4.6 线段的垂直平分线（1） 教学设计 2025--2026学年湘教版八年级数学上册

4.6线段的垂直平分线（1） 教学设计 课题 4.6线段的垂直平分线（1） 单元 第4单元 学科 数学 年级 八年级上册 教材分析 本课时是湘教版八年级上册第四章三角形第六节线段的垂直平分线第一课时的内容，线段的垂直平分线是几何中的重要概念。本课时是在学生学习了全等三角形和轴对称的性质的基础上进行的，在计算、证明和作图中有着广泛的应用，可以简化证明，方便计算. 核心素养 能力培养 1.探索并证明线段的垂直平分线的性质定理和性质定理的逆定理，感受证明的必要性，经历观察，猜想，论证，归纳等过程，感受转化、归纳等数学思想，发展学生的推理能力，体会逻辑推理的数学方法； 2.能灵活运用线段的垂直平分线的性质定理及性质定理的逆定理解题，经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力，丰富对几何图形的认识； 3.通过研究解决问题的过程，积极参与数学活动，培养学生合作交流意识与探究精神。 教学目标 1.理解线段垂直平分线的性质定理及性质定理的逆定理; 2.能利用线段的垂直平分线的性质及性质定理的逆定理进行简单的推理、判断、计算. 3.能够证明线段垂直平分线的性质定理并能够用它们解决问题 4.通过研究解决问题的过程,积极参与数学活动，培养学生合作交流意识与探究精神。 教学重点 掌握线段垂直平分线的性质定理及性质定理的逆定理. 教学难点 线段垂直平分线的性质定理及性质定理的逆定理的综合运用. 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 复习回顾 将矩形纸片进行对折，你会发现什么？ 折叠后两图形全等 折叠的实质就是轴对称变换 直线l上的点，到A、B距离相等。 直线l上的点，到C、D距离相等。 学生思考回答。 用旧知回顾的方式设置导入，培养学生的数学知识整体性思维，加强本节课与前面所学的联系，由浅入深增强学生的学习积极性. 新知探究 我们已经知道，成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分. 同时还知道，平面内点 P 与点 P'关于一条直线对称，则线段PP'被这条直线垂直平分. 垂直平分线（或中垂线）： 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）. 图中，直线 l 就是线段 PP'的垂直平分线. 如图，在线段 AB 的垂直平分线 l上任取一点 P，连接 PA，PB，则线段 PA 与 PB 的长度相等吗？ 解：设D是线段AB的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点D在直线l上，并且PD ⊥ AB， 于是∠ADP = ∠BDP = 90°. 在△PAD和△PBD中， 所以△PAD ≌ △PBD（边角边）. 因此PA = PB. 当 P 是线段 AB 的中点（即点 P 与点 D 重合）时，结论同样成立. 线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 用几何语言表示为： ∵ CA =CB，l⊥AB， （点P在线段AB的垂直平分线上） ∴ PA =PB． 说一说: 线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么？ 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 下面来证明上述逆命题是真命题. 如 图， 当 点 M 不 在 线 段 AB 上 时 ， 连 接 MA，MB， 由于MA =MB，则△MAB是等腰三角形. 取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是 △MAB 的底边AB上的中线，也是AB上的高线， 因此，直线 MD是线段 AB的垂直平分线，从而点 M 在线段AB的垂直平分线上. 当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点M 在 AB 的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 应用格式： ∵PA =PB， ∴点P 在AB 的垂直平分线上． 例1 如图，在△ABC中，AB，BC的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC. 求证：点 O在 AC的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA = OB（线段垂直平分线的性质定理）. 同理可得OB = OC. 于是OA = OC. 所以点O在AC的垂直平分线上（线段垂直平分线的性质定理的逆定理） 证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种： 一是作垂直，证平分. 二是连中点，证垂直. 证明一条直线是线段的垂直平分线，必须证明直线上有两个点都在垂直平分线上. 学生听讲。 学生猜想验证。 学生小组讨论作答。 学生仔细审题后作答。 在教师的引导下回忆，总结线段垂直平分线的定义。 探究线段垂直平分线的性质定理；观察、探究、猜想、归纳并验证是数学学习的一种重要方法,让学生经历这一完整过程,感受 证明的必要性. 探究线段垂直平分线的性质定理的逆定理， 提高学生应用线段垂直平分线的性质定理及性质定理的逆定理解 决实际问题的能 力. 课堂练习 1.如图，在△ABC 中，AB的垂直平分线分别交 AB，BC于点 D，E，∠B =30°，∠BAC = 80°，求∠CAE的度数. 解：∵DE垂直平分 AB ∴BE=AE ∴∠B=∠BAE=30° ∵ ∠BAC=80° ∴∠CAE= ∠BAC- ∠BAE=80°-30°=50° 2.如图，C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点O. 求证：AO = BO. 证明： ∵ AC =BC，AD=BD， ∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上， ∴ CD为线段AB的垂直平分线. 又 ∵AB与CD相交于点O， ∴AO=BO. 学生利用线段垂直平分线的性质定理及性质定理的逆定理解答，小组交流讨论，派代表板书答案。 通过练习巩固，及时发现学生掌握新知识的情况，巩固并学习新知识。 课堂小结 1.垂直平分线（或中垂线）: 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线（或中垂线）. 2.线段垂直平分线的性质定理： 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 3.线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 学生回顾总结，教师系统归纳。 帮助学生归纳总结，巩固所学知识。 课后练习 必做题：教材习题4.6--学而时习之 1题、2题、3题、4题 选做题：教材习题3.1--温故而知新 9题、10题、11题 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） 2 学科网（北京）股份有限公司 $