9.3实系数一元二次方程（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第九章 复数 9.3 实系数一元二次方程 学 习 目 标 1 2 3 掌握实数在复数范围内的平方根求法；理解实系数一元二次方程在复数范围内的解的情况； 掌握求根公式，理解韦达定理在复数范围内仍然成立；能在复数范围内解实系数一元二次方程，并完成二次三项式的因式分解; 在解方程的过程中，提升运算求解能力，培养逻辑推理能力，形成知识迁移能力. 新课引入 初中我们学过实系数一元二次方程,用什么判断实根个数？ 用判别式时，两个不等实根 时，两个相等实根 时，无实根 今天我们就来学习 ——— 复数范围内的实系数一元二次方程 现在我们把数系扩充到了复数，时方程还有解吗？如果有，解是什么形式？ 新知探究 探究一：实数在复数范围内的平方根 设,在复数范围内的平方根是怎样的？ 即求使得 当时：,平方根为(与实数范围一致); ( 一 对 共 轭 纯 虚 数 ) . 结论：任意实数在复数范围内都有两个平方根. 展开： 由复数相等得方程组 例1 典例分析 在复数范围求 25 与 −25 的平方根． 【分析】先将复数对应到复平面内点的坐标，再利用平面内两点间距离公式计算 A、B 两点的距离. 解：因为 ，它在复数范围的平方根与实数范围的平方根是一样的，都是； 因为 ，它没有实平方根，而在复数范围其平方根是 知识小结 实数在复数范围内的平方根 ( 一 对 共 轭 纯 虚 数 ) . 结论：任意实数在复数范围内都有两个平方根. 当时：,平方根为(与实数范围一致); 新知探究 探究二：实系数一元二次方程的复数解 在复数范围求解实系数一元二次方程 ()，该如何求解？ 利用配方法求解方程：对 配方得 结合实数平方根结论，分三种情况： ① ：两个不等实根； ② ：两个相等实根（二重根）； ③ ：一对共轭虚根。 例2 典例分析 在复数范围内解方程：。 【分析】先计算实系数一元二次方程的判别式，判断出方程有一对共轭虚根，再直接套用求根公式，将负判别式转化为虚数单位i的形式，化简得到方程的解. 解：该方程的判别式 ， 所以此方程有一对共轭虚根 知识小结 实系数一元二次方程的复数解 判别式 ①：两个不等实根 ②：两个相等实根 ③：一对共轭虚根 虚根成对定理（实系数前提） 新知探究 探究三：韦达定理的推广与应用 如果实系数一元二次方程 () 有实根 与 由则这两个根与方程的系数有如下关系（韦达定理）： 结论：实系数一元二次方程的根与系数的关系在虚根的情况下仍然成立 这只要直接把根代入验证即可. 在复数范围内，韦达定理是否还成立？ 例3 典例分析 如果 、 都是实数，而关于 的方程 有一个根 ，求 、 的值. 【分析】利用实系数一元二次方程虚根成对定理，先写出已知虚根的共轭虚根，再结合韦达定理（根与系数的关系）列方程求解 的值. 解：方程 有一个虚根 ，则它的另一个根必为其共轭复数 。由根与系数的关系，有 从而 ， 例4 典例分析 在复数范围将 分解因式。 【分析】先求出对应一元二次方程的两个复数根，再利用二次三项式的因式分解公式 ,在复数范围内完成因式分解. 解：例2 中已经求出方程 的两个根 与 ，所以 题型1 实数的平方根 1.在复数范围内，复数的平方根是。 【分析】求复数的平方根，往往假设，利用复数概念，复数相等等定义列出方程（组）来求解. 因此的平方根是或； 【解析】令，则 解得或， 或 题型1 实数的平方根 2.虚数的平方是（ ） A．正实数 B．虚数 C．负实数 D．虚数或负实数 【分析】审题“虚数”，根据复数的乘方运算以及复数的分类即可判断： 【解析】设，则， 若，则，即负实数； 若，则，即虚数； 故选：D． D 题型2 实数系一元二次方程 3.在复数集 C 内，方程 的解集为___________. 【分析】当一元二次方程中 时，在复数范围内有两根且互为共轭复数； 【解析】因为 所以 又因为 所以 所以 ，即 . . 题型2 实数系一元二次方程 2、若是实系数一元二次方程的一个根，则_________ 【分析】将代入方程可得，即可求出. 【解析】由实系数一元二次方程若有虚根，一定是共轭的 所以也是其根，则 ，； 则 故答案为：； 题型3 韦达定理的推广与应用 5.已知方程有两个虚根，则的取值范围是 【分析】将题设“”“两个虚根”进行等价转化； 【解析】因为为实系数一元二次方程的两个虚根， 则由，得， 再由，，，又因为，， 则，由 故答案为： 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 实系数一元二次方程 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 方程的形式与判别式 实系数一元二次方程的标准形式为 ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R, a ≠ 0)。 判别式 Δ = b² - 4ac： 当 Δ ≥ 0 时，方程在 实数集 内有解。 当 Δ < 0 时，方程在实数集内无解，但在 复数集 内有两个共轭虚根。 2. 求根公式 当 Δ < 0 时，方程的根为： x = -b ± i√(4ac - b²) 2a 3. 韦达定理 若方程的两个复数根为 x₁, x₂，则： x₁ + x₂ = -ba x₁x₂ = ca 注意：韦达定理在 复数范围 内依然成立。 易错点警示 判别式的适用范围： 只有当系数 a, b, c 均为 实数 时，才能通过 Δ 的正负直接判断根的虚实情况。 共轭虚根的前提： 实系数一元二次方程若有虚根，则虚根必 成对出现 且互为共轭复数。 忽略二次项系数： 在讨论方程根的情况时，首要前提是 a ≠ 0。 求根公式符号： 当 Δ < 0 时，根号下应写为 4ac - b²（即 |Δ|），并外加虚数单位 i。 解题技巧 1. 构造方程法 已知两个共轭复数 α, β，可以构造实系数一元二次方程：x² - (α + β)x + αβ = 0。由于 α + β 和 αβ 均为 实数，该方程系数必为实数。 2. 降次思想 若已知 x₀ 是方程的根，则有 ax₀² = -bx₀ - c。在求高次代数式的值时，可以利用此关系进行 降次 处理。 3. 韦达定理的应用 在复数范围内，涉及两根之和、两根之积的对称式（如 x₁² + x₂²）计算时，优先考虑韦达定理，避免直接求根带来的复杂运算。 $