海南文昌中学2025-2026学年高二下学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第二学期高二第一次月考试题 数 学 （满分150分，考试时间为120分钟） 考生注意： 1．答题前，考生请将自己的班级、姓名、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上，并将考生条形码对应粘贴在答题卡上的指定位置。 2．填涂选择题时，必须使用2B铅笔；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写。选择题和非选择题答案一律填写在答题卡上对应指定位置，超出答题区域书写无效。写在试卷上无效。 第Ⅰ卷 （选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．椭圆C: ＋＝1的一个焦点F坐标为（ ） A．（0, -1） B．（-1, 0） C．（2, 0） D．（-2, 0） 2．已知等差数列中， ，则（ ） A．9 B．6 C．3 D．15 3．某著名学校利用暑假期间组织高二年级学生研学，学生可以从东岳泰山、南岳衡山、西岳华山、北岳恒山四个景点中任选一处前往，小翟、小云、小韩3个好朋友每人随机选择一个目的地，不同选法的种数是（ ） A．12 B．24 C．64 D．81 4．二项式的展开式中，第2项的系数为（ ） A．4 B． C．6 D． 5．已知函数，则这个函数的图象在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数的导函数的图象如图所示，那么对于函数，下列说法正确的是（ ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在处取得最大值 D．在处取得极大值 7．已知数列中，，若，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．已知关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 9．下列函数的求导运算正确的是（ ） A． B． C． D． 10． 将6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少得一本，则下列说法正确的是（ ） A． 若甲分得1本，乙分得2本，丙分得3本，则有60种方案； B． 若每人分得两本，则有90种方案； C． 若三人分得的书本数互不相同，则有360种方案， D． 一共有450种分配方案。 11．关于函数，为导数，下列说法正确的是（ ） A．函数的单调递减区间为. B．令，则. C．若函数有两个不同的零点，则. D．若函数的图象与直线交于两点，且，则 . 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．双曲线x2－2y2＝2的两条渐近线方程是____________． 13．如图，在某城市中，，两地之间有整齐的方格形道路网，其中，，，是道路网中位于一条对角线上的4个交汇处。今在道路网、处的甲､乙两人分别要到，处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达，处为止，则甲从必须经过到达处的走法种数为__________． 14．已知函数，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，则取值范围是_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分） 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）求函数的极值． 16.（本小题满分15分） 已知等差数列中的前n项和为，且成等比数列，. （1）求数列的通项公式； （2）若数列为递增数列，记，求数列的前40项的和. 17.（本小题满分15分） 如图，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，AB∥CD，PQ∥CD，AD=CD=DP=2PQ=2AB=2，E，F，M分别为AP，CD，BQ的中点． （1）求证：EF∥平面CPM； （2）若N为线段CQ上的点，且直线DN与平面PQM 所成的角为，求QN∶NC的值． 18.（本小题满分17分） 已知椭圆的离心率为，且过点，其中O为坐标原点. （1）求椭圆C1的方程； （2）过椭圆C1的右顶点作直线与抛物线相交于A，B两点； ①求证：OA⊥OB； ②设射线OA，OB分别与椭圆C1相交于点M，N，求O到直线MN的距离. 19.（本小题满分17分） 设函数. （1）若曲线在点处的切线方程为，求的值； （2）当时, 恒成立，求实数的取值范围； （3）证明：. 高二数学 第4页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高二第一次月考答案 数 学 第Ⅰ卷 （选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A C B D D B A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BC ABC ACD 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．y＝±x 13．9 14．(0 ,1) 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．解： （1）由题意可知，的定义域为. 因为，所以 ……2分 令即，解得， 令即，解得或， …………4分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为和. …………6分 （2）由（1）可知，当变化时，的变化情况如下表： 0 0 递增 极大值 递减 极小值 递增 …………11分 所以的极小值为， …………12分 极大值为. …………13分 16．解： （1） 设公差为，则 ， …………3分 即 …………4分 解得 或 ，所以或； …………7分 （2） 因为数列为递增数列，，，…9分 ， …………10分 所以 …………11分 …13分 ； 所以. …………15分 17．（1）证明：如图，连接EM，由AB∥CD，PQ∥CD，得AB∥PQ， 又AB＝PQ，所以四边形PABQ为平行四边形， …………2分 由E，M分别为AP，BQ的中点， 得EM∥AB且EM＝AB， 又AB∥CD，CD＝2AB，F为CD的中点， 所以EM∥CF且EM＝CF， 所以四边形EFCM为平行四边形，……4分 所以EF∥MC， ……5分 又EF ⊄平面CPM，CM⊂平面CPM， 所以EF∥平面CPM． ……6分 （2）解：由PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，得直线DA，DC，DP两两垂直， 以D为原点，直线DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,2)，Q(0,1,2)，M(1,1,1)， ＝(1,1,－1)，＝(0,1,0)，＝(0,1,－2)， …………8分 设平面PQM的法向量为n＝(x，y，z)， 则 取z＝1，得n＝(1，0，1)， …………10分 设＝λ(0≤λ≤1)，即＝(0，λ，－2λ)， 则N(0，λ＋1，2－2λ)，＝(0，λ＋1，2－2λ)， …………11分 由直线DN与平面PQM所成的角为， 得sin＝|cos〈，n〉|＝， 即＝， …………13分 整理，得3λ2－10λ＋3＝0， 又0≤λ≤1，解得λ＝， …………14分 所以QN∶NC＝1∶2． …………15分 18． 解： （1）由椭圆的离心率为，可得：，整理得：， 则椭圆的方程可化为. 代入点得， 则椭圆的方程为. …………4分 （2）由椭圆方程为可得： 该椭圆的右顶点为. ①设， 当直线的斜率为0时， 直线与抛物线只有一个交点，不满足题意. …………5分 当直线斜率不为0时，设直线的方程为， ……6分 联立方程组 ，整理得， …………7分 则为方程的两不等根，有 …8分 因为, 所以， …………9分 故． …………10分 ②法一：设，直线为. 由联立方程组 ，整理得：（*）， …………12分 由为方程*的两不等实数根，得 . …………14分 由①知， 则，有. 因为， 所以， 整理得：， 则有. …………16分 则根据点到直线距离公式可得： 点到直线的距离为. ……17分 法二：不妨设位于轴的上方，则点在第一象限，点在第四象限 设直线，则直线 …………11分 联立直线和椭圆得方程 ，解得. 同理可得 …………13分 则 ， ， ， …………15分 则根据三角形等面积可得：点到直线的距离为： . …………17分 19． 解： （1）， 由题意曲线在点处的切线方程为， 则，解得； …………4分 （2），， ，令（），则， …………5分 ①当，即时，，即是上的增函数， 因此 ， 是增函数，所以，不合题意，舍去； …………6分 ②当即时，，即是上的减函数， 所以， 所以是上的减函数，从而恒成立； …………8分 ③当即时，， 时，，在单调递增， 时，，在单调递减， 又，所以时，恒成立，即恒成立， 此时在上单调递增，因此，与题意不合，舍去. …10分 综上．（若用分离参数后用洛必达法则求出a范围，适当扣分）……11分 （3）由（2）知时，，即，从而， ……13分 所以，又， 所以， …………15分 此不等式中分别令得 ，，，， …………16分 将这个不等式相加得. …………17分 高二数学第一次月考题参考答案 第1 页 （共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $