精品解析：海南琼海市嘉积中学2025-2026学年第二学期高二随堂练习（二）数学试题

琼海市嘉积中学2025-2026学年度第二学期高二年级随堂练习（二） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，所以的虚部为2. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设函数，求出其导数，判断函数的单调性，由此可判断出答案. 【详解】设，则， 当时，，递增，当时，，递减， 当时，函数取得最小值， 由于 ，故，即， 故选：A 4. 展开式中第4项的二项式系数为（ ） A. B. 1120 C. 56 D. 70 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式定理结合二项式系数的定义即可得解. 【详解】展开式中第4项的二项式系数为. 故选：C. 5. 全组有个男同学，个女同学，现选出个代表，最多有个女同学当选的选法种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】若个代表中没有女同学当选，有种选法， 若个代表中有个女同学当选，有种选法， 所以选出个代表，最多有个女同学当选的选法种数是. 6. 若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用累加法求出，再由裂项相消求和即可. 【详解】由可得 ，，，， 累加得 即 故选：D 7. 已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，根据条件得在区间上单调递减，从而可得，即可求解. 【详解】令，则， 因为，则，所以， 则在区间上单调递减， 又，由，得到，所以， 解得， 故选：D. 8. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】不妨令，利用勾股定理可得，根据双曲线的定义可求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出，再根据双曲线的离心率公式即可得解. 【详解】， 不妨令， 又由双曲线的定义得， ， ， 在中，， 又. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由导数公式和运算法则即可依次判断各选项. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误 对于D，，故D正确. 故选：ABC 10. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦的公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确. 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D. 【详解】对于A，B，， 所以当时，， 又，则， 所以，故A错，B对； 对于C，， ， ，故C对； 对于D，， ， 当时，， ， ，故D对； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上．） 12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程表示焦点在y轴上的椭圆建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数，结合点斜式直线方程，利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 所以所求的切线方程为. 14. 对，恒有，则实数a的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对不等式进行变形，构造函数，利用函数单调性求解的最小值. 【详解】令，则， 令，有 当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在单调递增， 则 令，则， 当时,，当时, 于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得 所以实数a的最小值为 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，. （1）求C的大小 （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可直接求解； （2）结合正弦定理，先求出，由二倍角公式分别求出，即可求的值. 【小问1详解】 ，，； 【小问2详解】 ，，C为锐角， ，，， . 16. 已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率以及即可求解，进而可得得解. （2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，即可根据垂直关系求解，根据弦长公式以及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 由已知得，，解得， 故， 即椭圆的方程为； 【小问2详解】 设直线的方程为， 设，，中点， 联立直线与椭圆，得 ①， 由韦达定理，，， 由题意，，因此的斜率为，解得， 此时①式为，， 点到直线的距离， 所以的面积 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若，且，求证：． 【答案】（1）增区间为，减区间为，极大值为，无极小值 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性、极值与导数的关系可得答案； （2）令，，利用导数分析函数在上的单调性，可得出，设，可得出，进一步得出，结合函数在上的单调性可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，其中，则， 令，解得，当变化时，、的变化情况如下表： 单调递增 极大值 单调递减 所以，的增区间为，减区间为. 故函数在处取得极大值，无极小值. 【小问2详解】 构造辅助函数，， 则， 当时，，，则，则， 所以，在上单调递增，当时，， 故当时，，（*） 由，， 因为函数的增区间为，减区间为， 可设，将代入（*）式可得， 又，所以，． 又，，而在上单调递增， 所以，，即． 18. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求的值和数列的通项公式； （2）证明：. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）设差分构造等差数列，通过等差中项求出首项和公差，进而可求的通项公式； （2）将通项裂项为相邻两项之差，通过裂项相消求和，进而证明不等式成立. 【小问1详解】 设，则， 因为是等差数列，即是等差数列， 则有，即，解得. ，则的公差为2，首项为6，则，即， 则 . 【小问2详解】 由（1）知，， 则 ， 则， 因为，则，则，得证. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对函数求导，求出曲线在处的切线斜率和函数值，进而求得切线方程. （2）对函数求导并化简，构造新函数，讨论的范围判断函数的单调性，进而得到结果. （3）令，得，利用累加法求和结合对数的运算法则证明即可. 【小问1详解】 当时，，， 对函数求导得 所以，而. 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 对求导，可得：. 令，其对称轴为. 当时，的对称轴，且. 所以当时，，即， 所以在上单调递减，所以满足题意. 当时，的对称轴，且， 所以存在，使得， 当时，，即，单调递增， 所以，不满足题意， 因此，的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）可知，当时，，即当且仅当时取等号. 令，则，即. 将两边同时乘以，可得. 所以. 根据对数的运算法则可得. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 琼海市嘉积中学2025-2026学年度第二学期高二年级随堂练习（二） 数学科试题 （时间：120分钟 满分：150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知函数，则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 若，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 展开式中第4项的二项式系数为（ ） A. B. 1120 C. 56 D. 70 5. 全组有个男同学，个女同学，现选出个代表，最多有个女同学当选的选法种数是（ ） A. B. C. D. 6. 若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，是双曲线的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点.若，则双曲线的离心率为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列结论不正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上．） 12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 13. 已知，则曲线在点处的切线方程为______. 14. 对，恒有，则实数a的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，. （1）求C的大小 （2）求的值. 16. 已知椭圆（）的离心率为，右焦点为，点 （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线与椭圆交于，两点，若是以为顶点的等腰三角形，求的面积 17. 已知函数． （1）求函数的单调区间和极值； （2）若，且，求证：． 18. 在数列中，，，，且是等差数列. （1）求的值和数列的通项公式； （2）证明：. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $