（寒假讲义-预习篇）第三讲 平行线的性质（八大重点考点练+三难度分层练 共46题）-2025-2026学年人教版数学七年级下册精编培优讲练

第三讲 平行线的性质 【解析版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 初步掌握平行线的三条基本性质；理解并掌握平行线的性质的探究过程。 2. 通过学生自己探究的过程，使学生更加容易理解平行线的三条基本性质。结合从问题中得出的结论，使学生逐步形成用探究的思想和方法来解决学习中遇到的各种各样的问题。 3. 从思考的问题引入激发学生的学习兴趣；使学生通过自己探究得到结论，新情境引入新问题，使学生的探究欲望得到激发。   教学重难点 重点：学生通过探究学习自己得到结论；对平行线性质的准确理解. 难点：平行线的判定与性质的区别，学会写规范的证明推理程. 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：平行线的性质 2 知识点二：两条平行线的距离 2 优选考点讲连 2 考点一：两直线平行同位角相等 2 考点二：两直线平行内错角相等 4 考点三：两直线平行同旁内角互补 6 考点四：根据平行线的性质探究角的关系 9 考点五：根据平行线的性质求角的度数 11 考点六：平行线的性质在生活中的应用 14 考点七：根据平行线判定与性质求角度 16 考点八：根据平行线判定与性质证明 19 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 21 基础通关练 21 能力提升练 27 拔尖拓展练 34 知识点一：平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点拨】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 知识点二：两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 【易错点拨】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． （2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 考点一：两直线平行同位角相等 【例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质定理．根据两直线平行，同位角相等即可判定． 【完整解答】解：， ，故选项D符合题意， 、、均不符合题意． 故选：D． 【变式】（25-26七年级上·福建福州·期末）已知：如图，，求证：． 下面是小明同学的解答过程：请将小明的解答过程补充完整． 证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴____________（______________________） ∴（______________________）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（______________________）． 【答案】；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定方法． 根据平行线的性质和判定方法求解即可． 【完整解答】证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴ （同角的补角相等） ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等． 考点二：两直线平行内错角相等 【例2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 解：（                         ） （                        ） （            ） （                         ） （                         ） 【答案】已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补 【思路引导】本题考查平行线的性质，对顶角的性质，结合证明过程写出依据即可． 【完整解答】解：（已知） （对顶角相等） （已知） （两直线平行，同位角相等） （两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；对顶角相等；已知；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 如图，过点作的平行线，根据平角的定义结合可求出的度数，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，通过角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【一题多解法】如图，过点作的平行线，根据两直线平行，内错角相等得到的度数，结合角度的和差关系求出的度数；最后根据平行于同一直线的两直线平行，以及两直线平行，内错角相等可求出的度数． 【完整解答】解：如图，过点作的平行线． ，， ． ， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 【一题多解法】 如图，过点作的平行线， ． ， ． ，， ， ． 故答案为：． 考点三：两直线平行同旁内角互补 【例3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【思路引导】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定逐项判断即可． 【完整解答】解：①∵， ∴，正确； ②∵， ∴， 但不一定平分， ∴推不出， 即不一定正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，正确； ④∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴平分，正确 故正确的有①③④． 故答案为：①③④ ． 【变式】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； (2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； (3)点D是线段与网格线的交点，连接，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．理由是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)、；，垂线段最短 【思路引导】此题考查了作图−平行线；作图−垂线；线段的长短比较；同旁内角的概念， （1）根据作图-平行线，结合题意画图即可求解； （2）根据作图-垂线，结合题意画图即可求解； （3）根据邻补角的定义、平行线的性质、垂线段最短等即可求解． 【完整解答】（1）解：如图，即为所求， （2）解：如图，即为所求， （3）解：如图， 与互补的角是、， ∵， ∴， ∵与是邻补角， ∴， ∴与互补的角是、， 由图可知，，理由垂线段最短． 故答案为：、；，垂线段最短． 考点四：根据平行线的性质探究角的关系 【例4】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的判定和性质，过点作，得，同理，再求出比值即可． 【完整解答】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴． 故选：B． 【变式】（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 【答案】(1)，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等 (2) (3) 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，外角的性质，作出合适的辅助线，将待求角恰当分割是解题的关键． （1）根据平行线的性质证明即可； （2）先过点作，过点作，再根据平行线的性质，利用同旁内角即可求出答案； （3）先延长交于点，延长交于点，再根据平行线的性质，以及外角的性质，进行计算以及变形即可得出答案． 【完整解答】（1）证明：过点P作， ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴（平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∴（等量代换）． 故答案为：，平行于同一条直线的两条直线平行，，两直线平行，内错角相等． （2）解：如图， 过点作，过点作， ，． ， ， ， ． 故答案为：． （3）解：如图③， 延长交于点，延长交于点， ， ． ，， 即，， ， 即， ． 故答案为：． 考点五：根据平行线的性质求角的度数 【例5】已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，等量代换可得，根据平行线的判定定理即可得证； （2）过点作，根据平行线的性质与判定可得，，根据即可求解． 【完整解答】（1）证明： ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作， ， ， ∴，， ． 【变式】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 【答案】【感知】；【探究】，理由见详解；【应用】（1）；（2）；（3）． 【思路引导】本题主要考查平行线的性质，添加辅助线，灵活运用平行线的性质是解题的关键． （1）首先根据平行线的性质求出，，然后求和即可； （2）过点P作，根据平行线的性质得到，，即可得到与、之间的数量关系； （3）根据题意分点P在线段上，点P在线段上和点P在射线上三种情况讨论，求出，，然后根据角的和差求解即可． 【完整解答】解：，，， ，， ， 故答案为：； 【探究】，理由如下： 如图，过点P作， ， ，， ； 【应用】（1）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （2）如图，当点P在线段上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：； （3）如图，当点P在射线上时，过点P作，交于点Q，连接、， ， ，， ； 故答案为：． 考点六：平行线的性质在生活中的应用 【例6】（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂线的定义，熟练掌握平行线性质是解题关键．分别过点、、作，，，根据角平分线的定义以及垂线的定义得出，进而根据平行线的性质，即可求解． 【完整解答】如图所示，分别过点、、作，， ，，， ， ， ， ， 的平分线始终与垂直． ， ， ． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是注意：两直线平行时，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． 光在水中是平行的光线，在空气中也是平行的，根据平行线的性质将转化为，将转化为，代入数据即可求解． 【完整解答】解：如图，， ． ， ． ， ． ， ， ． 考点七：根据平行线判定与性质求角度 【例7】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定，结合图形构造平行线是解题的关键； 过点作，利用平行线的性质与判定即可求解． 【完整解答】解：如图，过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∵与的夹角为，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查平行线的判定和性质、邻补角的性质等知识点，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据同角的补角相等可得，再根据 “内错角相等，两直线平行”可得，然后根据平行线的性质即可证明结论； （2）由平行线的性质可得，进而得到，再结合可得；由角平分线的性质可得，再根据平行线的性质即可解答． 【完整解答】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ． 考点八：根据平行线判定与性质证明 【例8】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，已知，平分，，， 求证：．在下面“______”上补充完整推理过程，并在“（______）”内注明理由． 证明：平分（已知）， ______①（角平分线的定义）． （已知）， ______②（垂直的定义）． （已知）， ∴③______（等量代换）． ______④（等量代换）． （⑤______）． 【答案】①②③④⑤内错角相等，两直线平行 【思路引导】本题主要考查平行线判定，角平分线的定义和垂线的定义，根据角平分线的定义可得，由垂直定义得 ，从而得， ，故可得结论． 【完整解答】证明：平分（已知）， ①（角平分线的定义）． （已知）， ②（垂直的定义）． （已知）， ∴③（等量代换）． ④（等量代换）． （⑤内错角相等，两直线平行.）． 故答案为：①②③④⑤内错角相等，两直线平行． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知． (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． （1）利用平行线的性质和等量代换得到同旁内角互补，进而判定两直线平行； （2）根据平行线的性质建立角度关系，设，，根据两直线平行，同旁内角互补，得到关于的方程，解方程，最后通过角度的和差关系求出的度数． 【完整解答】（1）解：．理由如下： ， ． ， ， ． （2）解：，， ，， ． 设，． ， ， ， 即， 解得， ，， ． 基础通关练 1．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了两直线平行同旁内角互补，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据两直线平行同旁内角互补求解． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．（25-26七年级上·海南儋州·期末）一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题的关键． 根据“两直线平行，同位角相等”，再根据角之间的和差关系即可求解． 【完整解答】解：根据题意可知，，， 则， ， ． 故选：B． 3．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）如图，直线被直线所截，且，与相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；由平行线的性质得，即可求解． 【完整解答】解：如图， ， ， ， ， ， 故选：A． 4．（25-26七年级上·广西桂林·月考）如图，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】根据“两直线平行，同旁内角互补”即可得解．本题主要考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 【答案】 C 两直线平行，同旁内角互补 同角的补角相等 【思路引导】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质解答即可． 【完整解答】解：∵（已知）， ∴．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（两直线平行，同旁内角互补） ∴．（ 同角的补角相等 ） 故答案为：C，两直线平行，同旁内角互补， 同角的补角相等． 6．（25-26七年级上·重庆北碚·期末）如图平行于，，则 ． 【答案】/50 【思路引导】本题考查了平行线的性质，先根据平行得到和为同位角，两直线平行，同位角相等． 【完整解答】解：平行于，， ． 故答案为：． 7．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否 ．（填“准确”或“不准确”） 【答案】准确 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求出，即有，问题得解． 【完整解答】解：如图，过点P作，    则． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∴此时瞄准最准确． 故答案为：准确． 8．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）直线，的位置如图所示，已知，，． (1)直线与平行吗？请说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)直线，理由见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定，熟知平行线的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据同位角相等，两直线平行即可得到结论； （2）根据平行线的性质得到的度数，再由平角的定义可得答案． 【完整解答】（1）解：直线，理由如下： ∵，， ∴， ∴直线； （2）解：如图所示，∵直线， ∴， ∵， ∴． 9．（16-17七年级下·湖南·期末）推理，填空．如图： (1)若，则________________；（内错角相等，两直线平行） (2)若时，则；（两直线平行，同旁内角互补） (3)若时，则．理由：____________________ 【答案】(1) (2) (3)两直线平行，同位角相等 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质定理是解题的关键． （1）由利用“内错角相等，两直线平行”，即可得出； （2）由利用“两直线平行，同旁内角互补”，即可得出； （3）由利用“两直线平行，同位角相等”，即可得出． 【完整解答】（1）解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：； （2）解：∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：； （3）解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）． 故答案为：两直线平行，同位角相等． 10．（25-26七年级上·山西长治·期末）当前市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行．如图是某品牌共享单车放在水平地面的几何示意图，其中，都与地面l平行，，，若，求的度数． 【答案】 【思路引导】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据易得，根据平行线的性质得到、，进而得到，，再根据平行线的性质得到，据此解答即可． 【完整解答】解：，都与地面l平行， ， 、， ，， ，， ， ， ． 能力提升练 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查平行线的判定、平角定义，利用即可求解． 【完整解答】解：如图，，，则， 当，， 故选：C． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查平行线的性质、三角形内角和定理，邻补角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 反向延长的边与交于一点，由三角形外角性质可得，再根据邻补角以及平行线的性质，即可得到的度数． 【完整解答】解：如图，反向延长的边与交于一点， 由三角形外角性质，可得， ，， ， ， , ． 故选：D． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查平行线性质的应用，根据邻补角的定义得，再根据平行线的性质可得结论．解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【完整解答】解：根据题意知：， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：A． 4．（25-26七年级下·全国·期末）如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】首先，由平行线的性质得到；然后利用角平分线的定义来求的度数． 【完整解答】解：， ， 又平分， ， 故选：A． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质．解决本题的关键是根据“两直线平行，内错角相等”求得的度数． 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 【答案】 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟记性质与概念是解题的关键．根据两直线平行，同旁内角互补可得，再根据角平分线的定义求出． 【完整解答】解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 故答案为：． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ． 【答案】/110度 【思路引导】本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出．由平行线的性质推出，得到，由平角定义即可求出的度数． 【完整解答】解：两个平面镜是平行的， ， ， ． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·全国·期末）如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】根据题意得出，确定，再由对顶角及平行线的性质即可求解． 【完整解答】解：等长的支架交于它们的中点E，， ， ， ， ， . 故答案为： ． 【考点剖析】本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质． 8．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知 求证：． 请完成证明过程： 证明：(已知) ∴ (同位角相等，两直线平行)， (两直线平行，同位角相等)， 又(已知) ， ∴ = (等量代换) ， ∴ (                 )． 【答案】；；；；；内错角相等，两直线平行 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，先根据已知条件，判定，进而得出，再由已知等量代换得，然后根据内错角相等，两直线平行，判定． 【完整解答】证明：(已知) ， ∴(同位角相等，两直线平行)， (两直线平行，同位角相等)， 又(已知) ， ∴(等量代换) ， ∴ (内错角相等，两直线平行)． 故答案为：；；；；；内错角相等，两直线平行． 9．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与直线交于点O，，平分． (1)射线是的平分线吗？请说明理由； (2)，，求的大小． 【答案】(1)是的平分线，理由见解析 (2) 【思路引导】本题考查了垂线的性质、角平分线的定义、平行线的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． （1）根据垂直得，进而得到及，根据角平分线的性质得，进而得到，即可得出结论； （2）设，则、，根据，列方程，求出的值，再根据平行线的性质得到，据此解答即可． 【完整解答】（1）解：是的平分线，理由如下： 、 平分 是的平分线； （2）解： 设，则、 ． 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点、分别在直线、上，点在、之间，连接、． (1)求证： (2)若平分，平分，求证： (3)在（2）的条件下，若，，点在直线上，且，求 的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【思路引导】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，根据，即可得证； （2）同理过点作，根据角平分线的定义，以及平行线的性质即可得证； （3）根据（1）（2）的结论得出，根据垂直的定义可得，进而根据，即可求解． 【完整解答】（1）证明：如图， 过点作， ， ， ，， 即 （2）证明：由（1）得， 同理过点作， 可得， 平分 平分 （3）如图， ∵， 由（2）可得 ∵ ∴ ∴ 拔尖拓展练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定，平行公理推论，掌握以上知识点是解题的关键． 先根据同旁内角互补，两直线平行得到，同位角相等两直线平行得到，再根据平行公理推论得到，最后根据平行线的性质即可得到、、之间的关系； 一题多解：延长至，由解法一可知，然后根据平行线的性质，结合邻补角的性质即可得到、、之间的关系． 【完整解答】解：和互补，即， ． ， ， ， ，， ． 一题多解如图，延长至点． 由解法一可知， ， ． 2．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】延长交于点，求出和，即可求出答案． 本题主要考查了平行线的性质，角的计算，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【完整解答】延长交于点， ,, ， ， , , ，， , , 故选：C． 3．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质，根据物理学原理可知：，再根据平行线的性质求出和，从而求出，最后根据对顶角相等求出答案即可． 【完整解答】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了平行线的判定与性质、角的和差运算，掌握三角尺的固定角度特征，以及平行线判定与性质的互逆关系是解题的关键． 先明确两块三角尺的固定角度，再对每个结论分别利用平行线的判定与性质、角的和差关系逐一验证其正确性． 【完整解答】解：由题意得，，，． ∵， ∴， ∴， ，故①结论正确，符合题意； ∵， ∴， ∴，故②结论正确，符合题意； ∵，， ∴，故③结论正确，符合题意； ∵，， ∴， ∴， ，故④结论正确，符合题意． 故选：D． 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，平行的两束光线从水中进入空气后传播路径会发生变化，但它们依然保持平行．若，，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】先根据平行线的性质得出的度数，进而可得出结论． 【完整解答】解：， ， ， ． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了是平行线的性质，解题的关键是熟知两直线平行，同旁内角互补． 6．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，，，且，则 ． 【答案】 【思路引导】本题考查三角形内角和，邻补角的性质和平行线的内错角相等性质．作辅助线，构造内错角，再结合得到内错角相等，进而结合三角形内角和求出的度数． 【完整解答】解：如图 延长交于点， 在中， 故答案为16 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为 ． 【答案】 【思路引导】通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质，结合与，建立角的等式关系，最终推导出的值． 【完整解答】解：过点作， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 已知，， ∴ ． ∵， ∴． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了平行线的性质和辅助线的构造．解题关键是通过构造平行线，将分散的角关联起来，再结合已知等式进行角度代换与计算． 8．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】本题主要考查平行线的判定和性质，角平分线的性质的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键．（1）根据可得，根据等量代换可得，再根据平行线的判定方法“同旁内角互补，两直线平行”可得； （2）由，根据 “两直线平行，同旁内角互补”可得，根据“两直线平行，内错角相等”可得，根据角平分线的定义可得，再根据“两直线平行，同位角相等”可得． 【完整解答】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， 是的平分线， ， ， ∴． 9．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图1，M为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)或 【思路引导】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据题意得，进而得到，从而得到； （2）过点B作，根据平行线的性质得到，进而得到，根据得到； （3）过点作，则，由（2）知， 则，分情况讨论：当点在内部时，；当点在外部时，． 【完整解答】（1）解：，理由如下： ， ． ， ， ； （2）解：如图，过点B作， ， ， ， ∵， ； （3）解：过点作，则， ， 由（2）知， 则， ， ， ①如图，当点在内部时，； ②如图，当点在外部时，； 综上，的度数为或．      10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了平台，如图所示的是一副三角尺，，，． (1)将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为 度； (2)如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合．当点在直线的下方时，探究所在直线与三角尺一边互相垂直的情况，请直接写出所有可能的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)角度所有可能的值是或或 【思路引导】本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握分类讨论的思想方法是解题的关键． （1）过点作，根据同旁内角互补可得，根据平行线的判定定理得出，根据平行线性质可知，，即可求解； （2）过点作，根据平行线的判定定理得出，根据平行线的性质可得，，即可求解； （3）分为、、三种情况分别分析，即可求解． 【完整解答】（1）解：过点作，如图， 依题意得：，，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：． （2）解：，理由如下： 过点作，如图， ∵，， ∴， ∴，， ∵，且， ∴． （3）解：角度所有可能的值是或或． ①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时； ③当时，如图， 此时 综上，角度所有可能的值是或或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三讲 平行线的性质 【原卷版】 同学你好，本学期已告一段落，相信你学有所获！寒假期间，旧知复习和新知预习、开学自测都很重要，一方面梳理过去的一学期知识点及提升解题技巧；一方面感知和熟悉新学期的别具一格的学习方向和学习内容！旧知复习篇难度中上，优选名校题目，重难点考点划分；新知预习篇趋于课本内容，循序渐进学习新学期一二章节知识；开学自测卷进一步考察第一学期及寒假学习成果！期待你的进步！   学习目标 1. 初步掌握平行线的三条基本性质；理解并掌握平行线的性质的探究过程。 2. 通过学生自己探究的过程，使学生更加容易理解平行线的三条基本性质。结合从问题中得出的结论，使学生逐步形成用探究的思想和方法来解决学习中遇到的各种各样的问题。 3. 从思考的问题引入激发学生的学习兴趣；使学生通过自己探究得到结论，新情境引入新问题，使学生的探究欲望得到激发。   教学重难点 重点：学生通过探究学习自己得到结论；对平行线性质的准确理解. 难点：平行线的判定与性质的区别，学会写规范的证明推理程. 新教材 新知识 新目标 2 知识点一：平行线的性质 2 知识点二：两条平行线的距离 2 优选考点讲连 2 考点一：两直线平行同位角相等 2 考点二：两直线平行内错角相等 3 考点三：两直线平行同旁内角互补 4 考点四：根据平行线的性质探究角的关系 5 考点五：根据平行线的性质求角的度数 6 考点六：平行线的性质在生活中的应用 7 考点七：根据平行线判定与性质求角度 7 考点八：根据平行线判定与性质证明 8 三难度分层练（基础 提升 拔尖） 10 基础通关练 10 能力提升练 13 拔尖拓展练 16 知识点一：平行线的性质 性质1：两直线平行，同位角相等； 性质2：两直线平行，内错角相等； 性质3：两直线平行，同旁内角互补. 【易错点拨】 （1）“同位角相等、内错角相等”、“同旁内角互补”都是平行线的性质的一部分内容，切不可忽视前提 “两直线平行”． （2）从角的关系得到两直线平行，是平行线的判定；从平行线得到角相等或互补关系，是平行线的性质． 知识点二：两条平行线的距离 同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线间的线段的长度，叫做这两条平行线 的距离． 