精品解析：海南海口市海南中学2025-2026学年高一第二学期5月月考测试数学试卷

海南中学2025-2026学年度高一年级第二学期月考测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 如果两条直线a与b没有公共点，则 C. 有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 若直线l与平面相交，则内不存在与l平行的直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A选项，缺少“不共线”条件，A错误； 对于B选项，结论缺少“异面”的情况，B错误； 对于C选项，结论缺少“侧棱互相平行”的情况，C错误； 对于D选项，直线l与平面相交，l与内的直线相交或异面，D正确． 2. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 【答案】C 【解析】 【分析】根据棱柱的结构特征即可得解. 【详解】依题意得，且， 又平面平面，所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱. 3. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据线面平行的定义可判断A的正误，根据空间中垂直关系的转化可判断BCD的正误. 【详解】对于A，若，则可平行或异面，故A错误； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则存在直线，， 所以由可得，故，故C正确； 对于D，，则与可平行或相交或，故D错误； 故选：C. 4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知，结合正方体的结构特征及平行公理推、情感教练的判定定理逐项分析判断. 【详解】对于A，如图，，四点共面，A不是； 对于B，如图，，四点共面，B不是； 对于C，如图，，四点共面，C不是； 对于D，如图，平面，平面，平面，直线， 则与是异面直线，D是. 故选：D 5. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图的特征推出原平面图形的形状及相关边长，再利用梯形面积公式计算原平面图形的面积． 【详解】在直观图中作，垂足分别为E，F， 则 确定原平面图形的形状及部分边长： 在斜二测画法中，平行于y轴的线段，在原图形中长度变为直观图中对应线段长度的倍． 已知直观图是底角为，腰和上底均为的等腰梯形，因为直观图中腰长为且平行于y轴，所以原平面图形为直角梯形，其直角腰长为直观图中腰长的倍，即；上底边长在斜二测画法中长度不变，所以原平面图形上底边长为． 原图如下： 将原平面图形上底，下底，高代入公式，可得． 原平面图形的面积是． 故选：A． 6. 若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出底面圆的半径，再由侧面积公式得解. 【详解】设圆锥底面半径，高为，母线为， 则， 所以圆锥的侧面积. 7. 如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把异面直线所成的角，转化为平面角，再用解三角形的方法求解. 【详解】连接，交于点，取的中点，连接. 因为，所以与所成的角为（或其补角）. 令，在中，由，得. 又，， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 故选：C 8. 已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将棱锥补全为长方体，进而确定球心的位置并求出半径，若为的中点，连接，证明平面平面，得到是与平面的夹角，结合已知求点面距即可. 【详解】由平面，平面，则，， 由，可将三棱锥补全为一个长方体，如下图示， 则球心为该长方体体对角线的中点，则球的半径， 易知中，，若为的中点，连接， 显然，且都在平面内，则平面， 又平面，所以平面平面，故在平面的投影在上， 所以是与平面的夹角，而， 则， 所以，则球心到平面的距离为. 故选：B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据线面平行、面面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】对于A，若，，则可能相交，A选项错误. 对于B，若，，则，B选项正确. 对于C，若，，则，C选项正确. 对于D，若，，则可能相交，D选项错误. 故选：BC 10. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（ ） A. 与异面 B. 与相交 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】把展开图还原成正方体，逐项分析即可判断选项是否正确. 【详解】由题意，把展开图还原成正方体，如图所示： 从而可得，与异面，与相交. 11. 如图，是边长为2的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则（ ） A. B. 点在平面内的射影为的垂心 C. 二面角的余弦值为 D. 是线段上一点，则的最小值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用线面垂直的判定定理证得平面后，即可判定A；设在底面上的射影为，利用线面垂直判定定理证得平面后得到，同理可证，即得为的垂心，由此判定B；连接，可证为二面角的平面角，然后计算，从而判定C；将平面 沿展开，与平面 共面，则 的最小值是，从而判定D. 【详解】 对于A，，， 平面，平面， 平面，，故A正确； 对于B，设在底面上的射影为，则底面，底面，， 由知，，连接并延长，交于， ，平面，则， 同理可证，点在平面内的射影为的垂心，故B正确； 对于，由知，，，为的中点， 连接，又，， 则为二面角的平面角. 在等腰直角三角形中，由，得，则， 在中，有，故C正确； D选项，如图 将平面沿展开，与平面 共面，则的最小值是， ，， ， 同理可得， 故在展开图中、、三点共线， ，故D错误. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 【答案】 【解析】 【分析】连接，由平面，得到为与平面所成角，在直角中，即可求解. 【详解】设正方体的棱长为1，连接， 在正方体中，可得平面， 所以体对角线与平面所成角，即为， 在直角中，，所以, 所以体对角线与平面所成角的正切值是. 故答案为：. 13. 如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则________． 【答案】 【解析】 【分析】画出轴截面，根据列方程求解即可. 【详解】画出圆锥的轴截面如图 设内切球的球心为，半径为， 则，， 所以， 又， 即， 解得. 故答案为：. 14. 如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】取，的中点分别为，连接，先证明四边形是平行四边形，再利用面面平行的判断定理证明平面平面，可得平行四边形即为所求的截面，再计算其面积即可. 【详解】取，的中点分别为，连接， 因为，所以四边形是平行四边形，所以， 因为所以四边形是平行四边形，所以， 所以，所以四边形是平行四边形， 因为，平面，平面， 所以平面， 同理可证平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因此过点作与平面平行的截面，即是平行四边形， 连接，作于点， 由，， 可得， 所以， 所以平行四边形的面积为， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是找出过与平面平行的截面，所以想到作平行线，利用面面平行的判断定理证明所求的截面即是平行四边形，先求四边形一半的面积，乘以即可得所求平行四边形的面积，也可以直接求菱形的面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和.求： （1）圆台的体积； （2）圆台所在圆锥的表面积； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）作出圆锥的轴截面示意图，求得上下底面圆的半径，进而结合母线长可求圆锥的高,即可由体积公式求解； （2）利用比例关系计算出圆锥的母线长，再根据圆锥的表面积公式即可计算出其表面积. 【小问1详解】 圆锥的轴截面示意图如下图所示： 因为圆台的上底面面积为，所以上底面圆的半径， 因为圆台的下底面面积为，所以下底面圆的半径， 所以，所以圆台的高； 故圆台的体积为 【小问2详解】 设圆锥的母线长为，圆台的母线长为， 由上图可知：，所以， 所以圆锥的侧面积为，圆锥的底面积为， 所以圆锥的表面积为. 16. 如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. （1）求证：，，，四点共面； （2）设与交于点，求证：，，三点共线. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理，以及由比例式可证，进而可得，可得结论； （2）证明平面，平面，利用基本事实，即可证得结论. 【小问1详解】 ，分别为，的中点，. 在中，，，. ，，，四点共面. 【小问2详解】 ，，平面，平面. 同理平面. 为平面与平面的公共点. 又平面平面， ，，，三点共线. 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构造三角形的中位线，可得线线平行，再利用线面平行的判定定理可得线面平行. （2）寻找线面平行，根据面面平行的判定定理证明面面平行. 【小问1详解】 如图：连接BD，设，连接OM， ∵在正方体中，四边形是正方形，是中点， 是的中点，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 如图：连接，NB， 为的中点，为的中点， ，又， ∴四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 由（1）知平面，，平面，平面， ∴平面平面. 18. 如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取线段的中点，求证平面即可； （2）作，垂足为，求证或其补交为平面与平面所成角，再设，并证明计算各边长度，最后利用余弦定理可得. 【小问1详解】 取线段的中点，连接， 因为，，所以， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以； 【小问2详解】 作，垂足为，连接， 因为，所以全等， 所以，， 则或其补角为平面与平面所成角， 设，则， 因为平面平面平面，平面平面， ，所以平面， 因为平面，所以，则， 所以等腰底边上的高为， 则，得， 在中， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由离散曲率的定义求、、、，即可得； （2）由线面垂直的性质和判断得，结合求得，过点作于点，证明平面，则点到平面的距离为线段的长，根据已知求长度即可； （3）根据题意可求得、，设，则、，再应用余弦定理及列方程，即可求得. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得，， ，， 所以. 【小问2详解】 由平面，平面，得， 又，，平面，则平面， 又平面，所以，即， 又，即， 解得， 过点作于点， 由平面，平面，得， 又，平面，则平面， 因此点到平面的距离为线段的长， 在中，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 由平面，则平面，故为直线与平面所成的角， 依题意，，，， 则，， 设，则，， 在中，， 由，得，， 因此，而，解得， 所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南中学2025-2026学年度高一年级第二学期月考测试 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共19小题，共150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 第Ⅰ卷（共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列命题正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 如果两条直线a与b没有公共点，则 C. 有两个平面平行，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱 D. 若直线l与平面相交，则内不存在与l平行的直线 2. 如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ） A. 棱台 B. 四棱柱 C. 五棱柱 D. 六棱柱 3. 若m为直线，为两个平面，则下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，下列正方体中，M，N，P，Q分别为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线MN和PQ为异面直线的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A. B. C. D. 6. 若圆锥的高为5，母线长为7，则该圆锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方体中，，异面直线与所成的余弦值为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知三棱锥的外接球的球心为平面，则球心到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设，，表示三个不同的平面，表示直线，则下列选项中，使得的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中（ ） A. 与异面 B. 与相交 C. D. 11. 如图，是边长为2的正方形，点，分别为边，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点，则（ ） A. B. 点在平面内的射影为的垂心 C. 二面角的余弦值为 D. 是线段上一点，则的最小值为 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在正方体中，体对角线与平面所成角的正切值是_________. 13. 如图，圆锥的底面半径为r，高为，且该圆锥内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）的半径为1，则________． 14. 如图，在棱长为4的正方体中，的中点是P，过直线作与平面平行的截面，则该截面的面积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得圆台的母线长为，两底面面积分别为和.求： （1）圆台的体积； （2）圆台所在圆锥的表面积； 16. 如图，空间四边形中，，分别是，的中点，，分别在，上，且. （1）求证：，，，四点共面； （2）设与交于点，求证：，，三点共线. 17. 如图，在正方体中，为的中点. （1）求证：平面； （2）若为的中点，求证：平面平面. 18. 如图，在四边形中，，，，.将沿翻折至（为点的对应点），使得平面与平面垂直. （1）证明：； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面.已知三棱锥如图所示. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）若平面，，，三棱锥在顶点处的离散曲率为.求点到平面的距离； （3）在（2）的前提下，又知点在棱上，过点作交于点，连接，若，求的长度. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $