9.4复数的三角形式（第1课时）（教学课件）高一数学沪教版必修第二册

第九章 复数 9.4 复数的三角形式 第1课时 复数的三角形式 学 习 目 标 1 2 3 理解复数辐角、辐角主值的定义，掌握辐角主值的取值范围与求解方法； 掌握复数三角形式的标准结构；能熟练将复数代数形式转化为三角形式；能识别并将非标准三角形式化为标准三角形式; 在表示三角形式的过程中，提升数学运算能力，强化直观想象能力，培养逻辑推理能力. 新课引入 我们学习了复数的代数形式运算，加减运算很简洁，但乘除运算步骤繁琐.有没有更简便的复数表示形式，能简化乘除运算？ 18 世纪，欧拉发现了复数的另一种表示形式 —— 三角形式，它能把复数的乘除运算转化为模的乘除和辐角的加减，大大简化计算. 我们知道，复数对应复平面内的点，也对应向量.确定一个向量需要哪两个要素？ 复数的模就是向量的长度，那向量的方向用什么表示呢？这就是我们今天要学习的第一个概念 —— 辐角. 新知探究 探究一：复数的辐角与辐角主值 什么是辐角？如何定义辐角？ 多值性：终边相同的角相差，因此非零复数的辐角有无穷多个。 规定：复数的辐角是任意值. 几何定义：复数对应复平面内点 记作 以原点为顶点、轴正半轴为始边、射线为终边的角，叫做复数的辐角 1.辐角的定义 新知探究 2. 辐角主值 既然非零复数的辐角有无穷多个，那么在平时书写使用时，我们主要取辐角哪个呢？ 定义：满足的辐角，叫做复数的辐角主值，记作 为了解决以上问题，我们引入了辐角主值. 结论：两个非零复数相等 ⟺它们的模相等且辐角主值相等. 新知探究 2.辐角主值的求解方法 如何求得复数的辐角主值？ 求解步骤： ① 求模 ； ② 求 ； ③ 根据点 所在象限确定 。 第一象限： 第二象限： 第三象限： 第四象限： 即时训练 1、复数 的辐角的主值为______ 【分析】按照求复数的辐角的主值的基本步骤求解即可 【解析】因为复数 对应的点在第一象限 又 知识小结 复数的辐角与辐角主值 1.辐角Arg:无穷多个，相差 2.辐角主值arg,唯一 3.求解：先求,再定象限 新知探究 探究一：实数在复数范围内的平方根 设,在复数范围内的平方根是怎样的？ 即求使得 当时：,平方根为(与实数范围一致); ( 一 对 共 轭 纯 虚 数 ) . 结论：任意实数在复数范围内都有两个平方根. 展开： 由复数相等得方程组 定义： 新知探究 探究二：复数的三角形式 既然已经确定了大小和方向，那么该如何表示复数的三角形式？ 叫做复数的三角形式. 由三角函数定义： , (,为的辐角) 代入代数形式： 形如 ()的复数表示形式 1.三角形式的推导 新知探究 2.三角形式的标准结构 复数的三角形式： () 三个必备条件（缺一不可）： ① 模 ； ② 中间是加号连接； ③ 余弦在前，正弦在后，且角相同。 例1 典例分析 分别写出下列复数的模 与辐角主值 ，并把这些复数用三角形式表示： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【分析】先由复数的坐标计算模,再通过坐标与三角函数关系确定辐角 主值,最后写成三角形式. 解：（1），， 为第一象限角，故辐角主值为 从而 的三角形式为 ，即 典例分析 （ , 为第二象限角 故辐角主值为i因此，用三角形式表示,有 (3)-1的模所对应的点(-1,0) 在轴的负半轴上 故辐角主值为 因此，用三角形式表示-1,有 典例分析 （4），， 为第三象限角，且 故辐角主值为 因此，用三角形式表示 ，有 知识小结 复数的三角形式 1.标准形式： ( 2.必备条件：模非负、余弦在前、中间加号 3.代数转三角步骤：求模→求辐角主值→代入公式 例2 典例分析 把下列复数用三角形式表示： i i 【分析】利用诱导公式将复数化为三角形式的标准结构 (,余弦在前、正弦在后，且两项角相同),完成转化. 解： (1)因为 所以 i的三角形式是i i)的模是 2. 又因为 所以i的三角形式是 2[cos i 题型1 复数的三角表示 1.复数的三角形式为 【分析】利用化复数的三角形式的步骤进行化简. 【解析】因为，所以，与对应的点在第四象限 所以， 所以 题型1 复数的模的定义 题型1 复数的三角表示 2.复数的三角形式是（ ） A. B. C. D. 【分析】根据复数的三角形公式求解或利用定义直接求解即可； 【解析】设复数的三角形式为 则，可取 从而复数的三角形式为 A 题型2 辐角与辐角主值 3.已知 （1）当为何值时，取得最大值，并求此最大值； （2）若，求：（用表示）；注：是辐角主值； 【分析】理解与用好复数的模与辐角主值的概念进行解答： 【解析】（1） ； 所以，当时，即时 取最大值； （2）要求，可以把写成三角形式，但较为困难 故可先求出的正切值， 设，则由于 所以， 因为，所以的实部= 的虚部= 当时，，所对应的点位于第四象限； 由于，所以； 当时， 所对应的点位于第一象限（或轴正半轴）； 由于，所以； 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击此处，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感谢聆听! 课堂小结 复数的三角形式 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 知识点回顾 1. 复数的三角形式定义 复数 z = a + bi 的三角形式为： z = r(cosθ + isinθ) 其中 r 是复数 z 的 模，且 r ≥ 0。 θ 是复数 z 的 辐角。 2. 辐角主值 在 0 ≤ θ < 2π（或 -π < θ ≤ π）范围内的辐角叫做辐角主值，记作 Arg(z)。 3. 代数形式与三角形式的转换 r = √(a² + b²) cosθ = ar，sinθ = br 易错点警示 标准形式判定： 三角形式必须满足中间是 加号，且虚数单位 i 在 sin 前面。例如 r(cosθ - isinθ) 不是 标准三角形式。 模的非负性： 括号外的 r 必须是 正数 或零。如果是负数，需利用诱导公式将负号并入括号内。 函数对应： 必须是 cos 对应实部，sin 对应虚部，且角度 θ 必须 相同。 零复数： 复数 0 的模为 0，但它的辐角是 不确定 的。 解题技巧 1. 象限判定法 在将代数形式转换为三角形式时，先根据 (a, b) 所在的 象限 确定辐角 θ 的范围，再结合特殊角的三角函数值求解。 2. 诱导公式转化 若给出的形式不标准（如中间是减号或 sin/cos 位置颠倒），利用三角函数的 诱导公式（如 π ± θ 或 π2 ± θ）进行标准化。 3. 数形结合 利用复数的几何意义，将三角形式理解为复平面内向量的 极坐标 表示，通过旋转和伸缩直观理解复数的运算。 $