2025-2026学年苏科版八年级数学下册期中提分特训6《正方形》专题（盐城专版）

数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训6 《正方形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、正方形的定义 1.有一组邻边______且有一个角是______的平行四边形叫做正方形。 2.四条边都______，四个角都是______的四边形叫做正方形。 3.正方形既是特殊的______，又是特殊的______，是矩形与菱形的 “ 交集 ” 。 二、正方形的性质 1.边的性质：正方形的四条边都______，对边______，邻边______。 2.角的性质：正方形的四个角都是______，内角和为______。 3.对角线性质：正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线______一组对角。 4.对称性：正方形既是______图形，有______条对称轴，又是______图形，对角线的交点是对称中心。 5.核心性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的______性质。 三、正方形的判定 1.定义判定：先证四边形是平行四边形，再满足 “ 一组邻边______且一个角是______ ” 。 2.矩形判定法： （1）有一组邻边______的矩形是正方形； （2）对角线______的矩形是正方形。 3.菱形判定法： （1）有一个角是______的菱形是正方形； （2）对角线______的菱形是正方形。 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一 、 正方形定义 1.   以选择题、填空题基础题为主，侧重考查对正方形定义本质的理解，极少单独出解答题，常作为几何推理的基础依据。 2.   围绕正方形定义的两种表述 ——“ 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 ”“ 四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 ” ，考查定义的概念辨析、条件判断。 3.混淆正方形与平行四边形、矩形、菱形的定义从属关系，忽略定义中 “ 平行四边形 ”“ 邻边相等 ”“ 直角 ” 三个关键条件的同时成立。 4.判断语句是否符合正方形定义、根据定义判断四边形是否为正方形、确定正方形定义的前提条件。 【应对策略】 （1）牢记定义核心：抓住正方形定义的双重特殊性，即正方形是 “ 特殊的平行四边形 ” ，必须同时满足 “ 一组邻边相等+一个角是直角 ” 两个条件，缺一不可。 （2）理清从属关系：明确正方形属于平行四边形、矩形、菱形，理解定义的推导逻辑， ) ( 避免概念混淆。 （3）解题技巧：做概念辨析题时，逐一核对定义条件，只要缺少任意一个关键条件，即可判断表述错误；判断四边形是否为正方形时，优先对照定义，验证基础图形+核心条件是否同时满足。 考向 二、正方形性质 1.选择题、填空题、解答题均会涉及，是正方形考查的核心重点，难度覆盖基础题、中档几何计算题与证明题。 2.分为边、角、对角线、对称性四大类性质。边：四条边相等、对边平行、邻边垂直；角：四个角均为直角；对角线：相等、互相垂直平分、平分一组对角；对称性：轴对称（4条对称轴）、中心对称。 3.混淆正方形与矩形、菱形的对角线性质，遗漏 “ 对角线互相垂直且相等 ” 双重特征；忽略对角线平分内角的性质；计算时无法灵活结合性质转化边长、对角线、周长面积的关系。 4.利用边和角的性质求线段长度、角度；利用对角线性质进行线段、角度的等量转化；结合对称性解决最短路径、图形折叠问题；与勾股定理结合求正方形对角线、面积。 【应对策略】 （1）系统化记忆性质：按 “ 边 → 角 → 对角线 → 对称性 ” 梳理性质，对比矩形、菱形性质，牢记正方形独有的双重性质（对角线既相等又垂直）。 （2）掌握公式转化：熟记正方形周长=4 × 边长、面积=边长 ² =对角线 ²÷ 2，灵活运用勾股定理实现边长与对角线的互化。 （3）解题技巧：几何计算题中，看到正方形直接联想 “ 四边相等、四角直角、对角线垂直且相等 ” ，快速找等量关系；折叠、对称问题，利用正方形对称轴性质找对应线段、对应角；解答题中，性质可直接作为推理依据，无需重复证明。 （4）避坑要点：区分正方形与其他特殊平行四边形的性质差异，不盲目套用矩形、菱形性质解题。 考向 三、正方形判定 1.以中档解答题、证明题为主，选择题、填空题考查判定条件辨析，是几何推理的难点内容。 2.围绕三大判定思路 —— 平行四边形+一组邻边相等+一个角是直角、矩形+一组邻边相等/对角线垂直、菱形+一个角是直角/对角线相等，考查四边形的正方形判定推理。 3.判定条件遗漏，比如只证明矩形就直接判定为正方形；混淆 “ 矩形加邻边相等 ” 与 “ 菱形加直角 ” 的判定逻辑；无法结合已知条件选择最简判定方法。 4.补充正方形判定的条件、证明给定四边形是正方形、结合图形性质判断正方形判定方法是否正确。 【应对策略】 （1）梳理判定逻辑链：构建 “ 平行四边形 → 矩形/菱形 → 正方形 ” 的判定框架，牢记三种最简判定路径：- 平行四边形+邻边相等+一个直角=正方形； 矩形+邻边相等（或对角线垂直）=正方形； 菱形+一个直角（或对角线相等）=正方形。 （2）解题步骤规范：证明题中，先判断已知四边形是平行四边形、矩形还是菱形，再补 充对应条件完成正方形判定，不跳步推理。 （3）技巧选择：已知四边形是矩形，优先证 “ 一组邻边相等 ” 或 “ 对角线垂直 ” ；已知四边形是菱形，优先证 “ 一个角是直角 ” 或 “ 对角线相等 ” ，简化证明过程。 （4）避坑要点：判定正方形必须满足 “ 矩形+菱形 ” 双重特征，单一的矩形或菱形性质无法判定为正方形。 【提分小贴士】 1.夯实基础：牢记正方形定义、性质、判定的核心内容，对比平行四边形、矩形、菱形的异同，构建完整知识体系。 2.专项训练：针对性做定义辨析、性质计算、判定证明三类题型，总结解题思路与易错点。 3.灵活运用：解题时先分析题干条件，确定考查方向，再对应选用定义、性质或判定知识点，规范答题步骤，避免概念混淆、推理不严谨的问题 ) 四．强化基础 （一）选择题 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻边相等 2．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（　　） A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形 3．下列4个命题：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.其中正确命题的个数是（　　）. A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D．16° 5．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 6．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，正确的个数有（　　） ①四边形AEDF是平行四边形②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 8．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 10．如图，已知正方形 的边长为4，将正方形 沿 对折，使点 恰好落在边 的中点 处，点 的对应点为点 延长 交 的延长线于 ，连接对角线 交折痕 于Q，则线段 的长为（　　） A． B． C． D． （二）填空题 11．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 12．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 13．如图，正方形的边长为5，对角线交于点E，线段的长为2，在边上移动，连接，则的最小值是 ．    14．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为__________. 15． 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________（只填写序号） 16．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　． 17．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　 ． 18．如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　　． 19．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　16　． 20．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是_______. （三）解答题 21.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE． （1）求证：AB⊥AE． （2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形 23．如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H． (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明； (2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？ 24．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC． (1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________； (2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明； (3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 25．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长． 26．我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 五．提分特训 （一）选择题 1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 2.在四边形ABCD中，O是对角线交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B. AB∥CD，AC=BD C. AD∥BC，∠A=∠C D. OA=OC，OB=OD，AB=BC 3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充，使得平行四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF 5．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　） A．2.4 B．3.4 C． D． 8．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（　　） A． B． C．2 D．3 10．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　） A． B． C． D． （二）填空题 11．已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB＝　　． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为　 　． 13．如图正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是____. 14．如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则____. 15.如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为_________. 16．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为　 　． 17．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为3和2，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为 　 　． 18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，连接AE，BF．若AB＝，BE＝DF，则AE+BF的最小值为 　 　． 19．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 　 　． 20．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 　 　． （三）解答题 21．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF； （2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形． 22．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 23.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 24．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G． （1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果） （2）连接BG，若，求BG的长． 【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：． 【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长． 25.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若AD＝AE，求证：AB＝AG； （3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长． 26．（如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2025-2026学年苏科版八年级数学下期中提分特训6 《正方形》专题（盐城专版） 1． 思维导图 ( ) 2． 知识梳理 ( 一、正方形的定义 1.有一组邻边______且有一个角是______的平行四边形叫做正方形。 2.四条边都______，四个角都是______的四边形叫做正方形。 3.正方形既是特殊的______，又是特殊的______，是矩形与菱形的 “ 交集 ” 。 二、正方形的性质 1.边的性质：正方形的四条边都______，对边______，邻边______。 2.角的性质：正方形的四个角都是______，内角和为______。 3.对角线性质：正方形的两条对角线______，并且互相______，每条对角线______一组对角。 4.对称性：正方形既是______图形，有______条对称轴，又是______图形，对角线的交点是对称中心。 5.核心性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的______性质。 三、正方形的判定 1.定义判定：先证四边形是平行四边形，再满足 “ 一组邻边______且一个角是______ ” 。 2.矩形判定法： （1）有一组邻边______的矩形是正方形； （2）对角线______的矩形是正方形。 3.菱形判定法： （1）有一个角是______的菱形是正方形； （2）对角线______的菱形是正方形。 【答案】 一、正方形的定义 1.相等；直角 2.相等；直角 3.矩形；菱形 二、正方形的性质 1.相等；平行；垂直 2.直角；360 ° 3.相等；垂直平分；平分 4.轴对称；4；中心对称 5.一切 三、正方形的判定 1.相等；直角 2.（1）相等；（2）互相垂直 3.（1）直角；（2）相等 ) 三．考向分析+应对策略 ( 考向一 、 正方形定义 1.   以选择题、填空题基础题为主，侧重考查对正方形定义本质的理解，极少单独出解答题，常作为几何推理的基础依据。 2.   围绕正方形定义的两种表述 ——“ 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 ”“ 四条边相等、四个角都是直角的四边形是正方形 ” ，考查定义的概念辨析、条件判断。 ) ( 3.混淆正方形与平行四边形、矩形、菱形的定义从属关系，忽略定义中 “ 平行四边形 ”“ 邻边相等 ”“ 直角 ” 三个关键条件的同时成立。 4.判断语句是否符合正方形定义、根据定义判断四边形是否为正方形、确定正方形定义的前提条件。 【应对策略】 （1）牢记定义核心：抓住正方形定义的双重特殊性，即正方形是 “ 特殊的平行四边形 ” ，必须同时满足 “ 一组邻边相等+一个角是直角 ” 两个条件，缺一不可。 （2）理清从属关系：明确正方形属于平行四边形、矩形、菱形，理解定义的推导逻辑，避免概念混淆。 （3）解题技巧：做概念辨析题时，逐一核对定义条件，只要缺少任意一个关键条件，即可判断表述错误；判断四边形是否为正方形时，优先对照定义，验证基础图形+核心条件是否同时满足。 考向 二、正方形性质 1.选择题、填空题、解答题均会涉及，是正方形考查的核心重点，难度覆盖基础题、中档几何计算题与证明题。 2.分为边、角、对角线、对称性四大类性质。边：四条边相等、对边平行、邻边垂直；角：四个角均为直角；对角线：相等、互相垂直平分、平分一组对角；对称性：轴对称（4条对称轴）、中心对称。 3.混淆正方形与矩形、菱形的对角线性质，遗漏 “ 对角线互相垂直且相等 ” 双重特征；忽略对角线平分内角的性质；计算时无法灵活结合性质转化边长、对角线、周长、面积的关系。 4.利用边和角的性质求线段长度、角度；利用对角线性质进行线段、角度的等量转化；结合对称性解决最短路径、图形折叠问题；与勾股定理结合求正方形对角线、面积。 【应对策略】 （1）系统化记忆性质：按 “ 边 → 角 → 对角线 → 对称性 ” 梳理性质，对比矩形、菱形性质，牢记正方形独有的双重性质（对角线既相等又垂直）。 （2）掌握公式转化：熟记正方形周长=4 × 边长、面积=边长 ² =对角线 ²÷ 2，灵活运用勾股定理实现边长与对角线的互化。 （3）解题技巧：几何计算题中，看到正方形直接联想 “ 四边相等、四角直角、对角线垂直且相等 ” ，快速找等量关系；折叠、对称问题，利用正方形对称轴性质找对应线段、对应角；解答题中，性质可直接作为推理依据，无需重复证明。 （4）避坑要点：区分正方形与其他特殊平行四边形的性质差异，不盲目套用矩形、菱形性质解题。 考向 三、正方形判定 1.以中档解答题、证明题为主，选择题、填空题考查判定条件辨析，是几何推理的难点内容。 2.围绕三大判定思路 —— 平行四边形+一组邻边相等+一个角是直角、矩形+一组邻边相等/对角线垂直、菱形+一个角是直角/对角线相等，考查四边形的正方形判定推理。 3.判定条件遗漏，比如只证明矩形就直接判定为正方形；混淆 “ 矩形加邻边相等 ” 与 “ 菱形加直角 ” 的判定逻辑；无法结合已知条件选择最简判定方法。 4.补充正方形判定的条件、证明给定四边形是正方形、结合图形性质判断正方形判定方法是否正确。 【应对策略】 （1）梳理判定逻辑链：构建 “ 平行四边形 → 矩形/菱形 → 正方形 ” 的判定框架，牢记三种最简判定路径：- 平行四边形+邻边相等+一个直角=正方形； 矩形+邻边相等（或对角线垂直）=正方形； 菱形+一个直角（或对角线相等）=正方形。 （2）解题步骤规范：证明题中，先判断已知四边形是平行四边形、矩形还是菱形，再补 ) ( 充对应条件完成正方形判定，不跳步推理。 （3）技巧选择：已知四边形是矩形，优先证 “ 一组邻边相等 ” 或 “ 对角线垂直 ” ；已知四边形是菱形，优先证 “ 一个角是直角 ” 或 “ 对角线相等 ” ，简化证明过程。 （4）避坑要点：判定正方形必须满足 “ 矩形+菱形 ” 双重特征，单一的矩形或菱形性质无法判定为正方形。 【提分小贴士】 1.夯实基础：牢记正方形定义、性质、判定的核心内容，对比平行四边形、矩形、菱形的异同，构建完整知识体系。 2.专项训练：针对性做定义辨析、性质计算、判定证明三类题型，总结解题思路与易错点。 3.灵活运用：解题时先分析题干条件，确定考查方向，再对应选用定义、性质或判定知识点，规范答题步骤，避免概念混淆、推理不严谨的问题 ) 四．强化基础 （一）选择题 1．正方形具有而菱形不一定有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角相等 D．邻边相等 【答案】B 【解析】正方形具有而菱形不一定有的性质是：对角线相等. 故答案为：B. 2．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（　　） A．平行四边形、菱形 B．矩形、菱形 C．矩形、正方形 D．菱形、正方形 【答案】D 【解析】∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，∴A、B、C不符合题意，D符合题意.故为：D. 3．下列4个命题：①对角线互相垂直平分的四边形是菱形；②对角线互相垂直的四边形是平行四边形；③对角线相等的四边形是矩形；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形.其中正确命题的个数是（　　）. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【解析】①对角线互相垂直平分的四边形是菱形，正确；②对角线互相垂直的四边形是平行四边形，不正确；③对角线相等的四边形是矩形，不正确；④对角线相等且互相垂直的四边形是正方形，不正确.故答案为：A. 4．如图，在正方形中，是对角线上一点，的延长线交于点，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D．16° 【答案】D 【解析】∵四边形ABCD为正方形∴ AB∥CD，AB=CB，∠ABE=∠CBE=45°，∠BCD=90° ∵ BE为公共边∴(SAS)∴ ∠BCE=∠BAE=53°∴ ∠DCE=37°∵ AB∥CD， ∴ ∠DFE=∠BAE=53°∴ ∠CEF=∠DFE-∠DCE=16°故答案为：D. 5．如图，正方形的周长为8个单位，在该正方形的4个顶点处分别标上0，2，4，6，先让正方形上表示数字6的点与数轴上表﹣3的点重合，再将数轴按顺时针方向环绕在该正方形上，则数轴上表示2025的点与正方形上的数字对应的是（　　） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【解析】因为正方形的周长为8个单位长度，所以正方形的边长为2个单位长度．表示2025的点与表示﹣1的点的距离等于2025﹣（﹣1）＝2026个单位长度，因为2026÷8＝253……2，所以253圈余2个单位长度，所以对应的数字是2.故答案为：B. 6．如图，在△ABC中，点E、D、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断中，正确的个数有（　　） ①四边形AEDF是平行四边形②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形④如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】因为DE∥CA，DF∥BA所以四边形AEDF是平行四边形．故①正确．∠BAC＝90°，四边形AEDF是平行四边形，所以四边形AEDF是矩形．故②正确．因为AD平分∠BAC，所以AE＝DE，又因为四边形AEDF是平行四边形，所以是菱形．故③正确．如果AD⊥BC且AB＝BC不能判定四边形AEDF是正方形，故④错误．故选：C． 7.在复习特殊的平行四边形时．某小组同学画出了如图关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①，有一个角是直角 B．③，对角线相等 C．②，对角线互相垂直 D．④，有一个角是直角 【答案】B 【解析】A、①有一个角是直角的平行四边形一定是矩形，故该转换条件填写正确，不符合题意；B、③对角线相等的矩形不一定是正方形，故该转换条件填写错误，符合题意；C、②，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故该转换条件填写正确，不符合题意；D、④，有一个角是直角的菱形是正方形，故该转换条件填写正确，不符合题意．故选：B． 8．如图，将正方形纸片折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】∵在正方形中，，，∴，∴， 由折叠可得，∵在正方形中，， ∴．故选：C． 9．如图，在正方形中，点E在边上，，垂足为F．若，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵四边形为正方形，∴，∴，∴，∴， ∵,∴，∵，垂足为F，，，∴，∴，∴，∴，∴，故选：C 10．如图，已知正方形 的边长为4，将正方形 沿 对折，使点 恰好落在边 的中点 处，点 的对应点为点 延长 交 的延长线于 ，连接对角线 交折痕 于Q，则线段 的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，过点F作FJ⊥AD于J，过点Q作QK⊥BC于K.∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A=∠ABC=90°，AB=AD=4，由翻折的性质可知，EG=DE，设EG=DE=x，在Rt△AEG中，则有22+（4-x）2=x2，∴x= ，∴EG=DE= ，∵EF⊥DG，∴∠FEJ+∠ADG=90°，∠ADG+∠AGD=90°，∴∠FEJ=∠AGD，∵∠A=∠FJE=90°，FJ=AB=AD，∴△FJE≌△DAG（AAS）， ∴EJ=AG=2，∴DJ=CF= ，∴BF=BC-CF= ，∵BD= AB=4 ，DE∥BF，∴BQ：DQ=BF：DE=7：5，∴BQ= BD= ，∵∠KBQ=45°，∴BK=QK= ，∵∠A=∠GBP=90°，AG=GB，∠AGE=∠BGP，∴△AGE≌△BGP（ASA），∴AE=PB= ，∴PK=PB+BK= ， ∴ .故答案为：C. （二）填空题 11．如图，点E是正方形内一点，是等边三角形，连接并延长交边于点，则 【答案】75度 【解析】∵四边形是正方形，∴，，∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴．故答案为： 12．如图, 在正方形中，，将绕点B顺时针旋转得到，此时与交于点E，则的长为 ． 【答案】 【解析】由题意可得出：，∴，∴， ∵在正方形中，，∴， ∴，∴， ∴在中，故答案为： 13．如图，正方形的边长为5，对角线交于点E，线段的长为2，在边上移动，连接，则的最小值是 ．    【答案】 【解析】如图，过E作，过G点作，∴四边形是平行四边形， ∴，∴，作E点关于的对称点，连接， ∴，∴当H、G、三点共线时，的值最小，此时， ∵，∴，∵，∴，∴，∴的最小值为，故答案为：． 14．如图，点是正方形的对角线上的一点，连接，过点作，垂足为，若，，则正方形的面积为__________. 【答案】196 【解析】如图，过点作于，则，∵四边形是正方形，是对角线，∴，，∵，∴， ∴四边形是矩形，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴四边形是正方形，∴，∵， ∴，∴，∴正方形的面积为， 15． 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________（只填写序号） 【答案】②③或①④ 【解析】有6种选法：（1）①②：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（2）②③：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；（3）①③：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（4）②④：由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；（5）①④：由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；（6）③④：由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确； 综上所述：错误的是：②③或①④； 故答案为：②③或①④． 16．如图所示，如果以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以AE为边作第三个正方形AEGM，…已知正方形ABCD的面积S1=1，按上述方法所作的正方形的面积依次为S2，S3，…Sn（n为正整数），那么第8个正方形面积S8=　　． 【答案】128 【解析】根据题意可得：第n个正方形的边长是第（n﹣1）个的倍；故面积是第（n﹣1）个的2倍，已知第一个面积为1；则那么第8个正方形面积S8=27=128．故答案为128． 17．如图为正三角形ABC与正方形DEFG的重叠情形，其中D、E两点分别在AB、BC上，且BD=BE．若AC=18，GF=6，则F点到AC的距离为　 ． 【答案】6﹣6． 【解析】如图，过点B作BH⊥AC于H，交GF于K，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=60°，∵BD=BE，∴△BDE是等边三角形，∴∠BDE=60°，∴∠A=∠BDE，∴AC∥DE，∵四边形DEFG是正方形，GF=6，∴DE∥GF，∴AC∥DE∥GF，∴KH=18×﹣6×﹣6=9﹣3﹣6=6﹣6，∴F点到AC的距离为6﹣6．故答案为：6﹣6． 18．如图，E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，P是边CD上任意一点（不与D重合），连接AP，作点D关于AP的对称点F，则线段EF长的最小值等于 　　． 【答案】3﹣6 【解析】如图，根据题意可知：∵E是边长为6的正方形ABCD的边BC的中点，∴AD＝AB＝BC＝6，∠ADC＝∠B＝∠C＝90°，CE＝BE＝3，∴AE＝＝＝3，以A为圆心，AD为半径画弧交AE于点F，由AD＝AF，F运动轨迹为圆弧，∴线段EF长的最小值等于AE﹣AF＝3﹣6．故答案为：3﹣6． 19．如图，以直角三角形ABC的斜边BC为边在三角形ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB＝4，AO＝6，则AC＝　16　． 【答案】16 【解析】在AC上截取CG＝AB＝4，连接OG，∵四边形BCEF是正方形，∠BAC＝90°，∴OB＝OC，∠BAC＝∠BOC＝90°，∴B、A、O、C四点共圆，∴∠ABO＝∠ACO，∵在△BAO和△CGO中，∴△BAO≌△CGO（SAS），∴OA＝OG＝6，∠AOB＝∠COG，∵∠BOC＝∠COG+∠BOG＝90°，∴∠AOG＝∠AOB+∠BOG＝90°，即△AOG是等腰直角三角形，由勾股定理得：AG＝，即AC＝12+4＝16．故答案为：16 20．如图，对角线AC将正方形ABCD分成两个等腰三角形，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，点P在正方形的边上，则满足PE+PF＝5的点P的个数是_______. 【答案】4 【解析】作点F关于BC的对称点M，连接CM，连接EM交BC于点P，如图所示：则PE+PF的值最小＝EM；∵点E，F将对角线AC三等分，且AC＝15，∴EC＝10，FC＝5＝AE，∵点M与点F关于BC对称，∴CF＝CM＝5，∠ACB＝∠BCM＝45°，∴∠ACM＝90°，∴EM＝＝＝5，同理：在线段AB，AD，CD上都存在1个点P，使PE+PF＝5；∴满足PE+PF＝5的点P的个数是4个；故选：B． （三）解答题 21.如图，四边形是正方形，E为对角线上一点，连接． (1)求证：； (2)当时，求四边形的面积． 解:（1）证明：∵四边形是正方形，∴，∵，∴，∴； （2）过作于点，∵四边形是正方形，∴，∵，∴为等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，，∴四边形的面积． 22．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE． （1）求证：AB⊥AE． （2）若点D为AB中点，求证：四边形ADCE是正方形 解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠BCD+∠ACD=90°，∵∠DCE=90°，∴∠ACD+∠ACE=90°，∴∠BCD=∠ACE，在△CBD与△CAE中， CB＝CA ∠BCD＝∠ACE CD＝CE ∴△CBD≌△CAE（SAS），∴∠B=∠CAE，∵∠B+∠BAC=90°，∴∠BAC+∠EAC=90°，∴AB⊥AE； （2）证明：∵点D为AB中点，∴∠ADC=90°，∵∠DCE=90°，∠BAE=90°，∴四边形ADCE是矩形，∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形 23．如图，E是矩形ABCD的边BC的中点，P是边AD上的一动点，PF⊥AE，PH⊥DE，垂足分别为F，H． (1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PHEF是矩形？并证明； (2)在(1)的条件下，动点P运动到什么位置时，矩形PHEF变为正方形？为什么？ 解：(1)当矩形ABCD的长是宽的2倍时，四边形PHEF是矩形． 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AB＝CD．∵E是BC的中点，∴AB＝BE＝EC＝CD，则△ABE，△DCE均是等腰直角三角形，∴∠AEB＝∠DEC＝45°，∴∠AED＝90°．在四边形PHEF中，∵∠PFE＝∠FEH＝∠EHP＝90°，∴四边形PHEF是矩形． (2)当点P是AD的中点时，矩形PHEF变为正方形．理由如下：由(1)可得∠BAE＝∠CDE＝45°， ∴∠FAP＝∠HDP＝45°．又∵∠AFP＝∠DHP＝90°，AP＝DP，∴Rt△AFP≌Rt△DHP，∴PF＝PH，∴矩形PHEF是正方形． 24．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且CE＝BF．连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC． (1)请判断：FG与CE的数量关系是________，位置关系是________； (2)如图②，若E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请做出判断并给予证明； (3)如图③，若E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断． 解：(1)相等　互相平行 (2)成立．证明：如图，过点G作GH⊥CB交其延长线于点H．∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°．∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE．在△HGE与△CED中，∠GHE＝∠DCE＝90°，∠HGE＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED，∴GH＝CE，HE＝CD．∵CE＝BF，∴GH＝BF．又∵GH∥BF且∠GHE＝90°，∴四边形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE．∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE． (3)成立．FG＝CE，FG∥CE． 25．如图，正方形ABCD中，AB＝4，点E是对角线AC上的一点，连接DE．过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接AG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）求AG+AE的值； （3）若F恰为AB中点，连接DF交AC于点M，请直接写出ME的长． 解：（1）如图，作EM⊥AD于M，EN⊥AB于N．∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD＝∠EAB，∵EM⊥AD于M，EN⊥AB于N，∴EM＝EN，∵∠EMA＝∠ENA＝∠DAB＝90°，∴四边形ANEM是矩形，∵EF⊥DE，∴∠MEN＝∠DEF＝90°，∴∠DEM＝∠FEN，∵∠EMD＝∠ENF＝90°，∴△EMD≌△ENF，∴ED＝EF，∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形． （2）∵四边形DEFG是正方形，四边形ABCD是正方形，∴DG＝DE，DC＝DA＝AB＝4，∠GDE＝∠ADC＝90°，∴∠ADG＝∠CDE，∴△ADG≌△CDE（SAS），∴AG＝CE，∴AE+AG＝AE+EC＝AC＝AD＝4． （3）如图，作EH⊥DF于H．∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝4，AB∥CD，∵F是AB中点，∴AF＝FB∴DF＝＝2，∵△DEF是等腰直角三角形，EH⊥AD，∴DH＝HF，∴EH＝DF＝，∵AF∥CD，∴AF：CD＝FM：MD＝1：2，∴FM＝，∴HM＝HF﹣FM＝，在Rt△EHM中，EM＝＝． 26．我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】 （1）试证明：． （2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】 （3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】 （4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 解:（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 又∵，∴，在△CDF和中，， ∴，∴． （2）如图，连接，∵，，∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∵，∴，∴， 故答案为：； （3）存在，理由：连接，∵，∴， ∴，在和中，，∴， ∴，，∵，， ∴，在和中，，∴， ∴，∵，∴，∴． （4）如图，当时，∵，，∴A、E、C在一条直线上，∵，∴，，；如图，当时， 同理可证得：，∴，∴，，∴B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M，∵，，∴，∴，∴，∴，， ∴，综上所述，的长为或4． 五．提分特训 （一）选择题 1．菱形，矩形，正方形都具有的性质是（　　） A．对角线相等且互相平分 B．对角线相等且互相垂直平分 C．对角线互相平分 D．四条边相等，四个角相等 【答案】C 【解析】A．不正确，菱形的对角线不相等；B．不正确，菱形的对角线不相等，矩形的对角线不垂直；C．正确，三者均具有此性质；D．不正确，矩形的四边不相等，菱形的四个角不相等；故选C． 2.在四边形ABCD中，O是对角线交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（ ） A. OA=OB=OC=OD，AC⊥BD B. AB∥CD，AC=BD C. AD∥BC，∠A=∠C D. OA=OC，OB=OD，AB=BC 【答案】：A 【解析】：A选项，OA=OB=OC=OD→对角线相等且平分→矩形，AC⊥BD→对角线垂直→菱形，故为正方形；B选项，只能判定是等腰梯形；C选项，只能判定是平行四边形；D选项，只能判定是菱形。 3.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充，使得平行四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④ 【答案】：B 【解析】：A选项，①邻边相等→菱形，②直角→矩形，菱形+矩形=正方形，正确；B选项，②直角、③对角线相等，均能判定平行四边形为矩形，无法得到菱形，不能判定正方形，错误；C选项，①菱形+③矩形=正方形，正确；D选项，②矩形+④菱形=正方形，正确。 4.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（　　） A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF 【答案】：D 【解析】：∵EF垂直平分BC，∴BE＝EC，BF＝CF，∵BF＝BE，∴BE＝EC＝CF＝BF，∴四边形BECF是菱形；当BC＝AC时，∵∠ACB＝90°，则∠A＝45°时，菱形BECF是正方形．∵∠A＝45°，∠ACB＝90°，∴∠EBC＝45°∴∠EBF＝2∠EBC＝2×45°＝90°∴菱形BECF是正方形．故选项A正确，但不符合题意；当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项B正确，但不符合题意；当BD＝DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项C正确，但不符合题意；当AC＝BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项D错误，符合题意．故选：D． 5．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由题意设CH=xcm，则DH=EH=（9﹣x）cm，∵BE：EC=2：1，∴CE=BC=3cm ∴在Rt△ECH中，EH2=EC2+CH2，即（9﹣x）2=32+x2，解得：x=4，即CH=4cm．故选：C． 6．如图，正方形ABCD的边长为10，AG＝CH＝8，BG＝DH＝6，则线段GH的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图，延长BG交CH于点E，∵AB＝CD＝10，BG＝DH＝6，AG＝CH＝8，∴AG2+BG2＝AB2，∴△ABG和△DCH是直角三角形，在△ABG和△CDH中，，∴△ABG≌△CDH（SSS），∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°，又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°，∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6，在△ABG和△BCE中，，∴△ABG≌△BCE（ASA），∴BE＝AG＝8，CE＝BG＝6，∠BEC＝∠AGB＝90°，∴GE＝BE﹣BG＝8﹣6＝2，同理可得HE＝2，在Rt△GHE中，GH＝＝＝2，故选：A． 7．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、点F分别是BC、AB上的点，连接DE、DF、EF，满足∠DEF＝∠DEC．若AF＝1，则EF的长为（　　） A．2.4 B．3.4 C． D． 【答案】B 【解析】如图，在EF上截取EG＝EC，连接DG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，在△DCE和△DGE中，，∴△DCE≌△DGE（SAS），∴∠DGE＝∠C＝90°，DG＝DC，∵∠A＝∠C＝90°，AB＝BC＝4，∴∠DGF＝∠A＝90°，DG＝DA，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴AF＝GF＝1，∵EG＝EC，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣EG，EF＝EG+FG＝EG+1，BF＝AB﹣AF＝4﹣1＝3，在Rt△BEF中，根据勾股定理，得BE2+BF2＝EF2，∴（4﹣EG）2+32＝（EG+1）2，解得EG＝2.4，∴EF＝EG+FG＝2.4+1＝3.4．∴EF的长为3.4．故选：B． 8．如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，PE⊥BC，PF⊥CD，E，F分别为垂足，连结AP，EF，则下列命题：①若AP＝5，则EF＝5；②若AP⊥BD，则EF∥BD；③若正方形边长为4，则EF的最小值为2，其中正确的命题是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【解析】延长EP交AD于Q，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠C＝90°，AD∥BC，∠BDC＝45°，∵PF⊥CD，∴∠DPF＝45°，∴DF＝PF，∵PE⊥BC，∴PQ⊥AD，四边形CEPF为矩形，∴∠AQP＝90°，EC＝PF＝DF，∴∠AQP＝∠C，AQ＝FC，四边形PQDF为正方形，∴DF＝QP，∴CE＝QP，在△AQP和△FCE中，，∴△AQP≌△FCE（SAS），∴AP＝EF，若AP＝5，则EF＝5，故①正确；若AP⊥BD，则∠PAQ＝45°，∵△AQP≌△FCE，∴∠EFC＝∠PAQ＝45°，∵∠BDC＝45°，∴∠EFC＝∠BDC，∴EF∥BD，故②正确；当AP⊥BD时，AP有最小值，此时P为BD的中点，∵AB＝AD＝4，∴BD＝， ∴AP＝BD＝，∵EF＝AP，∴EF的最小值为，故③错误，故选：A． 9．如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB边的中点，点F在BC边上，点B关于直线EF的对称点记为B'，连接B'D，B'E，B'F．当点F在BC边上移动使得四边形BEB'F成为正方形时，B'D的长为（　　） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【解析】如图，连接BB'，连接BD，∵四边形ABCD是正方形，∴BD＝AB＝2，BD平分∠ABC，∵E为AB边的中点，∴AE＝BE＝1，∵四边形BEB'F是正方形，∴BB'＝BE＝，BB'平分∠ABC，∴点B，点B'，点D三点共线，∴B'D＝BD﹣BB'＝，故选：A． 10．如图边长为2的正方形EFGH在边长为6的正方形ABCD所在平面上平移，在平移过程中，始终保持EF∥AB．线段CF的中点为M，DH的中点为N，则线段MN的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，过点M作MO⊥ED与O，则MO是梯形FEDC的中位线，如图：∴EO＝OD＝4，MO＝（EF+CD）＝4，∵点N、M分别是AD、FC的中点，∴AN＝ND＝3，∴ON＝OD﹣ND＝4﹣3＝1．在Rt△MON中，MN2＝MO2+ON2，即MN＝＝＝．故选：C． （二）填空题 11．已知正方形ABCD，以∠BAE为顶角，边AB为腰作等腰△ABE，连接DE，则∠DEB＝　　． 【答案】135°或45° 【解析】如图1，设∠BAE＝α，∴∠DAE＝90°﹣α，∵AB＝AE，∴∠AEB＝90°﹣，∵AD＝AE，∴∠AED＝＝45°+，∴∠DEB＝∠AEB+∠AED＝135°，如图2，设∠BAE＝α，∴∠DAE＝90°﹣α，∵AB＝AE，∴∠AEB＝90°﹣，∵AD＝AE，∴∠AED＝＝45°﹣，∴∠DEB＝∠AEB﹣∠AED＝45°，综上所述，∠DEB＝135°或45°，故答案为：135°或45°． 12．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长BC到点E，使CE＝1，连接DE，动点P从点A出发以每秒1个单位的速度沿AB→BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当△ABP和△DCE全等时，t的值为　 　． 【答案】3s或7s 【解析】因为在△ABP与△DCE中，，∴△ABP≌△DCE，由题意得：BP＝t﹣2＝1，所以t＝3，因为在△BAP与△DCE中，，∴△BAP≌△DCE（SAS），由题意得：AP＝8﹣t＝1，解得t＝7．所以，当t的值为3或7秒时．△ABP和△DCE全等．故答案为3s或7s 13．如图正方形纸片的边长为，点E是边的中点，将这张正方形纸片折叠，使点C落到边上的点E处，折痕交边于点G，交边于点F．则的值是____. 【答案】 【解析】∵正方形边长为，是中点，∴设，则，由折叠性质得．在中，由勾股定理：， 即，，，．∴，，． 14．如图所示摆放的个正方形，面积分别为，，，，，其中，，，则____. 【答案】8 【解析】如图，，，， 又，，，，，，同理可得：， ， 15.如图，以△ABC的三条边为边，分别向外作正方形，连接EF，GH，DJ，如果△ABC的面积为8，则图中阴影部分的面积为_________. 【答案】24 【解析】过E作EM⊥FA交FA的延长线于M，过C作CN⊥AB交AB的延长线于N，∴∠M＝∠N＝90°，∠EAM+∠MAC＝∠MAC+∠CAB＝90°，∴∠EAM≌△CAN，∴EM＝CN，∵AF＝AB，∴S△AEF＝AF•EM，S△ABC＝AB•CN＝8，∴S△AEF＝S△ABC＝8，同理S△CDJ＝S△BHG＝S△ABC＝8，∴图中阴影部分的面积＝3×8＝24， 16．如图，在正方形ABCD中，过B作一直线与CD相交于点E，过A作AF垂直BE于点F，过C作CG垂直BE于点G，在FA上截取FH＝FB，再过H作HP垂直AF交AB于P．若CG＝3．则△CGE与四边形BFHP的面积之和为　 　． 【答案】9 【解析】延长AF交BC于点K，∵正方形ABCD，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∴∠CBE+∠ABF＝90°，∴AF⊥BE，∴∠AFB＝90°，∴∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠CBE＝∠BAF，又∠ABC＝∠BCE＝90°，∴△ABF≌△BEC，∴BF＝CG＝3（全等三角形对应高相等），∴BF＝FH＝3， 作射线QH，过B作BQ⊥HQ于点Q，∴∠BFH＝∠QHF＝∠Q＝90°，且BF＝FH，∴四边形QBFH为正方形，且面积为32＝9，∴BQ＝BF＝CE＝3，∵∠PBQ+∠PBE＝90°，且∠PBE＝∠BEC，且∠BEC+∠GCE＝90°，∴∠BPQ＝∠ECG，∴△BPQ≌△CEG，∴S△CGE+S四边形BPHF＝S△BPQ+S四边形BPHF＝S正方形BQHF＝9．故答案为：9 17．如图，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为3和2，点E、G分别为AD、CD边上的点，H为BF的中点，连接HG，则HG的长为 　 　． 【答案】 【解析】延长GF交AB于P，过H作MN⊥CD于M，交AB于N，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，BC⊥CD，∴MN⊥AB，∵四边形DEFG是正方形，∴FG⊥CD，∴FG∥HM∥BC， ∵H是BF的中点，∴PN＝BN＝CM＝GM＝CG＝×（3﹣2）＝，∴HN是△BFP的中位线，∴HN＝FP＝，∴MH＝3﹣＝，Rt△GHM中，由勾股定理得：GH＝＝＝，故答案为：． 18．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC、CD上，连接AE，BF．若AB＝，BE＝DF，则AE+BF的最小值为 　 　． 【答案】5． 【解析】如图，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝90°，在△ABE和△ADF中，，∴△ABE≌△ADF（SAS），∴AE＝AF，∴AE+BF＝AF+BF， 作点A关于DC的对称点H，连接FH，BH，∴AF＝FH＝AE，∴AE+BF＝FH+BF，∴点F，点B，点H三点共线时，AE+BF的最小值为BH，∴BH＝＝＝5，故答案为：5． 19．如图，将正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点C的坐标是（3，2），则点A的坐标是 　 　． 【答案】（﹣2，3） 【解析】如图，作AD⊥y轴于点D，CE⊥x轴于点E，则∠ADO＝∠CEO＝90°，∵四边形OABC是正方形，∴∠AOC＝∠DOE＝90°，OA＝OC，∴∠AOD＝∠COE＝90°﹣∠COD，在△AOD和△COE中，，△AOD≌△COE（AAS），∵C（3，2），∴OD＝OE＝3，AD＝CE＝2， ∵点A在第二象限，∴A（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）． 20．如图，在正方形ABCD中，，E，F分别为边AB，BC的中点，连接AF，DE，点N，M分别为AF，DE的中点，连接MN．则MN的长为 　 　． 【答案】1 【解析】连接AM，延长AM交CD于G，连接FG，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，∠C＝90°，∴∠AEM＝∠GDM，∠EAM＝∠DGM，∵M为DE的中点，∴ME＝MD， 在△AEM和GDM中，，∴△AEM≌△GDM（AAS），∴AM＝MG，AE＝DG＝AB＝CD， ∴CG＝CD＝，∵点N为AF的中点，∴MN＝FG，∵F为BC的中点，∴CF＝BC＝， ∴FG＝＝2，∴MN＝1，故答案为：1． （三）解答题 21．如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AE⊥BF，垂足为M． （1）若矩形ABCD为正方形，求证：AE＝BF； （2）若AE＝BF，求证：矩形ABCD为正方形． 解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝BC，∴∠ABF+∠CBF＝90°，又∵AE⊥BF，∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中， ，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF； （2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠C＝90°，∴∠ABF+∠CBF＝90°，∵AE⊥BF， ∴∠BAE+∠ABF＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（AAS），∴AB＝BC，又∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是正方形． 22．在正方形ABCD中，点P是线段CB延长线上一点，连接AP，将线段PA绕点P顺时针旋转90°，得到线段PE，连接CE．过点E作EF⊥BC于F． （1）在图1中补全图形； （2）①求证：EF＝CF． ②猜测CE，CP，CD三条线段的数量关系并证明； （3）若将线段PA绕点P逆时针旋转90°，其它条件不变，直接写出CE，CP，CD三条线段的数量关系为　 　． 解：（1）补全图形如图1所示： （2）①证明：如图1所示∵线段PA绕点P顺时针旋转90°得到线段PE，∴PA＝PE，∠APE＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABP＝∠ABC＝90，AB＝BC，∵EFBC于F，∴∠PFE＝90°＝∠ABP，∴∠EPF+∠PEF＝90，∠APB+∠EPF＝90，∴∠APB＝∠PEF，在△APB和△PEF中， ，∴△APB≌△PEF（AAS），∴PB＝EF，AB＝PF，∵AB＝BC，∴BC＝PF，∴PB＝CF，∴EF＝CF； ②结论：CP﹣CD＝CE．理由：∵CD＝CB，∴CP﹣CD＝CP﹣CB＝PB＝CF，∵EF＝CF，∠CFE＝90°，∴CF＝CE，∴CP﹣CD＝CE； （3）CE＝（CD−CP）或CE＝（CD+CP） 23.（1）如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝45°，连接EF，探究BE、DF、EF之间的数量关系，并说明理由； （2）如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、DC上的点，且∠EAF＝∠BAD，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由． 解：（1）如图1，EF＝BE+DF，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠D＝∠ABM＝90°，又∵BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵∠EAF＝45°，∴∠1+∠3＝45°，∴∠2+∠3＝∠MAE＝45°＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF， （2）如图2，EF＝BE+DF，仍然成立，理由如下：延长CB到M，使得BM＝DF，连接AM， ∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠4＝180°，∴∠D＝∠4，又∵AB＝AD，BM＝DF，∴△ADF≌△ABM（SAS），∴AF＝AM，∠1＝∠2，∵，∴∠1+∠3＝∠EAF，∴∠MAE＝∠2+∠3＝∠EAF，又∵AE＝AE，∴△EAM≌△EAF（SAS），∴EF＝EM＝BE+BM，又∵BM＝DF，∴EF＝EB+DF． 24．【特例感知】如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为AB，AD的中点，CF交于点G． （1）易证，可知DE、CF的关系为______________；（直接填写结果） （2）连接BG，若，求BG的长． 【初步探究】如图2，在正方形ABCD中，点E为AB边上一点，分别交AD、BC于F、G，垂足为O，求证：． 【基本应用】如图3，将边长为6的正方形ABCD折叠，使得点A落在边CD的中点M处，折痕为PQ，点P、Q分别在边AD、BC上，求PQ的长． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵点E，F是AB，AD的中点，∴AE=AB，DF=AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，，∴△ADE≌△DCF（SAS），∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°， ∴DE⊥CF，故答案为：DE=CF，DE⊥CF；； （2）延长DE交CB的延长线于H，∵，∴，又∵，，∴，∴，∴，又∵，∴； 【初步探究】证明：如图2，过点C作，交AD于H，交DE于N，∵，， ∴四边形FHCG是平行四边形，∴，∵，，∴， ∴，∴，又∵，，∴，∴； 【基本应用】如图3，过点Q作于H，则四边形ABQH中，由翻折变换的性质得，∵，，∴ ∵四边形ABCD是正方形，∴，∴，在和中，∴，∴，∵点M是CD的中点，∴，在中，由勾股定理得，， ∴的长为. 25.如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，EF⊥AD于点F，DG⊥AE于点G，DG与EF交于点O． （1）求证：四边形ABEF是正方形； （2）若AD＝AE，求证：AB＝AG； （3）在（2）的条件下，已知AB＝1，求OD的长． 解：（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形， ∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∴四边形ABEF是正方形； （2）∵AE平分∠BAD，∴∠DAG＝∠BAE，在△AGD和△ABE中，， ∴△AGD≌△ABE（AAS），∴AB＝AG； （3）∵矩形ABCD，∴∠BAF＝∠ABE＝90°，∵EF⊥AD，∴四边形ABEF是矩形，∵AE平分∠BAD，∴EF＝EB，∠BAE＝∠DAG＝45°，∴四边形ABEF是正方形；∴AB＝AF＝1，∵△AGD≌△ABE，∴DG＝AB＝AF＝AG＝1，∴AD＝，∠DAG＝∠ADG＝45°，∴DF＝﹣1，∵EF⊥AD，∴∠FDO＝∠FOD＝45°，∴DF＝FO＝﹣1，∴DO＝DF＝2﹣． 26．（如图，四边形ABCD是正方形，点O为对角线AC的中点． （1）问题解决：如图①，连接BO，分别取CB，BO的中点P，Q，连接PQ，则PQ与BO的数量关系是　 　，位置关系是　 　； （2）问题探究：如图②，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到的三角形，连接CE，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．判断△PQB的形状，并证明你的结论； （3）拓展延伸：如图③，△AO'E是将图①中的△AOB绕点A按逆时针方向旋转45°得到的三角形，连接BO'，点P，Q分别为CE，BO'的中点，连接PQ，PB．若正方形ABCD的边长为1，求△PQB的面积． 解:（1）∵点O为对角线AC的中点，∴BO⊥AC，BO＝CO，∵P为BC的中点，Q为BO的中点，∴PQ∥OC，PQOC，∴PQ⊥BO，PQBO；故答案为：PQBO，PQ⊥BO． （2）△PQB的形状是等腰直角三角形．理由如下：连接O'P并延长交BC于点F，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠ABC＝90°，∵将△AOB绕点A按顺时针方向旋转45°得到△AO'E，∴△AO'E是等腰直角三角形，O'E∥BC，O'E＝O'A，∴∠O'EP＝∠FCP，∠PO'E＝∠PFC，又∵点P是CE的中点，∴CP＝EP，在△O′PE和△FPC中，∴△O'PE≌△FPC（AAS），∴O'E＝FC＝O'A，O'P＝FP，∴AB﹣O'A＝CB﹣FC，∴BO'＝BF，∴△O'BF为等腰直角三角形．∴BP⊥O'F，O'P＝BP，∴△BPO'也为等腰直角三角形．又∵点Q为O'B的中点，∴PQ⊥O'B，且PQ＝BQ，∴△PQB的形状是等腰直角三角形； （3）延长O'E交BC边于点G，连接PG，O'P．∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，∴∠ECG＝45°，由旋转得，四边形O'ABG是矩形，∴O'G＝AB＝BC，∠EGC＝90°，∴△EGC为等腰直角三角形．∵点P是CE的中点，∴PC＝PG＝PE，∠CPG＝90°，∠EGP＝45°，在△O'GP和△BCP中,，∴△O'GP≌△BCP（SAS），∴∠O'PG＝∠BPC，O'P＝BP，∴∠O'PG﹣∠GPB＝∠BPC﹣∠GPB＝90°，∴∠O'PB＝90°，∴△O'PB为等腰直角三角形，∵点Q是O'B的中点，∴PQO'B＝BQ，PQ⊥O'B，∵AB＝1，∴O'A，∴O'B，∴BQ．∴S△PQBBQ•PQ． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $