精品解析：四川省绵阳南山中学2026届高三下学期4月月考数学试题

南山中学2023级三诊数学模拟试题 命题人：郑科 梁泽建 黄磊 审题人：刘国松 晏志伟 幸济蒸 李凌 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 6. 已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使 ，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是曲线的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D. 在区间上单调递增 10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 11. （多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D. 点到平面距离的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 13. 在 中，边分别为角 的对边，满足的面积为，则 的周长为_____． 14. 在平面直角坐标系中，椭圆，为上的动点， 为两个定点，其中的坐标为.若 的面积的最小值为1、最大值为5，则线段的长为_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当 时，求函数的单调区间． 16. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这 个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前 项和． 17. 已知椭圆的方程为 ， 为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求证：直线恒过定点； （2）求 面积的取值范围． 18. 已知平面内有n个红点、n个蓝点、n个黄点（），这3n个点中任意两点都不重合. （1）在颜色不同的任意两点之间连接一条线段，颜色相同的两点之间不连接线段，直接写出连接线段条数的最大值； （2）若3n个点中任意三点都不共线，在所有互异的点之间连线，端点颜色相同的线段赋值1，端点颜色不同的线段赋值2. （ⅰ）记每条线段的赋值为随机变量X，在所有线段中任取一条线段，按两个端点的颜色进行分类（端点无序），求X 的分布列及数学期望； （ⅱ）从3n个点中任取三个点构成三角形，记构成的三角形三边的赋值之和的数学期望为，证明：. 19. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，，， （1）证明： ； （2）若点在底面内的正投影为 的中点． （i）当 为何值时，平面 与平面夹角的余弦值最大？ （ii）设平面 与交于点；在平面 内，过作的平行线交于点，设平面与交于点：在平面 内，过作的平行线交于点，设平面与交于点；依次类推，…，设平面与交于点，求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南山中学2023级三诊数学模拟试题 命题人：郑科 梁泽建 黄磊 审题人：刘国松 晏志伟 幸济蒸 李凌 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以，所以的虚部为2. 3. 为研究某池塘中水生植物覆盖池塘的面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，如表格所示，得到与的线性回归方程，则（ ） 3 4 6 7 2 2.5 4.5 A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得，， 所以样本中心点为，又与的线性回归方程， 所以，解得. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性和特殊值的正负即可判断. 【详解】由，且定义域为， 可得是奇函数，其图象关于原点对称，故AB错误； 再由，故D错误，C正确； 故选：C 5. 已知，，则（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二倍角的余弦公式，同角三角形函数的平方关系及求出 和 ，再根据二倍角的正弦公式及降幂公式化简，代入计算即可． 【详解】由题设有，即， 解得或，因为，所以，则， 则， 故选：A． 6. 已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，在圆上仅存在一点P，使 ，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先求A、B两点坐标，根据 得到点P的轨迹方程，根据点P在圆上，利用两圆的位置关系求解即可. 【详解】不妨设，，因为 ，所以点在以为直径的圆上， 又因为，中点坐标为，所以点在圆上， 又因为在圆上仅存在一点，使 ， 且两圆半径相等，所以两圆外切，因此，解得或 （舍）. 7. 已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量四点共面定理和基本不等式“1”的妙用求解即可． 【详解】因为四点共面，则有 由共面定理可得，，即， 所以， 当且仅当，即 ，即时，等号成立. 故选：C. 8. 定义在上的偶函数满足，且当时，，若关于x的方程至少有8个实数解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的周期性画出函数的图象，利用对称性判断轴两个函数图象交点个数列出不等式，解不等式即可得到范围. 【详解】由已知满足， 且函数为偶函数， 所以， 令， 所以函数是周期为的周期函数. 又因为与函数都是偶函数，由对称性可知 由于关于的方程至少有8个实数解， 故当时，与至少有个交点. 函数与图象如图所示. 由图可知：当时，只需，解得 ， 当 时，只需，解得， 当时，显然符合题意. 综上所述：. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数的图象关于点中心对称．则（ ） A. 的最小正周期为 B. 直线是曲线的对称轴 C. 将的图象向右平移个单位可得到函数的图象 D. 在区间上单调递增 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出的解析式，结合正弦型函数的图象及性质逐项判断即可. 【详解】由题意知，，所以， ，即， 又，所以，所以. 选项A：最小正周期，A正确. 选项B：对称轴应满足， ，解得， . 故不存在 ，使得，B错误. 选项C：的图象向右平移个单位得到，C正确. 选项D：当时，. 又在上单调递增，在上单调递减，所以在区间上不是单调递增，D错误. 故选：AC. 10. 设是一个随机试验中的两个事件，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据和事件的概率公式和条件概率公式逐个分析求解即可 【详解】对于A，因为，， 所以，所以A正确， 对于B，因为，所以， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 所以，， 所以，所以C正确， 对于D，因为，所以，所以， 所以，所以D正确， 故选：ACD 11. （多选题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，分别为的中点，点P在直线上，且，下列说法中正确的有（ ） A. 直线MN与所成角的大小为 B. C. 若P为中点，则平面AMP与平面ABC所成角的余弦值为 D. 点到平面距离的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，应用向量法求直线与直线所成角、判断位置关系、求平面与平面所成角的余弦值、结合参数范围求点到平面距离的最值. 【详解】由题设建立如下图示空间直角坐标系， 则， 所以，，，， 则，显然直线MN与所成角不为，A选项错误； 又，故，B选项正确； 由，，若 为平面AMP的一个法向量， 则，令，则， 由平面的一个法向量为，，所以， 设平面与平面所成的角为， 则， C选项正确； 易知，则点到平面的距离为， 又，上式分子分母同时除以，可得， 令，则， 易知当时，，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在的展开式中，的系数为___________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【详解】展开式的通项, 令得 , 所以的系数为. 13. 在中，边分别为角 的对边，满足的面积为，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】借助三角形面积公式可得，再利用余弦定理计算可得，即可得该三角形周长. 【详解】，则， ， 化简得 ，解得（负值舍去）， 则的周长为. 14. 在平面直角坐标系中，椭圆，为上的动点， 为两个定点，其中的坐标为.若 的面积的最小值为1、最大值为5，则线段 的长为_____. 【答案】 【解析】 【分析】设的方程为 ，动点，可得到直线的距离，由题可得的最大值与最小值之比为5，结合辅助角公式可得，据此可得答案. 【详解】显然直线与椭圆不能相交（否则 的面积可能为0）， 依题意，设的方程为 ，动点，，则到直线的距离. 因为两个定点，线段的长度是定值，又 的面积的最小值为1、最大值为5， 故当变化时，的最大值与最小值之比为5，特别地，不能为0，故其值恒正或恒负. . 由于的最大值为正，所以最小值也为正， 故，得.从而的最小值. 由于的最小值为1，故，得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间． 【答案】（1） （2）当时，在和上递增，在上递减；当 时，在上递增；当 时，在和上递增，在上递减． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2）分别对时， 时， 时讨论，利用导数判断可得答案. 【小问1详解】 由，知 ， 所以当时，有，， 故曲线在处的切线经过，且斜率为， 所以其方程为，即 ． 【小问2详解】 当时，对有， 对，有，故在和上递增，在（）上递减； 当 时，对，有，故在上递增； 当 时，对，有， 对，有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当 时，在上递增； 当 时，在和上递增，在上递减． 16. 已知数列满足 （1）求的通项公式； （2）在和之间插入个数，使这 个数构成等差数列，记这个等差数列的公差为，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据递推关系写出，再两式作差即可求得答案； （2）根据等差数列的通项公式得公差，再结合错位相减法求解的前项和即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以当时，， 两式相减得，所以， 当时，，满足， 故的通项公式为． 【小问2详解】 解：因为在和之间插入个数后构成等差数列，公差为， 所以，即，， 所以① ② ①－②得：， 所以． 17. 已知椭圆的方程为 ，为坐标原点，直线与椭圆交于两点，过点作直线的垂线，垂足为． （1）求证：直线恒过定点； （2）求 面积的取值范围． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将椭圆与直线方程联立可得，，直线的方程为：，继而求出，结合韦达定理求证即可； （2）设，则，记，则，结合基本不等式计算求解. 【小问1详解】 设，依题意，得 ， ，，， 所以，即得直线的方程为：① 由图形的对称性可知，若动直线过定点，则定点一定在轴上，所以令代入①， 可得，由（*）得， 所以，得， 所以直线恒过定点． 【小问2详解】 由（1）可知直线恒过定点， 所以， 将代入得， 设，则． 因为，所以，所以． 18. 已知平面内有n个红点、n个蓝点、n个黄点（），这3n个点中任意两点都不重合. （1）在颜色不同的任意两点之间连接一条线段，颜色相同的两点之间不连接线段，直接写出连接线段条数的最大值； （2）若3n个点中任意三点都不共线，在所有互异的点之间连线，端点颜色相同的线段赋值1，端点颜色不同的线段赋值2. （ⅰ）记每条线段的赋值为随机变量X，在所有线段中任取一条线段，按两个端点的颜色进行分类（端点无序），求X 的分布列及数学期望； （ⅱ）从3n个点中任取三个点构成三角形，记构成的三角形三边的赋值之和的数学期望为，证明：. 【答案】（1） （2）（ⅰ）分布列： 1 2 ； （ⅱ）证明:共有三种可能，当三个同色点构成三角形时，赋值和为3，有种可能， 当两个同色点和一个异色点构成三角形时，赋值和为5，有种可能， 当三个异色点构成三角形时，赋值和为6，有种可能， 从 个点中任取三个点，共有种可能， 则， 所以， 因为，所以，，即. 【解析】 【分析】（1）由题当 个点中任意三点都不共线时，连接线段条数最大，进而得解； （2）（ⅰ）求出随机变量 的取值对应的概率，列出分布列求出期望；（ⅱ）由题，有三种可能，当三个同色点构成三角形时，赋值和为3，当两个同色点和一个异色点构成三角形时，赋值和为5，当三个异色点构成三角形时，赋值和为6，分别求出相应的概率得到期望的表达式，作差得证. 【小问1详解】 红蓝、蓝黄、黄红三对里，每对中两种颜色均有个点，则当 个点中任意三点都不共线时，连接线段条数取最大值. 【小问2详解】 （ⅰ）端点颜色的所有可能情况为红蓝、蓝黄、黄红、红红、蓝蓝、黄黄， 端点颜色相同的线段有条，端点颜色不同的线段有条，线段总条数为， 则，， 的分布列为： 1 2 所以数学期望. （ⅱ）略 19. 如图，在四棱锥 中，底面是边长为2的菱形，，， （1）证明： ； （2）若点在底面内的正投影为的中点． （i）当 为何值时，平面 与平面夹角的余弦值最大？ （ii）设平面 与交于点；在平面 内，过作的平行线交于点，设平面与交于点：在平面 内，过作的平行线交于点，设平面与交于点；依次类推，…，设平面与交于点，求． 【答案】（1）连接与交于点，连接 ． 因为四边形为菱形，所以， 在中，，所以 ， 因为平面，平面， ， 所以 平面，又 平面，所以 . （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）连接与交于点，连接 ，由已知及线面垂直的判定和性质定理证明结论； （2）（i）构建合适的空间直角坐标系，求出相关平面的法向量，再应用向量法求面面角的余弦值，结合导数求其最大值； （ii）由题设存在使得，从而得 ，设，则，得 ，从而得到参数关系，应用类似过程及等差数列的定义写出通项公式，即可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为点在底面投影为，由题意 两两垂直． 因为，所以 ， 以为原点， 所在直线分别为 轴，建立如图空间直角坐标系， 则 ，因为，所以 ． 因为，即，所以 . 因为 ， 设平面 的法向量为 ，所以， 令 ，所以 ， 而平面的法向量为 ． 设平面 与平面夹角的大小为， 则 . 令，则， 当 时， 在 单调递增； 当 时， 在 单调递减； 所以，当时， 取最大值. （ii）因为共面，故存在实数使得， 因此 ， 设，则，则 ， 由坐标分量对应相等，化简整理得. 在平面 内，因为 ，设，则． 类比前面推导过程，可得，将上式取倒数可得 ， 所以 为以为首项、1为公差的等差数列． 所以，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $