精品解析：山西吕梁市孝义市孝义六中等学2025-2026学年上学期八年级数学思维发展与提升练习

2025-2026学年八年级数学思维发展与提升练习 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．每小题只有一个选项符合题意，请选出并填入下表相应的位置） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数必须为非负数，据此列不等式求解即可得到x的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足是非负数，即 解得 ． 2. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果两条较小边的平方和等于最大边的平方，此时的三角形是直角三角形，此为本题解题的关键． 利用勾股定理逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A、，，，故不能构成直角三角形， B、，，，故能构成直角三角形， C、，，，故不能构成直角三角形， D、，，，故不能构成直角三角形， 故选：B． 3. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，点，分别是，的中点．若，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用三角形中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴. 4. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三个正方形的面积为直角三角形的三边的平方，结合勾股定理，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：，，， 由勾股定理，得，即， ∴， ∵， ∴． 5. 如图，在中，的平分线交边于E，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质及角平分线的性质、等腰三角形的判定和性质． 由平行四边形的性质及是平分线可推出为等腰三角形，得到，进而求出的长，进而得到长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又是， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算．根据二次根式的乘法、除法和二次根式的加法计算即可判断． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 7. 如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交于点，易得为等边三角形，进而得到，即可得出结果. 【详解】解：设交于点， ∵矩形， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴. 8. 如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和问题，根据多边形内角和公式及正多边形的性质求出的度数，再根据即可解答． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：D． 9. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ） A. 5.3尺 B. 6.8尺 C. 4.7尺 D. 3.2尺 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题．竹子折断后刚好构成直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：如图， 设竹子折断处离地面x尺，则斜边长为尺， 根据勾股定理得：， 解得：， ∴折断处离地面的高度为尺， 故选：D． 10. 如图，图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它近似的可以看成是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的长为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，图形类规律探究，分别求出的长，得到，即可得出结果． 【详解】解：由题意和勾股定理，得：，，， ∴， ∴； 故选B． 第II卷 非选择题（共80分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. 把化成最简二次根式的结果为____________. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 现有一个体积为120cm3的长方体，它的高为cm,长为cm,则这个长方体的宽为_____cm. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的体积公式列式进行求解即可. 【详解】∵一个体积为120cm3的长方体，它的高为cm,长为cm， ∴这个长方体的宽为： 120÷（2×3） =120÷30 =（cm）， 故答案为. 【点睛】本题考查了二次根式乘除混合运算的应用，熟练掌握长方体的体积公式以及相关的运算法则是解题的关键. 13. 如图，矩形的边在数轴上，，两点在数轴上对应的数分别为和2，，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，再根据实数与数轴解答． 【详解】解：∵A、D两点在数轴上对应的数分别为和2， ∴， 由题意可知：， 由勾股定理得：， 则， ∴点E在数轴上所表示的数为． 14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 【答案】30 【解析】 【分析】根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意得到，， ． 15. 如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理可得，则此题可解． 【详解】解：连接，如图， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴点D到的距离为． 三、解答题（本大题共7个小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先化简二次根式，再加减法即可； （2）根据二次根式的除法法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： （1）上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． （2）上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． （3）请写出正确的计算过程． 【答案】（1） （2）三，计算错误 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据完全平方公式解得； （2）根据平方差公式进行判断即可； （3）根据平方差公式以及完全平方公式进行解答即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：上述解答过程，从第三步开始出错，具体的错误是计算错误； 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，再证，得出，即可得出结论． 【详解】证明：如图， 四边形是平行四边形， ， ，， 点是的中点， ， 在和中 ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 19. 某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求空地的周长． （2）除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由长方形的周长等于相邻两边和的2倍，再计算二次根式的加法，后计算乘法即可； （2）先求解通道的面积，再乘以单价即可得到答案． 【小问1详解】 ， 答：长方形的周长是； 【小问2详解】 ， ， 答：购买地砖需要花费元． 20. 项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： （1）为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； （2）若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 【答案】（1）15 （2）设计方案不符合规划要求 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理解答即可； （2）利用勾股定理逆定理可得，可求出绿化区的面积，即可求解． 【小问1详解】 解：因为，，， 所以． 答：这条直道的长度为． 【小问2详解】 解：因为，，， 所以． 所以． 所以绿化区的面积为．     ． 因为， 所以设计方案不符合规划要求． 21. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 （1）请借助图2补全勾股定理的验证过程． （2）如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ； 【小问3详解】 解：是高， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 22. 综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： （1）郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： （3）连接，，若，，求四边形的周长． 【答案】（1）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的判定定理即可求解； （2）根据折叠性质，平行线的性质，利用平行四边形的定义即可得结论； （3）先根据勾股定理可得，由折叠得：，由勾股定理得的长，即可解答． 【小问1详解】 解：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ，， ， 由折叠，得，， . . 又， 四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠，得， ， 同理可得， ， 设，则，， 在中，， 即，解得， ， ， ， ， 由（1）知， ， 四边形是平行四边形， 四边形的周长为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学思维发展与提升练习 一、选择题（本大题共10个小题，每小题2分，共20分．每小题只有一个选项符合题意，请选出并填入下表相应的位置） 1. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 以下列各数为三角形的边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，2，2 B. 1，，2 C. 4，5，6 D. 2，，3 3. 如图是人字梯及其侧面示意图，，为支撑架，为拉杆，点，分别是，的中点．若，则，两点间的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，以的三边为边向外作正方形，，，分别表示这三个正方形的面积．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 6 5. 如图，在中，的平分线交边于E，，，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 6. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，连接，，，，则的长为（ ） A. 8 B. C. 4 D. 8. 如图，小益将平放在桌面上的正五边形磁力片和正六边形磁力片拼在一起（一边重合），则形成的的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），一阵风将竹子折断，某竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，则折断处离地面的高度是（ ） A. 5.3尺 B. 6.8尺 C. 4.7尺 D. 3.2尺 10. 如图，图1是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它近似的可以看成是由一串有公共顶点O的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，则的长为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 第II卷 非选择题（共80分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将正确答案填在题中横线上） 11. 把化成最简二次根式的结果为____________. 12. 现有一个体积为120cm3的长方体，它的高为cm,长为cm,则这个长方体的宽为_____cm. 13. 如图，矩形的边在数轴上，，两点在数轴上对应的数分别为和2，，连接，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴正半轴于点，则点表示的数为________． 14. 如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口一个半小时后分别位于、处，此时两艘轮船相距________． 15. 如图是一台手机支架的示意图，，可分别绕点，转动，测得，．若，，垂足为点，，则的长为________． 三、解答题（本大题共7个小题，共65分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）； 17. 下面是小文同学进行二次根式混合运算的过程， 请认真阅读，完成相应的任务： 解： ……第一步 ……第二步 ……第三步 ．……第四步 任务： （1）上述解答过程中，第一步依据的乘法公式为________________（用字母表示）． （2）上述解答过程，从第________步开始出错，具体的错误是________________________． （3）请写出正确的计算过程． 18. 如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接交的延长线于点，连接，．求证：四边形是平行四边形． 19. 某居民小区有一块长方形空地，空地的长为，宽为，现要在空地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求空地的周长． （2）除修建花坛的地方，其余地方全修建成通道，通道要铺设造价为50元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 20. 项目化学习 项目主题：办公区绿化规划． 项目背景：在城市生态环境建设中，办公区绿化不仅能美化环境，还能改善气候．某占地面积为的办公区准备建一栋办公楼，剩余区域全部进行绿化． 设计方案：如图是该办公区的规划示意图．已知，，，，． 问题解决： （1）为了方便工作人员进出，建设单位计划在绿化区中铺设一条直道，则这条直道的长度为________m； （2）若规划时，要求绿化区的面积大于办公区面积的，请通过计算判断上述设计方案是否符合规划要求． 21. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 （1）请借助图2补全勾股定理的验证过程． （2）如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 22. 综合与探究 问题情境：如图，是矩形的对角线，点，分别在边，上，将沿折叠，使点落在上的点处，将沿折叠，使点落在上的点处．求证：四边形是平行四边形． 初步探究： 郭鹏同学的证明过程如下： 四边形是矩形， ，，． ． 由折叠，得，，，． ，． ，即． ． ． 又， 四边形是平行四边形（依据）． 解决问题： （1）郭鹏同学的证明过程中的“依据”是________________________________． （2）赵斌同学的证明思路：不利用全等，依据平行四边形的定义证明．请按赵斌的思路写出证明过程． 拓展探究： （3）连接，，若，，求四边形的周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $