精品解析：2026年甘肃平凉市崆峒区初中毕业考试与高中阶段招生考试模拟质量监测一 数 学

初中毕业考试与高中阶段招生考试模拟质量监测一 数学 注意事项： 1.全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共0小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 手机通用的信号强度单位是（分贝毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列表示信号最强的是（） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于分式，下列说法正确的是（ ） A. 化为最简分式等于 B. 分式无意义的条件是 C. 当时，分式的值为零 D. 当时，分式无意义 4. 如图，为的直径，点，是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 平凉市某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校1500名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校300名学生进行调查（每名学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（ ） A. 此调查属于普查 B. 本次调查的样本是300名学生 C. 该校1500名学生中约有240人选择“木工”这一类课程 D. 选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的48% 6. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 8. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（ ） A. 200元 B. 180元 C. 170元 D. 160元 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 10. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、填空题：本大题北小题，每小题4分，共24分． 11. 近年来平凉市文旅产业加速提质升级，旅游产品不断丰富，消费潜力持续释放，2025年接待游客达到1033万人次，数据1033万用科学记数法表示为_____ 12. 因式分解：_____． 13. 已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_____．（只需写出一个） 14. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设有辆车，可列方程为_____． 15. 如图，在中，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的平分线上，则的周长为_____． 16. 以下图形中的小黑圆点按照一定规律摆放．第1幅图中“●”的个数为3，第2幅图中“●”的个数为8，第3幅图中“●”的个数为15……以此类推，则第7幅图中“●”的个数为_____． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 解不等式组，并写出不等式组的非负整数解． 19. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 20. 定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． （1）在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 21. 中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚棋子中摸一枚棋子． （1）李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____； （2）游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方是否公平． 22. 某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为1.8米的正方形，点为仓库卷帘门打开的最高位置，点在同一直线上，点到地面的距离为5米．（参考数据：） （1）求的长（精确到0.1米． （2）已知点到地面的距离为6.8米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）． 四、解答题（二）：本大题共小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对抽取的学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】甲班8名学生的竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生的竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取的学生的竞赛成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取的学生的竞赛成绩统计表． 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 82.25 80 n 乙班 82.25 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：_____，_____，__________（填“”“”或“”）． （2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班的竞赛成绩比较好，并简要说明理由． 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为． （1）分别求出和的值； （2）将直线向上平移后，与反比例函数的图象交于C，D两点，与x轴，y轴分别相交于点F，E，若，求直线的函数表达式． 25. 如图，是的直径，点在上，为的中点，连接，，，与相交于点H，过点作直线，交的延长线于点G． （1）求证：是的切线． （2）若，，求阴影部分的面积． 26. 观察发现 （1）如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 （2）在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 （3）如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 27. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初中毕业考试与高中阶段招生考试模拟质量监测一 数学 注意事项： 1.全卷满分150分，答题时间为120分钟． 2.请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题：本大题共0小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 手机通用的信号强度单位是（分贝毫瓦），通常采用负数来表示，绝对值越小表示信号越强．下列表示信号最强的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知信号强度为负数，绝对值越小信号越强，只需比较各数的绝对值大小，找出绝对值最小的数即可解题． 【详解】解：∵各选项对应数的绝对值分别为，，，， ∴， ∴是四个绝对值中最小的，对应信号最强． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：，A错误； 选项B：，B错误； 选项C：，C错误； 选项D：，D正确． 3. 关于分式，下列说法正确的是（ ） A. 化为最简分式等于 B. 分式无意义的条件是 C. 当时，分式的值为零 D. 当时，分式无意义 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的化简、分式有意义的条件与分式值为零的条件，先对分母因式分解，再结合相关知识点逐一判断选项即可． 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确． 故选：D． 4. 如图，为的直径，点，是上位于异侧的两点，连接，．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据弧，弦，圆心角的关系得出，再根据圆周角定理得出答案． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴． 5. 平凉市某中学为落实“立德树人”根本任务，构建“五育并举”课程体系，开展了“烹饪、园艺、木工、电工”四大类劳动课程．为了解本校1500名学生对每类课程的选择情况，随机抽取了本校300名学生进行调查（每名学生只选一类课程），并绘制了如图所示的扇形统计图，下列说法正确的是（ ） A. 此调查属于普查 B. 本次调查的样本是300名学生 C. 该校1500名学生中约有240人选择“木工”这一类课程 D. 选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的48% 【答案】C 【解析】 【详解】解：随机抽取了本校300名学生进行调查，故此调查属于抽样调查，故选项A错误； 本次调查的样本是300名学生所选的课程，故选项B错误； 选择“烹饪”这一类课程的学生人数占被调查人数的，故选项D错误； 该校1500名学生中选择“木工”这一类课程的人数为：，故选项C正确． 6. 如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 正五边形的每个内角度数为：， 在四边形中，， ∵， ∴． 7. 若关于的方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，利用方程有两个相等实数根得到的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 整理得， 两边同除以得， ∴． 8. 某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售该文具时，销售单价不低于进价且不高于21元．经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y（单位：件）与销售单价x（单位：元）之间满足，则销售该文具每天获得的最大利润是（ ） A. 200元 B. 180元 C. 170元 D. 160元 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路是根据总利润单件利润销售量列出利润关于销售单价的函数解析式，再结合二次函数的性质和x的取值范围求最大值． 【详解】解：设销售该文具每天获得的利润为元， 根据题意可得， ， ∵，二次函数图象开口向下， ∴当时，取得最大值， 又∵，在的取值范围内， ∴当时，的最大值为元． 9. 如图，在平行四边形中，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点F，然后分别以点，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点E，若，则的长为（ ） A. B. C. 5 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据尺规作图可得，平分，证明是菱形可得，再运用勾股定理可得，进而可求出的长． 【详解】解：如图所示：连接，交于点O， 由题中作图可知：，平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ∴， ∴， ， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 10. 如图1，在矩形中，点从点出发，沿折线向点匀速运动，过点作对角线的垂线，交矩形的边于点．设点运动的路程为的长为，其中y关于的函数图象大致如图2所示，则的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】点Q运动到点B处时，为4，即为4，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8，证明，求出、，在中利用勾股定理求出即可． 【详解】解：由图2得，当点Q运动到点B处时，为4，即为4， 如图，当点P运动到点D处时，路程为8，即为8， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 在中，， ∴． 故选：D． 二、填空题：本大题北小题，每小题4分，共24分． 11. 近年来平凉市文旅产业加速提质升级，旅游产品不断丰富，消费潜力持续释放，2025年接待游客达到1033万人次，数据1033万用科学记数法表示为_____ 【答案】 【解析】 【详解】解：1033万． 12. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 13. 已知一个反比例函数，在每个象限内，函数值随的增大而减小，那么这个反比例函数的解析式可以是_____．（只需写出一个） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：设该反比例函数为． ∵该反比例函数在每个象限内，函数值随的增大而减小， ∴． 取， 可得符合条件的反比例函数解析式为． 14. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？为解决此问题，设有辆车，可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据人数不变，即可得出关于x的一元一次方程． 【详解】解：依题意，得：． 15. 如图，在中，．现将沿方向平移得到，边与边相交于点，若此时点恰好在的平分线上，则的周长为_____． 【答案】15 【解析】 【分析】根据平移的性质得出，，进而利用勾股定理得出，进而利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：由平移可知，，，，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴相似比是， ∵的周长， ∴的周长为． 16. 以下图形中的小黑圆点按照一定规律摆放．第1幅图中“●”的个数为3，第2幅图中“●”的个数为8，第3幅图中“●”的个数为15……以此类推，则第7幅图中“●”的个数为_____． 【答案】63 【解析】 【分析】首先根据图形中“●”的个数得出数字变化规律，进而求解即可． 【详解】解：∵第1幅图中“●”的个数为， 第2幅图中“●”的个数为， 第3幅图中“●”的个数为， …… ∴第n幅图形中“●”的个数为：， ∴第7幅图中“●”的个数为． 三、解答题（一）：本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则，计算即可． 【详解】解：原式 ． 18. 解不等式组，并写出不等式组的非负整数解． 【答案】，非负整数解为，． 【解析】 【分析】分别解两个不等式，取公共部分，即为不等式组的解集，写出非负整数解即可． 【详解】解：， 由得， 由得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为，． 19. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定x的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，分式无意义， 取， 当时，原式． 20. 定义：我们称能完全覆盖某平面图形的圆（即该平面图形上所有的点均在圆内或圆上）为该平面图形的覆盖圆．其中，能完全覆盖平面图形的最小的圆（即直径最小）称为该平面图形的最小覆盖圆． 爱动脑筋的小明思考：任意一个三角形都能被它的外接圆覆盖，那三角形的外接圆一定是该三角形的最小覆盖圆吗？如图，在中，，，． （1）在图中，作出的外接圆（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． （2）的外接圆是它的最小覆盖圆吗？如果是，请说明理由；如果不是，请求出的最小覆盖圆的直径． 【答案】（1）见解析 （2）不是， 【解析】 【分析】（1）作线段，的垂直平分线交于点O，连接以O为圆心，为半径作即可； （2）的外接圆不是它的最小覆盖圆，以为直径的圆是最小覆盖圆． 【小问1详解】 解：如图，即所求． 【小问2详解】 解：的外接圆不是它的最小覆盖圆．以为直径的是的最小覆盖圆． 如图，过点作交的延长线于点． ， ， ， ，， ， ， 的最小覆盖圆的直径为． 21. 中国象棋源于先秦时期的六博等游戏，历经演变，唐代牛僧孺加入“炮”使其接近现代形制，至宋代完全定型，融合古代兵法智慧，传承至今．张彤和李颖利用象棋棋盘和棋子做游戏，张彤将四枚棋子（除正面汉字不同外，其余均相同）反面朝上搅匀后放在棋盘上，其中有两个“马”、一个“兵”、一个“士”．李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子，记下正面汉字，不放回，张彤再随机从剩下的三枚棋子中摸一枚棋子． （1）李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为_____； （2）游戏规定：若两人摸到的棋子中只要正面上的汉字有“士”，则李颖胜，否则，张彤胜．请用画树状图或列表的方法判断这个游戏对双方是否公平． 【答案】（1） （2）公平 【解析】 【分析】（1）利用简单事件的概率公式直接计算即可； （2）将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为，画出树状图，则可得在两人摸到的棋子中的所有等可能的结果，以及两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果、汉字没有“士”的结果，再利用概率公式计算他们各自获胜的概率，据此进行判断即可． 【小问1详解】 解：∵李颖随机从这四枚棋子中摸一枚棋子共有4种等可能的结果，其中，摸到的棋子正面上的汉字是“马”的结果有2种， ∴李颖摸到的棋子正面上的汉字是“马”的概率为． 【小问2详解】 解：将两个“马”、一个“兵”、一个“士”分别记为，画出树状图如下： 由图可知，在两人摸到的棋子中，共有12种等可能的结果，其中，两人摸到的棋子中正面上的汉字有“士”的结果有6种，汉字没有“士”的结果也有6种， 则李颖胜的概率为，张彤胜的概率为， ∴两人获胜的概率相等， ∴这个游戏对双方公平． 22. 某仓库有一传送带运输货柜，其侧面示意图如图所示，为地面，为斜坡上的传送带，，四边形是边长为1.8米的正方形，点为仓库卷帘门打开的最高位置，点在同一直线上，点到地面的距离为5米．（参考数据：） （1）求的长（精确到0.1米． （2）已知点到地面的距离为6.8米，如果正方形的边长扩大为原来的2倍，能否继续利用该传送带运输？请通过计算说明（足够长）． 【答案】（1）7.6米 （2）解：不能继续利用该传送带运输，理由如下： 当正方形的边长扩大为原来的2倍时，， （米）， （米）， ， 正方形的边长扩大为原来的2倍，不能继续利用该传送带运输． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，根据余弦的定义求出，进而求出，再根据正弦的定义求出，计算即可； （2）根据正弦的定义求出，进而求出，比较大小得出结论． 【小问1详解】 解：如图，设与相交于点， ， ， 在Rt中，米， （米），（米）， （米）， （米）， （米）． 答：的长约为7.6米． 【小问2详解】 略 四、解答题（二）：本大题共小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 23. 某校举办了“机器人知识”竞赛，竞赛满分100分，80分及以上为优秀．从甲班和乙班各随机抽取8名学生，对抽取的学生的竞赛成绩进行收集、整理、分析． 【收集数据】甲班8名学生的竞赛成绩：90，93，80，80，85，80，75，75． 乙班8名学生的竞赛成绩：100，90，79，90，83，85，56，75． 【整理数据】小聪同学将甲、乙两个班级抽取的学生的竞赛成绩进行了整理，并绘制了如图所示的统计图． 【分析数据】甲、乙两个班级抽取的学生的竞赛成绩统计表． 班级 特征数 平均数 中位数 众数 方差 优秀率 甲班 82.25 80 n 乙班 82.25 m 90 【解决问题】请根据以上信息，解决以下问题： （1）填空：_____，_____，__________（填“”“”或“”）． （2）请你选择两个特征数进行分析，判断哪个班的竞赛成绩比较好，并简要说明理由． 【答案】（1）84，80， （2）甲班，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数、众数，以及成绩的波动情况即可得解； （2）根据平均数、方差以及优秀率分析即可． 【小问1详解】 解：乙班8名学生的竞赛成绩从小到大排列为：56，75，79，83，85，90，90，100， 则中位数， 甲班8名学生的竞赛成绩中80分出现了3次，次数最多， 则众数， 由折线统计图可知，甲班竞赛成绩更稳定， 则； 【小问2详解】 解：甲班的竞赛成绩比较好． 理由如下：①从平均数和优秀率的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但甲班的优秀率高于乙班，所以甲班的竞赛成绩比乙班好； ②从平均数和方差的角度来说，甲、乙两个班级成绩的平均分一样，但乙班的方差大于甲班的方差，所以甲班的竞赛成绩比较好．（答案不唯一） 24. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于，两点，其中点的坐标为． （1）分别求出和的值； （2）将直线向上平移后，与反比例函数的图象交于C，D两点，与x轴，y轴分别相交于点F，E，若，求直线的函数表达式． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）把代入求得m的值，然后利用待定系数法即可求得k的值； （2）利用反比例函数的对称性以及平行线的距离相等，得出，即可得到，求得，从而求得直线为． 【小问1详解】 解：把代入，得， ， 点在反比例函数的图象上， ； 【小问2详解】 解：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于两点， ， 根据题意得，， ， ， ， 直线的函数表达式为． 25. 如图，是的直径，点在上，为的中点，连接，，，与相交于点H，过点作直线，交的延长线于点G． （1）求证：是的切线． （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于点，由点D为的中点，得垂直平分，因为，所以，即可证明是的切线； （2）连接，，由是的直径，得，则，可证明四边形是矩形，所以，由，得，则和都是等边三角形，求得，则，，由，得，由，求得，由即可求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接，交于点， ∵为的中点， 垂直平分， ∵， ， 是的半径，且， 是的切线； 【小问2详解】 解：如图，连接，，则，设交于点H， 是的直径， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∵，D为的中点， ， ， 和都是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 26. 观察发现 （1）如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，则折痕和的数量和位置关系分别是_____． 类比探究 （2）在（1）的条件下，设EF与交于点，连接交于点，如图2．求证：． 拓展应用 （3）如图3，正方形的边长为9，M是边上的一个动点，点在边上，且，连接，将正方形沿折叠，使点分别落在点处，当点落在直线上时，求线段的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）2或8 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得垂直平分，再构造十字架模型证即可； （2）连接，，，易证，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点F作于点H，设与交于点O． 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：如图，连接，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∴， 又∵， ∴， ∵由（1）有， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵，， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 27. 如图，已知抛物线与轴交于，两点，过点的直线与抛物线交于点．其中点，点． （1）求抛物线的表达式． （2）M是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值以及此时点的坐标． （3）将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线，在抛物线上是否存在点，使得是以为直角边的直角三角形？如果存在，求出所有符合条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）8， （3）存在，或或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法，即可求解； （2）过点作轴，交于点，先利用待定系数法，求直线的解析式，设点，则点，可得，从而，再根据二次函数的性质，即可求解； （3）根据二次函数图象平移的规律，可得，设点的坐标为，可得，，，再根据题意，分类讨论：当时，列方程求解即可；当时，列方程求解即可． 【小问1详解】 解：点，点在抛物线上， ，解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，过点作轴，交于点， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， ， ， ， 当时，的面积最大，最大值为8，此时点的坐标为； 【小问3详解】 解： 在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形． 理由如下： ，将抛物线向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到抛物线， ， 设点的坐标为， 点，点， ，， 是以为直角边的直角三角形， 或， 当时，， 解得或5，此时点或； 当时，， 解得或，此时点或， 综上所述，在抛物线上存在点，使得是以为直角边的直角三角形，符合条件的点的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $