2025-2026学年高一下学期数学期中猜想卷（浙江专版）

2025-2026学年高一数学期中猜想卷（浙江专版） 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4．考试内容：人教A版必修第二册第6章至第8章. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若（为虚数单位），则的虚部是（    ） A． B． C． D． 2．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 3．已知向量，，且，则（   ） A． B． C．4 D．2 4．如图，在中，，且BF与CE交于点M，设，则（   ） A． B． C． D．－1 5．已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，满足，与的夹角为，则在上的投影向量为（　　） A． B． C． D． 7．雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C处时测得塔顶A在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D处，测得塔顶A在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（    ） A．米 B．50米 C．米 D．米 8．已知，，，，满足，用S表示的面积，当最大时，的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．若复数，则（   ）． A． B．z在复平面内对应的点位于第三象限 C． D．复数满足，则的最大值为 10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，，，则有两解 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形或直角三角形 11．在棱长为3的正方体中，P是平面内的一个动点，若，则下列结论正确的是（    ） A．点P的轨迹长度为 B．直线不可能与垂直 C．直线与平面所成角为 D．三棱锥的体积最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．如图，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面四边形中的边的长是______．    13．已知高为1的正四棱柱的顶点都在表面积为的球面上，则该正四棱柱的表面积为________． 14．如图，为半圆的直径，点为的中点，点为线段上的一动点（含端点，）.若，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．设复数，，为虚数单位. (1)若，求； (2)若是实数，求. 16．已知向量，，且与的夹角为． (1)求及； (2)若与所成的角是锐角，求实数的取值范围． 17．如图，在直三棱柱中，所有棱长均为4，D是AB的中点． (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的正弦值． 18．在中，. (1)求的值； (2)若，求周长的最小值； (3)若是锐角三角形，且，求面积的取值范围. 19．我国古代南北朝数学家祖暅在计算球的体积时，提出了祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，意思是夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等． (1)如图1，左边是半径为R的半球，右边是底面半径和高都等于R的圆柱，在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥后得到的一个新几何体，求新几何体的体积． (2)如图2，一个球体被两个平行平面所截，夹在两平行平面间的部分叫做“球台”．该球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm．根据祖暅原理，求该球台的体积． (3)如图3，一个球体被平面截下的部分叫做球缺．截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截后，剩下的线段长叫做球缺的高．根据祖暅原理，推导半径为R，高为H的球缺的体积公式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A C B C A C ACD ABD 题号 11 答案 ACD 1．A 【分析】 利用复数的运算法则和虚部的定义，即可求解. 【详解】 由复数，所以复数的虚部为. 故选：A. 2．D 【分析】举反例可判断ABC；由线面垂直的性质定理可判断D. 【详解】对于A，若，，则，或，故A错误；     对于B，若，，则，或与相交，故B错误； 对于C，若，，则与相交，或，或，故C错误；     对于D，若，，则，故D正确. 故选：D. 3．A 【详解】因为，所以. 所以，故. 4．C 【分析】分别利用和三点共线表示出，再利用平面向量的基本定理列方程组，解出即可. 【详解】因为三点共线，且，所以， 又因为三点共线，且，所以， 可得，解得，所以. 故选：C 5．B 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即， 故，故圆锥的体积为. 故选：B. 6．C 【分析】利用投影向量的定义求解. 【详解】解：因为，与的夹角为， 所以， 所以在上的投影向量， 故选：C 7．A 【分析】由题意画出简图，运用正弦定理和锐角的正切函数的定义，可得所求值. 【详解】由题可得，，， 则，， 由正弦定理可得：，即，解得， 在中，. 故选：A 8．C 【分析】根据已知条件应用正弦定理结合基本不等式得出最大值，再应用二倍角公式及弦化切计算求解. 【详解】因为，由正弦定理得， 又因为， 所以当且仅当，即时等号成立，即取最大值， 又因为，所以， 所以， 由于，且， 所以. 9．ACD 【分析】根据复数除法运算化简，结合复数的几何意义和模长公式可判断ABC；利用复数的几何意义可判断D. 【详解】对A，，正确； 对B，对应复平面内的点为，位于第四象限，错误； 对C，由复数模长公式得，正确； 对D，设，则， 又，所以，所以对应复平面上的点在圆心为原点的单位圆上， 又表示点和之间的距离， 所以，的最大值等于原点和之间的距离加1， 即，正确. 故选：ACD 10．ABD 【分析】利用正弦定理判断A；利用正弦定理解三角形判断B；利用锐角三角形的定义判断C；判断三角形形状判断D. 【详解】对于A，由正弦定理得，A正确； 对于B，由正弦定理得，由，得， 因此有两解，B正确； 对于C，由，得，即，A为锐角，而角不能确定都为锐角，C错误； 对于D，由，得，整理得或， 为等腰三角形或直角三角形，D正确. 故选：ABD 11．ACD 【分析】证明出平面，利用勾股定理计算出的长，可判断A；当时，可证平面，此时，可判断B；利用线面角的定义可判断C；计算出面积的最大值，结合锥体体积公式可判断D. 【详解】连接，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 因为，平面，所以平面， 平面，所以，同理可得， 因为，平面，所以平面， 设平面，即平面， 对于A，由得，， 则，， 所以点P的轨迹是以为圆心，半径的圆，其周长为.故A正确； 对于B，当时，因为，所以平面，此时.故B错误； 对于C，因为平面，所以为直线与平面的所成角，,，故C正确； 对于D，因为点到直线的距离为，点到直线的最大距离为， 故的面积的最大值为, 因为平面，则 三棱锥体积的最大值为，故D正确. 故选：ACD. 12．. 【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则还原平面四边形，再计算边长作答. 【详解】在等腰梯形中，，， 则， 由斜二测画法规则知，四边形的顶点A与原点O重合，点B，D分别在x轴、y轴上，，且，如图， 显然四边形为直角梯形，于是得. 故答案为： 13．16 【分析】由正四棱柱的外接球表面积求得半径，进而得出正四棱柱的体对角线，求解正四棱柱的底面边长，根据表面积公式即可求解． 【详解】由已知得球的半径，则正四棱柱的体对角线为3， 设正四棱柱的底面边长为，则，解得， 所以该正四棱柱的表面积为， 故答案为：16． 14． 【分析】由圆的性质得到，然后根据数量积的性质得到，最后根据的范围计算即可. 【详解】因为点为的中点，，所以， ， 因为点为线段上的一动点，， 所以，所以的取值范围是. 故答案为：. 15．(1)5i (2) 【分析】（1）根据共轭复数以及复数的乘法，可得答案； （2）根据复数除法整理其为标准式，由实数的定义，建立方程，利用模长公式，可得答案. 【详解】（1）. （2）， 因为，所以，所以，故. 16．(1)， (2) 【分析】（1）由平面向量的夹角公式结合平面向量数量积的坐标运算可求得的值，计算出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值； （2）求出向量的坐标，分析可知且向量与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【详解】（1）因为向量，，且与的夹角为， 则，解得， 所以，，则， 故. （2）由（1）可得，且， 因为与所成的角是锐角，则，解得， 且向量与不共线，则，即， 因此，实数的取值范围是. 17．(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）连接交于，利用三角形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可； （2）根据（1）的结论，结合异面直线所成角定理、直棱柱的性质、余弦定理、同角的三角函数关系式进行求解即可. 【详解】（1）连接交于， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，所以是的中点，而D是AB的中点， 因此有，而平面，平面， 所以平面； （2）由（1）可知：， 因此异面直线与所成角为（或其补角）， 因为是正方形，所以， 在直三棱柱中，所有棱长均为4， 因此四边形是正方形，因此有， 在直三棱柱中，侧棱垂直于底面，因此也就垂直底面中任何直线， 因此有， 由余弦定理可知：， 因此. 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）由射影定理直接可得所求角的余弦值，进而可得正弦值； （2）先由余弦定理及基本不等式可得，进而可得周长的最小值； （3）将三角形的面积表示成关于角的三角函数，用函数的性质可得面积的取值范围. 【详解】（1）因为在三角形中，由射影定理代入， 得，即，因为，所以. （2）在三角形中，由（1）知， 由余弦定理得， 又因为，由基本不等式，当且仅当时等号成立， 所以，即，所以周长. 因此周长的最小值为. （3）因为是锐角三角形，由（1）知，且，得，， 所以，解得. 又由正弦定理得，所以， ， 因为，所以，因此. 所以面积. 19．(1) (2) (3) 【分析】（1）由祖暅原理即可求解； （2）由祖暅原理即可求解； （3）由祖暅原理即可求解. 【详解】（1）如下图：左侧几何体的为半径为的半球，右侧几何体为底面半径和高都为的圆柱中挖掉了一个圆锥，其截面面积相等的图形是圆环（如阴影部分） 左侧截面圆的圆心为，易得截面圆的面积为， 易知右侧截面截圆锥得到的小圆的半径为，所以，圆环的面积为， 所以，截得的截面的面积相等， 所以新几何体的体积等于半球的体积， 即 （2） 球台下底半径为10cm，上底半径为6cm，上下底面间的距离为8cm． 构造建立一个底面半径为，高为8的圆柱， 那么根据祖暅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥，其体积即为球台体积， 此时圆锥底面的半径 所以， 所以整个容器的容积为. （3）由（2）可知： 当球台下底半径为，上底半径为cm，上下底面间的距离为， 那么根据祖暅原理，挖去一个与圆柱等高的小圆锥，其体积即为球台体积， 此时圆锥底面的半径， 所以球台体积为：， 再加个半个球的体积即为球缺的体积： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $