4.6第1课时　线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理课件2025-2026学年湘教版八年级数学上册

该初中数学课件聚焦线段垂直平分线的性质定理及其逆定理，通过知识回顾（轴对称图形、成轴对称关系）衔接情景导入（购物中心位置问题），引导学生经观察折叠、度量猜想、全等证明形成新知，搭建旧知到新知的学习支架。 其亮点是以“观察-猜想-证明-应用”为主线，结合几何直观与逻辑推理发展数学思维，通过实际问题（如三小区购物中心选址）体现模型意识，练习题分层设计。学生可提升推理与应用能力，教师借助清晰流程与例题优化教学。

4.6　线段的垂直平分线 第1课时　线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理 第4章　三角形 1 知识回顾 1．下面图形中，哪些是轴对称图形？如果是，请说出它的对称轴． 图① A O B l 图③ 图② A B C A′ C′ B′ M N 学有鸿鹄志 展翅任翱翔 2 2．如果两个图形成轴对称，那么这两个图形有什么关系？(如图②，△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称) 图② A B C A′ C′ B′ M N 某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？ B A C 情景导入 4 自学互研 知识模块一　探究线段垂直平分线的性质定理及判定定理 观察：已知点 P 与点 P′ 关于直线 l 对称，如果将线段 PP′ 沿直线 l 折叠，那么点 P 与点 P′ 重合，PD = P′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 PP′，又垂直于线段 PP′. l D 2 1 (P′) P P′ 垂直并且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.(或中垂线) 由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴. l P P′ 直线 l 就是线段 PP' 的垂直平分线. 归 纳 如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系． A B l P1 P2 P3 P1A ____P1B P2A ____ P2B P3A ____ P3B ＝ ＝ ＝ 探 究 P A B D l 于是∠ADP =∠BDP = 90°. 设 D 是线段 AB 的中点，根据线段的垂直平分线的定义可知，点 D 在直线 l 上，并且 PD⊥AB， 所以△PAD≌△PBD (边角边). 在△PAD 和△PBD 中， 因此 PA＝PB. AD＝BD， ∠ADP＝∠BDP， PD＝PD， 线段垂直平分线的性质定理： 归 纳 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 说一说：线段垂直平分线的性质定理的条件是什么？结论是什么？它的逆命题是什么? 条件是：一个点在一条线段的垂直平分线上. 结论是：这个点到这条线段两端的距离相等. 它的逆命题是：如果一个点到一条线段两端的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上. 这个逆命题是真命题吗? 下面来证明上述逆命题是真命题， M A B D 如图，当点 M 不在线段 AB 上时，连接 MA，MB， 取 AB 的中点 D，连接 MD，则 MD 是△MAB 的底边 AB 上的中线，也是 AB 上的高线. 由于 MA = MB，则△MAB 是等腰三角形. 因此，直线 MD 是线段 AB 的垂直平分线， 当点 M 在线段 AB 上时，则 M 就是 AB 的中点，因而点 M 在 AB 的垂直平分线上. M A B D 从而点 M 在线段 AB 的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理： 应用格式： P A B 作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 归 纳 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 因为 PA = PB， 所以点 P 在 AB 的垂直平分线上． 1．如图，在△ABC中，ED是BC的垂直平分 线，请写出图中两条相等的线段：_______，_________．　 练 习 A E B D C BE＝CE BD＝CD 14 2．如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连接 OC，若∠AOC＝125°，则∠ABC＝____． A B D C O 70° 知识模块二　运用线段的垂直平分线的判定定理解决问题 例2 如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC. 求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上. 证明：因为点O在线段AB的垂直平分线上， 所以OA = OB 同理 OB = OC. 于是OA = OC. (线段垂直平分线的性质定理). 结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？ 所以点 O 在 AC 的垂直平分线上 (线段垂直平分线的性质定理的逆定理). 1．如图，在△ABC中，OM是AB的垂直平分线，OA＝OC，求证：点O在BC的垂直平分线上． 证明：连接OB. ∵OM是AB的垂直平分线(已知)， ∴OA＝____(______________________________ __________). ∵OA＝OC(已知)， 练 习 OB 线段垂直平分线上的点到线段两端 的距离相等 A B C M O 18 ∴____＝____(等量代换)． ∴点O在BC的垂直平分线上(________________ ______________________________). A B C M O OB OC 到线段两端距离 相等的点在线段的垂直平分线上 19 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，∠BAC＝120°，AB的垂直平分线交BC边于点E，垂足为D，AC的垂直平分线交BC边于点 N，垂足为M. (1)求△AEN的周长； (2)求∠EAN的度数； (3)判断△AEN的形状． A D B E N C M 20 解：(1)根据线段垂直平分线的性质定理得：AE＝BE，AN＝NC, ∴△AEN的周长＝AE＋EN＋AN＝BE＋EN＋NC＝BC＝ 12，即△AEN的周长为12； A D B E N C M (2)在△ABC中，∵∠BAC＝120°，AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝30°. 易得∠AEN＝2∠B＝60°，∠ENA＝2∠C＝60°， ∴∠EAN＝60°； (3)由(2)易知△AEN是等边三角形． A D B E N C M 课堂小结 线段的垂直平分线的性质和判定 性质 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上 内容 判定 内容 作用 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 作用 见垂直平分线，得线段相等 判断一个点是否在线段的垂直平分线上 23 一、 选择题 1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝16cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD. 若CD∶DB＝3∶5，则CD的长为（　B　） A. 4cm B. 6cm C. 8cm D. 10cm B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是边BC上一点，O是AD上一点，且OB＝OC. 若BC＝4，则BD的长为（　B　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，DE垂直平分AB交BC于点D，连接AD. 若△ACD的周长为50cm，则AC＋BC等于（　C　） A. 25cm B. 45cm C. 50cm D. 55cm C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，CD平分∠ACB. 若∠A＝50°，则∠B的度数为（　B　） A. 25° B. 30° C. 35° D. 40° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，△ABC的周长为26，△ABD的周长为16，则AE的长为（　A　） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、 填空题 6. 新情境·日常生活 如图，用两根钢索加固直立的电线杆AD. 若要使钢索AB和AC的长度相等，则需点D位于BC的 　中点　处，理由是 　线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等　. 中点　 线段垂直平分线上 的点到线段两端的距离相等　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7. 如图，在△ABC中，D是边BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 　AC　的垂直平分线上. AC　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8. 如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O. 若∠1＝39°，则∠AOC的度数为 　78°　. 9. ★在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则∠B的度数为 　70°或20°　. 78°　 70°或20°　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 三、 解答题 10. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD＝DE. （1） 若∠BAE＝40°，求∠C的度数； 解：（1） 因为AD垂直平分BE，EF垂直平分AC，所以AB＝AE＝EC. 所以∠B＝∠AEB，∠C＝∠CAE. 因为∠BAE＝40°，所以∠AED＝ ×（180°－40°）＝70°.所以∠C＝ ∠AED＝35° 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 若△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，求DC的长. 解：（2） 因为△ABC的周长为13cm，AC＝6cm，所以AB＋BE＋EC＝7cm.又因为BD＝DE，AB＝EC，所以2DE＋2EC＝7cm.所以DC＝DE＋EC＝3.5cm 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.如图，AB＝AC，DB＝DC，E是AD的延长线上一点，则BE是否与CE相等？请说明理由. 第11题 解：BE＝CE　理由：连接BC，交AE于点F. 因为AB＝AC，所以点A在线段BC的垂直平分线上.同理，点D也在线段BC的垂直平分线上.所以AD是线段BC的垂直平分线.因为E是AD的延长线上一点，所以BE＝CE. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 12. 如图，在△ABC中，AB的垂直平分线l1交AB于点M，交BC于点D，AC的垂直平分线l2交AC于点N，交BC于点E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为10. （1） 求BC的长； 解：（1） 因为l1垂直平分AB，所以DB＝DA. 同理，可得EA＝EC. 所以BC＝BD＋DE＋EC＝DA＋DE＋EA＝10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 （2） 试判断点O是否在边BC的垂直平分线上，并说明理由. 解：（2） 点O在边BC的垂直平分线上　理由：如图，连接AO，BO，CO. 因为l1与l2分别是AB，AC的垂直平分线，所以AO＝BO，CO＝AO. 所以OB＝OC. 所以点O在边BC的垂直平分线上. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 $