专题01整式的乘除专项训练(21大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年北师大版七年级数学下册

专题01整式的乘除专项训练 题型01.零指数与负整数指数幂计算 题型02.科学记数法表示数 题型03.同底数幂的乘除运算 题型04.幂的乘方与积的乘方运算 题型05.科学记数法的乘法运算 题型06.幂的混合运算 题型07.单项式乘单项式计算 题型08.单项式乘多项式综合 题型09.多项式乘多项式综合 题型10.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型11.整数乘法中求字母的值 题型12.多项式乘法规律性问题 题型13.平方差公式运算与图形 题型14.完全平方公式运算与图形 题型15.完全平方公式变形与系数 题型16.整式乘法混合运算 题型17.多项式乘多项式化简求值 题型18.单项式除单项式 题型19.多项式除单项式 题型20.整式的四则混合运算 题型21.新定义运算 解答题13题 知识点01.幂的运算性质 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 零指数幂 a0=1 （a0) 非零数的零次幂等于 1 负整数指数幂 a−p= a0，n 为正整数 负指数幂等于正指数幂的倒数 知识点02.整式的乘法 1. 单项式 × 多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 多项式 × 多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加。 口诀：逐项相乘，再相加，不重不漏。 3.单项式单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式 知识点03.整式的除法 1. 单项式 ÷ 单项式 系数相除 同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母，连同指数照抄 2. 多项式 ÷ 单项式 (a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m0) 多项式每一项分别除以单项式，再相加。 知识点04.乘法公式 知识点05.科学记数法 形式：a×10n，其中1⩽∣a∣<10，n为整数 绝对值小于 1 的数：n为负整数，∣n∣等于原数左边第一个非零数字前零的个数 常见易错点 1.符号：(−a)n 偶正奇负，−an 永远为负 2.指数运算：只变指数，底数不变，不要乘方变乘法 3.公式混用：平方差是两项，完全平方是三项 4.漏乘：多项式乘除时不要漏项 5.结果必须合并同类项 题型01.零指数与负整数指数幂计算. 1．如果，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．已知，，，则m，n，p的大小关系是（  ） A． B． C． D． 3．__________． 4．使的x的值为______． 5．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 题型02.科学记数法表示数 6．港珠澳大桥于2018年10月24日上午9时正式通车，桥隧全长55千米，用科学记数法表示这个长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”，袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 8．被称为“大魔王”的新冠病毒变异毒株奥密克戎直径约为110纳米，1纳米米，则用科学记数法表示其直径（单位：米）约为___________． 9．西安地区自古有“八水绕长安”之美称，其中渭河的年径流量为2500000000立方米．将数据2500000000用科学记数法表示为_____． 10．稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 11．纳米是一种长度单位，．已知某种花粉的直径为，用科学记数法表示该种花粉的直径是（   ） A． B． C． D． 题型03.同底数幂的乘除运算 12．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 13．计算：（   ） A．a B． C． D． 14．若，则等于（   ） A．8 B．15 C．6 D．10 15．已知，那么的值是（    ） A．4 B． C．3 D．12 16．若，则_____． 17．已知，，则______． 18．，则___________． 19．已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 20．已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（   ） A． B． C． D． 题型04.幂的乘方与积的乘方运算 21．与相等的是（    ） A． B． C． D． 22．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 23．若，，则的值为（　　） A．4 B．18 C．10 D．32 24．计算等于（   ） A．1 B．2 C． D． 25．计算：______． 26．已知以下三个数：，，，则最大的数为______； 27．计算_________ 28．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 题型05.科学记数法的乘法运算 29．光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 ____________km． 30．已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有______个水分子（结果用科学记数法表示）． 31．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 题型06.幂的混合运算 32．若，则________． 33．用幂的形式：=_______． 34．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 题型07.单项式乘单项式计算. 35．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 36．计算：______． 37．计算：______． 38．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 题型08.单项式乘多项式综合 39．计算：（   ） A． B． C． D． 40．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移一段距离后就是它的右边线，若这块草地的覆盖面积正好为，则小路的宽度是（   ） A． B． C． D． 41．计算：______． 42．一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是_____． 43．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 44．一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 题型09.多项式乘多项式综合 45．若且，则代数式的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 46．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；② ；③；④；你认为其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 47．已知，，则的值为________． 48．小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片______张． 49．已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 50．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行n次操作后所得多项式为．三个结论错误的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 题型10.(x+p)(x+q)型多项式乘法 51．若则m，n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 52．已知，则________． 53．已知，为常数，且为恒等式，则________． 题型11.整数乘法中求字母的值 54．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 55．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 56．已知的化简结果中不含的一次项，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 57．若计算的结果中不含项，则常数a的值为__________． 58．已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 59．，求的值_______． 题型12.多项式乘法规律性问题 60．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律： 根据“杨辉三角”的系数规律，可知的展开式中第三项的系数为（   ） A．36 B．28 C．21 D．15 61．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值：…，请你利用上面的结论，若，则的值为___． 62．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 题型13.平方差公式运算与图形 63．下列代数式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 64．设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 65．计算：______． 66．模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 67．计算的值是（   ） A． B． C． D． 68．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型14.完全平方公式运算与图形 69．若，，则M与N的大小关系为（   ） A． B． C． D．由x的取值而定 70．如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．28 B．24 C．22 D．18 71．若有理数n满足，则代数式______． 72．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 73．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 74．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B．9 C．7 D．5 题型15.完全平方公式变形与系数 75．若实数m满足，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 76．若是一个完全平方式的展开式，则的值为（   ）． A． B． C．或 D． 77．若是一个完全平方式，则_________． 78．已知实数x，y满足，则的值为（     ） A．－9 B． C．9 D． 79．下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 题型16.整式乘法混合运算 80．计算正确的是（    ） A． B． C． D．0 81．已知，则的值是___________． 82．在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ） A． B． C． D． 题型17.多项式乘多项式化简求值 83．若满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 84．已知，，则的值为______； 85．若实数x，y，z满足，求（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 题型18.单项式除单项式 86．计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 87．计算__________ 88．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型19.多项式除单项式 89．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（       ） A． B． C． D． 90．计算：_________． 91．已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 题型20.整式的四则混合运算 92．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 93．若（　　）成立，则填在括号内的式子是___________． 94．如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（    ）        A． B． C． D． 题型21.新定义运算 95．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 96．对于有理数、、、定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为_______． 97．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 98．定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③若，则；④； A．4 B．3 C．2 D．1 99．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 100．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，9就是一个“智慧数”． （1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_____； （2）在小于100的正整数中，共有_____个“智慧数”． 101．4个数，，，排列成，规定它的运算法则为：．若，则___． 102．若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 103．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 104．4个数a，b，c，d排列为，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为．若，则x的值为_______． 105．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”、如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)判断下列各组多项式是否互为“对消多项式”，如果是求出它们的“对消值”． ①与；②与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求a和b为_____，它们的“对消值”为_____； (3)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值． 解答题 106．计算: (1) (2) 107．计算： (1)； (2)． 108．计算： (1)； (2)． 109．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 110．先化简再求值：，其中，． 111．化简： (1) (2) (3) (4) 112．下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：原式………第一步 ………第二步 ．………第三步 (1)小丽的化简过程从第_____步开始出现错误； (2)请对原整式进行化简，并求当，时原整式的值． 113．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 114．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 115．为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 116．填空： ； ； ； (1)______； (2)猜想：______；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算（结果用幂的形式表示）： ①； ②． 117．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 (1)如图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． ①如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是_______； ②若，，求的值． 【类比迁移】 (2)某文化广场进行地砖翻新工程，如图5，工人师傅需在长9米的地砖拼接横梁上施工．点是上的点，以为一边，向上铺设正方形防滑地砖区域，以为一边，向下铺设正方形景观地砖区域，这两个正方形地砖区域的面积之和为47平方米（即正方形与正方形CEFG的面积之和为47平方米）．延长、交于点，得到长方形，连接、、计划在阴影部分绘制彩色图案打造地标景观．求彩色图案区域（阴影部分）的面积． 118．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01整式的乘除专项训练 题型01.零指数与负整数指数幂计算 题型02.科学记数法表示数 题型03.同底数幂的乘除运算 题型04.幂的乘方与积的乘方运算 题型05.科学记数法的乘法运算 题型06.幂的混合运算 题型07.单项式乘单项式计算 题型08.单项式乘多项式综合 题型09.多项式乘多项式综合 题型10.(x+p)(x+q)型多项式乘法 题型11.整数乘法中求字母的值 题型12.多项式乘法规律性问题 题型13.平方差公式运算与图形 题型14.完全平方公式运算与图形 题型15.完全平方公式变形与系数 题型16.整式乘法混合运算 题型17.多项式乘多项式化简求值 题型18.单项式除单项式 题型19.多项式除单项式 题型20.整式的四则混合运算 题型21.新定义运算 解答题13题 知识点01.幂的运算性质 运算类型 法则表达式 适用条件 核心要点 同底数幂乘法 aman=am+n a0，m、n为正整数 底数不变，指数相加 幂的乘方 (am)n=amn a0，m、n为正整数 底数不变，指数相乘 积的乘方 (ab)n=anbn a0，b0，n为正整数 把每个因式分别乘方，再把所得幂相乘 同底数幂除法 am÷an=am−n （a0，m>n） 底数不变，指数相减 零指数幂 a0=1 （a0) 非零数的零次幂等于 1 负整数指数幂 a−p= a0，n 为正整数 负指数幂等于正指数幂的倒数 知识点02.整式的乘法 1. 单项式 × 多项式 m(a+b+c)=ma+mb+mc 法则：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 2. 多项式 × 多项式 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所有积相加。 口诀：逐项相乘，再相加，不重不漏。 3.单项式单项式 法则：系数相乘，同底数幂相乘，单独字母连同指数作为积的因式 知识点03.整式的除法 1. 单项式 ÷ 单项式 系数相除 同底数幂分别相除 只在被除式里含有的字母，连同指数照抄 2. 多项式 ÷ 单项式 (a+b+c)÷m=a÷m+b÷m+c÷m(m0) 多项式每一项分别除以单项式，再相加。 知识点04.乘法公式 知识点05.科学记数法 形式：a×10n，其中1⩽∣a∣<10，n为整数 绝对值小于 1 的数：n为负整数，∣n∣等于原数左边第一个非零数字前零的个数 常见易错点 1.符号：(−a)n 偶正奇负，−an 永远为负 2.指数运算：只变指数，底数不变，不要乘方变乘法 3.公式混用：平方差是两项，完全平方是三项 4.漏乘：多项式乘除时不要漏项 5.结果必须合并同类项 题型01.零指数与负整数指数幂计算. 1．如果，那么的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据零指数幂成立的条件求解即可，任何不等于0的数的零次幂都等于1，零指数幂的底数不能为0． 【详解】解：∵， ， ． 2．已知，，，则m，n，p的大小关系是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据负整数指数幂、零指数幂、乘方计算m，n，p，再比较大小即可． 【详解】解：，，， 又， ∴． 3．__________． 【答案】 【分析】根据零指数幂运算法则和负整数指数幂运算法则分别化简，再计算乘积即可． 【详解】解：． 4．使的x的值为______． 【答案】3或2或1 【分析】根据任何非零数的零次幂等于1，1的任何次幂都等于1，的偶次幂等于1进行计算即可． 【详解】解：当即，此时； 当即时，； 当即时，； 综上，x的值为3或2或1． 5．若，定义新运算，则的值是（   ） A． B．11 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算，负指数幂的应用，正确的计算是解题的关键． 根据新定义运算，先分别计算出，，的值，再求和即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 题型02.科学记数法表示数 6．港珠澳大桥于2018年10月24日上午9时正式通车，桥隧全长55千米，用科学记数法表示这个长度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：55千米米， ∴米米． 7．“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”，袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的孢蒴，某孢子体的孢蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值小于的数的科学记数法表示，科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，原数绝对值小于时，的绝对值等于原数左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 8．被称为“大魔王”的新冠病毒变异毒株奥密克戎直径约为110纳米，1纳米米，则用科学记数法表示其直径（单位：米）约为___________． 【答案】 【分析】科学记数法的一般形式为，其中，由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定（含小数点前的0）． 【详解】解：110纳米米 米 米． 9．西安地区自古有“八水绕长安”之美称，其中渭河的年径流量为2500000000立方米．将数据2500000000用科学记数法表示为_____． 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的定义，将原数表示为的形式，其中，n为整数． 【详解】解：原数2500000000是一个10位数，将小数点向左移动9位，得到，因此，故用科学记数法表示为． 故答案为：． 10．稀土元素有独特的性能和广泛的应用，我国稀土资源总储藏量为10.5亿吨，是全世界稀土资源最丰富的国家，用科学记数法表示为（   ） A．吨 B．吨 C．吨 D．吨 【答案】B 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：亿吨吨， 故选：． 11．纳米是一种长度单位，．已知某种花粉的直径为，用科学记数法表示该种花粉的直径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂、科学记数法“将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数的方法叫做科学记数法”，熟记科学记数法的定义是解题关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．根据负整数指数幂、科学记数法的定义即可得． 【详解】解：， 故选：D． 题型03.同底数幂的乘除运算 12．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方、积的乘方的运算法则，分别计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A选项：，故A错误； B选项：，故B正确； C选项：，故C错误； D选项：，故D错误． 13．计算：（   ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】同级运算按从左到右的顺序计算，运用同底数幂的乘除法法则即可求解． 【详解】解： ． 14．若，则等于（   ） A．8 B．15 C．6 D．10 【答案】B 【分析】逆用同底数幂乘法法则即可计算出结果. 【详解】解：∵ ，， ∴ 15．已知，那么的值是（    ） A．4 B． C．3 D．12 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的除法的逆用，熟练掌握同底数幂除法法则是关键．把变为，再把已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C 16．若，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法运算，熟练掌握同底数幂除法运算法则是解题的关键． 利用同底数幂的除法法则：进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：． 17．已知，，则______． 【答案】6 【分析】解题思路为逆用同底数幂的乘法法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，可得 将，代入得 原式． 18．，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方等知识点，灵活运用同底数幂的乘除法，幂的乘方的运算法则是解决此题的关键．先将变形成，然后得到，解方程即可得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 19．已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法和除法的运算法则，逐项计算判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，即，故②错误； ∵，且， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ， ∴，故④正确； 综上，正确结论为①③④． 20．已知，，，则x、y、z三者的数量关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，解题的关键是将所有已知等式统一化为底数为3的幂．先将和化为以3为底的幂，再利用建立等式，最后根据指数相等得到关系． 【详解】解：， ， 又, 且， ， 即， 且， ， 故选：． 题型04.幂的乘方与积的乘方运算 21．与相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查幂的基本运算，根据合并同类项法则，同底数幂乘法，同底数幂除法，幂的乘方运算法则，分别计算各选项即可得到结果 【详解】解：∵ 选项A中，与不是同类项，不能合并， A错误； 选项B中，根据同底数幂相乘，底数不变指数相加，得 ， B错误； 选项C中，根据同底数幂相除，底数不变指数相减，得 ， C错误； 选项D中，根据幂的乘方，底数不变指数相乘，得 ，D正确 22．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用积的乘方法则将每个因式分别乘方，再结合幂的乘方法则计算即可得到结果，用到的运算法则为积的乘方：，幂的乘方：． 【详解】解：． 23．若，，则的值为（　　） A．4 B．18 C．10 D．32 【答案】B 【分析】利用幂的乘方和同底数幂除法的运算法则对所求式子变形，再代入已知值计算即可． 【详解】解：∵ ， 又∵ ，， ∴  ． 24．计算等于（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据积的乘方法则的逆用即可计算． 【详解】解：． 25．计算：______． 【答案】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则，分别对系数和字母进行乘方运算，再把所得的幂相乘即可． 【详解】解： ． 26．已知以下三个数：，，，则最大的数为______； 【答案】 【分析】将三个幂变形为同指数的形式，再根据指数为正整数，底数大于时，底数越大幂越大，比较大小即可得到结果． 【详解】解：因为，，且， 所以，即， 又因为，且， 所以，即， 综上可得：， 故最大的数为：． 27．计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 28．已知，，，且，则的值为(        ) A．30 B．27 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了积的乘方，幂的乘方；由和、的定义推出，再结合，将用表示，得到，从而求出． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 题型05.科学记数法的乘法运算 29．光在真空中的速度为km/s，太阳光照射到地球上大约需要s，则地球与太阳之间的距离用科学记数法表示为 ____________km． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法．掌握相关表示规则即可． 30．已知1个水分子的质量约是．如果1滴水的质量约是，那么这滴水中大约有______个水分子（结果用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查科学记数法，读懂题意是解题的关键． 根据题意，水分子的数量等于一滴水的质量除以一个水分子的质量，利用科学记数法的除法法则进行计算． 【详解】解：一滴水的质量为，一个水分子的质量为，则水分子的数量为：． 故答案为：． 31．综合实践课上，老师利用球的体积公式计算出地球的体积约是立方千米，而宇宙内的另一颗星球，也可以近似地看作球体，它的半径是地球的一万倍，则这个星球的体积约是（        ） A．立方千米 B．立方千米 C．立方千米 D．立方千米 【答案】D 【分析】本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，有理数的乘方运算，用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：， 故选D． 题型06.幂的混合运算 32．若，则________． 【答案】 【分析】主要考查幂的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握同底数幂的乘法法则和除法法则是解题的关键． 先运算，再化简方程，推出，代入即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 将代入得：． 故答案为：． 33．用幂的形式：=_______． 【答案】 【分析】利用分数指数幂，负整数指数幂的运算法则计算即可； 【详解】解： 【点睛】本题主要考查负整数指数幂，分数指数幂的运算法则进行计算，熟练掌握分数指数幂的运算法则是关键．分数指数幂的运算法则是： 34．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】A、，此项符合题意； B、，此项不符合题意； C、， 此项不符合题意； D、，此项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查同底数幂的乘除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握各运算法则是解题关键． 题型07.单项式乘单项式计算. 35．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照单项式乘单项式的运算法则，分别计算系数乘积、同底数幂的乘积，即可得到结果． 【详解】解： ． 36．计算：______． 【答案】 【分析】先算积的乘方，然后根据单项式乘以单项式法则计算即可求解． 【详解】解： ． 37．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方，幂的乘方，单项式乘以单项式，根据相关运算法则，进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 38．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示132×23，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，错误的是（   ） A．“2”上边的数是8 B．“20”右边的“□”表示4 C．运算结果可以是9225 D．“5”右边的“□”表示5 【答案】D 【分析】本题考查了整式的加法运算，整式的乘法运算，理解题意，正确的逻辑推理时解决本题的关键． 设一个三位数与一个两位数分别为和，则，即，可确定时，则，由题意可判断A、B、D选项，根据题意可得运算结果可以表示为：，把代入，故可判断C选项． 【详解】解：设一个三位数与一个两位数分别为和 如图： 则由题意得： ， ∴，即， ∴当时，不是正整数，不符合题意，故舍； 当时，则，如图： ， ∴A、“2”上边的数是，故本选项不符合题意； B、“20”右边的“□”表示4，故本选项不符合题意； C、上面的数应为，如图： ∴运算结果可以表示为：， ∴当时，， ∴C选项不符合题意， D、“5”右边的“□”表示1，故该选项符合题意， 故选：D． 题型08.单项式乘多项式综合 39．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据单项式乘多项式法则展开计算即可． 【详解】解：． 40．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移一段距离后就是它的右边线，若这块草地的覆盖面积正好为，则小路的宽度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的实际应用，根据即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴小路的宽度是， 故选：． 41．计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式． 42．一个长方体的长，宽，高分别是，和x，则它的表面积是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查整式的乘法的应用，根据长方体的表面积公式，计算长、宽、高的两两乘积的和，再乘以2并化简即可． 【详解】解：长方体的表面积公式为 ，其中，，， 计算： ， ， ， 则， 表面积， 故答案为：． 43．下列各式中，计算正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查代数式的运算，包括多项式乘法、幂的运算、单项式乘多项式及指数运算，需逐一验证各选项的正确性 【详解】解：A：，正确； B：，错误； C：，错误； D：由，，得：，错误； 故选A 44．一个四位自然数，满足，，则称这个四位数为“幸运数”例如：对于，∵，，∴是“幸运数”；对于，∵，，∴不是“幸运数”．若存在幸运数，使得，则满足条件的“幸运数”有（    ）个． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了新定义运算、整式乘法的应用，熟练掌握运算法则，理解新定义是解题的关键． 根据题意列出算式， 求出的值，即可得出答案． 【详解】解：由题意得，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵均为整数，且，，，， ∴或 或 ， 当 时，，，此时幸运数为， 当时，，，此时幸运数为， 当 时，，，此时幸运数为， 则满足条件的“幸运数”有个， 故选：． 题型09.多项式乘多项式综合 45．若且，则代数式的值等于（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再变形，最后求出答案即可． 【详解】解：∵且， ∴ ． 46．如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；② ；③；④；你认为其中正确的有（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】通过计算大长方形的面积（整体法）或分割成小长方形面积之和（分割法）来验证各选项是否正确． 【详解】解：由图可知，大长方形的长为，宽为， ∴大长方形的面积可以表示为，故①正确； 若将大长方形竖向分割，左右两部分宽为，中间部分宽为，高均为， ∴面积也可以表示为，故②正确； 若将大长方形横向分割，上部分高为，下部分高为，长均为， ∴面积也可以表示为，故③正确； 若将大长方形分割为6个小长方形，面积之和为，而④中给出的式子为，多了，故④错误； 综上所述，正确的有①②③． 47．已知，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴ 48．小明有足够多的如图所示的正方形卡片，和长方形卡片，如果他要拼一个长为，宽为的大长方形，共需要类卡片______张． 【答案】11 【分析】根据题意可得大长方形的面积为，再根据多项式乘以多项式运算法则进行计算即可解答． 【详解】解：由题意可得大长方形的面积为： ， ∵长方形卡片的面积为， ∴共需要类卡片11张． 49．已知，若正方形M的边长为，其面积记为，长方形N的长为，宽为，其面积记为，则与的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，整式的混合运算的应用，掌握相关运算法则是解题关键．由题意可知，，，再计算即可． 【详解】解：由题意可知，，， 则 ， 故选：D． 50．若一个只含a字母的多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘，称这为第一次操作；若第一次操作后所得多项式的项数是偶数，用该多项式去乘，若该多项式的项数是奇数，则用该多项式去乘称这为第二此操作，以此类推．①将多项式以上述方式进行2次操作后所得多项式项数是5；②将多项式以上述方式进行3次操作后，多项式的所有系数和为0；③将多项式以上述方式进行n次操作后所得多项式为．三个结论错误的有（    ）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据题意，计算出进行2次操作后所得多项式，即可判定①；根据题意，计算出以上述方式进行3次操作后所得多项式，即可判定②；根据题意，总结归纳出进行次操作后所得多项式规律，即可判定③． 【详解】解：第1次操作后，得， 第2次操作后，得， ∴第2次操作后所得多项式项数是4， 故①错误； 第1次操作后，得， 第2次操作后，得， 第3次操作后，得， ∴将多项式以上述方式进行3次操作后， 多项式的所有系数和为，故②正确； 第1次操作后，得， 第2次操作后，得， 第3次操作后，得 第4次操作后，得… 第n次操作后，得，故③错误； 综上，错误的有①③共2个， 题型10.(x+p)(x+q)型多项式乘法 51．若则m，n的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据整式的乘法将式子计算出来即可得到答案． 【详解】解：， 故，． 52．已知，则________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则展开等式左边，再利用多项式相等对应项系数相等求出和的值，代入计算即可． 【详解】解： 而 根据多项式相等对应项系数相等，可得，， 则． 53．已知，为常数，且为恒等式，则________． 【答案】 【分析】本题考查的是多项式的乘法运算，由，再比较等式两边对应项的系数，建立方程求解． 【详解】解：， 比较系数得：且， 解得 ，； ∴， 故答案为 题型11.整数乘法中求字母的值 54．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 55．若的计算结果中不含项，则（   ） A． B．0 C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式利用单项式乘多项式法则计算，根据结果中不含项，求出a的值即可． 【详解】解： ∵的计算结果中不含项， ∴， 解得：． 故选B． 56．已知的化简结果中不含的一次项，则与的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再使得含项的系数为即可求解． 【详解】解： ∵的化简结果中不含的一次项， ∴． 57．若计算的结果中不含项，则常数a的值为__________． 【答案】 【详解】解： ， ∵其结果中不含项， ∴， 解得， ． 58．已知(－2x)·(5－3x＋mx2－nx3)的结果中不含x3项，则m的值为(　　) A．1 B．－1 C．－ D．0 【答案】D 【分析】根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，根据整式不含x3项，可得三次项的系数为零． 【详解】（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）=-10x+6x2-2mx3+2nx4， 由（-2x）•（5-3x+mx2-nx3）的结果中不含x3项，得-2m=0， 解得m=0， 故选D． 【点睛】本题考查了单项式与多项式相乘，熟练掌握运算法则是解题的关键，计算时要注意符号的处理． 59．，求的值_______． 【答案】3 【分析】首先根据单项式乘以单项式法则得到，然后比较指数得到，，求出，，然后代入求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴． 题型12.多项式乘法规律性问题 60．南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中用“杨辉三角”揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的规律： 根据“杨辉三角”的系数规律，可知的展开式中第三项的系数为（   ） A．36 B．28 C．21 D．15 【答案】C 【分析】通过观察展开式中所有项的系数和，得到一般规律：的第三项的系数为：，据此解答即可． 【详解】解：由题目中找规律可以发现： 的第三项的系数为：； 的第三项的系数为：； 的第三项的系数为：； ⋯， 的第三项的系数为：； ∴中第三项系数为． 61．你能求的值吗？遇到这样的问题，我们可以先思考一下，从简单的情形入手．先计算下列各式的值：…，请你利用上面的结论，若，则的值为___． 【答案】 【分析】先根据已知计算归纳出多项式乘法的一般规律，再结合已知等式推导出，求出或，结合求出x的值，最后代入计算即可． 【详解】解：根据已知计算可归纳规律得：， 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴． 62．“杨辉三角”(如图)，是中国古代数学无比睿智的成就之一，见“杨辉三角”可以解释 (n为非负整数)计算结果的各项系数规律，如的系数1，2，1恰好对应“杨辉三角”中第3行的3个数，的系数1，3，3，1恰好对应“杨辉三角”中第4项的4个数…，小明经过仔细观察，还发现 (n为非负整数)计算结果的各项次数规律以及其他规律下列结论： ①的计算结果中项的系数为； ②的计算结果中各项系数的绝对值之和为； ③当时，的计算结果为； ④当，除以2025，余数为2023． 其中，正确的是(　　) A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式中的规律型问题，幂的乘方．根据“杨辉三角”得出展开式中各项系数的特点，逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，的计算结果中项的系数为“杨辉三角”第2026行第2个数与的积，即， 故结论①正确； 的计算结果中各项系数之和为，因此的计算结果中各项系数的绝对值之和为， 故结论②正确； 当时，， 故结论③正确； 当，，展开式中最后一项为，其余各项的因数均包括2025，因此除以2025，余数为，即2024．故④结论错误． 综上所述，①②③结论正确． 题型13.平方差公式运算与图形 63．下列代数式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，逐一判断选项即可得到答案．平方差公式为． 【详解】解：A项：，能用完全平方公式，不符合平方差公式特征，故A错误； B项：，能用完全平方公式，不符合平方差公式特征，故B错误； C项：，有一项b相同，另一项a和互为相反数，符合平方差公式特征，能用平方差公式计算，故C正确； D项：，能用完全平方公式，不符合平方差公式特征，故D错误． 64．设正方形的面积为，长方形的面积为，若长方形的长比正方形的边长多，宽比正方形的边长少，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【分析】设正方形的边长为，分别表示出正方形的面积和长方形的面积，通过作差比较二者大小． 【详解】`解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， ∴，， ∴， ∴． 65．计算：______． 【答案】 【分析】将原式相邻两项两两分组，利用平方差公式化简分组后的式子，再对所有项求和即可得到结果． 【详解】解：原式 . 66．模型观念 如图①所示，从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的梯形，然后拼成一个平行四边形（如图②所示）． （1）图①中阴影部分的面积是____． （2）图②中拼成的平行四边形的底边长是____，对应的高是___（注意观察图①），所以平行四边形的面积是______． （3）因为①，②两个图形中阴影部分的面积相等，所以可以发现等式：___，这就是平方差公式． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景及图形面积的计算，解题的关键是通过计算两种不同图形的面积，建立等式，从而推导出平方差公式． （1）用大正方形面积减去小正方形面积，得到图①阴影部分的面积； （2）观察图形，确定图②中平行四边形的底边长和高，再用底乘高计算其面积； （3）根据两个图形中阴影部分面积相等，列出等式，推导出平方差公式． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：底边长为；对应的高为； 故答案为：；；． （3） 故答案为：． 67．计算的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，灵活运用平方差公式是解题的关键． 先利用平方差公式把原式改写为，再计算即可． 【详解】解： ． 故选：C． 68．如图，四边形是长方形，四边形是面积为15的正方形，点M、N分别在上，点E、F在上，点G、H在上，且四边形是正方形，连接，若图中阴影部分的总面积为6，则正方形的面积为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质、平方差公式，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用．设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 则阴影面积的底为，高之和为， ∴阴影面积为，即， ∵大正方形的面积为， ∴，即小正方形的面积为3， 故选：D． 题型14.完全平方公式运算与图形 69．若，，则M与N的大小关系为（   ） A． B． C． D．由x的取值而定 【答案】A 【分析】利用作差法进行求解． 【详解】解： ， ． 70．如图，分别以长方形的边，为直角边向外作等腰直角三角形，面积分别是和，且，，若，，则阴影部分的面积为（    ） A．28 B．24 C．22 D．18 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用．设，根据题意可得，再利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即阴影部分的面积为22． 故选：C 71．若有理数n满足，则代数式______． 【答案】/ 【分析】观察代数式特点，考虑用完全平方公式变形解决问题，令，，可得，，求出即可． 【详解】解：令，， 则，， ∴， ∴， ∴， 即． 72．两个边长分别为a和b的正方形如图放置（图1），其未叠合部分（阴影）面积为；若再在图1中大正方形的右下角摆放一个边长为b的小正方形（如图2），两个小正方形叠合部分（阴影）面积为．若，，则___________；若时，则图3中阴影部分的面积___________． 【答案】 【分析】根据，将，，代入进行计算即可；根据，，即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：由图可得，， 若，， 则； 由图可得， 若时， ． 73．已知：，，，则的值为（   ） A．0 B．2003 C．2002 D．3 【答案】D 【分析】先对代数式整体变形乘2再除以2，配方变形后则有，根据已知条件算出 ，，的值，最后代入分解后的算式中求解即可． 【详解】解： ， 根据已知条件可得： ，，， ∴ 原式． 74．已知长方形的长为a，宽为b，用四个这样的长方形围成一个大正方形，如图1所示，中空的部分是一个面积为9的小正方形．用五个这样的长方形按如图2的方式摆放，延长部分边框，构成一个新的大长方形，中间空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B．9 C．7 D．5 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．用代数式表示图1中间小正方形的面积，图2空白部分的面积，再根据得到的，利用完全平方公式及变形求出的值即可． 【详解】解：图1中，中间小正方形的边长为,面积为， 由图2可得，大长方形的长为,宽为,因此面积为， 所以，即， ，即，而， ， ，而，则, . 故选：C． 题型15.完全平方公式变形与系数 75．若实数m满足，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】设两个式子分别为a和b，通过已知条件结合完全平方公式计算出所求乘积的值． 【详解】解：设，， 由题意得， ， 根据完全平方公式， 将，代入公式得， ∴． 76．若是一个完全平方式的展开式，则的值为（   ）． A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，将给定二次三项式与完全平方公式进行对比，对应系数即可求出的值． 【详解】解：∵完全平方公式为 ， 又∵，且原式是完全平方式的展开式， ∴，等式两边同时除以得， ∴ ． 77．若是一个完全平方式，则_________． 【答案】13或 【分析】根据完全平方式的结构特征计算即可得出结果． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 解得：或， 故或． 78．已知实数x，y满足，则的值为（     ） A．－9 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】将原等式变形为，又根据非负性有，，即，故要使成立，则必须，解之即可解答． 【详解】∵ 即 ∴ ∵， ∴ 要使，则必须 解得 ∴ 故选：C 【点睛】本题考查完全平方公式，平方的非负性，负整数指数幂，熟练运用完全平方公式进行配方，和平方的非负性是解题的关键． 79．下列单项式中，与整式相加后不能组成某个整式的平方的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，通过完全平方公式验证每个单项式与相加后是否能组成完全平方式即可． 【详解】解：∵ 完全平方公式：，， A项：相加得，是完全平方式，不符合题意； B项：相加得，是完全平方式，不符合题意； C项：相加得，是完全平方式，不符合题意； D项：相加得，不是完全平方式，符合题意． 故选：D． 题型16.整式乘法混合运算 80．计算正确的是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据幂的乘方计算法则去括号，再计算加减法． 【详解】解： = =0， 故选：D． 【点睛】此题考查了幂的乘方计算法则，整式的混合运算，正确掌握计算法则是解题的关键． 81．已知，则的值是___________． 【答案】81 【分析】本题主要考查了代数式求值，整式混合运算，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．由已知方程解出 x 与 y 的关系，代入目标表达式并化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故答案为：81． 82．在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差． 【详解】解：， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键． 题型17.多项式乘多项式化简求值 83．若满足，则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】该题考查了完全平方公式，代数式求值，利用代数恒等式将平方和转化为已知条件的形式，结合已知条件直接计算． 【详解】解：设，则． ∴， ∴， ∴， 故选：D． 84．已知，，则的值为______； 【答案】9 【分析】先将所求多项式展开，再通过完全平方公式变形，将已知条件整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 85．若实数x，y，z满足，求（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】令，分别求出，，，，最后根据分别代入化简求解即可． 【详解】解：令，则 ∵， ∴，整理得：， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵ ， ， ∵ ∵， ∴，解得：， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是用换元法，将各个式子进行改写化简． 题型18.单项式除单项式 86．计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方运算，单项式除以单项式的运算，掌握积的乘方与单项式除以单项式的运算法则是解题关键． 先计算立方运算，再根据除法将原式转化为分数形式，利用指数运算法则简化． 【详解】解：∵， ∴， 系数化简：， 化简：， 化简：， ∴结果为． 故选：． 87．计算__________ 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算（包括积的乘方、单项式乘单项式、单项式除以单项式），解题的关键是熟练运用幂的运算法则（同底数幂相乘除，底数不变指数相加减；积的乘方，各因式分别乘方再相乘）． 计算积的乘方化简；按法则进行单项式乘法运算；按法则进行单项式除法运算，分步处理系数和同底数幂的指数． 【详解】解：按整式混合运算顺序计算： 故答案为：． 88．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查整式的计算，根据单项式除以单项式、积的乘方，多项式除以单项式法则分别计算即可判断． 【详解】解：A.，故原选项错误； B.，故原选项错误； C.，故原选项正确； D.，故原选项错误； 故选：C． 题型19.多项式除单项式 89．若长方形的面积是，其中一边长是，则它的邻边长是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形面积公式，邻边长面积已知边长，利用多项式除以单项式的法则计算即可得到结果． 【详解】解：长方形面积=相邻两边长的乘积，已知面积为，一边长为， 邻边长为： ． 90．计算：_________． 【答案】 【详解】解：原式 ． 91．已知，且，则式子的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了整式的化简求值，掌握整体代入法是解题关键．先根据多项式除以单项式以及合并同类项法则，得出，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 题型20.整式的四则混合运算 92．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的混合运算及负指数幂，解题的关键是熟练运用整式的加减运算、乘除运算以及积的乘方运算，本题属于基础题型．根据整式的加减运算、乘除运算以及积的乘方运算即可求出答案． 【详解】解：A、，故A不符合题意． B、，故B符合题意． C、，故C不符合题意． D、，故D不符合题意． 故选：B． 93．若（　　）成立，则填在括号内的式子是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的四则混合运算，涉及完全平方公式，先根据完全平方公式把等式两边的式子展开，然后再用左边的式子减去右边的式子，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 94．如图，长为x，宽为y的长方形被分割为7块，包括5块形状、大小完全相同的空白长方形和2块阴影长方形Ⅰ，Ⅱ．若每块空白长方形较短的边长为4，则阴影长方形Ⅰ，Ⅱ的周长之和为（    ）        A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式、整式的混合运算等知识点，明确掌握长方形的周长公式是解题的关键． 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，则，再列出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和的公式求解即可． 【详解】解： 设5块形状、大小完全相同的空白长方形的较长边长为z，则， ∴块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为：， 将代入上式中，得出2块阴影长方形Ⅰ、Ⅱ的周长之和为． 故选D． 题型21.新定义运算 95．如果规定表示多项式，表示多项式，则计算的结果是__________． 【答案】 【分析】根据题目中规定的运算方式列式计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 96．对于有理数、、、定义运算，我们把它叫做二阶行列式，例如：．若，则的值为_______． 【答案】 【分析】先根据题意得出，从而得出方程，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 97．现定义某种运算“”：对于任意两个数a和b，有，如，请按定义计算________． 【答案】/ 【分析】根据定义的运算，原式可化为，然后根据完全平方公式和平方差公式计算，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 98．定义：如果（，且），那么x叫做以a为底N的对数，记作．例如：因为，所以；因为，所以．则下列说法中正确的有（   ）个 ①；②；③若，则；④； A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据题目给出的对数定义，结合乘方运算，逐项判断每个说法的正误，统计正确说法的个数即可得到答案. 【详解】解：根据对数定义逐项判断： ① ∵ ∴ ，①错误. ② ∵ ∴ ，②正确. ③ ∵ ∴ 解得 ，③错误. ④ 设 ，根据定义得 ， ∵ ，， ∴ ，即 ，得 ， 设 ，根据定义得 ， ∵ ， ∴ ，即 ，得 ， ∴ ，即 ，④正确. 综上，正确的说法共2个. 99．规定一种新运算：．嘉嘉：．琪琪：若的结果与x的取值无关，则m的值为2．关于嘉嘉和琪琪的说法，下列判断正确的是（   ） A．嘉嘉对，琪琪错 B．嘉嘉错，琪琪对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】A 【分析】根据新定义的运算分别计算嘉嘉和琪琪的运算，进而判断对错即可． 【详解】解：∵， ∴ ，则嘉嘉的说法正确． ∵的结果与x的取值无关， ∴， ∴，则琪琪的说法错误． 100．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧数”．例如，，9就是一个“智慧数”． （1）若将“智慧数”从小到大排列，则第3个“智慧数”是_____； （2）在小于100的正整数中，共有_____个“智慧数”． 【答案】 7 49 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，根据“智慧数”的定义，利用平方差公式推导出智慧数的表达式，进而求解第3个智慧数和小于100的智慧数个数。 【详解】解：设满足条件的两个正整数为 和 ，且 ， 则智慧数为 ． 又 ，代入得智慧数 ，其中 为正整数． 因此，智慧数为从 3 开始的奇正整数． （1）第 3 个智慧数对应，即 ， 故答案为：7. （2）根据题意可知，解得， 由于n为正整数， 故n取49， 故答案为：49． 101．4个数，，，排列成，规定它的运算法则为：．若，则___． 【答案】 【分析】根据题目给定的新运算法则，将所给行列式转化为方程，然后通过展开、化简方程求解的值．本题主要考查了新定义运算以及完全平方公式的应用，熟练掌握新定义的运算法则是解题的关键． 【详解】解：利用题中新定义得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 102．若规定符号的意义是：，则当时，的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查定义新运算，掌握多项式的乘法法则和整体代入法是解题的关键．根据定义的新运算的运算法则，得出的表达式，然后进行化简，最后再整体代入即可求值． 【详解】解：根据题意，可得 ， ∵， ∴， ∴ ． 故答案为：6． 103．将4个数a，b，c，d排列成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，上述记号就叫做2阶行列式．若，则=______． 【答案】9 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，整式的乘法运算，根据题意化简，得，再化简解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 整理得， 即， 解得． 故答案为： 9． 104．4个数a，b，c，d排列为，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为．若，则x的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确理解新定义的运算规则是解题的关键． 按规定的运算可得关于的方程，解方程即可求得答案． 【详解】，， ， ， ， 解得， 故答案为：． 105．我们定义：如果两个多项式M与N的和为常数，则称M与N互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消值”、如与互为“对消多项式”，它们的“对消值”为5． (1)判断下列各组多项式是否互为“对消多项式”，如果是求出它们的“对消值”． ①与；②与． (2)多项式与多项式（a，b为常数）互为“对消多项式”，求a和b为_____，它们的“对消值”为_____； (3)关于x的多项式与互为“对消多项式”，“对消值”为t．若，，求代数式的最小值． 【答案】(1)①组多项式不是互为“对消多项式”，②组多项式是互为“对消多项式”，“对消值”是 (2)，1；2 (3)28 【分析】（1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得的值，再代入求解； （3）先求得，再将原式进行配方变形进行求解； 【详解】（1）解：， ， ∴①组多项式不是互为“对消多项式”，②组多项式是互为“对消多项式”，“对消值”是； （2）解：， ， ∵A与互为“对消多项式”， ， ， ∴它们的“对消值”为； （3）解：， ， ∵C与互为“对消多项式”且“对消值”为， ，， ， ， ， ∴代数式的最小值是28． 解答题 106．计算: (1) (2) 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）先算绝对值，乘方，再把各项相加即可； （2）先算同底数幂乘法，积的乘方，同底数幂除法，再把各项相加即可． 【详解】（1）解： （2）解： 107．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 108．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂、负整数指数幂、乘方运算法则计算，再计算实数的加减法即可． （2）根据幂的乘方、积的乘方、同底数幂的乘除运算法则计算，再计算整式的加减法即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， ． 109．已知，．求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为可转化为同底数幂的除法形式，所以根据​，将其转化为​，再代入已知条件计算； （2）可拆分为同底数幂的乘法与幂的乘方的组合形式，所以根据和，将其转化为，再代入已知条件计算． 【详解】（1）解：，， ； （2），， ． 110．先化简再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先根据完全平方公式，多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，多项式除以单项式法则等化简，然后把x、y的值代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 111．化简： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 112．下面是小丽化简的过程，仔细阅读后解答所提出的问题． 解：原式………第一步 ………第二步 ．………第三步 (1)小丽的化简过程从第_____步开始出现错误； (2)请对原整式进行化简，并求当，时原整式的值． 【答案】(1)一 (2)， 【分析】（1）根据整式的混合运算法则判断即可； （2）首先利用完全平方公式和平方差公式计算，然后再去括号合并同类项，化简后得出最简结果，再代入、的值计算即可． 【详解】（1）解： ， ∴小丽的化简过程从第一步开始出现错误． （2）解： ； 当，时，原式． 113．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图）． (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，则_______． ②计算：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景、平方差公式的应用以及规律型运算，熟练掌握平方差公式的推导与运用是解答本题的关键． （1）通过分别计算图和图中阴影部分的面积，利用面积相等验证平方差公式； （2）①将变形为平方差公式的形式，代入已知条件求解； ②利用平方差公式对原式逐项分解，再通过等差数列求和计算结果． 【详解】（1）解：图阴影部分面积可表示为，图阴影部分面积可表示为， 故上述操作能验证的等式是； （2）解：①， ； ②原式 ． 114．为了更好地开展劳动教育，某学校暑期对学校闲置的地块进行规划改造，如图，已知该地块是长为米，宽为米的长方形地块，学校准备在该地块内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，并计划将阴影部分改造为种植区． (1)用含有a，b的式子表示种植区的总面积S；（请将结果化为最简） (2)若，，求此时种植区的总面积S． 【答案】(1)平方米 (2)此时种植区的总面积S为108平方米 【分析】（1）用长方形的面积减去小路的面积可得种植区的总面积，然后化简求解即可； （2）将，代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解：当，时， （平方米）， 答：此时种植区的总面积S为108平方米． 115．为了给同学们提供更多的活动空间，某校对校园空地进行改造．如图，在长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建两个大小一样的乒乓球场地，两个乒乓球场地中间以及乒乓球场与长方形场地边缘的距离都为b米． (1)求这两个乒乓球场地的占地面积； (2)当，时，若乒乓球场地每平方米造价为200元，其余场地每平方米造价50元，求整个长方形场地的造价． 【答案】(1)平方米 (2)9850元 【分析】（1）把两个乒乓球场地平移为一个长方形，求出这个长方形的长和宽，即可求出面积； （2）先求出乒乓球场地和其余场地的面积，再根据每平方米的造价求解即可． 【详解】（1）解： （平方米）． 答：这两个乒乓球场地的占地面积平方米． （2）解：场地的总面积为 （平方米）， 其余场地的面积为 （平方米）， 当，时， 乒乓球场地的面积（平方米）， 其余场地的面积（平方米）， 总造价为（元）． 答：整个长方形场地的造价是9850元． 116．填空： ； ； ； (1)______； (2)猜想：______；（其中为正整数，且） (3)利用（2）中的猜想的结论计算（结果用幂的形式表示）： ①； ②． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据题干中的等式即可得出答案； （2）根据已知等式总结规律即可； （3）①将原式变形后利用所得规律计算即可； ②将原式变形后利用所得规律计算即可． 【详解】（1）由题干中的等式可得． （2）由已知等式可得（其中为正整数，且）． （3）①， 结合（2）的结论，可得， 故． ②， 结合（2）的结论，可得， 故 ； 即． 117．【知识生成】 通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形（），把余下的部分剪开并拼成一个长方形（如图2），图1中阴影部分的面积可表示为：，图2中阴影部分的面积可表示为：，因为两个图中的阴影部分的面积是相同的，所以可得到等式：． 【结论探究】 (1)如图3是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成一个大正方形． ①如图4，用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于，，的等式是_______； ②若，，求的值． 【类比迁移】 (2)某文化广场进行地砖翻新工程，如图5，工人师傅需在长9米的地砖拼接横梁上施工．点是上的点，以为一边，向上铺设正方形防滑地砖区域，以为一边，向下铺设正方形景观地砖区域，这两个正方形地砖区域的面积之和为47平方米（即正方形与正方形CEFG的面积之和为47平方米）．延长、交于点，得到长方形，连接、、计划在阴影部分绘制彩色图案打造地标景观．求彩色图案区域（阴影部分）的面积． 【答案】(1)①；② (2)17平方米 【分析】（1）①阴影部分的面积小正方形的边长小正方形的边长，阴影部分的面积大正方形的面积4个小长方形的面积，据此分别表示出阴影部分的面积即可得到答案；②根据（1）①的结论代入求值即可； （2）设正方形的边长为x米，正方形的边长为米，根据题意可得，米，据此根据完全平方公式可得的值，根据列式求解即可． 【详解】（1）解：①图4中的阴影部分是一个边长为的正方形，则其面积为， 图4中的阴影部分的面积等于边长为的正方形面积减去4个长为a，宽为b的长方形面积，则其面积为， ∴； ②∵，， ∴； （2）解：设正方形的边长为x米，正方形的边长为米， ∵正方形与正方形CEFG的面积之和为47平方米， ∴， ∵米， ∴米， ∴， ∴， ∴， 平方米． 118．综合与实践．学习整式乘法时，老师拿出三种型号的卡片，如图1，A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是边长为b的正方形，C型卡片是长和宽分别为a，b的长方形． (1)如果用若干张A，B，C三种卡片拼成的一个长方形，边长分别为和，在虚线框中画出你的拼图，并直接写出 ； (2)选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种D型卡片，由此可检验的等量关系为 ； (3)选取1张D型卡片，3张C型卡片按图3的方式不重复地叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，，若，随着的长度变化时，当a、b之间满足怎样的数量关系时，S的值始终保持不变，请说明理由． 【答案】(1)拼图见解析， (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）画一个边长分别为和的长方形，然后根据图形求解即可； （2）利用正方形的面积即可解决问题； （3）设，根据题意可得则可求出，根据S的值与无关得出，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 根据图形可知：； （2）解：选取4张C型卡片在纸上按图2的方式拼图，可以得到一个边长为的正方形， 剪出中间正方形作为第四种D型卡片，可知D型卡片的面积为一个边长为的正方形的面积减去4张C型卡片的面积，即：， 由图可得D型卡片是一个边长为的正方形， 由正方形的面积为边长的平方可知：； （3）解：设， 根据题意，得， ， ∴ ， ∵随着的长度变化，S的值始终保持不变 ∴， ∴， ∴当时，随着的长度变化，S的值始终保持不变． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $