4.5 等腰三角形 教学设计 2025-2026学年湘教版数学八年级上册

湘教版数学 八年级上册 4.5 等腰三角形（第一课时） 学情分析： 学生已有三角形、轴对称相关基础，具备初步几何抽象思维，能完成简单推理论证，动手探究积极性较高。但几何思维灵活性不足，逻辑推理薄弱，几何语言书写不规范，对三线合一理解不够透彻。添加辅助线的经验欠缺，解题没有方法规律，角度边长计算易忽略分类讨论，审题不够细致。教学中可借助折叠，直观感知，规范几何证明格式，总结常见辅助线作法，帮助学生理清推理逻辑，提升综合解题能力。 教学目标： 1.探索和掌握等腰三角形的性质，并能运用它们解决相关的几何计算、证明和实际应用问题，规范几何推理的书写步骤。 2.经历数学知识的发生过程，体会合情推理与演绎推理的有机结合，发展逻辑思维、严谨推理与数学表达能力。 3.感受等腰三角形在建筑中的应用，体会几何图形的对称美与数学的应用价值，培养学生的审美意识和数学核心素养。 教学重难点： 重点：动手探索并掌握等腰三角形的性质。 难点：利用等腰三角形“三线合一”的性质解决几何问题。 教学过程： 课前猜谜游戏：形状像座山，稳定性能强，三竿首尾连，两竿一样长。 （双击打开） 一、情境导入 首先，我们来观看一段视频（播放视频） 我国建筑物中经常出现等腰三角形，古代劳动人民利用水准仪来测房梁是否水平，当铅锤线经过房梁底边的中点时，房梁BC是水平的。你知道其中的原理吗？让我们带着这个问题，开始今天的学习之旅吧！ 二、探究新知 1.动手实践 如图，请同学们取一张长方形的纸，对折，在靠近折线的地方画一条线，沿着这条线剪下来，展开后，得到的是一个什么图形？ 2.发现规律 把剪出的等腰三角形记为△ABC，折痕记为AD，沿折痕AD对折，找出其中重合的线段和角，填入下表： 3.提出猜想 （1）沿折痕AD对折后，左右图形重合，所以等腰三角形是轴对称图形。 （2）∠B=∠C，所以等腰三角形具有两底角相等的性质。 （3）∠BAD=∠CAD，AD是顶角BAC的平分线；∠ADB=∠ADC=90°，AD是底边上的高；BD=CD，AD是底边BC上的中线。 4.验证猜想： 已知：在等腰△ABC中，AB =AC, AD是△ABC的中线. 求证： ∠B = ∠C，AD是顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线. 证明：由于AD是底边BC上的中线，则BD=CD. 在△ ABD和△ ACD中， AB=AC，BD=CD，AD=AD, 所以△ ABD≌ACD(边边边). 因此∠B=∠C,∠BAD=∠CAD, ∠ADB=∠ADC=90°. 即AD是ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线. 5.得出性质 “等边对等角”，用几何语言描述： 在△ABC中，∵ AC=AB（已知 ）∴∠B=∠C（等边对等角） “三线合一”，用几何语言描述：在△ABC中，AB=AC， 若AD⊥BC,则∠BAD=∠CAD，BD=DC； 若∠BAD=∠CAD,则BD=DC，AD⊥BC； 若BD=CD，则AD⊥BC，∠BAD=∠CAD。 （由“一线”知“两线”） 等腰三角形的性质定理: ①等腰三角形是轴对称图形，对称轴是顶角平分线所在的直线。 ②等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”。 ③等腰三角形底边上的高、中线及顶角平分线重合（三线合一）。 6.思考：等腰三角形中，底角平分线、腰上的高和中线会不会三线合一？ 在等腰三角形中，必须是顶角的平分线、底边上的高、中线，才能使用“三线合一”的性质。 7.典例精析 例1 如图，在△ABC中，AB=AC，D为AB的中点，点E在AC上，且BE=BC=AE. （1）求证：ED⊥AB； （2）求△ABC各角的度数. 解:（1）因为BE=AE，D为AB的中点， 所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线， 从而ED⊥AB（三线合一）. （2）因为AB=AC，BE=BC=AE， 所以∠ABC＝∠C,∠C＝∠1，∠A＝∠2 (等边对等角) 于是∠1=∠A＋∠2 = 2∠A， 从而∠ABC=∠C=∠1 = 2∠A. 又∠A＋∠ABC＋∠C = 180°,于是 ∠A＋2∠A＋2∠A = 180°, 从而∠A＝36°，因此∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°. 三、当堂检测 1.等腰三角形的一个角为50°,那么它的底角为 . 2.等腰三角形的两边分别为6、9，那么它的周长为 . 3.如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAC=49°，BC=4，求∠BAD的度数及DC的长. 4.如图，在△ABC中，AB=AC，点D，E在边BC上，且AD=AE. 求证：BD=CE. 四、解决问题 现在你能用所学知识解释水准仪是怎么帮助工匠们测房梁是否水平的吗？ 解：已知△ABC是等腰三角形，∵D是BC中点， ∴BD=CD,∴AD⊥BC.（三线合一）， 而铅垂线AD与地平线l垂直，所以房梁BC是水平的。 五、课堂总结 图形 对称性 边 角 特殊性质 等腰三角形 轴对称图形 （1条对称轴） 两腰相等 两底角相等 底边上的高、中线及顶角平分线重合 （三线合一） 浯溪公园位于祁阳市湘江大桥的南端，以其丰富的历史文化和自然景观而闻名。公园内最引人注目的文化景观是浯溪碑林，这里保存了唐代道州刺史元结的撰文、大书法家颜真卿书写的《大唐中兴颂》碑文。 “心底无私天地宽”是陶铸先生一生的真实写照，就像松树的风格，是他一生坚定的信念。 六、作业布置 基础作业：教材第135页 第2、3题 提升作业：教材第136页 第9题 画图作业：任意画一个三边都不相等的三角形，在每条边上作中线、高和该边对角的平分线，会有三线合一吗？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $