第六讲：平行线的性质（寒假预习衔接讲义）（知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼）-2025-2026学年人教版七年级数学下册

【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第六讲：平行线的性质 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：两直线平行，同位角相等 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 符号语言：如图，如果a∥b，那么∠1=∠5（或∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8）. 知识点02：两直线平行，内错角相等 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠3=∠5（或∠4=∠6）. 知识点03：两直线平行，同旁内角互补 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠4+∠5=180°（或∠3+∠6=180°）. 知识点04：知识结构 考点1：两直线平行同位角相等 【典型例题】 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角度的计算．熟练掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．依题意可得，然后根据平角的定义即可解答． 【详解】解：如图， 依题意得，，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式训练1】 如图，直线，射线交于点F，连接，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质，平角的性质，熟练掌握相关知识是解题关键． 由可得，，根据平角的性质进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 考点2：两直线平行内错角相等 【典型例题】 如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质可知的度数，根据角平分线的性质可知，最后由平行线的性质可求解． 本题考查了平行线的性质，角平分线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】解：， ∴， ∵， ， 平分， ∴， ， 故选：C． 【变式训练1】 为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了仰角与俯角的概念、平行线的性质，熟练掌握仰角与俯角的定义及平行线的内错角相等是解题的关键．过点作水平线，过点作水平线，利用与平行的性质，结合内错角相等，即可得出从处观测处的俯角与从处观测处的仰角相等． 【详解】解：如图， 由题意可得，， ∴， ∴从 处观测处的俯角为， 故选： 考点3：两直线平行同旁内角互补 【典型例题】 如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质定理和判定定理，能熟记平行线的性质定理和判定定理是解此题的关键. 求出，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质定理得出，再求出 即可. 【详解】解：如图          ， ， ， ， ， . 故选：B． 【变式训练1】 如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，角平分线定义解答即可． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 考点4：根据平行线的性质求角度 【典型例题】 如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、矩形的性质、折叠的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由折叠可得，再根据平行线的性质即可得到． 【详解】解：， ， 由折叠可得，， 由长方形可得， ， ， 故选：B． 【变式训练1】 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的性质，由平行线的性质可得的度数，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：如图所示，∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 考点5：根据平行线的判定与性质证明 【典型例题】 如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的综合判定，熟练掌握平行线判定方法是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析即可． 【详解】解：A、利用“内错角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； B、当时，无法判定，原结论不一定正确，符合题意； C、利用“同位角相等，两直线平行”即可判定原结论正确，不符合题意； D、利用“两直线平行，同旁内角互补”即可判定原结论正确，不符合题意； 故选： B． 【变式训练1】 如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先结合邻补角互补以及得，故，又因为对顶角相等得，进行等量代换得，故，运用平行线的性质进行分析，即可得出． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故①符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故②符合题意； ∵， ∴， 故③符合题意； ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 故④符合题意； 故选：D 一、单选题 1．如图，直线与直线，都相交．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． 根据两直线平行，内错角相等求解即可． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 2．如图，一个弯形管道的拐角，管道与平行，则拐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 3．如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，掌握同位角相等判定两直线平行，两直线平行内错角相等是解题的关键． 先通过判定AB与CD平行，再利用角平分线的定义求出的度数，最后根据平行线的内错角相等性质，得到的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵，FG平分， ∴． ∵， ∴． 故选：A． 4．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，两直线平行同位角相等，垂直的性质，对顶角相等，解题的关键在于准确识别图中熟练掌握平行线的性质，准确识别同位角，利用平行线的性质算出，用补角、余角、对顶角推算出的度数． 【详解】如下图 ∵ ∴ ∴ ∵直线 ∴ ∴ 故选：B． 5．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质．过作，得到，由，推出，由垂直的定义得到，由平行线的性质得出，即可求出结果． 【详解】解：过作， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，，再根据角的和差关系列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 7．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．根据平行线的判定和性质逐一分析即可解答． 【详解】解：A、若，则，结论正确，本选项不符合题意； B、若，则，结论正确，本选项不符合题意； C、若， ∴， ∵， ∴， ∴，原结论错误，本选项符合题意； D、若，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，结论正确，本选项不符合题意． 故选：C． 8．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先过点作，由平行线的传递性可得，根据两直线平行，同旁内角互补与两直线平行，内错角相等，即可求得角，，的关系； 本题考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行的性质、过拐点作辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点作， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 二、填空题 9．如图，与互余，的余角与互补，则直线与 （填“平行”或“不平行”）． 【答案】平行 【分析】利用互余、互补的定义以及平行线的判定定理来判断是否平行． 【详解】解：∵与互余， ∴，的余角为． 又∵的余角与互补， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了余角、补角的定义以及平行线的判定，解题关键是根据互余、互补的定义推出同旁内角互补，进而利用平行线的判定定理得出直线平行的结论． 10．如图，已知，，则 度， 度． 【答案】 120 60 【分析】本题主要考查平行线的性质及邻补角，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；因此此题可根据平行线的性质得到的度数，然后根据邻补角可进行求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为120；60． 11．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【详解】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 12．如图，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质及邻补角的定义，掌握两直线平行，内错角相等、邻补角之和为是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，再根据邻补角的定义计算的度数． 【详解】解： 与是邻补角 故答案为：． 13．如图，，直线l分别交于点平分，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 若两直线平行，则同旁内角互补，内错角相等，据此得角的等量关系，即可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图，．若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握垂直于同一条直线的两条直线平行，以及平行线的同位角相等的性质是解题的关键． 先根据垂直于同一条直线的两条直线平行，得出，再利用平行线的性质求出的度数． 【详解】解：， ， ， ∵， ∴ ． 故答案为：70°． 15．如图，若，和互余，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题关键是能够结合条件得出角的关系． 先根据平行线的判定得到，再根据和互余，求得的度数，最后根据平行线的性质求得即可． 【详解】解：∵， ∴． ∴． ∵与互余， ∴． ∴． 故答案为：． 16．如图，已知平分，于点E，，则 ． 【答案】 【分析】直接利用平行线的判定得出，进而得出，利用角平分线的定义结合已知得出，即可得出答案． 此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出是解题关键． 【详解】解：， ， ，， ， 平分， 又， ． 故答案为：． 三、解答题 17．如图，已知，，，四条直线，其中，．若，求的度数． 【答案】． 【分析】先利用平行线的性质，找到与相关的角，再逐步推导的度数． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵与是对顶角， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质和对顶角的性质，解题关键是通过平行线的性质找到角与角之间的数量关系，再结合对顶角相等完成角度的转化． 18．完成下面的推理过程（括号内写出理由）：如下图，AB和CD相交于点O，，且OE平分． 试说明：． 解：因为， 所以________（________）． 因为OE平分， 所以（__________）． 因为（________）， 所以________（________）， 所以________（________）， 所以（__________）． 【答案】  两直线平行，同位角相等  角的平分线的定义  已知    等量代换  BD  同位角相等，两直线平行  平行于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义及平行公理的推论，掌握平行线的性质与判定的互推关系，以及平行公理推论的应用是解题的关键． 先利用平行线的性质得到角相等，结合角平分线的定义和已知条件，通过等量代换推出，最后根据平行于同一条直线的两条直线平行证明． 【详解】解：​， (两直线平行，同位角相等) 平分， (角的平分线的定义) (已知)， (等量代换)， (同位角相等，两直线平行)， (平行于同一条直线的两条直线平行)． 19．已知：如图，直线，，被直线所截，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线的判定与性质、平行线公理，由平行线的判定证得，，进而得，再由平行线的性质求证即可． 【详解】证明：， ． ， ∴， ∴， ． 20．某汽车的标志图案的简图如下图所示，其中蕴含着许多几何知识．已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）通过平行线的性质，找到与相关的角，进行等量代换证明； （2）利用平行线的性质和对顶角相等，求出的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ． （2）解：， ． ， ． 【点睛】本题考查平行线的性质，掌握利用平行线的同位角相等、同旁内角互补等性质，结合对顶角相等进行角的推导与计算是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 【寒假预习衔接讲义】2025-2026学年人教版七年级数学下册 第六讲：平行线的性质 （知识总结梳理+5大考点典例精讲+变式训练+高频精炼） 知识点01：两直线平行，同位角相等 性质1 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等. 简单说成：两直线平行，同位角相等. 符号语言：如图，如果a∥b，那么∠1=∠5（或∠2=∠6，∠3=∠7，∠4=∠8）. 知识点02：两直线平行，内错角相等 性质2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简单说成：两直线平行，内错角相等. 符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠3=∠5（或∠4=∠6）. 知识点03：两直线平行，同旁内角互补 性质3 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简单说成：两直线平行，同旁内角互补. 符号语言：如探究点1中图，如果a∥b，那么∠4+∠5=180°（或∠3+∠6=180°）. 知识点04：知识结构 考点1：两直线平行同位角相等 【典型例题】 如图，将一块三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，当时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，直线，射线交于点F，连接，若，，则的度数为（   ）． A． B． C． D． 考点2：两直线平行内错角相等 【典型例题】 如图，直线，直线与相交于点，平分线交于点Q．若，则度数为（   ） A． B． C． D． 【变式训练1】 为保护和研究河北文化遗产，某研学小组打算测量凌霄塔的高度．如图，嘉嘉在处测得凌霄塔塔顶的仰角，此时从凌霄塔塔顶处观测处的俯角是（   ） A． B． C． D． 考点3：两直线平行同旁内角互补 【典型例题】 如图，，，则（   ） A．80° B．100° C．50° D．130° 【变式训练1】 如图，，直线与、分别交于点、，是的角平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 考点4：根据平行线的性质求角度 【典型例题】 如图，将长方形沿折叠，点落在点处，点落在边上点处，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式训练1】 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一条边上，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 考点5：根据平行线的判定与性质证明 【典型例题】 如图，下列结论中，不一定正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式训练1】 如图，已知，，且，则下列结论：①，②，③，④，其中正确的结论有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 一、单选题 1．如图，直线与直线，都相交．若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．如图，一个弯形管道的拐角，管道与平行，则拐角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，直线AB，CD被直线EF所截，FG平分．若，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 5．近几年中学生近视的现象越来越严重，为保护视力，某公司推出了护眼灯，其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计）如图所示，其中，，经使用发现，当时，台灯光线最佳．则此时的度数为（　　） A． B． C． D． 6．如图， ，于点E，交于点F，交于点M，已知，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，这是一款自行车的平面示意图，其中，那么下列结论错误的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，，那么 8．如图，若，则角，，的关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．如图，与互余，的余角与互补，则直线与 （填“平行”或“不平行”）． 10．如图，已知，，则 度， 度． 11．如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 12．如图，，，则的度数为 ． 13．如图，，直线l分别交于点平分，若，则的度数是 ． 14．如图，．若，则的度数为 ． 15．如图，若，和互余，则的度数为 ． 16．如图，已知平分，于点E，，则 ． 三、解答题 17．如图，已知，，，四条直线，其中，．若，求的度数． 18．完成下面的推理过程（括号内写出理由）：如下图，AB和CD相交于点O，，且OE平分． 试说明：． 解：因为， 所以________（________）． 因为OE平分， 所以（__________）． 因为（________）， 所以________（________）， 所以________（________）， 所以（__________）． 19．已知：如图，直线，，被直线所截，，．求证：． 20．某汽车的标志图案的简图如下图所示，其中蕴含着许多几何知识．已知． (1)求证：． (2)若，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $