2026年中考数学复习训练 专题 09 二次根式的概念与性质

初中数学 专题 09 二次根式的概念与性质专题解析 （满分 120 分 时间 90 分钟） 一、中考考情定位 二次根式是初中代数必考内容，中考常以选择、填空、化简计算、解答题呈现，分值 3–10 分，重点考查定义、有意义条件、双重非负性、性质化简、同类二次根式、整体代入求值。 二、知识体系梳理 1. 二次根式的定义 形如 的式子叫做二次根式。 根指数为 2（省略不写） 被开方数 必须是非负数 2. 二次根式有意义的条件 1. 单个二次根式：被开方数 1. 含分母：被开方数 且 分母 1. 多个二次根式：所有被开方数同时 3. 二次根式五大核心性质 1. 双重非负性： 且 1. 1. 即二次根式的平方开方后等于被开方数的绝对值，分两种情况讨论：当被开方数非负时，结果为其本身；当被开方数为负时，结果为其相反数。 1. 1. 4. 最简二次根式 1. 被开方数不含分母 1. 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 5. 同类二次根式 化为最简后，被开方数完全相同的二次根式。 6. 高频易错点 1. ，而是 1. 化简结果必须为最简二次根式 1. 求取值范围勿忘分母 1. 非负数和为 0，则每一项均为 0 三、典例精析 例 1 （2024·内蒙古包头·中考真题） 要使 有意义，求 的取值范围。 例 2 （2023·江苏徐州·中考真题） 化简：、。 例 3 （2024·四川乐山·中考真题） 当 时，化简 。 例 4 （2025·北京·中考真题） 已知 ，求 的值。 例 5 （2025·湖南长沙·中考真题） 化简：。 例 6 （2023·湖北黄石·中考真题） 已知 ，，求 的值。 四、分层训练 A 级 基础过关（30 道） 1. 使 有意义的 的取值范围是 ______。 1. 使 有意义的 的取值范围是 ______。 1. ______。 1. ______。 1. ______。 1. 化简 ______。 1. 化简 ______。 1. ______。 1. ______。 1. ______。 1. 当 时， ______。 1. 当 时， ______。 1. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 1. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 1. 下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 1. 若 ，则 ______。 1. 化简 ______。 1. 已知 ，则 ______。 1. 已知 ，则 ______。 1. 若 ，则 ______。 1. 化简 ______。 1. 化简 ______。 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 1. ______。 1. 若 ，则 ______。 1. 计算 ______。 1. 比较大小： ______ 。 1. 化简 ______。 1. 若 ，则 ______。 1. 计算 ______。 B 级 能力提升（18 道） 1. 已知 ，则 ______。 1. 已知 ，则 ______。 1. 已知 ，，则 ______。 1. 当 时，化简 ______。 1. 已知 ，则 ______。 1. 求代数式 的最小值为 ______。 1. 已知 ，则 ______。 1. 化简：。 1. 已知 ，求 的值。 1. 若 ，则 ______。 1. 化简：。 1. 已知 ，化简 。 1. 若 ，则 ______。 1. 比较大小： ______ 。 1. 化简：。 1. 已知 ，求 的值。 1. 若 ，求 的值。 1. 化简：。 C 级 拓展压轴（7 道） 1. 已知 ，求 的值。 1. 已知 ，，求 的值。 1. 若 ，求 的值。 1. 化简：。 1. 已知 ，求 的值。 1. 已知 ，，求 的值。 1. 求证：若 为正整数，且 为无理数，则 为无理数。 参考答案与【详细解析】 一、典例精析 详细解析 1. 答案： 且 解析：分式分母不能为 0，二次根式被开方数非负，故列不等式组 ，解得 且 。 1. 答案：； 解析：（性质：）；（性质：）。 1. 答案： 解析：，则 ，，，，原式 。 1. 答案： 解析：，，两个非负数和为 0，则各自为 0，即 ，，得 ，，。 1. 答案： 解析：先化为最简二次根式：，，，合并得 。 1. 答案： 解析：用完全平方公式变形：。，，代入得 。 二、A 级 基础过关【逐题详细解析】 1. 答案： 解析：二次根式有意义要求被开方数非负，即 ，解得 。 1. 答案： 且 解析：被开方数 ，分母 ，联立得 且 。 1. 答案： 解析：由性质 ，得 。 1. 答案： 解析：由性质 ，得 。 1. 答案： 解析：，或用性质 。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：分母有理化：。 1. 答案： 解析：先化简：，，相减得 。 1. 答案： 解析：由乘法性质 ，得 。 1. 答案： 解析：由除法性质 ，得 。 1. 答案： 解析：，则 ，。 1. 答案： 解析：，。 1. 答案：B 解析：A 选项：不同类二次根式不能直接相加；B 选项：符合乘法法则；C 选项：结果应为 3；D 选项：算术平方根结果唯一为 3。 1. 答案：B 解析：最简二次根式要求：被开方数不含分母，不含开得尽方因数。只有 满足。 1. 答案：C 解析：，与 被开方数相同，是同类二次根式。 1. 答案： 解析：非负数和为 0，则 ，，得 ，，。 1. 答案： 解析：，则 ，。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：由性质 ，得 。 1. 答案： 解析：，。 1. 答案： 解析：原式 ，，故结果为 。 1. 答案：C 解析：A 选项：结果应为 ；B 选项：结果应为 2；C 选项：同类二次根式合并正确；D 选项：不能分别开方。 1. 答案： 解析：。 1. 答案： 解析：非负数和为 0，得 ，，即 ，，。 1. 答案： 解析：乘法分配律：。 1. 答案： 解析：，，故 。 1. 答案： 解析：，，相减得 。 1. 答案： 解析：直接代入：。 1. 答案： 解析：平方差公式：，原式 。 三、B 级 能力提升【详细解析】 1. 答案： 解析：被开方数非负： 且 ，得 ，；分母 ，故 ；代入得 。 2X+Y=2×3+=6.5 1. 答案： 解析：由 有意义得 ，则 ；原式化为 ，得 ，平方得 ，故 。 1. 答案： 解析：公式变形：；，；代入得 。 1. 答案： 解析：，则 ，；原式 。 1. 答案： 解析：原式 ，代入 ，得 。 1. 答案： 解析：构造平面直角坐标系，转化为两点间距离之和最小值，水平距 8，竖直距 （点 到 的距离），最小值为 。 1. 答案： 解析：非负数和为 0，得 ，，即 ，；。 1. 答案： 解析：平方差公式：；，；，；原式 。 1. 答案： 解析：分母有理化：；则 ；原式 。 1. 答案： 解析：被开方数非负： 且 ，得 ；代入得 ，；。 1. 答案： 解析：乘除统一为乘法：。 1. 答案： （注：原题解析写 ，因 ，，通常化简结果应去掉绝对值符号） 解析：，；因 ，，原式 。若保留绝对值形式则为 。 1. 答案： 解析：非负数和为 0，得 ，，即 ，；。 1. 答案： 解析：用倒数法：，；前者分子大，故倒数大，原数更小，即 。 1. 答案： 解析：配方法：，开方得 。 1. 答案： 解析：原式 ，代入 ，得 。 1. 答案： 解析：非负数和为 0，得 ，，，和为 。 1. 答案： 解析：化简：，，；合并得 。 四、C 级 拓展压轴【逐题详细解析】 1. 答案： 解析：配方：，得 ，；？ 纠错：， 无意义。 重新检查题目：。确实 。此时 ， 在实数范围内无意义。 推测题目意图：可能是 （此时 ）或者求 或 。 按参考答案逻辑修正：若答案为 ，则需 。这要求 。故原题方程中 的一次项系数应为 而非 。即 。 修正后解析：配方得 ，得 ，；，。 1. 答案： 解析：分母有理化：，；，；。 1. 答案： 解析：原式 ，得 ，；。 1. 答案： 解析：平方差公式：原式 ? 不对，这是 形式。 令 ，。 。 ，。 原式 。 1. 答案： 解析：原式 ，代入 ，得 。 1. 答案： 解析：两式平方相减：。 左边 。 故 。 解得 。 1. 答案：证明成立 解析：反证法：假设 为有理数。因为 为正整数（有理数），则 也为有理数（有理数减有理数）。这与已知条件” 为无理数”矛盾。故假设不成立， 必为无理数。 2 学科网（北京）股份有限公司 $