4.5等腰三角形（1）教学设计2025-2026学年 湘教版（2024）八年级数学上册

4.5等腰三角形（1）教学设计 课题 4.5等腰三角形（1） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级上册 教材分析 等腰三角形的判定是初中数学的一个重要定理,也是本章的重点内容。纵观整个初中平面几何教材，它是在学生掌握了平行线、全等三角形、轴对称等平面几何知识，并且具备了初步的观察、猜想、操作等活动经验的基础上讲授的.这一节课既是前面所学知识的继续，又是后面学习平行四边形、菱形、矩形、正方形及圆等知识的基础，起着承前启后的作用。 核心素养 能力培养 1. 经历“操作——观察——发现——归纳——应用”的知识形成过程,培养学生的分析推理及解决问题的能力； 2. 经历动手操作方法验证“等角对等边”,提高他们的归纳猜想能力； 3. 培养学生“转化”的数学思想、应用思维及合作学习的能力. 4. 运用等腰三角形的性质定理及判定定理进行有关的计算，提高运算能力。 教学目标 1．通过动手操作，理解等腰三角形的对称性，掌握等腰三角形的性质及判定定理。 2．感受等腰三角形的对称美，发展形象思维。 3.能运用等腰三角形的性质定理及判定定理解决一些实际问题. 教学重点 理解等腰三角形的性质定理及判定定理. 教学难点 运用等腰三角形的性质定理及判定定理解决实际问题. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新知导入 生活中的等腰三角形 学生观察图片。 通过图片展示，引出本课内容，为新知识的学习做铺垫。 新知探究 等腰三角形作为一种特殊三角形，除了具有一般三角形的性质外，还具有哪些特殊性质呢？ 思考: 在等腰 △ABC 中，已知 AB = AC，AD 是 △ABC 的中线，则 ∠B =∠C吗？∠BAD = ∠CAD吗？AD是△ABC的高线吗？ 解：如图，由于 AD 是等腰 △ABC 的底边 BC 上的中线，则BD = CD. 在△ABD和△ACD中， 所以△ABD ≌ △ACD（边边边）. 因此∠B = ∠C，∠BAD = ∠CAD，∠ADB = ∠ADC = 90°. 即AD是△ABC的顶角∠BAC的平分线，是底边BC上的高线. 等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”)，底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 应用格式： ∵AB=AC，AD⊥BC, ∴BD=CD，∠BAD=∠CAD (三线合一) 你能找出等腰三角形的对称轴吗？ 等腰三角形的对称轴就是底边上的高线、中线及顶角平分线所在的直线. 例1 如图，在 △ABC 中，AB = AC，D为AB的中点，点E在AC上，且BE = BC = AE. （1） 求证：ED ⊥ AB； （2） 求△ABC各角的度数. 解：（1） 因为BE = AE，D为AB的中点，所以ED是等腰△EAB的边AB上的中线，从而ED ⊥ AB（三线合一）. （2） 因为AB = AC，BE = BC = AE， 所以∠ABC = ∠C = ∠1，∠A = ∠2（等边对等角）. 于是∠1 = ∠A + ∠2 =2 ∠A， 从而∠ABC = ∠C = ∠1 =2 ∠A. 又∠A + ∠ABC + ∠C = 180°， 于是∠A + 2 ∠A + 2 ∠A = 180°， 从而 ∠A = 36°. 所以∠A，∠ABC，∠C的度数分别为36°，72°，72°. 议一议: 如图所示的三角测平架中，AB = AC，在BC的中点D挂一个重锤，自然下垂，调整架身，使点A恰好在铅垂线上. （1） AD与BC是否垂直？试说明理由. （2） 这时BC处于水平位置，为什么？ 解：（1）垂直. 在△ABD与△ACD中， ∴△ABD≌△ACD（SSS） ∴∠BDA=∠CDA=90° ∴AD⊥BC （2）由等腰三角形“三线合一”可知BC处于水平位置. 根据等腰三角形的定义，如果一个三角形的两条边相等，那么就可判定这个三角形是等腰三角形. 除此之外，还有其他判定方法吗？ 有两个角相等的三角形是等腰三角形. 任意画∠EBC，在线段BC的同侧，以C为顶点作 ∠FCB， 使 ∠FCB = ∠EBC， BE 与 CF 交 于 点A，得到△ABC，如图所示 . 用圆规量一量AB和AC，它们相等吗？由此，你能发现什么？ 可以发现AB = AC，从而△ABC是等腰三角形. 下面对探究得出的结论进行证明. 如图，在△ABC中，∠B = ∠C， 以过点 A 的一条直线为折痕对折，使得射线 AC 与射线 AB 重合，折痕与BC的交点记作D，则AD为∠BAC的平分线. 在△ABD和△ACD中， 所以△ABD ≌ △ACD（角角边）. 从而AB = AC，因此△ABC是等腰三角形. 等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”） 应用格式：在△ABC 中， ∵∠B=∠C，（已知） ∴AC=AB.  （等角对等边） 即△ABC 为等腰三角形. 例2 如图，在△ABC 中，AB = AC，D，E 分别是 AB，AC 上的点，且DE ∥ BC. 求证：△ADE为等腰三角形. 证明：因为AB = AC， 所以∠B = ∠C（等边对等角）. 又因为DE ∥ BC， 所以∠ADE = ∠B，∠AED = ∠C. 因此∠ADE = ∠AED. 于是△ADE为等腰三角形（等角对等边）. 例3 求证:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形. 已知:如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD// BC.求证:AB=AC. 分析：要证明AB=AC，可先证明∠B=∠C. 因为∠1=∠2，所以应想办法找出∠B，∠C与∠1，∠2的关系. 证明：因为AD// BC， 所以∠1=∠B(两直线平行，同位角相等)， ∠2=∠C(两直线平行，内错角相等). 又因为∠1=∠2,所以∠B=∠C. 因此AB=AC(等角对等边). 学生思考作答。 学生在老师的引导下归纳出 等腰三角形 的性质，并理 解符号语的 表达形式. 学生独立解答. 学生思考，猜想，与教师一起证明。 学生在老师的引导下归纳出 等腰三角形 的判定定理。 学生独立证明，小组交流答案。 探究等腰三角形的性质。 理解并归纳等腰三角形的性质定理。 应用等腰三角形的性质解决实际问题。 猜想探究等腰三角形的判定定理。 理解并掌握等腰三角形的判定定理。 应用等腰三角形判定定理解决实际问题。 课堂练习 1.如图，在△ABC 中，AB = AC，AD 为 BC 边上的高，∠BAC = 49°，BC = 4，求∠BAD的度数及DC的长. 解：∵AB=AC, AD为BC边上的高， ∴∠B=∠C,BD=CD,∠BAD=∠CAD. ∵∠BAC=49°，BC=4， ∴∠BAD=24.5°， DC=2. 2.如图，在△ABC中，AB=AD=DC,∠BAD=30°.求∠B和∠C的度数. 解：∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB， 又∵∠BAD=30°， ∴ ∠B=(180°-30°)÷2=75°. ∵AD=DC， ∴∠C=∠ADC， 又∵∠ADB=∠B=75°，且∠ADB=∠C+∠ADC ∴ ∠C=75°÷2=37.5°. 3.如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°.分别计算∠1，∠2的度数，并找出图中所有的等腰三角形. 解：∵∠DBC=36°，∠C = 72°,∠1+∠C+∠DBC=180° ∴∠1=180°-∠DBC-∠C=180°-36°- 72°=72° 又∵∠1=∠2+ ∠A, ∠A=36° ∴ ∠2= ∠1-∠A=72°-36°=36° ∵ ∠ABC= ∠2+ ∠DBC = 72°,∠C = 72°，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形. ∵∠2=36°，∠A=36°,∴AD=BD，△ABD是等腰三角形. ∵∠1 = 72°,∠C=72°，∴BD =BC，△BCD是等腰三角形. 4.等腰三角形ABC的底角∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O. 求证：△OBC为等腰三角形. 证明:如图，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴ ∠ABD =∠DBC= ∠ABC ∠ACE =∠ECB= ∠ACB . 又∵ △ABC是等腰三角形， ∴ ∠ABC =∠ACB， ∴ ∠DBC =∠ECB， ∴ △OBC是等腰三角形. 学生独立解答，小组交流讨论，派代表板书答案。 通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 课堂小结 1.等腰三角形的性质定理： 等腰三角形的两个底角相等（简称 “等边对等角”)，底边上的高线、中线及顶角平分线重合（简称“三线合一”). 2.等腰三角形的判定定理： 有两个角相等的三角形是等腰三角形（简称 “ 等角对等边”） 学生回顾总结，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。 课后练习 必做题：教材习题4.5--学而时习之 1题、2题、3题、5题、6题 选做题：教材习题4.5--温故而知新 9题、10题 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 学科网（北京）股份有限公司 $