k百分位数（pk） 是这样一个值：至少有k%的数据小于或等于pk； 至少有(100−k)%的数据大于或等于pk。 2.计算步骤：设数据个数为n，计算第k百分位数： （1）排序：将所有数据按从小到大的顺序排列； （2）计算位置指标：； （3）确定百分位数：若i是整数，则第k百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数； （4）若i不是整数，将i 向上取整（即其整数部分加上1），对应的项即为第k百分位数。 3.重要性质：（1）中位数与百分位数的关系：第 50 百分位数就是中位数，因此中位数是特殊的百分位数。 （2）百分位数的唯一性：按标准步骤计算，一组数据的第k百分位数是唯一的。 即学即练 （25-26高一下·全国·课后作业）调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下： 171  163  163  166  166  168  168  160  168  165 171  169  167  169  151  168  170  168  160  174 165  168  174  159  167  156  157  164  169  180 176  157  162  161  158  164  163  163  167  161 (1)作出频率分布表； (2)估计该校高三年级男生的身高数据的30%分位数． 【答案】(1)频率分布表见解析 (2)162.4 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计、绘制频率分布表 【分析】（1）由这组数据得到最大值与最小值，算出极差确定组距与组数，列出频率分布表即可； （2）先判断身高数据的30%分位数所在的组，再由百分位数的定义列算式求解即得. 【详解】（1）由这组数据可知最低身高为151cm，最高身高为180cm， 它们的差是，即极差为29； 由极差为29，确定组距为4，组数为8，列表如下： 分组 频数 频率 1 0.025 3 0.075 6 0.15 9 0.225 14 0.35 3 0.075 3 0.075 1 0.025 合计 40 1 （2）该校高三年级男生的身高数据在161.5cm以下所占比例为， 该校高三年级男生的身高数据在165.5cm以下所占比例为， 因此，分位数一定在区间内， 由于． 所以可以估计该校高三年级男生的身高数据的分位数约为162.4． 题型01 计算几个数据的极差、方差、标准差 1.混淆样本方差与总体方差的定义（除以n还是n−1）； 2.忽略方差的单位是原数据单位的平方，实际分析需用标准差； 3.认为方差为 0 是不可能事件（所有数据相等时方差为 0）。 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·贵州遵义·月考）引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（   ） （附：） A．6.42 B．6.18 C．5.96 D．5.84 【答案】A 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【详解】依题意，在分层随机抽样的方法所抽取的100人中，高一男生有人，高二男生有40人， 记高一男生成绩的平均数和方差分别为和； 高二男生成绩的平均数和方差分别为和， 则样本平均数为， 样本总体方差 . 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东·一模）已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【详解】因的平均数为1，方差为2，则， 于是数据的平均数为， 又，则， 于是数据的方差为： . 2．（25-26高一下·安徽合肥·月考）某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【详解】两班全部名同学数学成绩的平均数为， 方差. 题型02 根据方差、标准差求参数 典｜例｜精｜析 （2026·河北邢台·一模）若A组数据，，，的平均数为25，方差为5，B组数据，，，，5m的方差为8，则（   ） A．8 B．4 C．4或5 D．4或6 【答案】D 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】根据方差的定义计算即可. 【详解】由已知得，， 又， 所以数据的方差为 所以， 即， 所以， 所以， 即，解得或. 变｜式｜巩｜固 1.（24-25高一上·贵州遵义·期末）高三一数学优生为了检测自己的解题速度，记录了完成五套高考模拟题所用的时间（单位：分钟）分别为，，100，105，110.已知这组数据的平均数为105，方差为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】根据方差、标准差求参数、根据平均数求参数 【分析】代入平均数和方差公式，求，即可求解. 【详解】由条件可知，得,① 方差， 所以，② 由①，，代入②，可得 解得：或，所以. 故选：B 2．（24-25高一下·北京·开学考试）甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 日 日 日 日 日 日 日 甲地 乙地 记这天甲地每天最低气温的标准差为；记这天乙地每天最低气温的标准差为．根据上述信息，若，则值可以为_______．（写出一个符合题意答案即可） 【答案】（答案不唯一） 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数据的极差、方差、标准差、根据方差、标准差求参数 【分析】借助平均数与方差定义，先计算出两地每天最低气温的平均数后再计算其方差即可得. 【详解】， ， ， 则 ， 化简得，解得或， 故值可以为或. 故答案为：.（答案不唯一） 题型03 各数据同时加减（乘除）同一数对方差的影响 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·河南焦作·月考）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响、计算几个数据的极差、方差、标准差、平均数的和差倍分性质 【分析】利用平均数、方差的线性变换的性质判断选项A，B；利用均值的性质，结合已知条件判断选项C；利用方差的定义，结合计算，进而判断选项D． 【详解】对于A，，，移项得，故A正确； 对于B，，根据方差的线性性质得，故B正确； 对于C，， 由均值的性质得，得到， 则，故C正确； 对于D，由方差的定义得，则， 由题意得 ，故D错误． 故选：D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 【答案】B 【知识点】各数据同时加减同一数对方差的影响、计算几个数的平均数 【分析】根据平均数、方差的定义即可解答． 【详解】∵小亮的成绩和其他人的平均数相同，都是分， ∴该班人的测试成绩的平均分为分， 该班人的方差，即方差变小． 故选：B． 2．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知数据的平均数为5，方差为16，那么数据，的平均数和方差分别为（    ） A．6，8 B．5，8 C．6，4 D．8，6 【答案】C 【知识点】各数据同时乘除同一数对方差的影响、各数据同时加减同一数对方差的影响、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】根据平均数和方差的公式进行求解即可. 【详解】因为数据的平均数为5， 所以，解得， 所以数据的平均数为； 因为数据的方差为16， 所以， 化简得， 可以看出数据的方差为4. 故选：C. 题型04 用方差、标准差说明数据的波动程度 1.离散程度参数用于描述数据围绕平均数的波动大小，核心指标包括极差、方差、标准差。 2.最简单的离散程度度量，反映数据的波动范围；计算简便，但仅利用了极端值，无法体现中间数据的分布，易受极端值影响。 3.方差越大，数据的离散程度越大、波动越剧烈；方差越小，数据越集中在平均数附近。 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·陕西渭南·期末）澄城县统计局对两所高中高一学生的月考数学成绩进行抽样分析，得到如下数据： 甲校：85，88，90，92，95 乙校：80，85，90，95，100 (1)分别计算两校样本的平均数、极差和方差； (2)若以“成绩稳定且优秀”为标准，哪所学校表现更好？说明理由． 【答案】(1)甲：均值90，极差10，方差；乙：均值90，极差20，方差50； (2)甲校方差小，成绩更稳定，表现更好. 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据两个学校的数据，分别代入平均数，极差，方差公式，即可求解； （2）根据平均数和方差的大小，判断哪所学校表现更好. 【详解】（1）甲校的平均数，极差为， 方差为， 乙校的平均数，极差为， 方差为. （2）两个学校的平均水平一样，但甲校的方差小，所以甲校的成绩更稳定，表现更好. 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·课后作业）国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派____________参赛最为合适. 【答案】丙 【知识点】用方差、标准差说明数据的波动程度、用平均数的代表意义解决实际问题 【分析】由表根据平均数和方差的性质即可求解. 【详解】由表可知，丙的平均成绩较高，且发挥比较稳定，应派丙去参赛最合适. 故答案为：丙. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）： 甲：203  204  202  196  199  201  205  197  202  199 乙：201  200  208  206  210  209  200  193  194  194 (1)分别计算两个样本的平均数与方差； (2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？ 【答案】(1)，；， (2)甲台包装机的10袋糖果的平均质量更接近于200克，甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定. 【知识点】计算几个数的平均数、用方差、标准差说明数据的波动程度、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）利用公式直接求两个样本的平均数与方差即可； （2）根据（1）中的结果利用平均数和方差分析结果即可. 【详解】（1）， ， ， （2）因为，所以， 所以甲台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克； 又因为，所以甲台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定. 题型05 估计总体的方差、标准差 典｜例｜精｜析 （25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 【答案】B 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算、估计总体的方差、标准差 【分析】由题意，知样本中男、女员工的平均体重和方差分别为，，，，所占权重分别为和，根据分层抽样的均值和方差公式列方程求出的值，即可求得女员工的人数. 【详解】由题意，记样本中女员工的平均体重和方差分别为，，所占权重为， 男员工的平均体重和方差分别为，，则所占权重为， 则样本中全部员工的平均体重为， 依题意，方差为 . 化简得，解得 或(舍). 所以女员工的人数为：  . 故选：B .变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·江西九江·期末）为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】根据分层抽样均值、方差的计算公式计算即可. 【详解】由题意得，总体均值为， 根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为 . 故选：B. 2．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 【答案】B 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】首先计算总体平均数，再代入总体方差公式，即可求解. 【详解】由条件可知，总体平均数， 设组数据的平均数为，方差为，组数据的平均数是，方差是， 所以所有数据的总体方差， . 故选：B 题型06 计算频率分布直方图中的方差、标准差 1.纵轴含义：纵轴是，不是频率！矩形面积才是频率，这是高频易错点。 2.估计值的局限性：直方图的众数、中位数、平均数均为近似值，分组不同，结果会不同，不能替代原始数据的精确计算。 3.用直方图估计方差：可通过 “每组中点 × 频率” 计算平均数，再用 （mi为组中点，fi为组频率）估计方差，同样为近似值。 典｜例｜精｜析 （2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 【答案】(1) (2) (3)平均数为，方差为 【知识点】估计总体的方差、标准差、计算几个数的平均数、补全频率分布直方图 【分析】（1）利用频率之和为结合频率分布直方图列式求出； （2）利用频率分布直方图求出成绩为，，的学生人数，再根据分层抽样的概念求解即可； （3）先利用频率分布直方图求出和的学生人数，再根据平均数和方差公式计算求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可得， 解得. （2）由频率分布直方图知，样本考核成绩在，，的三组学生有（人）， 其中样本考核成绩在的市民人数为， 用分层抽样的方法应从考核成绩在的市民中抽取（人）． （3）由频率分布直方图知，成绩在的学生人数为， 成绩在的市民人数为， 所以总平均数， 总方差. 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 【答案】(1) (2)平均数小于中位数 (3) 【知识点】计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数 【分析】（1）利用频率分布表的性质求解平均数即可. （2）利用频率分布直方图的性质求解平均数和中位数，再比较大小即可. （3）先求出样本平均数，再结合样本方差公式求解方差即可. 【详解】（1）由题意得 . （2）因为小长方形面积和为1， 所以，解得， 设平均数为，中位数为， 由题意得 ， ， 因为， 所以中位数在中， 由中位数性质得， 解得，而， 可得中位数大于平均数. （3）因为男同学与女同学的人数之比为， 且女生有20人，所以男生有人， 由题意得， 则样本方差为. 2．（25-26高一上·河南南阳·月考）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 【答案】(1)，； (2)餐厅满意指数的平均数大于餐厅满意指数的平均数 (3) 【知识点】补全频率分布直方图、由频率分布直方图估计平均数、计算频率分布直方图中的方差、标准差 【分析】（1）根据频率分布直方图的频率和为1的性质，结合已知参数值求解； （2）利用组中点值与对应频率的乘积和计算两个餐厅满意指数的平均数，并比较大小； （3）先确定两组数据的人数，再根据混合数据的平均数和方差公式分步计算. 【详解】（1）B餐厅样本容量为50，区间频数为15，对应频率为. 频率分布直方图组距为2，故 所有区间频率和为，即，解得. （2）餐厅满意指数平均数. 餐厅满意指数平均数. 故. （3）B餐厅第三组频率为，人数为，平均数7，方差2； 第四组人数为，平均数9，方差1. 混合数据平均数. 方差. 题型07 总体百分位数的估计 常见百分位数： 第 25 百分位数（下四分位数，Q1）、第 50 百分位数（中位数，Q2）、第 75 百分位数（上四分位数， Q3），是描述数据分布的核心分位数。 典｜例｜精｜析 （2026·安徽安庆·二模）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 则该地区上半年月降水量的分位数为___________． 【答案】56 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】将6个降水量数据从小到大排列： 46， 48， 53， 56， 56， 58，则样本容量为. 根据百分位数计算规则，可得 因为不是整数， 所以向上取整为5，因此75%分位数为排序后第5个数据，即56. .变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三下·广东·月考）工具正加速渗透职场，但数据安全问题已成为职场人士对工具产生担忧的重要原因之一．某传媒数据中心随机调查位职场人，经统计，毫不担忧、轻微担忧、一般担忧、比较担忧、极度担忧的人数分别为、、、、，则这个数据的分位数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】将数据由小到大进行排序，利用百分位数的定义求解即可. 【详解】将个数据由小到大进行排序为：、、、、， 因为，故这个数据的分位数为. 2．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【知识点】总体百分位数的估计 【详解】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 题型08 由总体百分位等求参数 典｜例｜精｜析 （2026·福建龙岩·一模）已知从小到大排列的一组数据1，2，4，，8，10，若这组数据的第60百分位数与平均数相等，则实数的值为______. 【答案】5 【知识点】根据平均数求参数、总体百分位数的估计 【详解】因为，所以该组数据的第60百分位数为从小到大排列的第4个数据. 由题意知，解得. .变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的定义计算可得. 【详解】因为这组数据共个，所以，因此分位数为第6个数据和第7个数据的平均数， 因为该组数据的分位数为，所以，解得. 2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知一组数据：12，14，15，15，18，19，22，26，28，30，的第百分位数是26，则的值可以是（   ） A．22 B．23 C．25 D．27 【答案】D 【知识点】总体百分位数的估计 【分析】根据百分位数的概念求解即可. 【详解】一组数据：12，14，15，15，18，19，22，26，28，30，共11位数， 因为，所以第百分位数为从小到大排序的第8位数， 若第百分位数是26，则，故符合的只有D选项. 故选：D. 题型09 数字特征的综合问题 典｜例｜精｜析 （2026高一·全国·专题练习）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析； ①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定； ②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 【答案】(1) 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲的成绩更稳定；②乙射靶成绩比甲好；③乙更有潜力 【知识点】计算几个数的平均数、计算几个数的中位数、用方差、标准差说明数据的波动程度、根据折线统计图解决实际问题 【分析】（1）根据图中数据，分别求出乙的平均数、中位数和甲的中位数，即可完成表格. （2）根据方差、中位数的意义及折线图的走势，分析即可得答案. 【详解】（1）由题图可知，乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， 所以. 乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是. 甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7. 于是填充后的表格如下表所示： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 （2）①甲、乙的平均数相同，均为7，但， 说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大，故甲的成绩更稳定. ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大， 故从平均数和中位数的角度分析乙射靶成绩比甲好. ③从折线图可以看出乙的成绩有明显进步，甲的较为稳定，所以乙更有潜力. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一上·江西宜春·期末）某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（   ） A．这组数据的众数是56 B．这组数据的极差是4 C．这组数据的60%分位数是55 D．去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 【答案】BC 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的众数、总体百分位数的估计 【分析】由题意将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，即可得众数与极差，对于C，由百分位数计算方法即可求解，对于D，先求出这组数据的平均数为54，且第5年的数据为54，由方差的计算公式可知，去掉第5年的数据后方差变大，故D错误. 【详解】将数据从小到大排列为52，52，53，54，55，56，56，众数是52和56，A错误；极差是，B正确； 对于C，，所以60%分位数是从小到大排列的第5个数，即为55，C正确； 对于D，该组数据的平均数为，第5年的数据为54，设原始数据的方差为，去掉第5年的数据后的方差为，则 ， ， 即，故D错误. 故选：BC. 2.（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 【答案】(1)，第75百分位数是84 (2)样本成绩的众数、中位数和平均数分别约为，75，74 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、根据频率分布直方图计算众数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有矩形的面积和为1列方程可求得的值，根据百分位数的定义可求解第75百分位数；（2）频率分布直方图中，众数的估计值是最高矩形对应区间的中间值，中位数的估计值左右两边矩形面积和均为，平均数的估计值是每组的组中值乘以该组的频率之和. 【详解】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积和为1， 所以，解得. 样本成绩在内的频率为，在内的频率为， 所以第75百分位数，所以，解得，即样本成绩的第75百分位数是84. （2）因为最高矩形对应的区间为，所以样本成绩的众数约为； 由（1）知样本成绩在内的频率为，而成绩在内的频率为， 所以中位数，所以，解得，即样本成绩的中位数约为； 由得样本成绩的平均数约为74. 题型10 频率分布直方图的实际应用 1.高频考点：频率直方图的数字特征计算（众数、中位数、平均数）、方差 / 标准差的计算与意义、百分位数的计算； 2.命题特点：常以实际情境（如产品质量、学生成绩、民生数据）为载体，结合频率直方图考查数字特征的估计，或结合统计案例考查方差的应用； 频率直方图纵轴含义、百分位数的位置计算、方差的单位问题。 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·甘肃·月考）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． 【答案】(1)，平均数为69.5 (2)21.9 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、估计总体的方差、标准差、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形面积和为1，可得a值，根据频率分布直方图中平均数的求法，代入数据，即可得答案. （2）根据第四组和第五组的频率之比，可得合并后的平均数，根据合并后的方差的公式，代入求解，即可得答案. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计这200名候选者面试成绩的平均数， 即估计这200名候选者面试成绩的平均数为69.5． （2）设第四组、第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为，，，， 则，，，， 且这两组的频率之比为4：1，则这两组的平均数为， 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的测试成绩的方差为： 所以第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差为21.9． .变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题. (1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数； (2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差. 附：方差计算公式：. 【答案】(1)，，第百分位数为. (2)平均数为，方差为. 【知识点】计算几个数的平均数、补全频率分布直方图、总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】（1）根据频率分布直方图中矩形面积和为以及已知条件可得出关于、的方程组，即可解出这两个未知数的值，再结合百分位数的定义可求得第百分位数； （2）利用平均数和方差公式可求得结果. 【详解】（1）由得，. 由，， 所以第80百分位数位于，记为，则. 化简得：，解得，所以第百分位数为. （2）设剔除、两个分数后，剩余的个分数分别记为、、、， 由题意得：，所以，. 由，所以，. 则. 故剩余个分数的平均数为，方差为. 2．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：分）分成、、、六组，得到如图所示频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差． 【答案】(1)，平均数为 (2) (3)， 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、计算几个数的平均数、总体百分位数的估计、估计总体的方差、标准差 【分析】（1）根据频率之和为，求图中的值，用该组区间的中点值代表同组数据计算样本数据的平均数； （2）求出第百分位数可得结果； （3）利用分层抽样的平均数公式和方差公式可求得结果. 【详解】（1）由题意可得，解得， 平均数为. （2）设“获得该荣誉证书的最低分数”为， 由于分数介于的频率为、分数介于的频率为， 故获得该荣誉证书的最低分数介于之间， 则有，解得. （3）成绩位于的学生人数为， 成绩位于的学生人数为， 因为落在中的样本数据的平均数是，方差是， 落在中的样本数据的平均数是，方差是， 所以两组数据的总平均数， 总方差为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十四章 统计 14.4.2-14.4.4 用样本估计总体的离散程度参数等 知识点一 用样本估计总体的离散程度参数 1.极差（全距） （1）定义：一组数据中最大值与最小值的差，即R=xmax−xmin （2）意义：最简单的离散程度度量，反映数据的波动范围；计算简便，但仅利用了极端值，无法体现中间数据的分布，易受极端值影响。 2. 样本方差、样本标准差： （1）样本方差、样本标准差： （2）方差意义：方差越大，数据的离散程度越大、波动越剧烈；方差越小，数据越集中在平均数附近。 （3）样本标准差意义：与原数据单位一致，更直观地反映数据的离散程度，实际应用中更常用；性质与方差一致：标准差越大，离散程度越大。 3.频率型方差公式：一般地，若取值为x1 ,x2 ,…,xn的频率分别为p1 ,p2 ,…,pn，则其方差为： 也可写成求和形式： 其中：是加权平均数（频率平均数）； pi是取值xi对应的频率，满足。 4. 分层抽样数据的方差计算公式： 即学即练 （24-25高一上·江西南昌·期末）某学校高一年级的学生有1200人，其中男生800人，女生400人，为了了解高一年级学生的身高信息，采用分层抽样的方法抽取样本，测量身高所得的统计数据如下频率分布直方图和频率分布表： 男生样本的频率分布直方图    女生样本的频率分布表 组别 频数 频率 4 0.10 8 n m p 12 0.30 2 0.05 (1)求和的值； (2)计算男生样本的平均数和方差； (3)根据上述数据，估计高一年级全体学生身高的平均数和方差 知识点二 用频率直方图估计总体分布 1.频率直方图绘制步骤： （1）计算全距R （2）确定组距与组数：数据量n<100时，通常分 5~12 组，组距d=（需取整，保证分组覆盖所有数据） （3）分组：将数据按组距划分为若干区间 （4）统计频数、计算频率：频数为每组内数据个数，频率= （5）绘制直方图：横轴为数据分组，纵轴为，每个矩形的面积 = 组距×=该组频率，所有矩形面积和为1。 2.用频率直方图估计总体数字特征： 数字特征 估计方法 几何意义 众数 最高矩形底边的中点横坐标 数据分布最集中的位置 中位数 左右两侧直方图面积相等的点（累计频率为 0.5 的位置） 将数据分为等比例的两部分 平均数 每个矩形的面积（频率）×该矩形底边中点的横坐标，求和 数据的加权平均，反映总体平均水平 3.频率直方图核心特征： 频率直方图不保留原始数据，仅反映数据的分布规律，因此基于直方图的数字特征均为估计值，与实际计算值存在偏差，且受分组方式影响。 即学即练 （24-25高二上·河南信阳·期中）某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图. (1)成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分； (2)已知落在内的平均成绩为67，方差是9，落在内的平均成绩是73，方差是29，求落在内的平均成绩和方差. 知识点三 百分位数 1.定义：一般地，一组数据的k百分位数（pk） 是这样一个值：至少有k%的数据小于或等于pk； 至少有(100−k)%的数据大于或等于pk。 2.计算步骤：设数据个数为n，计算第k百分位数： （1）排序：将所有数据按从小到大的顺序排列； （2）计算位置指标：； （3）确定百分位数：若i是整数，则第k百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数； （4）若i不是整数，将i 向上取整（即其整数部分加上1），对应的项即为第k百分位数。 3.重要性质：（1）中位数与百分位数的关系：第 50 百分位数就是中位数，因此中位数是特殊的百分位数。 （2）百分位数的唯一性：按标准步骤计算，一组数据的第k百分位数是唯一的。 即学即练 （25-26高一下·全国·课后作业）调查某校高三年级男生的身高，随机抽取40名高三男生，实测身高数据（单位：cm）如下： 171  163  163  166  166  168  168  160  168  165 171  169  167  169  151  168  170  168  160  174 165  168  174  159  167  156  157  164  169  180 176  157  162  161  158  164  163  163  167  161 (1)作出频率分布表； (2)估计该校高三年级男生的身高数据的30%分位数． 题型01 计算几个数据的极差、方差、标准差 1.混淆样本方差与总体方差的定义（除以n还是n−1）； 2.忽略方差的单位是原数据单位的平方，实际分析需用标准差； 3.认为方差为 0 是不可能事件（所有数据相等时方差为 0）。 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·贵州遵义·月考）引体向上是中小学体质健康测试男生的项目，主要测试学生上肢力量．在对某高中1000名高一、高二年级男生的引体向上成绩的调查中，采用分层随机抽样的方法抽取100人，已知这1000名学生中高一年级男生有600人，且抽取的样本中高一男生成绩的平均数和方差分别为5.5和6.74，高二男生成绩的平均数和方差分别为6.5和5.34，则总体方差（   ） （附：） A．6.42 B．6.18 C．5.96 D．5.84 变｜式｜巩｜固 1．（2026·广东·一模）已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26高一下·安徽合肥·月考）某校在一次考试后，对两班的数学成绩进行分析.已知班有人，平均成绩为分，方差为；班有人，平均成绩为分，方差为.则两班全部名同学数学成绩的方差是（   ） A． B． C． D． 题型02 根据方差、标准差求参数 典｜例｜精｜析 （2026·河北邢台·一模）若A组数据，，，的平均数为25，方差为5，B组数据，，，，5m的方差为8，则（   ） A．8 B．4 C．4或5 D．4或6 变｜式｜巩｜固 1.（24-25高一上·贵州遵义·期末）高三一数学优生为了检测自己的解题速度，记录了完成五套高考模拟题所用的时间（单位：分钟）分别为，，100，105，110.已知这组数据的平均数为105，方差为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25高一下·北京·开学考试）甲、乙两地10月1日至7日每天最低气温（单位：℃）如下： 日 日 日 日 日 日 日 甲地 乙地 记这天甲地每天最低气温的标准差为；记这天乙地每天最低气温的标准差为．根据上述信息，若，则值可以为_______．（写出一个符合题意答案即可） 题型03 各数据同时加减（乘除）同一数对方差的影响 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·河南焦作·月考）设样本数据的平均数为，方差为，设，样本数据的平均数为，方差为，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一上·湖北十堰·自主招生）高一某班有人，老师对一次数学测试进行了统计分析.由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他人的平均分为分，方差.后来小亮进行了补考，成绩为分，关于该班成绩，下列说法正确的是（    ） A．平均分不变，方差变大 B．平均分不变，方差变小 C．平均分和方差都不变 D．平均分和方差都改变 2．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知数据的平均数为5，方差为16，那么数据，的平均数和方差分别为（    ） A．6，8 B．5，8 C．6，4 D．8，6 题型04 用方差、标准差说明数据的波动程度 1.离散程度参数用于描述数据围绕平均数的波动大小，核心指标包括极差、方差、标准差。 2.最简单的离散程度度量，反映数据的波动范围；计算简便，但仅利用了极端值，无法体现中间数据的分布，易受极端值影响。 3.方差越大，数据的离散程度越大、波动越剧烈；方差越小，数据越集中在平均数附近。 典｜例｜精｜析 （25-26高一上·陕西渭南·期末）澄城县统计局对两所高中高一学生的月考数学成绩进行抽样分析，得到如下数据： 甲校：85，88，90，92，95 乙校：80，85，90，95，100 (1)分别计算两校样本的平均数、极差和方差； (2)若以“成绩稳定且优秀”为标准，哪所学校表现更好？说明理由． 变｜式｜巩｜固 1.（25-26高一下·全国·课后作业）国家射击队要从甲、乙、丙、丁四名队员中选出一名选手去参加射击比赛，四人的平均成绩和方差如下表： 甲 乙 丙 丁 平均成绩 8.5 8.8 8.8 8 方差 3.5 3.5 2.1 8.7 则应派____________参赛最为合适. 2．（25-26高一下·全国·课后作业）甲、乙两台包装机同时包装质量为200克的糖果，从中各抽出10袋，测得其实际质量分别如下（单位：克）： 甲：203  204  202  196  199  201  205  197  202  199 乙：201  200  208  206  210  209  200  193  194  194 (1)分别计算两个样本的平均数与方差； (2)从计算结果看，哪台包装机包装的10袋糖果的平均质量更接近于200克？哪台包装机包装的10袋糖果的质量比较稳定？ 题型05 估计总体的方差、标准差 典｜例｜精｜析 （25-26高二上·黑龙江大庆·开学考试）某公司为了调查员工的体重（单位：千克），因为女员工远多于男员工，所以按性别分层，用按比例分层随机抽样的方法抽取样本，已知抽取的所有员工的体重的方差为120，其中女员工的平均体重为50，方差为50，男员工的平均体重为70，方差为30．若样本中有21名男员工，则样本中女员工的人数为（    ） A．68 B．63 C．35 D．48 .变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·江西九江·期末）为调查某地区中学生每天的睡眠时间，采用按样本量等比例分配的分层随机抽样，现抽取初中生1200人，其每天睡眠时间的均值为9小时，方差为0.24，抽取高中生800人，其每天睡眠时间的均值为8小时，方差为0.64，则估计该地区中学生每天睡眠时间的方差为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·河北邯郸·一模）已知组数据“”和组数据“”（）的平均数分别为80，90，方差分别为15，20，若，则由这两组数据构成的所有数据的总体方差为（    ） A．15 B．32 C．35 D．42 题型06 计算频率分布直方图中的方差、标准差 1.纵轴含义：纵轴是，不是频率！矩形面积才是频率，这是高频易错点。 2.估计值的局限性：直方图的众数、中位数、平均数均为近似值，分组不同，结果会不同，不能替代原始数据的精确计算。 3.用直方图估计方差：可通过 “每组中点 × 频率” 计算平均数，再用 （mi为组中点，fi为组频率）估计方差，同样为近似值。 典｜例｜精｜析 （2025·上海杨浦·一模）为了了解某校高三年级学生的体育成绩，随机选取名学生参加考核，将考核的成绩（满分分，成绩均为不低于分的整数）分成六组：，，，，，，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)在考核成绩为，，的三组学生中，用分层抽样的方法抽取人，则考核成绩在中的学生应抽取多少人? (3)若落在学生的平均成绩是，方差是，落在学生的平均成绩为，方差是，求这两组学生成绩的平均数和方差.（结果精确到） 变｜式｜巩｜固 1．（24-25高一上·贵州遵义·期末）某学校高一年级某班男同学与女同学的人数之比为，在学校的一次月考中，某数学教师为分析本班的成绩，作了如下统计： 女同学成绩频数分布表 成绩值区间 合计 频数 3 4 10 2 1 20 男同学成绩频率分布直方图 (1)估计本班女同学成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)根据男同学成绩的频率分布直方图，比较男同学成绩的平均数与中位数的大小； (3)已知女同学成绩的方差为169，男同学成绩的方差为104，估计该班全体同学成绩的方差（平均用四舍五入取整数计算，方差结果取整数）. 参考公式：总体划分为女生和男生2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为，，；，，，记总的样本平均数和样本方差分别为，，则. 2．（25-26高一上·河南南阳·月考）为了解学生对A，B两家餐厅的满意度情况，现从在A，B两家餐厅都用过餐的学生中随机抽取了50人，每人分别对这两家餐厅的满意度进行打分（分数区间为），将其分数记为满意指数.根据打分结果按分组，得到如图所示的频率分布直方图，其中B餐厅的满意指数在内的学生有15人. (1)求图中的值； (2)利用样本估计总体的思想，比较A，B两家餐厅满意指数的平均数的大小；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若B餐厅满意指数频率分布直方图中第三组满意指数的方差为2，第四组满意指数的方差为1，估计在B餐厅用过餐的第三组与第四组所有学生的满意指数的方差.（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 附：若数据的平均数为，方差为，数据的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新数据，设新数据的平均数为，则新数据的方差. 题型07 总体百分位数的估计 常见百分位数： 第 25 百分位数（下四分位数，Q1）、第 50 百分位数（中位数，Q2）、第 75 百分位数（上四分位数， Q3），是描述数据分布的核心分位数。 典｜例｜精｜析 （2026·安徽安庆·二模）统计某地区2025年上半年的月降水量，数据如下表： 月份 1 2 3 4 5 6 月降水量/mm 58 48 53 46 56 56 则该地区上半年月降水量的分位数为___________． .变｜式｜巩｜固 1．（25-26高三下·广东·月考）工具正加速渗透职场，但数据安全问题已成为职场人士对工具产生担忧的重要原因之一．某传媒数据中心随机调查位职场人，经统计，毫不担忧、轻微担忧、一般担忧、比较担忧、极度担忧的人数分别为、、、、，则这个数据的分位数是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·一模）已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 题型08 由总体百分位等求参数 典｜例｜精｜析 （2026·福建龙岩·一模）已知从小到大排列的一组数据1，2，4，，8，10，若这组数据的第60百分位数与平均数相等，则实数的值为______. .变｜式｜巩｜固 1．（2026·河北保定·一模）已知一组数据从小到大排列为4，6，7，8，，m，，，，，若该组数据的分位数是，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·福建漳州·模拟预测）已知一组数据：12，14，15，15，18，19，22，26，28，30，的第百分位数是26，则的值可以是（   ） A．22 B．23 C．25 D．27 题型09 数字特征的综合问题 典｜例｜精｜析 （2026高一·全国·专题练习）甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析； ①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定； ②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）（25-26高一上·江西宜春·期末）某企业积极响应国家节水号召，对污水进行净化再利用，如图是该企业近7年的污水净化量（单位：t）的折线图，则（   ） A．这组数据的众数是56 B．这组数据的极差是4 C．这组数据的60%分位数是55 D．去掉第5年的数据后，新数据的方差会变小 2.（25-26高一上·陕西渭南·期末）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第75百分位数； (2)求样本成绩的众数、中位数和平均数； 题型10 频率分布直方图的实际应用 1.高频考点：频率直方图的数字特征计算（众数、中位数、平均数）、方差 / 标准差的计算与意义、百分位数的计算； 2.命题特点：常以实际情境（如产品质量、学生成绩、民生数据）为载体，结合频率直方图考查数字特征的估计，或结合统计案例考查方差的应用； 频率直方图纵轴含义、百分位数的位置计算、方差的单位问题。 典｜例｜精｜析 （25-26高一下·甘肃·月考）某高校承办了地铁站的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了200名候选人的面试成绩（成绩均在内）并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值，并估计这200名候选者面试成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； (2)现从第四组和第五组中用分层随机抽样的方法选取20人的成绩，若这20人中来自第四组候选者的面试成绩的平均数和方差分别为80和6.5，来自第五组候选者的测试成绩的平均数和方差分别为90和3.5，据此估计这次第四组和第五组所有参与测试的候选者的成绩的方差． .变｜式｜巩｜固 1．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）为贯彻二十大精神，弘扬优秀传统文化，某校举行了一次“传统文化知识竞赛”.为了解本次竞赛成绩，该校随机抽取了部分学生的成绩（单位：分），作为样本进行统计，并将样本数据分为五组，分析整理后形成了频率分布直方图，如图所示，其中.根据相关信息，解决下列问题. (1)求、的值并估计本次参加竞赛的学生的成绩的第百分位数； (2)已知在此次竞赛成绩中随机抽取了名学生的成绩：、、、，这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和两个分数，求剩余个分数的平均数与方差. 附：方差计算公式：. 2．（25-26高一上·山西忻州·期末）某中学举行了一次环保知识竞赛，为了了解本次竞赛的情况，从中抽取了名学生的成绩作为样本进行统计，将其成绩（满分：分）分成、、、六组，得到如图所示频率分布直方图． (1)求图中的值，并估计样本数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若根据这次成绩，学校准备给成绩较高的前的学生颁发“环保小达人”荣誉证书，估计获得该荣誉证书的最低分数； (3)若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求这两组数据的总平均数和方差． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $