专题01 四边形与多边形（十大题型）（题型训练+易错精练）-2025-2026学年八年级数学下册《知识解读·题型专练》（人教版）

专题02 四边形与多边形 （十大题型） 【题型1 多边形对角线的条数问题】......................................................................................1 【题型2 对角线分成的三角形个数问题】.............................................................................2 【题型3 多边形内角和问题】.................................................................................................2 【题型4 正多边形的内角问题】............................................................................................3 【题型5 多边形截角后的问题】............................................................................................4 【题型6 复杂图形的内角和】................................................................................................5 【题型7 正多边形的外角问题】.............................................................................................6 【题型8 多边形外角和的实际应用】....................................................................................7 【题型9 多边形内角和与外角和综合】................................................................................7 【题型10 平面镶嵌】.............................................................................................................8 【题型1 多边形对角线的条数问题】 1.如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2.若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 3.从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 4.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 5.任意一个六边形的对角线条数共有（   ）条 A．10 B．9 C．8 D．7 【题型2 对角线分成的三角形个数问题】 1.从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 2.从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 3.从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2021 B．2025 C．2024 D．2026 4.过正七边形一个顶点的所有对角线，把这个七边形分成的三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【题型3 多边形内角和问题】 1.一个六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 2.若一个八边形每个内角都为，则的值是（   ） A．135 B．120 C．115 D．100 3.新考法  将图1的等边三角形沿折线剪开得到图2的两部分，则图2中的（     ） A． B． C． D． 4．如图，在四边形中，，若，，则（　　） A． B． C． D． 5.如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 6.如图，在中，，，D是上一点，于点E，于点F，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【题型4 正多边形的内角问题】 1.如果一个正多边形内角和为，那么这个多边形的每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 2.龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样。如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 3.一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 4.小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠。如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 5.镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6.如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 7.运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（   ） A． B． C． D． 【题型5 多边形截角后的问题】 1.一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 2.一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 3.若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 4.一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 5.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【题型6 复杂图形的内角和】 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 2.如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，的度数为___________。 【题型7 正多边形的外角问题】 1.如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 2.一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的边数为_____。 3.如图是被撕掉一块的正多边形纸片，其中两条边的延长线交于点，且，则该正多边形的边数是________。 4.一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______。 5.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是 ___________ 6.如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形是正九边形，它的外角的度数为________。 7.如图，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，若，则的度数是________。 【题型8 多边形外角和的实际应用】 1.如图，蚂蚁从点P出发，沿直线行走20米后右转，再沿直线行走20米，又右转，照此走下去，它第一次回到出发点P，一共行走的路程是_______米。 2.小亮从点出发前进15m，向右转，再前进，又向右转，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_____。 3.如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点为止，则这个正多边形的周长为___________米。 4.如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了____________．    5.如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了米，则______ 度。    【题型9 多边形内角和与外角和综合】 1.如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为______。 2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________。 3.一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为________。 4.解答下列问题。 （1）一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数。 （2）已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数。 5.（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数。 （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线。 【题型10 平面镶嵌】 1.下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（   ）。 A．正七边形和正方形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 2.如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3.在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌。这三个命题中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 4.小明在社会实践中想用不同的正多边形瓷砖铺设地面，在一个顶点处有一个正三角形和一个正十边形瓷砖，若想铺成平整无缝隙的地面，则还需要的瓷砖形状是（　　） A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边 D．正十五边形 1.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2.下列语句正确的有（   ）个。（各边都相等，各内角都相等的多边形为正多边形） ①正多边形中，边越多，内角越大； ②正多边形中，边越多，外角越大； ③正多边形中，边越多，边长越小； ④正多边形中，边越多，周长越大。 A．1 B．2 C．3 D．4 3.一个正五边形和正方形按如图方式摆放，其中，则度数为（   ） A． B． C． D． 4.如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 5.如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 6．如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 7.如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B． C． D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形与多边形 （十大题型） 【题型1 多边形对角线的条数问题】......................................................................................1 【题型2 对角线分成的三角形个数问题】.............................................................................3 【题型3 多边形内角和问题】..................................................................................................4 【题型4 正多边形的内角问题】.............................................................................................7 【题型5 多边形截角后的问题】...........................................................................................10 【题型6 复杂图形的内角和】................................................................................................13 【题型7 正多边形的外角问题】.............................................................................................16 【题型8 多边形外角和的实际应用】.....................................................................................20 【题型9 多边形内角和与外角和综合】................................................................................22 【题型10 平面镶嵌】.............................................................................................................25 【题型1 多边形对角线的条数问题】 1.如果一个多边形从一个顶点出发最多能画四条对角线，则这个多边形的边数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据边形从一个顶点出发最多可引出（条对角线，根据题意列方程即可求出边数。 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵边形从一个顶点出发最多能引出（条对角线， ∴, 解得， 则这个多边形的边数为． 2.若从多边形的一个顶点可以引出九条对角线，则这个多边形是（   ） A．十二边形 B．十一边形 C．十边形 D．九边形 【答案】A 【分析】根据n边形中从一个顶点出发引出条对角线解答即可。 【详解】解：从边形的一个顶点出发，可引出条对角线， ∴由题意得， 解得， ∴这个多边形是十二边形。 3.从n边形的一个顶点出发可以连接2022条对角线，则n的值为（　　） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】D 【分析】从n边形的一个顶点出发可以引条对角线，据此建立方程求解即可。 【详解】解：由题意得， ∴． 4.连接多边形不相邻两个顶点的线段叫作多边形的对角线，若从多边形的一个顶点可以引出八条对角线，则这个多边形是（　　） A．九边形 B．十边形 C．十一边形 D．十二边形 【答案】C 【分析】本题考查了多边形对角线数量问题，掌握多边形从个顶点可以引出条对角线是解题的关键。 根据多边形从一个顶点引出的对角线数量为即可求解。 【详解】解：∵从多边形的一个顶点可以引出八条对角线， ∴, ∴． 故选：C． 5.任意一个六边形的对角线条数共有（   ）条 A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了计算多边形的对角线条数，对于任意边形，其对角线条数公式为，由此公式计算即可得解，熟练掌握多边形的对角线条数公式是解此题的关键。 【详解】解：任意一个六边形的对角线条数共有（条）， 故选：B． 【题型2 对角线分成的三角形个数问题】 1.从十边形的一个顶点出发，分别用线段连接与它不相邻的其他顶点，可将这个十边形分成三角形的个数是（   ） A．10个 B．9个 C．8个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的性质，熟练掌握多边形的性质是解题关键。从边形的一个顶点出发可以引条对角线，这些对角线将边形分成个三角形，据此解答即可得。 【详解】解：∵十边形的边数为10， ∴分成三角形的个数是（个）。 故选：C． 2.从多边形的一个顶点出发，分别连接这个点与同它不相邻的各个顶点，得到7个三角形，那么这个多边形的边数是（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】B 【分析】本题考查了多边形，从一个顶点出发连接不相邻顶点，形成的三角形个数等于多边形的边数减2．据此即可求解。 【详解】解：设多边形的边数为n． ∵从一个顶点出发，连接不相邻顶点，得到个三角形， ∴, ∴． 因此，多边形的边数是9． 故选：B． 3.从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2025个三角形，则这个多边形的边数为（   ） A．2021 B．2025 C．2024 D．2026 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形的概念，熟练掌握多边形的概念是解题的关键。 根据多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各顶点所得三角形数比多边形的边数少1，即可求解。 【详解】解：∵从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2025个三角形， ∴多边形的边数为． 故选D． 4.过正七边形一个顶点的所有对角线，把这个七边形分成的三角形的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的对角线——对角线分成的三角形个数问题，从边形的一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形，掌握知识点的应用是解题的关键。 【详解】解：∵从边形的一个顶点出发的所有对角线，将多边形分成个三角形， ∴时，， 即分成5个三角形， 故选：． 【题型3 多边形内角和问题】 1.一个六边形的内角和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】多边形内角和公式（为多边形的边数），代入六边形的边数计算即可得到结果。 【详解】解：， 因此六边形的内角和是． 2.若一个八边形每个内角都为，则的值是（   ） A．135 B．120 C．115 D．100 【答案】A 【分析】先根据多边形内角和公式求出内角和，再结合题意“每个内角相等”，即可求出的值。 【详解】解：八边形的内角和为， 该八边形每个内角均为， ． 3.新考法  将图1的等边三角形沿折线剪开得到图2的两部分，则图2中的（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等边三角形的性质，多边形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键。先理解题意，结合等边三角形的性质，邻补角互补得，则图2是五边形，故内角和是，然后得，解得，即可作答。 【详解】解：依题意，如图所示： ∵将图1的等边三角形沿折线剪开得到图2的两部分 ∴, 则图2是五边形，故内角和是， ∴, 即， 解得， 故选：D． 4．如图，在四边形中，，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形的性质，四边形的内角和定理。由等腰三角形的性质推出，，得到，求出． 【详解】解：， ，， , ． 故选：A． 5.如图，两根细绳将一物体挂在两面互相垂直的墙面与上，若，，，则的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是四边形的内角和定理和平行线的性质，根据垂直的定义可得，结合内角和定理求得的度数，再利用平行线的性质可得答案。 【详解】解：∵，， ∴, ∵, ∴, ∵， ∴, 故选：D． 6.如图，在中，，，D是上一点，于点E，于点F，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，四边形内角和定理，垂直的定义，熟练掌握定理是解题的关键。由三角形内角和定理求得；由垂直的定义得到；然后根据四边形内角和是360度进行求解。 【详解】解：如图，∵在中，， ∴． ∵于点E，于点F， ∴, ∴． 故选：C． 【题型4 正多边形的内角问题】 1.如果一个正多边形内角和为，那么这个多边形的每个外角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据内角和公式求出正多边形的边数，再利用多边形外角和定理计算每个外角的度数。 【详解】设这个正多边形的边数为n， ∵多边形内角和公式为（，该正多边形内角和为， ∴, 解得， ∵任意多边形的外角和为，正多边形的各个外角相等， ∴该正多边形每个外角的度数为． 2.龟背纹是中国传统经典的几何装饰纹样。如图是丝绸上设计的正六边形龟背纹图案，则它的一个内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出该正六边形的一个外角的度数，即可求解。 【详解】解：该正六边形的一个外角的度数为， ∴它的一个内角的度数为． 3.一个正多边形的每一个内角都等于，则这个正多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据正多边形的内角公式进行求解即可。 【详解】解：令该正多边形为边形， 由正多边形内角公式得， 解得， 故该正多边形的边数为． 4.小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠。如图所示，则m的值为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值。 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 5.镜，古称“鉴”，下图是六边形镜及其抽象出的正六边形，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正六边形的特点得出，，再根据等腰三角形的性质求出结果即可。 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴,, ∴． 6.如图，在正五边形中，延长，交于点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查正多边形的外角，三角形的内角和定理，根据正多边形的外角和为360度求出的度数，利用三角形的内角和定理，进行求解即可。 【详解】解：∵为正五边形的外角， ∴, ∴; 故选：C． 7.运动会将至，小亮为班级打气助威，制作了如图所示的“助威牌”，其中五边形为正五边形，三角形为正三角形，延长交CD于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角问题，根据题意求出该正五边形的每个内角度数为：，即可求解； 【详解】解：∵五边形为正五边形， ∴该正五边形的每个内角度数为：； ∴; ∵三角形为正三角形， ∴; ∴; ∴; 故选：B 【题型5 多边形截角后的问题】 1.一个四边形，剪去一个角，还剩下几个角（   ） A．或者 B．或者 C．或者 D．或者或者 【答案】D 【分析】本题主要考查多边形，分三种情况：剪线经过四边形相邻的两个顶点；剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点）；剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边。 【详解】解：分三种情况讨论： （Ⅰ）若剪线经过四边形相邻的两个顶点，剪去一个角后，剩余图形为三角形，有3个角； （Ⅱ）若剪线经过四边形的一个顶点和以该顶点为端点的一条边（不过该边的另一个顶点），剪去一个角后，剩余图形为四边形，有4个角； （Ⅲ）若剪线不经过四边形的任意顶点，仅经过相邻两条边，剪去一个角后，剩余图形为五边形，有5个角。 综上所述，剩余角的个数为3或者4或者5． 故选：D 2.一张长方形纸片，截去一个角后得到的多边形是（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．以上都有可能 【答案】D 【分析】本题涉及多边形截角后边数的变化情况，需要考虑不同的截角方式，分析得到的多边形可能的形状。 【详解】解：A、当截线经过长方形的两个不相邻的顶点时，得到三角形，符合题意； B.当截线经过长方形的一个顶点和它不相邻的一条边上的一点时，得到四边形，符合题意； C.当截线经过一个角所邻的两条边上的任意两点（不与顶点重合）时，得到五边形，符合题意； D.因为截去一个角后得到的多边形可能是三角形、四边形或五边形，所以以上都有可能，符合题意。 故选： D． 【点睛】本题考查了多边形截角后边数的变化，解题关键是全面考虑不同的截角方式，分析得到的多边形的可能形状。 3.若一个多边形截去一个角后变成了六边形，则原来多边形的边数可能是（    ） A．5或6 B．6或7 C．5或6或7 D．6或7或8 【答案】C 【分析】实际画图，动手操作一下，可知六边形可以是五边形、六边形、七边形截去一个角后得到。 【详解】解：如图，原来多边形的边数可能是5，6，7． 故选C 【点睛】本题考查的是截去一个多边形的一个角，解此类问题的关键是要从多方面考虑，注意不能漏掉其中的任何一种情况。 4.一个多边形截去一个角后，变成16边形，那么原来的多边形的边数为（    ） A．15或16或17 B．15或17 C．16或17 D．16或17或18 【答案】A 【分析】分三种情况讨论，当截线不经过多边形的顶点时，当截线经过多边形的一个顶点时，当截线经过多边形的两个顶点时，再利用数形结合的方法可得答案。 【详解】解：如图，当截线不经过多边形的顶点时，被截后的多边形比原多边形增加一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为15边形， 如图，当截线经过多边形的一个顶点时，被截后的多边形与原多边形边数相同， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为16边形， 如图，当截线经过多边形的两个顶点时，被截后的多边形比原多边形少一条边， 所以当被截后的多边形为16边形，则原多边形为17边形， 故选： 【点睛】本题考查的是用直线截多边形的一个角后，被截后的多边形的边数与原多边形的边数之间的关系，解题的关键是清晰地分类讨论。 5.一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是，则原来多边形的边数是（    ） A． B． C．或 D．或或 【答案】D 【分析】首先求出截角后的多边形边数，然后再求原来的多边形边数。　 【详解】解：设截角后的多边形边数为n，则有：（n-2）×180°=1620°，解得：n=11， ∴由下面的图可得原来的边数为10或11或12： 故选D． 【点睛】本题考查多边形的综合运用，熟练掌握多边形的内角和定理及多边形的剪拼是解题关键。 【题型6 复杂图形的内角和】 1．如图，等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据四边形内角和可得，再由“8”字三角形可得，进而可得答案。 【详解】解：连接，如图， ∵,, ∴, 故选C． 【点睛】本题考查了多边形的内角和，以及“8”字三角形的特点，正确作出辅助线是解答本题的关键。 2.如图，顺次连接图中六个点，得到以下图形，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了复杂图形的内角和，熟练掌握三角形内角和为，四边形内角和为是解题的关键。连接，记与交于点，利用三角形内角和定理推出，再将转化为四边形的内角和，即可解答。 【详解】解：如图，连接，记与交于点， ,, ， 又， ， ， ， ， ． 故选：C． 3．如图，的度数为___________。 【答案】/360度 【分析】本题考查了三角形外角的性质、四边形的内角和定理，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键。根据三角形外角的性质得到，再根据四边形的内角和定理即可求解。 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵四边形的内角和为， ∴, ∴． 故答案为：． 【题型7 正多边形的外角问题】 1.如图，已知两块三角板如图摆放，点和点分别在两块三角板的边上，一块三角板的顶点在另一块三角板的边上，且，，，则________． 【答案】68 【分析】延长交于D，延长交于G， 根据外角的性质得到根据四边形的内角和邻补角的定义得到于是得到结论。 【详解】解：延长BE交AC于D，延长CF交BD于G， 故答案为： 【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，四边形的内角和，邻补角的定义，熟练掌握三角形的外角的性质是解题的关键。 2.一个多边形的每个外角均为，则这个多边形的边数为_____。 【答案】9 【分析】任意多边形的外角和为，已知每个外角的度数，用外角和除以单个外角的度数即可得到多边形边数。 【详解】解：∵一个多边形的每个外角均为， ∴这个多边形的边数为． 3.如图是被撕掉一块的正多边形纸片，其中两条边的延长线交于点，且，则该正多边形的边数是________。 【答案】6 【分析】如图，根据正多边形的每个内角相等可得，再结合题意可得，最后根据多边形的外角和为即可解答。 【详解】解：如图，∵这是被撕掉一块的正多边形纸片， ∴, ∵直线a、b的夹角为， ∴, ∴这个正多边形的边数为：． 4.一个正多边形的一个外角等于，则这个正多边形的边数是______。 【答案】 【分析】利用任意多边形外角和为，正多边形各外角相等的性质，即可计算得到正多边形的边数。 【详解】解：任意多边形的外角和为，正多边形的所有外角都相等， 因此该正多边形的边数为：． 5.第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是 ___________ 【答案】12 【分析】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边形的外角和等于是解题的关键。 根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解。 【详解】解：依题意，，， ∴ ∴ ∴这个正多边形的一个外角为， 所以这个多边形的边数为， 故答案为：12． 6.如图是第四套人民币1角硬币，该硬币边缘镌刻的正多边形是正九边形，它的外角的度数为________。 【答案】/40度 【分析】本题考查了正多边形的外角和问题，根据正多边形的外角和为，由此计算即可得解，熟练掌握相关知识点并灵活运用是解此题的关键。 【详解】解：∵该硬币边缘镌刻的正多边形是正九边形， ∴该硬币的外角的度数为， 故答案为：． 7.如图，已知，正五边形的顶点、在射线上，顶点在射线上，若，则的度数是________。 【答案】/24度 【分析】本题考查多边形的外角，掌握多边形的外角和为是解题的关键。 由是正五边形的外角，可求出，进而根据即可求解。 【详解】解：∵是正五边形的外角， ∴, ∵, ∴． 故答案为： 【题型8 多边形外角和的实际应用】 1.如图，蚂蚁从点P出发，沿直线行走20米后右转，再沿直线行走20米，又右转，照此走下去，它第一次回到出发点P，一共行走的路程是_______米。 【答案】320 【分析】本题考查了正多边形的边数的求法，根据题意，蚂蚁走过的路程是正多边形，先用除以求出边数，然后再乘以20米即可。 【详解】解：∵蚂蚁每次都是沿直线前进20米后向右转， ∴它走过的图形是正多边形， ∴边数， ∴它第一次回到出发点P时，一共走了（米）。 故答案为：320． 2.小亮从点出发前进15m，向右转，再前进，又向右转，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了_____。 【答案】 【分析】本题考查了多边形的外角和，理解转向角度与外角的对应关系是解题的关键。 先根据外角和定理直接求边数，进而计算总路程。 【详解】【详解】解：该多边形的边数 小亮需走完18段才能首次回到出发点A； 总路程为． 故答案为： 3.如图，小明沿一个正多边形广场周围的小路按顺时针方向跑步，从点出发，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转这样一直跑下去，直到他第一次回到出发点为止，则这个正多边形的周长为___________米。 【答案】120 【分析】本题主要考查了正多边形的外角问题。运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为，则正多边形边数为，运行距离正多边形的边数正多边形边长。 【详解】解：∵小明从O点开始，前进10米后向右转，再前进10米后又向右转， ∴运行轨迹是正多边形，且该正多边形外角和为， 设多边形的边数为n，则正多边形边数为， ∴行走距离正多边形的边数正多边形边长（米）， 故答案为：． 4.如图，蚂蚁先从点A出发前进，向右转，再前进，又向右转，这样一直走下去，那么蚂蚁第一次回到出发点A时，一共走了____________．    【答案】30 【分析】本题主要考查了多边形内角与外角的应用，解题的关键是判断出蚂蚁所走的路线为正多边形，牢记任何一个多边形的外角和都是，正多边形的每一个外角都相等。 由题意可知蚂蚁所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案。 【详解】解：蚂蚁从点出发最后回到出发点时正好走了一个正多边形， 根据外角和定理可知正多边形的边数为， 则一共走了（厘米）。 故答案为：30． 5.如图，小明在操场上从点出发，沿直线前进米后向左转，再沿直线前进米后，又向左转，照这样走下去，他第一次回到出发地点时，一共走了米，则______ 度。    【答案】 【分析】根据题意，可知小明走的是正九边形，根据正多边形外角和性质即可求解。 【详解】解：∵每次前进米后向左转，一共走了米， ∴小明走的是正九边形， ∴向左转九次， ∴, ∴, 故答案为：． 【点睛】本题主要考查多边形外角和的性质，理解图示，掌握正多边形外角和的性质是解题的关键。 【题型9 多边形内角和与外角和综合】 1.如果一个正多边形的内角和是外角和的4倍，那么这个正多边形的边数为______。 【答案】10 【分析】设正多边形的边数为，利用多边形内角和公式与多边形外角和为列方程求解即可。 【详解】解：设这个正多边形的边数为，根据题意，得（，解得 ． 2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________。 【答案】9 【分析】根据题意设边数为，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可。 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：． 3.一个多边形的每个内角都相等，且内角和是外角和的5倍，则这个多边形的每个内角为________。 【答案】 /度 【分析】本题考查了多边形的内角和，外角和，抓住内角，外角的关系列方程是解题的关键。设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为，根据内角和是外角和的5倍，可得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍，据此建立方程求解即可。 【详解】解：设多边形的一个内角的度数是，则每个外角的度数为， 根据题意，得每一个内角的度数是每一个外角度数的5倍， 则， 解得， 则这个多边形的每个内角为． 故答案为：． 4.解答下列问题。 （1）一个正n边形的每个内角都为，求这个正n边形的边数。 （2）已知一个多边形的内角和的一半比外角和多，求这个多边形边数及对角线的条数。 【答案】(1)6 （2）边数为，对角线条数为 【分析】（1）根据题意先确定多边形每个外角的度数，然后求解即可； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为（，任意多边形外角和为，根据题意列出方程求解即可。 【详解】（1）解：∵正边形每个内角为， ∴每个外角的度数为 ， ∵任意多边形的外角和为， ∴边数 ； （2）设这个多边形的边数为，多边形内角和为（，任意多边形外角和为， 根据题意列方程得 ， 解得 ， ∴边形对角线条数公式为，将代入得 ， ∴因此这个多边形边数为，对角线条数为． 5.（1）若一个正多边形的每一个内角都比与其相邻外角的3倍多，求这个多边形的边数。 （2）一个多边形的内角和是，求这个多边形共有多少条对角线。 【答案】（1）10 (2)27 【分析】（1）根据内角与相邻外角互补的关系，结合题目条件求出单个外角的度数，再利用多边形外角和为，即可求出边数； （2）先根据多边形内角和公式求出多边形的边数，再代入多边形对角线条数公式计算即可得到结果，掌握相关计算公式是解题的关键。 【详解】解：（1）设这个正多边形的一个外角为，则与其相邻的内角为，由题意可得 ： , 解得， 多边形的外角和为， 这个多边形的边数为； （2）设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式可得： , 解得， 这个多边形的对角线条数为， 即这个多边形共有27条对角线。 【题型10 平面镶嵌】 1.下列正多边形的组合中，不能够铺满地面的是（   ）。 A．正七边形和正方形 B．正方形和正八边形 C．正六边形和正三角形 D．正十二边形和正三角形 【答案】A 【分析】本题考查平面镶嵌，能够铺满地面的关键是：围绕同一顶点的几个多边形内角加起来恰好等于，先计算各正多边形的内角度数，再判断能否凑出即可。 【详解】解：对于选项A ：正七边形内角约为，正方形内角为，不存在正整数个内角和凑为，故不能够铺满，符合题意； 对于选项B ：正方形内角为，正八边形内角为， ∵, ∴能够铺满，不符合题意； 对于选项C ：正六边形内角为，正三角形内角为， ∵, ∴ 能够铺满，不符合题意； 对于选项D ：正十二边形内角为，正三角形内角为， ∵, ∴能够铺满，不符合题意。 2.如图，图①是通过平面图形的镶嵌所呈现的图案，图②是其局部放大示意图，由正十二边形、正六边形和正方形构成，其中边的延长线与对角线交于点E，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形的内角和。根据正十二边形的每个内角为，求得，根据正六边形的每个内角为，求得，再利用三角形的外角性质，求解即可。 【详解】解：正十二边形的每个内角为， ∴, 正六边形的每个内角为， ∴, ∴, 故选：B． 3.在①用正五边形可以进行平面镶嵌；②用正三角形和正六边形可以进行平面镶嵌；③用正四边形和正八边形可以进行平面镶嵌。这三个命题中正确命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了平面镶嵌（密铺），熟练掌握正多边形的内角和及每个内角的求法是解题的关键； 分别求出各正多边形的每个内角，再结合镶嵌的条件逐项求解即可。 【详解】解：①正五边形每个内角是，不能整除，不能够进行平面镶嵌，故①不符合题意； ②正三角形的每个内角是，正六边形每个内角是，因为，所以用2个正三角形和2个正六边形可以进行平面镶嵌，故②符合题意； ③正四边形每个内角都是，正八边形每个内角都是，因为，所以用1个正四边形和2个正八边形可以进行平面镶嵌，故③符合题意； 所以正确命题的个数是2个， 故选：． 4.小明在社会实践中想用不同的正多边形瓷砖铺设地面，在一个顶点处有一个正三角形和一个正十边形瓷砖，若想铺成平整无缝隙的地面，则还需要的瓷砖形状是（　　） A．正十二边形 B．正十三边形 C．正十四边 D．正十五边形 【答案】D 【分析】本题考查了平面镶嵌，欲解答此题，要熟悉平面镶嵌的定义还要熟悉正多边形内角和外角的求法。 根据正三角形的每个内角为，正十边形的每个内角为，若能构成镶嵌，则还需正多边形的每个内角为，据此即可求解。 【详解】解：∵正三角形的每个内角为， 正十边形的每个内角为， ∴还需正多边形的每个内角为， 其每个外角为， 其边数为． 故选：D． 1.如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解。 【详解】解：∵， ∴, 正五边形的每个内角度数为：， 在四边形中，， ∵， ∴． 2.下列语句正确的有（   ）个。（各边都相等，各内角都相等的多边形为正多边形） ①正多边形中，边越多，内角越大； ②正多边形中，边越多，外角越大； ③正多边形中，边越多，边长越小； ④正多边形中，边越多，周长越大。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据正多边形内角、外角的计算方法，结合边长、周长的影响因素，逐个判断四个语句的正误，统计正确个数即可得到答案。 【详解】设正多边形边数为（，且为整数）， ①对正多边形内角度数，正边形每个内角为，当增大时，减小，因此增大，①正确； ②对正多边形外角度数，任意多边形的外角和为，正边形每个外角为，当增大时，减小，②错误； ③正多边形的边长没有限定条件（如外接圆半径固定），边数更多的正多边形边长不一定更小，例如大正十边形的边长可以远大于小正三角形的边长，③错误； ④正多边形的周长等于边长乘边数，没有限定条件时，边数更多的正多边形周长不一定更大，例如小正100边形的周长可以远小于大正三角形的周长，④错误。 综上，正确的语句只有1个，故选A． 3.一个正五边形和正方形按如图方式摆放，其中，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正方形及正五边形内角，结合平行线性质得到四边形中，，由四边形内角和为即可求出度数。 【详解】解：如图所示： 正方形的每一个内角为；正五边形的每一个内角为； ， , 在四边形中，，则． 4.如果机器人在平地上按如图所示的程序设定路线行走，那么机器人回到点处时行走的路程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用多边形的外角和等于，可知机器人回到点时，恰好沿着边形的边走了一圈，即可求得路程。 【详解】解：米。 故选：C． 【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理。任何一个多边形的外角和都是，用外角和求正多边形的边数直接让除以一个外角即可。 5.如图，，是五边形的三个外角，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角和，多边形的外角，解题的关键是熟练掌握求多边形内角和的公式进行解题。 先求出五边形的内角和，结合，即可求出答案。 【详解】解：根据题意，五边形的内角和为：， ∵ , ∵, ∴; 故选：A． 6．如图，图中的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，三角形外角的定义和性质，设与，分别交于点，，与交于点，由三角形外角的定义得出，，则同理进而转化成求五边形的内角和求解即可。 【详解】解：设与，分别交于点，，与交于点， 则，， 同理 ． 故选A 7.如图，在正八边形中，对角线，交于点K，则=（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多边形内角和公式的运用以及三角形的外角，熟练掌握相关公式是解题关键。根据正多边形的内角和公式求出，然后根据三角形外角的性质求出即可。 【详解】解：八边形是正八边形， , 八边形是正八边形 ∴，， , ∵是的外角 , 故选：D． 1 学科网（北京）股份有限公司 $