21.3.3正方形同步练习2025-2026学年人教版数学八年级下册

21.3.3正方形 同步练习 一、单选题 1．在正方形中，，则正方形的周长为（   ） A．9 B．12 C． D．6 2．如图所示，在边长为的正方形中，点，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在正方形的外侧作等边，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在边长为1的正方形中，E、F分别为线段、上的动点，若以为折痕翻折，A点落在点的位置，那么可能位置形成的区域面积为（    ） A． B． C． D． 5．三个边长分别是3，4，5的正方形按如图所示摆放（后两个正方形的一个顶点与相邻的一个正方形对角线交点重合），则图中阴影部分的面积和为（   ） A． B． C． D． 6．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边分别交于点M、N．若正方形的边长为8，则阴影部分的面积为（    ） A．64 B．32 C．16 D．8 7．如图，在正方形中，点是上任意一点，，，垂足分别为点、，若，则的值为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 二、填空题 9．如图，已知直线经过正方形的顶点，分别过顶点作于点于点．若，，则___________． 10．如图，正方形的对角线相交于点O，点O是正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长都等于2．那么正方形绕O点无论怎样转动，两个正方形重叠的部分的面积是__________． 11．如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 12．如图，菱形的面积为10，E，F，G，H分别是边的中点，则四边形的面积为_____． 13．如图，在正方形ABCD中，AB＝4，E为对角线AC上与A，C不重合的一个动点，过点E作EF⊥AB于点F，EG⊥BC于点G，连接DE，FG，下列结论：①DE＝FG；②DE⊥FG；③∠BFG＝∠ADE；④FG的最小值为3．其中正确结论的序号为__． 三、解答题 14．如图，已知矩形， (1)尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①作的平分线，交边于点． ②过作，垂足为； (2)求证：四边形是正方形． 15．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发往返运动，两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止），设运动时间为t（s）． (1)当点P运动t秒时，线段的长度为 ________cm ； 当点P运动2秒时，线段的长度为 ________cm ； 当点P运动5秒时，线段的长度为 ________cm； (2)若经过t秒，以P、D、Q、B四点为顶点的四边形是平行四边形．请求出所有t的值 16．如图，在平行四边形中，，将平行四边形沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕交边于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若点是直线上的一个动点，请作出使为最小值的点，并计算． 17．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作且，连接、． (1)求证：四边形为矩形； (2)若菱形的边长为8，，则_________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《21.3.3正方形 同步练习》参考答案 1．B 【分析】本题考查正方形的周长计算．根据正方形的四条边长度相等，周长等于边长的4倍求解即可． 【详解】解：∵正方形中，， ∴正方形的每条边均为3， 所以，周长为， 故选：B． 2．D 【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质等，连接，可得，即得，得到最小值等于最小值，作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长，再利用勾股定理解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：连接，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴最小值等于最小值， 作点关于的对称点，如图， 连接，与的交点为点， 根据对称性可知， ∴， 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，即的值最小，最小值为线段的长， ∵，， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 3．A 【分析】利用正方形和等边三角形的性质以及三角形内角和定理进行求解． 【详解】解：四边形为正方形， ，， 是等边三角形， ，， ，， ． 4．D 【分析】本题主要考查的知识点：图形折叠的性质(折叠前后对应线段相等)、动点轨迹的判断(到定点距离为定长的点的轨迹是圆)、扇形面积公式和正方形面积公式的应用，以及利用割补法计算不规则图形面积的几何思想．先根据折叠性质确定点的轨迹是以为圆心，半径为的两段圆弧之间的区域(不包括边界)，再通过“两个圆心角、半径的扇形面积之和减去正方形面积”的方法，计算出该区域的面积． 【详解】解：如图，以为折痕翻折，点落在正方形中的点的位置， 当在上移动时，的轨迹是以为圆心，半径为的两段圆弧之间的区域(不包括边界)， 即：所有可能位置形成的图形是图中阴影部分， ∴ ． 故选：D． 5．B 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 根据正方形的性质，得，，，从而，利用“”，得，则，进而阴影部分，同理可求另一阴影部分的面积，相加即可求解． 【详解】解：如图所示： 三个边长分别是3，4，5的正方形， ，，， ，， ， ()， ， 则， 正方形的边长为4， ， 即第2个和第3个正方形重叠部分的面积为4， 同理可得第1个和第2个正方形重叠部分的面积为， 则图中阴影部分的面积和为． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质，勾股定理，解题的关键是连接构造全等三角形． 连接，由得到点E是的中点，然后结合正方形的性质得到、、，进而结合得到，从而得证，再由全等三角形的性质得到重叠部分四边形的面积与的面积，最后由正方形的边长求得结果． 【详解】解：连接， ∵， ∴点E是的中点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵正方形的边长为8，即， ∴， ∴， ∴， ∴重叠部分四边形的面积为16． 故选：C． 7．B 【分析】连接，由正方形的性质可得，，结合三角形的面积公式计算出即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】用等面积法计算三角形的高是解题关键． 8．C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 9．7 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，由正方形的性质得到，，进一步得到，证明，得到，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：于点，于点， ∴， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：． 10．1 【分析】本题考查了正方形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等知识内容，难度适中，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过点O分别作于点M，于点N，根据四边形和是正方形，证明，得，故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形，即可列式作答． 【详解】解：过点O分别作于点M，于点N，连接交于点O，如图所示： ∵四边形和是正方形， ∴，， ∵正方形的对角线相交于点O， ∴，， ∴， ∴四边形是正方形， ∵，， ∴ ∵ ∴， ∴， 则， 故两个正方形重叠的部分的面积等于正方形面积， ∴， 那么两个正方形重叠的部分的面积等于， 故答案为：． 11． 【分析】本题主要考查了轴对称，最短路线问题，根据正方形的性质得出A关于的对称点是C是解题的关键． 由四边形是正方形，可得、关于对称，则当、、共线时，的最小值为的长． 【详解】解：∵正方形的面积为12， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴、关于对称， ∴， ∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长， ∴的最小值为． 故答案为：． 12．5 【分析】连接，根据菱形的性质得到，根据三角形中位线定理、矩形的判定得到四边形为矩形，根据矩形面积公式计算即可． 本题考查的是中点四边形，掌握三角形中位线定理、菱形的性质、矩形的判定是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， 菱形的面积为10， ，， ，F，G，H分别是边的中点， 、、分别为、、的中位线， ，，，，，， ，， 四边形为平行四边形， ，，， ， 平行四边形为矩形， 四边形的面积为：， 故答案为： 13．①②③ 【分析】①连接BE，可得四边形EFBG为矩形，可得BE＝FG；由△AEB≌△AED可得DE＝BE，所以DE＝FG；②由矩形EFBG可得OF＝OB，则∠OBF＝∠OFB；由∠OBF＝∠ADE，则∠OFB＝∠ADE；由四边形ABCD为正方形可得∠BAD＝90°，即∠AHD+∠ADH＝90°，所以∠AHD+∠OFH＝90°，即∠FMH＝90°，可得DE⊥FG；③由②中的结论可得∠BFG＝∠ADE；④由于点E为AC上一动点，当DE⊥AC时，根据垂线段最短可得此时DE最小，最小值为2，由①知FG＝DE，所以FG的最小值为2． 【详解】解：①连接BE，交FG于点O，如图， ∵EF⊥AB，EG⊥BC， ∴∠EFB＝∠EGB＝90°． ∵∠ABC＝90°， ∴四边形EFBG为矩形． ∴FG＝BE，OB＝OF＝OE＝OG． ∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC＝45°． 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）． ∴BE＝DE． ∴DE＝FG． ∴①正确； ②延长DE，交FG于M，交FB于点H， ∵△ABE≌△ADE， ∴∠ABE＝∠ADE． 由①知：OB＝OF， ∴∠OFB＝∠ABE． ∴∠OFB＝∠ADE． ∵∠BAD＝90°， ∴∠ADE+∠AHD＝90°． ∴∠OFB+∠AHD＝90°． 即：∠FMH＝90°， ∴DE⊥FG． ∴②正确； ③由②知：∠OFB＝∠ADE． 即：∠BFG＝∠ADE． ∴③正确； ④∵点E为AC上一动点， ∴根据垂线段最短，当DE⊥AC时，DE最小． ∵AD＝CD＝4，∠ADC＝90°， ∴AC＝＝4． ∴DE＝AC＝2． 由①知：FG＝DE， ∴FG的最小值为2， ∴④错误． 综上，正确的结论为：①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，掌握正方形的性质是解题的关键． 14．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据尺规作角平分线的方法和作垂线的方法作图即可； （2）先根据平行线加角平分线得，再根据有三个角是直角的四边形是矩形证明其为矩形，再由矩形证明正方形． 【详解】（1）解：如图，即为所作： （2）证明：∵平分， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形． 15．(1)；7；5 (2)t的值为6或10或12 【分析】（1）根据题意计算即可； （2）由四边形为平行四边形可得出，结合平行四边形的判定定理可得出当时以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，分四种情况考虑，在每种情况中由即可列出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）当点P运动t秒时，线段的长度为； 当点P运动2秒时，线段的长度为； 当点P运动5秒时，线段的长度为 （2）∵P在上运动，，即， ∵以点P、D、Q、B为顶点的平行四边形， 已有，还需满足，   ①当点Q的运动路线是C-B时，，由题意得： 不合题意      ②当点Q的运动路线是C-B-C时，，由题意得：，解得:； ③当点Q的运动路线是C-B-C-B时，由题意得： ，解得： ④当点Q的运动路线是C-B-C-B –C时，，由题意得:，解得: 综上所述，t的值为6或或, 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及一元一次方程的应用，分四种情况进行讨论是解题的关键． 16．（1）见解析；（2）作图见解析， 【分析】（1）利用翻折变换的性质以及平行线的性质得出，进而利用平行四边形的判定方法得出四边形是平行四边形，进而求出四边形是平行四边形，根据折叠的性质得到，然后又菱形的判定定理即可得到结论； （2）由四边形是平行四边形，得到是菱形，推出与关于对称，连接交于，则的长即为的最小值，过作于，解直角三角形得到，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：证明：（1）将沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形； ， ，， ， 是菱形； （2）四边形是菱形， 与关于对称， 连接交于，则的长即为的最小值， 过作于， ， ， ， ，， ， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，最短距离问题，勾股定理，菱形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 17．(1)见解析； (2) 【分析】（1）先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC=90°，即可得出结论； （2）先证△BCD是等边三角形，得BD=BC=8，再由勾股定理得OC=4，则AC=2OC=8，然后由矩形的性质得CE=OD=4，∠OCE=90°，最后由勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=OC=AC， ∴∠DOC=90°， ∵DE∥AC，DE=AC， ∴DE=OC，DE∥OC， ∴四边形OCED是平行四边形， 又∵∠DOC=90°， ∴平行四边形OCED是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，BC=CD=8，OB=OD，AO=OC=AC， ∵∠BCD=60°， ∴△BCD是等边三角形， ∴BD=BC=8， ∴OD=OB=4， ∴， ∴AC=2OC=8， 由（1）得：四边形OCED为矩形， ∴CE=OD=4，∠OCE=90°， 在Rt△ACE中，由勾股定理得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形1性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $