利用平行线的性质探究角度的关系讲义-2025-2026学年 人教版七年级数学下册

利用平行线的性质探究角度的关系讲义 利用平行线的性质探究角度的关系讲义 知识点解析 一、核心原理 依托平行线的3条核心性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合对顶角、邻补角等基础角的关系，实现角度的等量转化与和差推导，本质是“由线的平行，推角的数量关系”。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定平行，找截线：明确题干中的平行线组，锁定截得角的截线（关键），标注由平行线和截线形成的同位角、内错角、同旁内角； 1. 用性质，转等角/补角：直接套用平行线性质，将未知角转化为已知角（同位角/内错角相等），或转化为互补角（同旁内角和为180°）； 1. 结合基础角关系，推最终结论：利用对顶角相等、邻补角互补等，对转化后的角度做和差计算，探究所求角的等量/和差/倍数关系。 三、核心技巧与注意事项 1. 无截线作辅助线：若已知平行但无公共截线，过角的顶点作已知平行线的平行线，构造截线和内错角/同旁内角； 1. 多平行线找传递性：多条平行线时，利用“平行于同一直线的两直线平行”，依次转化角度； 1. 角的对应要精准：认准截线两侧的角的位置，勿混淆同位角、内错角与同旁内角。 例题分析 例1．（25-26七年级下·河北唐山·月考）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 例2．（24-25七年级下·新疆和田·月考）问题情景： (1)如图①，已知，试问、、有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题，得到的结果是． 请你帮他完善证明过程； 如图②，过点作， ∴____________，（          ） ∵，， ∴____________， ∴______，（       ） ∴， 即． (2)在图①中，若，且，请你计算的度数等于______． (3)问题迁移：如图③，，当点在射线上运动时，，，请你猜想，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)；；两直线平行，内错角相等；； ；；两直线平行，内错角相等 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质完成证明过程即可； （2）由（1）可知，即可求解； （3）过点作，根据两直线平行，内错角相等即可求解． 【详解】（1）解：如图②，过点作， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∵，， ∴， ∴，（两直线平行，内错角相等） ∴， 即． （2）解：∵， ∴， 由（1）可知，， ∴． （3）解：． 理由：如图，过点作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 例3．（24-25七年级下·山东聊城·月考）已知E，F分别是上的动点，P也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动E、F，使，若，则 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）过点作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过点作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）过点作，由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过点作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3）解：过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴， ∴． 例4．（25-26七年级下·江苏·期中）如图1．，点，点分别在射线，上，且． (1)求证：； (2)连接，作，交于点，作的平分线交于点F（如图2），将沿方向水平向右平移． ①在的移动过程中，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数量关系，并证明；若变化，试说明理由； ②当运动到时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)①不变，∠AEB=2∠ACB，证明见解析 ②见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同旁内角互补，可得，又，可得，再根据同旁内角互补，两直线平行，即得答案； （2）①根据两直线平行，内错角相等，可得，又，所以，再根据三角形的外角性质，即得，故与之间的数量关系不变；②先证明，所以，结合，所以，然后利用得到． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）①解：与之间的数量关系不变，．理由如下： ， ， ， ， ． ②证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，理由见解析； (3)当在延长线时，；当在延长线时， 【分析】（1）过作，通过平行线性质求即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，即可得出答案； （3）画出图形，根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，如图2所示， ， ， ，， ，， ，， ． （2）解：， 理由是：如图3，过作交于， ， ， ，， ； （3）解：当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 当在延长线时，如图所示， ， ，， ． 变式2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）完成以下问题 (1)【问题情境】如图1，．，，求的度数，小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可求得的度数是______； (2)【问题迁移】如图2，直线，被直线所截，交点分别是E，F．已知，G，H分别是，上的点，点P在线段上运动，记，，当点P在E，F两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)【联想拓展】在（2）的条件下，若点P在E，F两点外侧运动（与点E，F不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)；，证明见解析 【分析】（1）根据，，得出，根据两直线平行，同旁内角互补求出，，再根据求解即可． （2）过点P作，则，根据，得出，则，结合，即可得． （3）分点P在F的下方时，和点P在E的上方时，两种情况分别画图求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：． 证明：过点P作，则， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （3）解：；， 证明：如图3，点P在F的下方时， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图4，点P在E的上方时， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 变式3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)①；②；③；理由见解析 (2)不同，见解析 【分析】（1）作，根据平行线的性质，结合角平分线的定义以及角的和差关系推出，再逐一进行作答即可； （2）分三种情况分别画图，作答即可． 【详解】（1）解：作，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ①当时，； ②当时，； ③， 理由：由上可知：， ∴； （2）解：不同，当点在之间时，分2种情况： ①如图：作，则， ∴， ∴， 同理：， ∵作的角平分线与的角平分线交于点G， ∴， ∴； ②如图：作，则， 则：， ∴， 由①知：， ∴， ∴； 当点在下方时，如图： 同（1）法可知：． 变式4．（25-26七年级下·山东济宁·月考）直线AB、CD被直线EF所截，，点P是平面内一个动点． (1)若点P在直线CD上，如图①，，则_____． (2)若点P在直线、之间，如图②，请直接写出、、之间的等量关系_____； (3)若点P在直线的下方，如图③，写出、、之间的关系，并说明理由． (4)【应用】如图④，已知直线，若，，平分，平分，求的度数（用含、的式子表示），并说明理由． 【答案】(1)50 (2)，证明见解析 (3)不成立，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】（1）由题意直接根据平行线的性质可直接求解； （2）由题意过P作，则，利用平行线的性质即可求解； （3）根据题意过P作，则，利用平行线的性质进行分析即可求解； （4）由平行线可得，，根据角平分线得到，，再应用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：． 证明：过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：不成立． 理由：过P作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故不成立； （4）解：，理由如下： ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴， 由（2）可得， ∴． 实战演练 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，，直线截、于点、，点是直线上的一个动点（点不与、重合），点在射线上． (1)当点在线段上时，如图（1），求证：． (2)当点在射线上时，如图（2），试猜想、、之间的数量关系：________（不要求说明理由）． (3)当点在射线上时，如图（3），试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）过点作利用两直线平行，同旁内角互补，分别表示出即可得证； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）同（1）的方法得出，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解： 如图，过点作 ∴ ∴ ∴ ∴； （3）解：，理由如下： 如图，过点作 ，即 ∴ ∴ ∴ ∴． 2．（25-26七年级下·江西南昌·月考）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补，根据平行线的性质探究角的关系等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． （1）先根据平行线的性质得出，再结合，得出，从而可得，于是可证得． （2）先根据平行线的性质得出再结合，，，得出，从而可得，于是可证得. （3）先根据平行线的性质得出，得出，根据平行线的性质得出，从而可得，结合，得出． （4）先得出，再根据平行线的性质得出，得出，结合，从而可得． 【详解】（1）解：过E作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 即． （2）解：如图1，∵， ∴. ∵，，， ∴， ∴， ∴. （3）解：过E作. ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （4）解：过点F作，如图4所示，则． ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴． 2 学科网（北京）股份有限公司 $利用平行线的性质探究角度的关系讲义 利用平行线的性质探究角度的关系讲义 知识点解析 一、核心原理 依托平行线的3条核心性质（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补），结合对顶角、邻补角等基础角的关系，实现角度的等量转化与和差推导，本质是“由线的平行，推角的数量关系”。 二、通用解题思路（三步法） 1. 定平行，找截线：明确题干中的平行线组，锁定截得角的截线（关键），标注由平行线和截线形成的同位角、内错角、同旁内角； 1. 用性质，转等角/补角：直接套用平行线性质，将未知角转化为已知角（同位角/内错角相等），或转化为互补角（同旁内角和为180°）； 1. 结合基础角关系，推最终结论：利用对顶角相等、邻补角互补等，对转化后的角度做和差计算，探究所求角的等量/和差/倍数关系。 三、核心技巧与注意事项 1. 无截线作辅助线：若已知平行但无公共截线，过角的顶点作已知平行线的平行线，构造截线和内错角/同旁内角； 1. 多平行线找传递性：多条平行线时，利用“平行于同一直线的两直线平行”，依次转化角度； 1. 角的对应要精准：认准截线两侧的角的位置，勿混淆同位角、内错角与同旁内角。 例题分析 例1．（25-26七年级下·河北唐山·月考）【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 例2．（24-25七年级下·新疆和田·月考）问题情景： (1)如图①，已知，试问、、有什么关系？小明添加了一条辅助线．解决了这道题，得到的结果是． 请你帮他完善证明过程； 如图②，过点作， ∴____________，（          ） ∵，， ∴____________， ∴______，（       ） ∴， 即． (2)在图①中，若，且，请你计算的度数等于______． (3)问题迁移：如图③，，当点在射线上运动时，，，请你猜想，与之间有怎样的数量关系？并说明理由． 例3．（24-25七年级下·山东聊城·月考）已知E，F分别是上的动点，P也为一动点． (1)如图1，若，试说明：； (2)如图2，若，试说明：； (3)如图3，，移动E、F，使，若，则 ． 例4．（25-26七年级下·江苏·期中）如图1．，点，点分别在射线，上，且． (1)求证：； (2)连接，作，交于点，作的平分线交于点F（如图2），将沿方向水平向右平移． ①在的移动过程中，与之间的数量关系是否随之发生变化？若不变，请写出它们之间的数量关系，并证明；若变化，试说明理由； ②当运动到时，求证：． 变式训练 变式1．（25-26七年级下·新疆·期中）问题情境：如图1，，，，求度数．小明的思路是：过作，如图2，通过平行线性质来求． (1)按小明的思路，易求得的度数为______； 问题迁移： (2)如图3，，点在射线上运动，当点在、两点之间运动时，，，则、、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请你判断、、间的数量关系并证明． 变式2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）完成以下问题 (1)【问题情境】如图1，．，，求的度数，小明的思路是：过点P作，通过平行线性质可求得的度数是______； (2)【问题迁移】如图2，直线，被直线所截，交点分别是E，F．已知，G，H分别是，上的点，点P在线段上运动，记，，当点P在E，F两点之间运动时，与，之间有何数量关系？请说明理由； (3)【联想拓展】在（2）的条件下，若点P在E，F两点外侧运动（与点E，F不重合），请直接写出与，之间的数量关系． 变式3．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图1，线段，若点E是平面内一点且点E不在所在的直线上，连接，作的角平分线与的角平分线交于点G． (1)如图2，若点E在所在直线的上方， ①若，则 ； ②若，则 ； ③探究与的数量关系，并说明理由． (2)若点E在平面内其它位置时，与之间的数量关系是否与（1）相同？画图探究，并根据图形直接写出与之间的数量关系． 变式4．（25-26七年级下·山东济宁·月考）直线AB、CD被直线EF所截，，点P是平面内一个动点． (1)若点P在直线CD上，如图①，，则_____． (2)若点P在直线、之间，如图②，请直接写出、、之间的等量关系_____； (3)若点P在直线的下方，如图③，写出、、之间的关系，并说明理由． (4)【应用】如图④，已知直线，若，，平分，平分，求的度数（用含、的式子表示），并说明理由． 实战演练 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·月考）如图，，直线截、于点、，点是直线上的一个动点（点不与、重合），点在射线上． (1)当点在线段上时，如图（1），求证：． (2)当点在射线上时，如图（2），试猜想、、之间的数量关系：________（不要求说明理由）． (3)当点在射线上时，如图（3），试猜想、、之间的数量关系，并说明理由． 2．（25-26七年级下·江西南昌·月考）（1）如图①若，则，你能说明理由吗？ （2）反之，在图①中，若，直线与有什么位置关系，你能说明理由吗？ （3）若将点E移至图②的位置，此时，，之间有什么关系，你能说明理由吗？ （4）在图③中，，与之间有何关系？（直接写结论） 2 学科网（北京）股份有限公司 $