海南文昌中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

2025—2026学年度第二学期高一第一次月考试题 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下面与480°角终边相同的角是（    ） A．-120° B．120° C．-60° D．60° 2．已知为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 3．在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点C的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 4．已知 ，则（    ） A． B． C． D． 5．已知向量，，满足，，与的夹角为，则=（    ） A．7 B． C． D．19 6．在△ABC中，已知AB=BC=2，AC=，那么（    ） A．8 B．-4 C． 12 D．-8 7．下列函数中，以为周期且在上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 9．关于向量，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若＝0，则 D．若∥，则 10．已知函数的最小正周期为，，则（     ） A． B．的图象关于直线对称 C．在上单调递减 D．将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象 11．已知函数，下列说法正确的有（    ） A．函数为奇函数 B．函数的周期为π C．函数在区间上为增函数 D．当时，函数的图象恒在直线的下方 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知平面向量, 满足，，与的夹角为，则______. 13．已知，则______. 14．如图，是函数（，，） 图象的一部分，函数在区间上有且 仅有两个零点，实数的取值范围________． 四、解答题：本大题共 6 小题, 共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（本小题满分13分） 设，为两个不共线的向量，若k，. （1）若与共线，求实数k的值； （2）若，为互相垂直的单位向量，且⊥，求实数k的值. 16．（本小题满分15分） （1）若，，求的值. （2）设角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点. (i) 求的值； (ii) 求的值. 17．（本小题满分15分） 如图所示，摩天轮的半径为50 m，最高点距离地面高度为110 m，摩天轮的圆周上均匀地安装着24个座舱，并且运行时按逆时针匀速旋转，转一周大约需要12 min. 甲，乙两游客分别坐在P, Q两个座舱里，且他们之间间隔2个座舱(本题中将座舱视为圆周上的点). （1）求劣弧PQ的弧长l (单位：m)； （2）设游客丙从最低点M处进舱，开始转动t min后距离地面的高度为H m，求在转动一周的过程中，H关于时间t的函数解析式； （3）若游客在距离地面至少85 m的高度能够获得最佳视觉效果，请问摩天轮转动一周能有多长时间使甲，乙两位游客都有最佳视觉效果. 18．（本小题满分17分） 设函数. （1）求的最大值； （2）当时，求图象的对称中心的坐标； （3）若的最小正周期为，不等式对恒成立，求的取值范围. 19．（本小题满分17分） 定义有序实数对(a,b)的“跟随函数”为． （1）记有序数对(1,－1)的“跟随函数”为f(x)，若，求满足要求的所有x的集合； （2）记有序数对(0,1)的“跟随函数”为f(x)，若函数与直线有且仅有四个不同的交点，求实数k的取值范围； （3）已知，若有序数对(a,b)的“跟随函数”在处取得最大值，当b在区间(0,]变化时，求的取值范围． 高一数学 第2页 （共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一第一次月考答案 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C A D C D C B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 BC ABD ACD 【选择题解析】 1．因为，所以与终边相同的最小正角是120°，故选B. 2．因为为第二象限角，且，所以， 则. 故选C. 3．因为是对角线上靠近点的三等分点，所以， 则. 故选A. 4．由题意得， 则 故选D. 5．由已知可得，<>， 所以=，所以. 故选C. 6． 故选：D 7．对于A，因为，所以， 由，得，所以单调递增，故A错误； 对于B，因为，所以， 由，得，所以不单调，故B错误； 对于C，，其图象如图：    由图象知，在上单调递减，故C正确； 对于D，，其图象如图：      由图象知，，由，得， 所以在上不单调，故D错误. 故选C. 8． ，. 故选B. 9．向量的长度相等，方向不同时也不是相等向量，A错误； 向量相等，长度一定相等，B正确； 长度为0的向量是零向量，C正确； 平行向量不一定是相反向量，D错误． 故选BC． 10．由题意可知，解得， 又，又，可得，即可得A正确； 对于B，因此可得， 当时，可得，取得最小值， 因此的图象关于直线对称，即B正确； 对于C，当时，， 由正弦函数的单调性可得在上不是单调递减的，即C错误； 对于D，将的图象向左平移个单位长度后得到 s2x，即D正确. 故选ABD. 11．对于A，函数的定义域为R，有， 则为奇函数，故A正确； 对于B，因， 故π不是函数的周期，故B错误； 对于C，因， 当时，为增函数且， 由复合函数的单调性知， 也是增函数， 故在上递增，， 又由为奇函数，则在区间上为增函数，故C正确； 对于D，， 当时，由函数与的图象（如图）可知：， 因，则有恒成立，故， 即函数的图象恒在直线的下方，故D正确． 故选ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．1 13． 14． 【解析】 12．因为. 13．因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 所以，解得． 14．由图可得， 函数的最小正周期为， 则， 所以，因为， 则，因为， 所以，解得，所以． 令，，则， 因为函数在区间上有且仅有两个零点， 所以方程在有且仅有两个实根， 令，得或，， 所以方程的正根从小到大排列分别是，，，…， 所以，解得． 四、解答题：本大题共 6 小题, 共 77 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.【解析】 （1）根据题意，，为两个不共线的向量，且k，； 若与共线，则存在实数λ，使得λ …………2分 则有， 则有且， …………4分 解可得k ； …………6分 （2），为互相垂直的单位向量，⊥，·=0 …………8分 则有， …………10分 变形可得： 2=k2，故k=2. …………13分 16.【解析】 （1）由 ，得 ， …………1分 解得 ，而 ， 所以 或 . …………3分 （2）(i)角 的始边与 轴的非负半轴重合，终边经过点 ， 则 ， …………6分 所以 …………8分 . …………9分 (ii) 由 (i) 得 ， 所以 …………12分 . …………15分 17.【解析】 （1）因为摩天轮的圆周上均匀地安装着 24 个座舱， 故每个座舱与中心连线所成的扇形的圆心角为 ， …………1分 故 . …………3分 （2）建立如图所示的平面直角坐标系，设 ， 由题意知， ，所以 ， ……5分 又由 ， 所以 ， ……7分 当 时，可得 ，所以 ， 故 关于时间 的函数解析式为 ，其中 ……9分 （3）令 ，即 ， …………11分 令 ，解得 ， …………13分 因为甲乙两人相差 ， 又由 ，所以有 甲乙都有最佳视觉效果. …………15分 18.【解析】 （1） ……3分 当 ，即 时， 取得最大值，最大值为 8. …………5分 （2）由 (1)，当 时， ， 令 ，得 ， …………8分 所以 图象的对称中心的坐标为 . …………9分 （3）因为 的最小正周期 ，所以 ，得 ， ， …………11 分 当 时， ，所以 ， …………13分 又 ，所以 ，即 ， 因为不等式 对 恒成立，所以 ， ……16分 解得 ，所以实数 的取值范围为 . …………17分 19.【解析】 （1）由题意，，，， 又，所以或，即所求集合为； …………4分 （2）由题意，则， 时，， 时，，…6分 作出函数，的图象，如图， 在和上递增，在和上递减， ，， 由图象可知，时，函数的图象与直线 有且仅有四个不同的交点， 所以的范围是； …………10分 （3）由题意， 其中，， 易知时，， ， ，同理， ， …………12分 …………15分 时，函数是增函数，因此， 从而，即． …………17分 高一数学第一次月考题参考答案 第1 页 （共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $