14.4.3 用频率分布直方图估计总体分布14.4.4 百分位数(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册（苏教版）

本讲义聚焦“用频率分布直方图估计总体分布”与“百分位数”核心知识点，前者通过样本频率分布估计总体取值规律，后者结合定义及计算步骤确定数据特定位置，构建从整体分布到具体位置的统计学习支架。 以“补考分数线确定”等情境培养数学眼光，通过珍珠质量百分位数计算等实例提升数学思维，用阶梯电价应用强化数学语言表达。课中助力教师引导探究，课后练习助学生巩固，有效查漏补缺。

14.4.3　用频率分布直方图估计总体分布 14.4.4　百分位数 课标要求 1.结合实例，能用样本估计总体的取值规律（数据分析）. 2.结合实例，理解百分位数的统计含义，能用样本估计百分位数（数学运算）. 某大学专业课程考试结果揭晓，根据规定，0.8%的同学需要补考. 【问题】　如何确定需要补考的分数线？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　百分位数 1.定义：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值pk，它使得这组数据中至少有　k%　的数据小于或等于pk，且至少有　（100－k）%　的数据大于或等于pk. k百分位数也称为第k百分位数或k%分位数. 如果将样本数据　从小到大排列成一行　，那么k百分位数pk所处位置如图所示. 2.计算一组n个数据的k百分位数的步骤 通常，我们按如下方法计算有n个数据的大样本的k百分位数： 第1步　将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步　计算　n·　； 第3步　如果结果为整数，那么k百分位数位于第　n·　位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步　如果n·不是整数，那么将其　向上取整　（即其整数部分加上1），在该位置上的数值即为k百分位数. 3.四分位数 25，50，75这三个百分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数，其中，中位数即为50百分位数，25百分位数也称为下四分位数，75百分位数也称为上四分位数. 【想一想】 1.某组数据的k百分位数在此组数据中一定存在吗？为什么？ 提示：不一定.因为按照计算k百分位数的步骤，第2步计算所得的n·如果是整数，则k百分位数为第n·位和下一位数值的平均数，若第n·位和下一位数值不相等，则k百分位数在此组数据中就不存在. 2.班级人数为50的班主任老师说“90%的同学能够考取本科院校”，这里的“90%”是百分位数吗？ 提示：不是.是指能够考取本科院校的同学占同学总数的百分比. 1.〔多选〕下列表述不正确的是（　　） A.第p百分位数可以有单位 B.一个总体的四分位数有4个 C.样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确 D.对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则小明得了95分 解析：BD　易知A、C正确；一个总体的四分位数有3个，故B错误；第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值，故D错误.故选B、D. 2.已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是（　　） A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3 B.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据 C.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数 D.把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数 解析：C　因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，故C正确.故选C. 3.（2025·南京期末）数据4，1，6，2，9，5，8的60百分位数为　6　. 解析：将数据从小到大排序：1，2，4，5，6，8，9，共7个，7×60%＝4.2，故第60百分位数为第5个数据6. 题型一｜用频率分布直方图估计总体分布 【例1】　某校组织了航天知识竞赛，根据该校男、女生人数比例，使用分层抽样的方法随机调查了200名学生，统计他们的成绩（单位：分），样本数据按照[40，50），[50，60），…，[90，100]进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求a的值并估计该校学生成绩的平均数（每组数据以该组区间的中点值为代表）和中位数； 解：（1）由10×（0.001＋0.002＋0.017＋0.04＋a＋0.018）＝1， 得a＝0.022. 平均数为10×（45×0.001＋55×0.002＋65×0.017＋75×0.04＋85×0.022＋95×0.018）＝78.4（分）. 设这200名学生成绩的中位数为m， 由频率分布直方图可知m∈[70，80）， 且（0.001＋0.002＋0.017）×10＋0.04×（m－70）＝0.5， 解得m＝77.5（分）. 估计该校学生成绩的平均数和中位数分别为78.4分，77.5分. （2）已知样本中有的男生的成绩小于80分，成绩不小于80分的男、女生人数相等，则估计该校男生与女生的人数之比. 解：（2）由频率分布直方图可知样本中成绩不小于80分的人数为（0.022＋0.018）×10×200＝80. 由题意知这80人中有40人是男生， 又因为成绩小于80分的男生占样本中男生人数的， 故这40名男生占样本中所有男生人数的， 因此样本中男生人数为120，女生人数为80， 因此样本是采用分层抽样的方法得到的， 故估计该校男生与女生的人数之比为120∶80＝3∶2. 通性通法 解决与频率分布直方图有关问题的关系式 （1）×组距＝频率； （2）＝频率，此关系式的变形为＝样本容量，样本容量×频率＝频数. 【跟踪训练】 　某地区的经济林共有树木8万棵，为了解经济林的生长情况，随机测量其中20棵树木的底部周长，树木的底部周长数据（单位：cm）统计如下表： 分组 频数 频率 频率/组距 [180，200） 1 0.05 0.002 5 [200，220） 1 0.05 0.002 5 [220，240） 2 0.10 0.005 0 [240，260） 3 0.15 0.007 5 [260，280） 4 0.20 0.010 0 [280，300） 6 0.30 0.015 0 [300，320） 2 0.10 0.005 0 [320，340] 1 0.05 0.002 5 合计 20 1 0.050 0 （1）绘制频率分布直方图； 解：（1）频率分布直方图如图所示. （2）估计这8万棵树木中底部周长不低于280 cm的有多少棵； 解：（2）由题意得8×（0.30＋0.10＋0.05）＝3.6（万棵）， 所以估计8万棵树木中底部周长不低于280 cm有3.6万棵. （3）假设同一组中的数据用该组区间的中点值代替，估计这8万棵树木底部周长的平均周长是多少？ 解：（3）由频率直方图得＝190×0.05＋210×0.05＋230×0.10＋250×0.15＋270×0.20＋290×0.30＋310×0.10＋330×0.05＝269（cm）. 故估计这8万棵树木底部周长的平均周长是269 cm. 题型二｜百分位数的计算 【例2】　（链接教科书第261页例11）从某珍珠加工公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量（单位：g）如下： 7.9，9.0，8.9，8.6，8.4，8.5，8.5，8.5，9.9，7.8，8.3，8.0. （1）求这组数据的下四分位数和上四分位数； 解：（1）下四分位数为25百分位数，上四分位数为75百分位数， 将所有数据从小到大排列，得 7.8，7.9，8.0，8.3，8.4，8.5，8.5，8.5，8.6，8.9，9.0，9.9， 因为共有12个数据，所以12×＝3， 又这组数据的第3和第4位数分别是8.0和8.3， 所以这组数据的下四分位数是＝8.15； 又12×＝9，这组数据的第9和第10位数分别是8.6和8.9， 所以这组数据的上四分位数是＝8.75. （2）求这组数据的95百分位数； 解：（2）因为共有12个数据，所以12×＝11.4， 将11.4向上取整得整数12，由（1）得，从小到大排序后的数据的第12位数是9.9. 所以95百分位数是第12个数据为9.9. （3）若用25、75、95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准. 解：（3）由（1）可知样本数据的25百分位数是8.15，75百分位数为8.75，95百分位数是9.9，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.75 g的珍珠为合格品，质量大于8.75 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品. 通性通法 计算一组n个数据的k百分位数的步骤 （1）排序：将所有数值按照从小到大的顺序排列； （2）计算i：计算i＝n×k%； （3）定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则k百分位数为第j项数据；若i是整数，则k百分位数为第i项与第（i＋1）项数据的平均数. 【跟踪训练】 1.如图所示是根据某市3月1日至3月10日的最低气温（单位：℃）的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80百分位数是（　　） A.－2　　　　　　　　 B.0 C.1　 D.2 解析：D　由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列为：－3，－2，－1，－1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80%＝8，是整数，则这10天最低气温的80百分位数是＝2. 2.数据3.2，3.4，3.8，4.2，4.3，4.5，x，6.6的65百分位数是4.5，则实数x的取值范围是（　　） A.[4.5，＋∞）　 B.[4.5，6.6） C.（4.5，＋∞）　 D.[4.5，6.6] 解析：A　因为8×＝5.2，所以这组数据的65百分位数是第6项数据4.5，则x≥4.5，故选A. 题型三｜百分位数的综合应用 【例3】　某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费. （1）求某户居民用电费用y（单位：元）关于月用电量x（单位：千瓦时）的函数解析式； 解：（1）当0≤x≤200时，y＝0.5x； 当200＜x≤400时，y＝0.5×200＋0.8×（x－200）＝0.8x－60； 当x＞400时，y＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×（x－400）＝x－140. 所以y与x之间的函数解析式为 y＝ （2）为了了解居民的用电情况，通过抽样获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图.若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的占80%，求a，b的值； 解：（2）由（1）可知，当y＝260时，x＝400，即用电量不超过400千瓦时的占80%， 结合频率分布直方图可知 解得a＝0.001 5，b＝0.002 0. （3）根据（2）中求得的数据计算用电量的75百分位数. 解：（3）设75百分位数为m， 因为用电量低于300千瓦时的频率为（0.001＋0.002＋0.003）×100＝0.6， 用电量不超过400千瓦时的频率为0.8， 所以75百分位数m在[300，400）内， 所以0.6＋（m－300）×0.002＝0.75， 解得m＝375千瓦时，即用电量的75百分位数为375千瓦时. 【母题探究】 　（变设问）根据（2）中求得的数据计算用电量的15百分位数. 解：设15百分位数为n，因为用电量低于100千瓦时的频率为0.001×100＝0.1，用电量不超过200千瓦时的频率为0.3， 所以15百分位数n在[100，200）内， 所以0.1＋（n－100）×0.002＝0.15， 解得n＝125千瓦时，即用电量的15百分位数为125千瓦时. 通性通法 　　频率分布直方图中p百分位数的求解方法 （1）确定p百分位数所在的区间[a，b）； （2）确定小于a和小于b的数据所占的百分比分别为fa%，fb%，则p百分位数为a＋×（b－a）. 【跟踪训练】 　从某校随机抽取100名学生，获取了他们一周课外阅读时间（单位：小时）的数据，整理得到数据分组及频率分布表如下： 排号 分组 频数 频率 1 [0，2） 6 0.06 2 [2，4） 8 0.08 3 [4，6） 17 b 4 [6，8） 22 0.22 5 [8，10） 25 0.25 排号 分组 频数 频率 6 [10，12） 12 0.12 7 [12，14） a 0.06 8 [14，16） 2 0.02 9 [16，18] 2 0.02 合计 100 1 （1）求频率分布表中a，b的值； 解：（1）a＝0.06×100＝6，b＝＝0.17. （2）计算这组数据的50%分位数，并估计是否有50%的学生的阅读时间达到7.68小时. 解：（2）阅读时间小于6小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＝0.31， 阅读时间小于8小时的所占比例是0.06＋0.08＋0.17＋0.22＝0.53， 所以50%分位数在[6，8）内， 所以50%分位数约为6＋2×≈7.73. 因为7.73＞7.68， 所以估计有50%的学生的阅读时间达到7.68小时. 1.有统计部门记录了某城市轨道交通1号线中的10个车站在某个时间点上车的人数，统计数据如下：70，60，60，50，60，40，40，30，30，10.则这组数据的60百分位数是（　　） A.50　 B.55 C.60　 D.40 解析：B　将数据从小到大排序为10，30，30，40，40，50，60，60，60，70.因为数据个数为10，且10×＝6，所以这组数据的60百分位数为＝55.故选B. 2.为全面普及科学知识，激发青少年探索未来创造力与想象力，提升青少年科学素养和创新能力，某校选拔参加科学竞赛决赛的8位同学的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（　　） A.86　 B.87 C.88　 D.90 解析：B　因为8×75%＝6，所以这组数据的第75百分位数是＝87. 3.为了了解某学校学生的身体发育情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示.根据此图，估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为　360　. 解析：由题中频率分布直方图，得这100名高中男生体重不小于70.5 kg的频率是（0.04＋0.035＋0.015）×2＝0.18，所以估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的频率是0.18，则估计该校2 000名高中男生中体重不小于70.5 kg的人数为2 000×0.18＝360. 4.求下列数据的四分位数. 13，15，12，27，22，24，28，30，31，18，19，20. 解：把12个数据按从小到大的顺序排列可得：12，13，15，18，19，20，22，24，27，28，30，31， 计算12×＝3，12×＝6，12×＝9， 所以数据的25百分位数为＝16.5， 50百分位数为＝21， 75百分位数为＝27.5. 1.（2025·扬州期末）数据63，65，70，73，76，78，80，84，88，90的45百分位数为（　　） A.73　　 B.76　　　C.77　　 D.78 解析：B　因为10×45%＝4.5，所以这10个数据的45百分位数为第5个数76.故选B. 2.高一年级共有1 000名学生参加物理测试，若所有学生成绩（单位：分）的第80百分位数是75，则物理成绩大于或等于75分的学生数至少有（　　） A.200　 B.220 C.240　 D.260 解析：A　由1 000×＝800，所以小于75分的学生最多有800人，所以大于或等于75分的学生至少有200人.故选A. 3.某班学生体检中检查视力的结果如下表，从表中可以看出，全班视力数据的30%分位数是（　　） 视力 0.6及 以下 0.7 0.8 0.9 1.0 1.0及 以上 占全班人数 的百分比 2% 5% 3% 20% 65% 5% A.0.9　 B.1.0 C.0.7　 D.0.6及以下 解析：A　从表中看出，视力为0.9及以下的人数占的百分比为2%＋5%＋3%＋20%＝30%，所以全班视力数据的30%分位数为0.9.故选A. 4.某商场在五一促销活动中，对5月1日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为（　　） A.6万元　 B.8万元 C.10万元　 D.12万元 解析：C　因为9时至10时的销售额为2.5万元，又9时至10时的频率为0.1，11时至12时的频率为0.4，故11时至12时的销售额为×0.4＝10（万元）.故选C. 5.某学习小组共有20人，在一次数学测试中，得100分的有2人，得95分的有4人，得90分的有5人，得85分的有3人，得80分的有5人，得75分的有1人，则这个学习小组成员该次数学测试成绩的第70百分位数是（　　） A.82.5　 B.85 C.90　 D.92.5 解析：D　根据题意，20×＝14，这个学习小组成员该次数学测试成绩的第14项为90，第15项为95，故第70百分位数为＝92.5. 6.〔多选〕某校高一（1）班某次测试数学成绩累积频数分布折线图如图所示，则下列说法正确的是（　　） A.没有人的成绩在30～40分这组内 B.第50百分位数位于60～70分这组内 C.第25百分位数位于40～50分这组内 D.第75百分位数位于70～80分这组内 解析：ABC　由题图知没有人的成绩在30～40分这组内，故A正确；由40×＝20，取第20、21项数据的平均数，所以第50百分位数位于60～70分这组内，故B正确；由40×＝10，取第10、11项数据的平均数，所以第25百分位数位于40～50分这组内，故C正确；由40×＝30，取第30、31项数据的平均数，所以第75百分位数位于60～70分这组内，故D不正确.故选A、B、C. 7.按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，若这组数据的下四分位数与上四分位数的和是73，则m＝　48　. 解析：对于按从小到大顺序排列的9个数据：10，16，25，33，39，43，m，65，70，因为9×＝2.25，所以下四分位数为25.因为9×＝6.75，所以上四分位数为m，所以25＋m＝73，解得 m＝48. 8.在共有100名学生参加的某项测试中，小张的成绩排名是第75名，小李的成绩是75百分位数，则他们两人中成绩较好的是　小李　. 解析：因为小李的成绩是75百分位数，所以约有75名学生的成绩比小李低，即小李的排名大约为第25名，因为小张的成绩排名是第75名，所以小李成绩较好. 9.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13，14），[14，15），[15，16），[16，17），[17，18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的第70百分位数约为　16.5　秒. 解析：设成绩的第70百分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16，17），所以0.55＋（x－16）×＝0.70，解得x＝16.5. 10.某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30），[30，40），…，[80，90]，并整理得到如图所示的频率分布直方图： （1）估计总体400名学生中分数小于70的人数； （2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50）内的人数； （3）根据该大学规定，把15%的学生划定为不及格，利用（2）中的数据，确定本次测试的及格分数线. 解：（1）根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为（0.02＋0.04）×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4. 所以总体400名学生中分数小于70的人数约为400×0.4＝160. （2）根据题意，样本中分数不小于50的频率为（0.01＋0.02＋0.04＋0.02）×10＝0.9， 分数在区间[40，50）内的人数为100－100×0.9－5＝5. 所以总体中分数在区间[40，50）内的人数估计为400×＝20. （3）由（2）可知，分数小于50的频率为＝0.1，分数小于60的频率为0.1＋0.1＝0.2，所以分数的第15百分位数在[50，60）内，由50＋10×＝55，则本次考试的及格分数线为55分. 11.某地区想实行阶梯电价，经调查发现，该地区居民用电量信息如下： 分位数 50% 分位数 70% 分位数 80% 分位数 90% 分位数 用电量/ （kW·h） 160 176 215 230 如果要求约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，可确定第二阶梯电价的用电量范围为（　　） A.（160，176]　 B.（176，215] C.（176，230]　 D.（230，＋∞） 解析：C　∵约70%的居民用电在第一阶梯内，约20%的居民用电在第二阶梯内，∴由表中数据可得，第二阶梯电价的用电量范围为（176，230].故选C. 12.〔多选〕甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（　　） A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的平均数等于乙的成绩的平均数 C.甲的成绩的第80百分位数等于乙的成绩的第80百分位数 D.甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差 解析：BCD　由题图可得，＝＝6，＝＝6，A项错误，B项正确；甲的成绩的第80百分位数是＝7.5，乙的成绩的第80百分位数是＝7.5，所以二者相等，C项正确；甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差也为4，D项正确. 13.小明班上有15名女生，其身高（单位：cm）的第25百分位数为155，后来转走了一位身高为165 cm的女生，则班上女生身高的第25百分位数　不变　.（填“变大”“变小”或“不变”） 解析：当班上有15名女生时，由15×＝3.75，可知女生身高的第25百分位数是第4项数据，当转走1人，剩下14名女生时，由14×＝3.5，可知女生身高的第25百分位数是第4项数据，易知转走女生的身高数据不在前4项，所以班上女生身高的第25百分位数不变. 14.某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费.现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照[0，4），[4，8），…，[16，20]分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）设该市共有20万居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12 t的用户数； （2）若该市政府希望使85%的居民用户月均用水量不超过标准x t，试估计x的值（精确到0.01）； （3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下： 级差 水量基数x（单位：t） 水费价格（元/t） 第一阶梯 x≤14 1.4 第二阶梯 14＜x≤20 2.1 第三阶梯 x＞20 2.8 小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量. 解：（1）由频率分布直方图可得（a＋0.06＋0.11＋a＋0.02）×4＝1，解得a＝0.03. 居民用户月均用水量不超过12 t的频率为（0.03＋0.06＋0.11）×4＝0.80， 所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于12 t的用户数为20×0.80＝16（万）. （2）由频率分布直方图知，居民用户月均用水量不超过12 t 的频率为0.80. 月均用水量不超过16 t的频率为0.92.则85%的居民用户月均用水量不超过的标准x∈[12，16），故0.80＋0.03（x－12）＝0.85，解得x≈13.67，即x的值为13.67. （3）因为19.6＝14×1.4＜28＜14×1.4＋（20－14）×2.1＝32.2.所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费，未达到第三阶梯收费. 设小明家上个月的用水量为m t，由28＝14×1.4＋（m－14）×2.1，得m＝18，所以小明家上个月的用水量为18 t. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $