9.3 实系数一元二次方程（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第九章 复数 9.3 实系数一元二次方程 在初中课程中已学过了实系数一元二次方程，它具有标准形式 ax²+bx+c=0(a、b、c∈R,a≠0). 我们已经知道可用判别式△=b²-4ac来判定这个方程实根的存在性.具体地说，在实数范围内考虑： 新课引入 我们现在再来讨论实系数一元二次方程的求根问题，但将根的取值范围从实数拓广到复数.也就是说，我们不仅要讨论实根，还要讨论虚根.我们要解决的问题实际上有两个： (A)当△≥0时，除了已经找到的实根外，方程在复数范围还有其他的根吗? (B)当△<0时，方程在复数范围有根吗?怎样求出它的根? 回答这两个问题，关键是对△(它是一个实数)在复数范围的平方根问题有个准确的把握. 设c∈R,并设a+bi(a、b∈R)是它的一个平方根，即(a+bi)²=c.将上式左边展开，得到(a²-b²)+2abi=c,再根据复数相等的条件，就得到 实数的平方根 从第二个等式可知，a与b中至少有一个为零 当c≥0时，必须b=0,否则a=0,从而推出c=-b²<0,与假设矛盾.于是，a+bi=a必是c的一个实平方根.这说明，除了已知的实平方根a=±√c,非负实数c在复数范围没有其他的平方根. 而当c<0时，必须a=0,否则b=0,从而推出c=a²>0,与假设矛盾.于是，b²=-c>0,从而b=±√-c.此时c的平方根有两个：±√-ci, 它们是两个共轭的纯虚数. 这就是说，2ax+b是实数△的平方根.由前面关于实数平方根的讨论，就可以回答本节引言中所提的两个问题了，其答案是：在复数范围内， 在复数范围将2x²-4x+5分解因式. 在复数范围内分解因式 例1 解 例2 解 例3 解 1.已知复数是方程的一个根，则|z|=（ ） A. B. C.3 D.5 B 2.若α、β是方程的两个根，则(α-β)²等于（ ） A. B. C.-27 D.527 C 课堂练习 11 3.方程2x²-3x+6=0根的情况是（ ） A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个虚数根 D.有一个实根和一个虚根 B 12 5．已知方程x2＋mx＋n＝0的根是两个纯虚数，则m满足________． 【解析】 根据题意可知，方程两个根是互为共轭复数的纯虚数，故两根之和为零，根据韦达定理，两根之和为－m，所以m＝0. m＝0 6. 已知实系数一元二次方程 的一个解是, 求 的值 【解析】 解得 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING 4. 已知是关于x的方程的根，则实数（  ） A． B． C．2 D．4 【详解】因为是关于x的方程的根，则另一根为 由韦达定理得，所以 故选：B $$