14.4.2 用样本估计总体的离散程度参数-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（苏教版）

该高中数学课件聚焦用样本估计总体的离散程度参数，涵盖极差、方差、标准差及分层抽样方差。通过甲、乙钢筋抗拉强度实例导入，衔接平均数知识，搭建从集中趋势到离散程度的学习支架。 其亮点在于以情境问题驱动，结合数学抽象与数据分析，通过典例（如射击成绩方差比较）和分层抽样方差计算，培养数学思维与运算能力。助力学生理解统计含义，教师可借助系统例题与分层训练提升教学效率。

14.4.2　用样本估计总体的离散程度参数 1.结合实例，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义（数学抽象、数据分析）. 2.结合具体实例，掌握分层抽样的样本方差（数学运算）. 课标要求 基础落实 01 典例研析 02 课时作业 03 目录 01 PART 基础落实 基础落实 目 录 　　有甲、乙两种钢筋，现从中各抽取一个样本（如表所示）检查它们的 抗拉强度（单位：kg/mm2），通过计算发现，两个样本的平均数均为125 kg/mm2. 甲 110 120 130 125 120 125 135 125 135 125 乙 115 100 125 130 115 125 125 145 125 145 【问题】　哪种钢筋的质量较好？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点一　极差 1. 定义：一组数据的 称为极差. 2. 作用：一般情况下，极差大，则数据较分散，数据的波动性大；极差 小，则数据相对集中，数据的波动性小. 3. 范围：极差的取值范围是[0，＋∞）. 最大值与最小值的差　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点二　方差、标准差 1. 方差：设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为 ，则称s2 ＝ 为这个样本的方差，简称样本方差. 一般地，若取值为x1，x2，…，xn的频率分别为p1，p2，…，pn，则其方 差为p1（x1－ ）2＋p2（x2－ ）2＋…＋pn（xn－ ）2. 2. 标准差：方差的算术平方根s＝ ⁠为样本的标准 差，简称样本标准差. （xi－ ）2　 　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 方差、标准差的意义：方差（标准差）刻画了数据的离散程度或波动幅 度，方差（标准差）越大，数据的离散程度 ；方差（标准差）越 小，数据的离散程度 ；但在解决实际问题时，一般采用标准差； 标准差（方差）的取值范围为[0，＋∞），标准差的大小不超过极差. 越大　 越小　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【想一想】 1. 样本方差与样本标准差的区别与联系是什么？ 提示：区别：定义不同，单位不同.联系：样本标准差是样本方差的算术 平方根. 2. 数据x1，x2，…，xn的平均数是 ，方差为s2，数据x1，x2，…，xn， 的方差为 ，那么s2与 的大小关系如何？ 提示：因为数据x1，x2，…，xn， 比数据x1，x2，…，xn更加相对集 中，所以方差变小了，即 ＜s2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 知识点三　分层抽样数据的方差 1. 定义：一般地，如果总体分为k层，第j层抽取的样本为xj1，xj2，…， ，第j层的样本量为nj，样本平均数为 ，样本方差为 ，j＝1， 2，…，k.记 nj＝n，那么，所有数据的样本方差为 ＝ （xjt － ）2＝ ⁠. 2. 计算公式：设样本容量为n，平均数为 ，其中两层的个体数量分别为 n1，n2，两层的平均数分别为 ， ，方差分别为 ， ，则这个样本 的方差为s2＝ ⁠. nj[＋（ － ）2]　 [＋（ － ）2]＋ [＋（ － ）2]　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. （2025·南通期末）下列特征数中，刻画一组数据离散程度的是 （　　） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 √ 解析： 　平均数、中位数、众数是描述一组数据的集中趋势的量，极 差、方差、标准差是描述一组数据的离散程度的量.故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 在教学调查中，甲、乙、丙三个班的数学测试成绩与人数分布如图①、 ②、③，假设三个班的平均分都是75分，s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙 三个班数学测试成绩的标准差，则有（　　） A. s3＞s1＞s2 B. s2＞s1＞s3 C. s1＞s2＞s3 D. s3＞s2＞s1 √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　所给题图是成绩分布图，平均分是75分，在图①中，集中在75 分附近的数据最多，图③中从50分到100分均匀分布，所有成绩不集中在 任何一个数据附近，图②介于两者之间.由标准差的意义可得s3＞s2＞s1. 故选D. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 为了解某公司员工的身体情况，利用分层抽样的方法抽取了9名男员工 的身高和体重数据，计算得到他们体质指数的平均数为25.1，方差为6， 抽取了5名女员工的身高和体重数据，计算得到她们体质指数的平均数为 20.3，方差为3.则样本方差是 ⁠. 解析：样本平均数 ＝ ≈23.4，方差s2＝ ≈10.2. 10.2　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 02 PART 典例研析 典例研析 目 录 题型一｜方差、标准差的计算 【例1】　（链接教科书第253页例7）（1）某班20位女同学平均分为甲、 乙两组，她们参加环保知识竞赛的成绩如下（单位：分）： 甲组：60，90，85，75，65，70，80，90，95，80； 乙组：85，95，75，70，85，80，85，65，90，85. 分别计算两组数据的极差、方差和标准差. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：甲组：最高分为95分，最低分为60分，极差为95－60＝35（分）， 甲组平均分为 ＝ ×（60＋90＋85＋75＋65＋70＋80＋90＋95＋80） ＝79（分）， 甲组方差为 ＝ ×[（60－79）2＋（90－79）2＋（85－79）2＋（75－ 79）2＋（65－79）2＋（70－79）2＋（80－79）2＋（90－79）2＋（95－ 79）2＋（80－79）2]＝119， 甲组标准差为s甲＝ ＝ ≈10.91（分）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 乙组：最高分为95分，最低分为65分，极差为95－65＝30（分）， 乙组平均分为 ＝ ×（85＋95＋75＋70＋85＋80＋85＋65＋90＋85） ＝81.5（分）， 乙组方差为 ＝ ×[（85－81.5）2＋（95－81.5）2＋（75－81.5）2＋ （70－81.5）2＋（85－81.5）2＋（80－81.5）2＋（85－81.5）2＋（65－ 81.5）2＋（90－81.5）2＋（85－81.5）2]＝75.25， 乙组标准差为s乙＝ ＝ ≈8.67（分）. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）若k1，k2，…，k6的平均数为6，方差为3，试求2（k1－3），2（k2 －3），…，2（k6－3）的平均数与方差. 解： 因为k1，k2，…，k6的平均数为6，方差为3，则2（k1－3），2 （k2－3），…，2（k6－3）的平均数为2×（6－3）＝6，方差为22×3＝ 12. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 1. 计算方差常用公式 （1）定义法：s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ）2]； （2）简化法：s2＝ [（ ＋ ＋…＋ ）－n ]. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 具有线性关系的数据的平均数和方差 若数据x1，x2，…，xn与y1，y2，…，yn之间满足关系yi＝axi＋b，且数 据x1，x2，…，xn的平均数和方差分别为 和s2，那么y1，y2，…，yn的平 均数为a ＋b，方差为a2s2，标准差为｜as｜. 特别地，若yi＝xi±b，则y1，y2，…，yn的平均数为 ±b，方差为s2， 标准差为s；若yi＝kxi，则y1，y2，…，yn的平均数为k ，方差为k2s2， 标准差为｜ks｜. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 1. 如图是统计某样本数据得到的频率分布直方图，则样本数据的方差为（结果保留整数）（　　） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 √ 解析： 　由频率分布直方图可得样本数据的平均数为4×（0.02×4）＋ 8×（0.08×4）＋12×（0.09×4）＋16×（0.03×4）＋20× （0.03×4）＝11.52，其方差s2＝（4－11.52）2×0.08＋（8－11.52） 2×0.32＋（12－11.52）2×0.36＋（16－11.52）2×0.12＋（20－11.52） 2×0.12≈20. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 某班40名学生平均分成两组，两组学生某次考试成绩情况如下所示： 组别 平均数 标准差 第一组 90 4 第二组 80 6 求全班这次考试成绩的平均数和标准差. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：设第一组数据为x1，x2，…，x20，第二组数据为x21，x22，…，x40， 全班平均成绩为 ，标准差为s. 根据题意，有 ＝ ＝85， 42＝ （ ＋ ＋…＋ －20×902）， 62＝ （ ＋ ＋…＋ －20×802）， ∴ ＋ ＋…＋ ＝20×（42＋62＋902＋802）＝291 040. ∴s2＝ （ ＋ ＋…＋ －40 ） ＝ ×（291 040－40×852）＝51，∴s＝ . 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型二｜分层抽样的方差 【例2】　（链接教科书第255页例9）甲、乙两支田径队体检结果为：甲 队体重的平均数为60 kg，方差为200，乙队体重的平均数为70 kg，方差为 300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1∶4，那么甲、乙两队全部队 员的平均体重和方差分别是什么？ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：由题意可知 ＝60 kg，甲队队员在所有队员中所占权重为 ＝ ， ＝70 kg，乙队队员在所有队员中所占权重为 ＝ ， 则甲、乙两队全部队员的平均体重为 ＝ ×60＋ ×70＝68（kg）， 甲、乙两队全部队员的体重的方差为s2＝ ×[200＋（60－68）2]＋ ×[300＋（70－68）2]＝296. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 计算分层抽样的方差s2的步骤 （1）确定 ， ， ， ； （2）确定 ； （3）应用公式s2＝ [＋（ － ）2]＋ [＋（ － ）2]，计算s2. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　已知某省二、三、四线城市数量之比为1∶3∶6，2025年5月份调查得知 该省所有城市房产均价为1.2万元/平方米，方差为20，二、三、四线城市 的房产均价分别为2.4万元/平方米，1.6万元/平方米，0.8万元/平方米， 三、四线城市房价的方差分别为10，8，则二线城市房价的方差 为 ⁠. 119.12　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：记该省所有城市房产均价为 ，二线城市房价的方差为s2，由题意 可知 ＝1.2（万元/平方米），则20＝ ×[s2＋（2.4－1.2）2]＋ ×[10＋（1.6－1.2）2]＋ ×[8＋（0.8－1.2）2]，解得s2＝ 119.12，即二线城市房价的方差为119.12. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 题型三｜方差、标准差的应用 【例3】　甲、乙两名运动员在相同条件下各打靶10次，每次命中的环数 分别为： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. （1）分别计算以上两组数据的平均数； 解： ＝ ×（8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7）＝7， ＝ ×（6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5）＝7. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）分别求出两组数据的方差和标准差； 解： 由方差公式s2＝ [（x1－ ）2＋（x2－ ）2＋…＋（xn－ ） 2]，得 ＝3， ＝1.2. 故s甲≈1.7，s乙≈1.1. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （3）根据计算结果，估计两名运动员的射击情况.若要从这两人中选一人 参加射击比赛，选谁去合适？ 解： ＝ ，说明甲、乙两运动员的平均水平相当. 又 ＞ ，说明甲运动员射击情况波动大. 因此，乙运动员比甲运动员射击情况稳定.从成绩的稳定性考虑，应选择 乙参加比赛. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 通性通法 数据分析要点 （1）平均数反映的是样本的平均水平，方差和标准差则反映了样本的波 动、离散程度.对于形如“谁发挥更好”“谁更优秀”的题目，除比较数 据的平均数外，还应该比较方差或标准差的大小，以作出更为公正、合理 的判断； （2）在进行数据分析时，不同的标准没有对和错的问题，也不存在唯一 解的问题，而是根据需要来选择“好”的决策，至于决策的好坏，是根据 提出的标准而定的. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 【跟踪训练】 　某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训.现分别从他们在培训期间参 加的若干次测试成绩中随机抽取8次，数据如下（单位：分）： 甲 95 82 88 81 93 79 84 78 乙 83 75 80 80 90 85 92 95 （1）请你计算这两组数据的平均数、中位数； 解： ＝ ×（95＋82＋88＋81＋93＋79＋84＋78）＝85（分）， ＝ ×（83＋75＋80＋80＋90＋85＋92＋95）＝85（分）. 甲、乙两组数据的中位数分别为83分、84分. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）现要从中选派一人参加操作技能比赛，从统计学的角度考虑，你认 为选派哪名工人参加合适？请说明理由. 解： 由（1）知 ＝ ＝85分，则 ＝ ×[（95－85）2＋（82－85）2＋…＋（78－85）2]＝35.5， ＝ ×[（83－85）2＋（75－85）2＋…＋（95－85）2]＝41. ①从平均数看，甲、乙均为85分，平均水平相同； ②从中位数看，乙的中位数大于甲，乙的成绩好于甲； ③从方差来看，因为 ＝ ， ＜ ，所以甲的成绩较稳定； 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ④从数据特点看，获得85分以上（含85分）的次数，甲有3次，而乙有4 次，故乙的成绩好些； ⑤从数据的变化趋势看，乙后几次的成绩均高于甲，且呈上升趋势，因此 乙更具潜力. 综上分析可知，甲的成绩虽然比乙稳定，但从中位数、获得好成绩的次数 及发展势头等方面分析，乙具有明显优势，所以应派乙参赛更有望取得好 成绩. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 1. 已知数据3，7，a，6的平均数是4，则这组数据的标准差为（　　） A. B. C. D. √ 解析： 　由题意得 ＝4，即a＝0，则s2＝ ＝ ，所以s＝ ＝ .故 选C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 〔多选〕甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字 的个数经统计计算后填入下表： 班级 参加人数 中位数 方差 平均数 甲 55 149 191 135 乙 55 151 110 135 某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（　　） A. 甲、乙两班学生成绩的平均数相同 B. 甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大 C. 乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150为优秀） D. 甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数 √ √ √ 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均 数相同，故A正确； ＝191＞110＝ ，所以甲班成绩不如乙班稳定， 即甲班的成绩波动较大，故B正确；甲、乙两班人数相同，但甲班的中位 数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于 150个的人数要多于甲班，故C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数， 故D错误.故选A、B、C. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. （2025·盐城期末）若k1，k2，…，k8的方差为2，则3k1－2，3k2－ 2，…，3k8－2的方差为 ⁠. 解析：设k1，k2，…，k8的平均数为k，则s2＝ ［ （ki－k）2］＝2.显 然3k1－2，3k2－2，…，3k8－2的平均数为3k－2，所以方差为s'2＝ ［ [（3ki－2）－（3k－2）]2］＝9× ［ （ki－k）2］＝9×2＝18. 18　 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. 某学校统计教师职称及年龄，中级职称教师的人数为50人，其平均年龄 为38岁，方差是2，高级职称的教师3人58岁，5人40岁，2人38岁，求该校 中级职称和高级职称教师年龄的平均数和方差. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解：由已知条件可知高级职称教师的平均年龄为 ＝ ＝45 （岁）， 年龄的方差为 ＝ ×[3×（58－45）2＋5×（40－45）2＋2×（38 －45）2]＝73， 所以该校中级职称和高级职称教师的平均年龄为 ＝ ×38＋ ×45≈39.2（岁）， 该校中级职称和高级职称教师年龄的方差是 s2＝ ×[2＋（38－39.2）2]＋ ×[73＋（45－39.2）2]＝20.64. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 03 PART 课时作业 课时作业 目 录 1. 甲、乙两名同学参加了一次篮球比赛的全部7场比赛，平均每场得分都 是16分，标准差分别为3.5和4.62，则甲、乙两名同学在这次篮球比赛 中，发挥更稳定的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 甲、乙相同 D. 不能确定 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　因为甲、乙平均每场得分相同，都是16分，而甲的标准差3.5小 于乙的标准差4.62，即甲每场比赛的得分波动较乙的小，甲发挥更稳定. 故选A. 数学·必修第二册（SJ） 目 录 2. 有一农场在同一块稻田中种植一种水稻，连续8年的亩产量（单位： kg）如下：450，430，460，440，450，440，470，460，则其方差为 （　　） A. 120 B. 80 C. 15 D. 150 √ 解析： 　因为连续8年的亩产量的平均数为 ×（450＋430＋460＋440＋ 450＋440＋470＋460）＝450，所以其方差为 ×[（450－450）2＋（430 －450）2＋（460－450）2＋（440－450）2＋（450－450）2＋（440－ 450）2＋（470－450）2＋（460－450）2]＝150. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 3. 已知样本容量为9的四组数据，它们的平均数都是5，条形统计图如图所 示，则标准差最大的是（　　） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　选项A中，样本数据都为5，数据没有波动幅度；选项B中，样 本数据为4，4，4，5，5，5，6，6，6；选项C中，样本数据为3，3，4， 4，5，6，6，7，7；选项D中，样本数据为2，2，2，2，5，8，8，8，8， 故标准差最大的是D. 也可由样本数据的离散程度的大小反映标准差，从 题图中可以看出D中的数据波动最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 4. （2025·宿迁期末）从两个班级各随机抽取5名学生测量身高（单位： cm），甲班的数据为169，162，150，160，159，乙班的数据为180， 160，150，150，165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高 ， 及方 差 ， 的关系为（　　） A. ＞ ， ＞ B. ＞ ， ＜ C. ＜ ， ＞ D. ＜ ， ＜ √ 解析： 　 ＝ ＝160， ＝ ＝ 161，显然乙班数据波动大，所以 ＜ ， ＜ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 5. 〔多选〕一组数据x1，x2，…，xn的平均数为6，方差为1，则关于新数 据2x1－3，2x2－3，…，2xn－3，下列说法正确的是（　　） A. 这组新数据的平均数为6 B. 这组新数据的平均数为9 C. 这组新数据的方差为1 D. 这组新数据的方差为4 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　由题意得：x1＋x2＋…＋xn＝6n，（x1－6）2＋（x2－6）2 ＋…＋（xn－6）2＝n，则 ＝ ＝9， ＝ ＝4，所以这组新数据的平均数为 9，方差为4.故选B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 6. 〔多选〕已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试中的成绩统计如 图，则下列说法正确的是（　　） A. 若甲、乙两组数据的平均数分别为 ， ，则 ＞ B. 若甲、乙两组数据的方差分别为 ， ，则 ＞ C. 甲成绩的极差小于乙成绩的极差 D. 甲成绩比乙成绩稳定 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　对于A，由折线图可知，甲同学的平均成绩高于乙同学的平 均成绩，A正确；对于B，由折线图可知，甲同学的成绩较乙同学的成绩更 稳定，所以 ＜ ，B错误；对于C，由折线图可知，甲成绩的极差小于 乙成绩的极差，C正确；对于D，甲成绩比乙成绩稳定，D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 7. 某学校统计了所有在职教师（只有一级教师和高级教师）的工资情况， 其中一级教师80人，平均工资为4.5千元，方差为0.04，高级教师20人， 平均工资为6.5千元，方差为0.44，则该校所有在职教师工资的方差 为 ⁠. 0.76　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：设一级教师的平均工资和方差为 、 ，高级教师的平均工资和 方差为 、 ，因一级教师的占比ω1＝ ＝ ，高级教师的占比ω2＝ ＝ ，所以全校教师的平均工资为 ＝ω1 ＋ω2 ＝ ×4.5＋ ×6.5＝4.9（千元），所以教师工资的方差为s2＝ω1[＋（ － ）2]＋ ω2[＋（ － ）2]＝ ×[0.04＋（4.5－4.9）2]＋ ×[0.44＋（6.5－ 4.9）2]＝0.76. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 8. 样本容量为10的一组数据，它们的平均数是5，频率条形图如图，则其 标准差为 ⁠. 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析：由条形图知2与8的个数相等，且多于5的个数，于是这10个数分别 为2，2，2，2，5，5，8，8，8，8. ∵ ＝5，∴s2＝ ×[（2－5）2＋（2－5）2＋（2－5）2＋（2－5）2＋ （5－5）2＋（5－5）2＋（8－5）2＋（8－5）2＋（8－5）2＋（8－5）2] ＝ ×8×9＝ ，∴s＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 9. 某医院急救中心随机抽取20位病人等待急诊的时间（单位：分）记录如 下表： 等待时间 [0，5） [5，10） [10，15） [15，20） [20，25] 频数 4 8 5 2 1 用上述分组资料计算出病人平均等待时间的估计值 ＝ ，病人等待 时间方差的估计值s2＝ ⁠. 解析： ＝ ×（2.5×4＋7.5×8＋12.5×5＋17.5×2＋22.5×1）＝ 9.5，s2＝ ×[（2.5－9.5）2×4＋（7.5－9.5）2×8＋（12.5－9.5） 2×5＋（17.5－9.5）2×2＋（22.5－9.5）2×1]＝28.5. 9.5　 28.5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 10. 某教育集团为了办好让人民满意的教育，每年年底都随机邀请8名学生 家长代表对集团内甲、乙两所学校进行人民满意度的民主测评（满意度最 高分120分，最低分0分，分数越高说明人民满意度越高，分数越低说明人 民满意度越低）.去年测评的数据如下： 甲校：96，112，97，108，100，103，86，98； 乙校：108，101，94，105，96，93，97，106. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的平均数、中 位数； 解：甲学校人民满意度测评数据的平均数为 ＝ ×（96＋112＋97 ＋108＋100＋103＋86＋98）＝100， 中位数为 ＝99， 乙学校人民满意度测评数据的平均数为 ＝ ×（108＋101＋94＋105＋ 96＋93＋97＋106）＝100， 中位数为 ＝99. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）分别计算甲、乙两所学校去年人民满意度测评数据的方差； 解： 甲学校人民满意度测评数据的方差为 ＝ ×[（96－100）2＋ （112－100）2＋…＋（98－100）2]＝55.25， 乙学校人民满意度测评数据的方差为 ＝ ×[（108－100）2＋（101－ 100）2＋…＋（106－100）2]＝29.5. （3）根据以上数据你认为甲、乙哪所学校人民满意度比较好？ 解： 由（1）（2）可知甲、乙两学校人民满意度测评数据的平均数 相同，中位数相同，而乙学校人民满意度测评数据的方差小于甲学校的方 差，故乙学校人民满意度比较好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 11. 甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点 数，四名同学各自的五次点数统计结果如下： 甲：平均数为3，中位数为2；乙：中位数为3，众数为2； 丙：中位数为3，极差为4；丁：平均数为2，方差为2.4. 通过以上数据可以判断一定没出现6点的是（　　） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 若甲5次出现的点数为：1，1，2，5，6，显然平均数为3，中位 数为2，会出现6点；若乙5次出现的点数为：2，2，3，5，6，显然中位数 为3，众数为2，会出现6点；若丙5次出现的点数为：2，2，3，5，6，显 然中位数为3，极差为4，会出现6点；丁的平均数为2，方差为2.4，当有6 点时， ＝3.2＞2.4，显然不可能，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 12. 在某市高三第一次诊断性考试后，各班级都有外出学习艺体的同学回 归校园学习文化课.假设某位回归校园的同学的“一诊”数学成绩刚好是 班级平均分，则对该班级的数学成绩，下列说法正确的是（　　） A. 平均分变大，方差不变 B. 平均分变小，方差不变 C. 平均分不变，方差变大 D. 平均分不变，方差变小 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解析： 　设该班原有n位同学，数学成绩记为a1，a2，a3，…，an，原平 均分 ＝ ，原方差 ＝ ，该同学回归校园后新平均分 ＝ ＝ ＝ ，即平均分不变.该同学回归校 园后新方差 ＝ ＝ ＝ ＜ ， 即方差变小.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 13. 若一组10个数据a1，a2，…，a10的平均数为3，方差为6，则 ＋ ＋…＋ ＝ ⁠. 解析：由题意可知，这10个数据的平均数为 ＝ ai＝3，方差为s2＝ （ai－ ）2＝ （ －10 ）＝ （ －90）＝6，解得 ＋ ＋…＋ ＝ ＝150. 150　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 14. 某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调 研工作，依据住户情况对近一周（7天）进行生活垃圾分类占用的时间统 计如下： 住户编号 1 2 3 4 5 6 A小区（分钟） 220 180 210 220 200 230 B小区（分钟） 200 190 240 230 220 210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （1）分别计算A、B两个小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均数和 方差； 解： ＝ ×（220＋180＋210＋220＋200＋230）＝210（分钟）， ＝ ×（200＋190＋240＋230＋220＋210）＝215（分钟）， ＝ ×[（220－210）2＋（180－210）2＋（210－210）2＋（220－210） 2＋（200－210）2＋（230－210）2]＝ ， ＝ ×[（200－215）2＋（190－215）2＋（240－215）2＋（230－215） 2＋（220－215）2＋（210－215）2]＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 （2）假设A小区有1 000户，为更好地进行生活垃圾分类，市环卫局与A 小区物业及住户协商，初步实施下列方案： 方案一：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位 住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错，每位工作人员的月工资按照 3 000元（按照28天计算标准）计算； 方案二：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人 员进行生活垃圾分类，一位专职人员对生活垃圾分类的效果相当于4位普 通居民对生活垃圾分类的效果，每位专职人员（每天工作8小时）的月工 资按照4 000元（按照28天计算标准）计算. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ①若选择方案一，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费 是多少？ ②若选择方案二，则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费 是多少？ ③试分析哪个方案的惠民力度大，更值得推广. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 解： ①A小区一个月至少需要1 000÷200＝5（位）工作人员进行检 查和纠错，其费用是5×3 000＝15 000（元）， 每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为 ＝15（元）. ②由（1）知，A小区平均每位住户每周需要210分钟进行生活垃圾分类， 则A小区全部住户一个月平均需要210×4×1 000＝840 000（分钟）进行生 活垃圾分类， 则A小区一个月至少需要专职人员 ≈16（位）， 则每位住户每个月至少需要承担的生活垃圾分类费为 ＝64（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 ③按照每位住户每个月需要承担的生活垃圾分类费来说，选择方案一惠民 力度大，但需要住户平时做好生活垃圾分类事项；对于高档小区的居民， 可以选择方案二，这只是方便个别高收入住户. 综上，方案一的惠民力度大，更值得推广. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·必修第二册（SJ） 目 录 $