【易错点拨】 （1）求两条平行线的距离的方法是在一条直线上任找一点，向另一条直线作垂线，垂线段的长度就是两条平行线的距离． （2） 两条平行线的位置确定后，它们的距离就是个定值，不随垂线段的位置的改变而改变，即平行线间的距离处处相等． 考点一：两直线平行同位角相等 【例1】（25-26七年级上·福建福州·期末）如图，若，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·福建福州·期末）已知：如图，，求证：． 下面是小明同学的解答过程：请将小明的解答过程补充完整． 证明：∵（邻补角的定义）， （已知）， ∴____________（______________________） ∴（______________________）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵（已知）， ∴（等式的基本事实）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（______________________）． 考点二：两直线平行内错角相等 【例2】（25-26七年级上·四川乐山·期末）看图填空，并在括号内注明说理依据．如图， 已知直线，，那么，，各是多少度? 解：（                         ） （                        ） （            ） （                         ） （                         ） 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，直线，含角的直角三角尺按图所示的方式放置．若，则的度数为 ． 考点三：两直线平行同旁内角互补 【例3】（25-26七年级上·吉林长春·期末）如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是 ． 【变式】（25-26七年级上·江苏无锡·月考）如图，是的正方形网格，每个小正方形的顶点为格点，线段的两个端点及点C均在格点上． (1)过点C作的平行线，要求点E、F在点C的异侧，点E在点F的上方； (2)在上取一点M，画线段，使其长度表示点C到的距离； (3)点D是线段与网格线的交点，连接，，写出与互补的角是 ；比较线段的大小： （填“”、“”或“”）．理由是 ． 考点四：根据平行线的性质探究角的关系 【例4】（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级上·吉林·月考）请在横线上填写合适的内容，完成下面的证明： (1)如图①，已知，求证：．证明：过点P作， ∵，∴______（两直线平行，内错角相等）， ∵，，∴（______）， ∴______（______），∴（等量代换） (2)如图②，，根据上面的推理方法，直接写出______． (3)如图③，，若，，，，则______（用含x、y、z的代数式表示） 考点五：根据平行线的性质求角的度数 【例5】已知：如图，，和相交于点O，E是上一点，F是上一点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式】（25-26七年级上·吉林长春·期末）【感知】如图①，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．过点P作，如果，，则______． 【探究】如图②，直线，点E在上，点F在上，点P是夹在直线、之间的一点，连接、．请判断、、之间的数量关系，并说明理由． 【应用】如图③，点A、B在射线上，点C、D在射线上，且直线，点P是射线上一动点，且不与点A、B、O重合，若，，用含α、β的代数式表示． （1）当点P在线段上时， ______． （2）当点P在线段上时， ______． （3）当点P在射线上时， ______． 考点六：平行线的性质在生活中的应用 【例6】（24-25七年级下·山东威海·期末）台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，对于保护眼睛健康具有重要意义．图1是一个可折叠台灯，图2是其平面示意图．底座位于水平位置，支架为固定支撑杆，可通过旋转支架调节灯光照射方向，已知灯体顶角的平分线始终与垂直．将分别绕点、旋转，若旋转后，请你求出此时与水平方向的夹角的度数． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）光线从水中射向空气时，会发生折射，由于折射率相同，所以光线在水中是平行的，在空气中也是平行的．如图，一个透明的玻璃杯放在水平桌面上，玻璃杯上方的虚线与水面平行．若，则 ． 考点七：根据平行线判定与性质求角度 【例7】（23-24七年级下·甘肃兰州·期中）图1是男子竞技体操项目双杠的静止动作，图2是其俯视示意图，已知，若与的夹角为，，则∠2的度数为 ． 【变式】（25-26八年级上·重庆·期中）如图，在三角形中，分别是边上的点，连接．点在线段上，连接，已知，． (1)求证：； (2)若，平分，，求的度数． 考点八：根据平行线判定与性质证明 【例8】（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，点在同一条直线上，已知，平分，，， 求证：．在下面“______”上补充完整推理过程，并在“（______）”内注明理由． 证明：平分（已知）， ______①（角平分线的定义）． （已知）， ______②（垂直的定义）． （已知）， ∴③______（等量代换）． ______④（等量代换）． （⑤______）． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）如下图，在四边形ABCD中，，E是CD上一点，连接AE，BE并延长分别交BC，AD的延长线于点M，N，已知． (1)请判断直线AN与BM的位置关系，并说明理由． (2)若，，，求的度数． 基础通关练 1．（25-26七年级上·重庆·期末）如图，直线，被直线所截，若，，则的度数为（  ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·海南儋州·期末）一把直尺和一块三角板（，角）如图所示摆放，直尺一边与三角板的两直角边分别交于A，D两点，另一边与三角板的两直角边分别交于E，F两点，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级上·湖南邵阳·月考）如图，直线被直线所截，且，与相交于点，于点，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级上·广西桂林·月考）如图，直线，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东威海·期末）填空：如图，已知，则可推得：，理由如下： ∵（已知）， ∴ ．（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知）， ∴，（ ） ∴．（ ） 6．（25-26七年级上·重庆北碚·期末）如图平行于，，则 ． 7．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图所示①是一种网红弹弓的示意图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成如图②所示的平面示意图，弹弓的两边可看成平行的，即．活动小组在探索与，的数量关系时，有如下发现：当拉起皮筋使时，瞄准最准确．现测得，，判断此时瞄准是否 ．（填“准确”或“不准确”） 8．（25-26七年级上·湖南衡阳·期末）直线，的位置如图所示，已知，，． (1)直线与平行吗？请说明理由； (2)求的度数． 9．（16-17七年级下·湖南·期末）推理，填空．如图： (1)若，则________________；（内错角相等，两直线平行） (2)若时，则；（两直线平行，同旁内角互补） (3)若时，则．理由：____________________ 10．（25-26七年级上·山西长治·期末）当前市民的环保意识越来越强，很多人租用共享单车出行．如图是某品牌共享单车放在水平地面的几何示意图，其中，都与地面l平行，，，若，求的度数． 能力提升练 1．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，将三角尺的直角顶点放在直线b上，如果，要使，那么（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·全国·周测）如图，直线，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·北京海淀·期末）如图，一把长方形直尺沿直线断开并错位，点，，，在同一条直线上，如果，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·期末）如图，若，平分，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是 ． 6．（25-26七年级上·江苏盐城·月考）如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射，光线与平面镜的夹角相等．若，则的度数为 ． 7．（25-26七年级下·全国·期末）如图①所示的是一个可调节的电脑桌，它的工作原理是利用液体在封闭的管路中传递力和能量．图②是其正面结构示意图，其中桌面与底座平行，等长的支架，交于它们的中点，液压杆．若，则的度数为 ． 8．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知 求证：． 请完成证明过程： 证明：(已知) ∴ (同位角相等，两直线平行)， (两直线平行，同位角相等)， 又(已知) ， ∴ = (等量代换) ， ∴ (                 )． 9．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）如图，与直线交于点O，，平分． (1)射线是的平分线吗？请说明理由； (2)，，求的大小． 10．（25-26七年级上·河南周口·期末）如图，已知点、分别在直线、上，点在、之间，连接、． (1)求证： (2)若平分，平分，求证： (3)在（2）的条件下，若，，点在直线上，且，求 的度数． 拔尖拓展练 1．（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，和互补，．设，，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·四川眉山·期末）如图是某射箭运动员瞬间的示意图，已知，，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点G，若，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）将一副三角尺按图所示的方式放置，给出下列结论：①若，则；②若，则；③；④若，则．其中正确的是（    ） A．②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 5．（25-26七年级下·全国·期末）如图，平行的两束光线从水中进入空气后传播路径会发生变化，但它们依然保持平行．若，，，则的度数为 ． 6．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）风筝制作在我国具有悠久的历史，汉代开始以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．风筝制作工艺聚集多种手工技艺于一体，其中扎作骨架最为关键．如果从某一大雁风筝的骨架抽象出几何形状，如图，，，且，则 ． 7．（25-26七年级下·全国·周测）如图①所示的是北斗七星的位置图，如图②所示的是将北斗七星分别标记为，，，，，，，并将，，，，，，顺次首尾连接的示意图．若恰好经过点，且， ，，则的度数为 ． 8．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图，在中，E，G分别是，上的点，F，D是上的点，连接，，，，． (1)求证：； (2)若是的平分线，，求的度数． 9．（25-26七年级上·江苏镇江·期末）如图1，M为射线上一点，， ．根据以上条件解答下列问题： (1)若，，．请判断与的位置关系并说明理由； (2)E是上的一点，过点E的直线与平行（如图2）．求的度数．（用含和的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，过点作射线，若，，直接写出的度数． 10．（25-26七年级上·吉林长春·期末）学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了平台，如图所示的是一副三角尺，，，． (1)将两个三角尺按如图①所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，则的度数为 度； (2)如图②，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由； (3)如图③，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点，重合．当点在直线的下方时，探究所在直线与三角尺一边互相垂直的情况，请直接写出所有可能的度数． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $