专题04：函数解答题七种考法归纳 讲义-2026届高三数学二轮复习（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题04 函数解答题七种考法归纳 1.（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 2．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 3.（2023年上海卷18）已知a，c∈R，函数f（x）． （1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由； （2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围． 4．（2022年上海市高考数学第18题）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）． （1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值． （2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）． 5.（2021上海高考） 已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 题型一：求函数的值域或最值 1.（2025长宁区·上海市延安中学高三期中）函数是定义在实数集上的奇函数，当时，， （1）求的解析式； （2）若函数，求的值域. 2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为常数，）是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 3.（2025上海高三专题练习）已知函数. （1）解不等式； （2）求的最小值. 4.已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)，求的值域； (3)在上的最小值为1，求的值． 5. 已知函数. (1)当时，求的值域. (2)若为偶函数，函数， （i）求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）； （ii）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 6．（2025·上海闵行·一模）已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)已知函数定义域内的满足，求证：； (3)设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围. 题型二：函数的基本性质综合应用 7.设函数，其中为实数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)当的定义域为时，求的单调减区间． 8. 已知函数为偶函数，且. （1）求的值，并确定的解析式； （2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数. 9. 已知函数，且. (1)求的值，并指出函数的奇偶性； (2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数. 10. （2025上海杨浦区·复旦附中高三期末）已知函数（，常数）. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上是单调函数，求的取值范围. 题型三：利用函数性质解不等式 11.（2024上海高三专题练习）已知函数，其中常数满足. （1）若，判断函数的单调性； （2）若，求时的取值范围. 12.（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 13.（2024上海·模拟预测） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 14. 已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 题型四：函数恒成立问题 15. 已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围. 16. （2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知函数，其中． (1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 17.（2024上海金山区·高三一模）已知定义域为的函数. （1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 18.（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 19.（2025上海徐汇区·位育中学高三月考）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数. （1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求的取值范围. 20.已知函数，． (1)若，写出它的单调递增区间； (2)若对于的任意实数，都有成立，试求实数的范围． 21. 已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论． (3)是否存在实数，对于任意，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 22. 已知函数． (1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性； (2)解不等式． 23. 已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若，求x的取值范围． 24.．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 题型五：函数零点、实数根等问题 25．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 26．（25-26高三上·上海·期中）已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 27. 已知函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，函数是奇函数. (1)求和的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围. 28. 已知函数为奇函数． (1)求常数的值； (2)当时，判断的单调性； (3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围． 29. （2023嘉定二模）设常数，函数． （1）若函数是奇函数，求实数的值； （2）若函数在时有零点，求实数的取值范围． 30. （2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 31.（2023松江二模）已知函数f（x）＝2x+a•2﹣x（a为常数，a∈R）． （1）讨论函数f（x）的奇偶性； （2）当f（x）为偶函数时，若方程f（2x）﹣k•f（x）＝3在x∈[0，1]上有实根，求实数k的取值范围． 32.（2023虹口二模）设且，，已知函数． （1）当时，求不等式的解； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围． 题型六：函数与数列综合 33. （2025全国高考数学1卷）设数列满足， （1）证明：为等差数列； （2）设，求． 34．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 35．（2024·上海·模拟预测）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 题型七：函数新定义问题 36.（2021·上海·统考一模）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. （1）判断，与，是否是非 减函数? （2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； （3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值. 37.（2023·上海长宁·统考一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由： (2)若，求实数的取值范围； (3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 38.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 1.（2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知常数，函数的表达式为 （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 2. 已知（且）． （1）若，解方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 3.（2022·上海浦东新·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数，写出函数的单调递增区间并用定义证明. 4．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 5．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设函数（为实数）. （1）若，解不等式； （2）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围. 6．（2025高三上·上海奉贤·期中）已知 （1）若函数在的最大值为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围. 8.（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 9.（2025高三下·上海闵行·开学考试）已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足， (1)求实数的值； (2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 10.（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 11．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 12．（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）已知函数，其中，且． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围． 13 （2025华东师大三附中高三三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）已知，求的取值范围； （2）若方程存在实数解，求的取值范围． 14. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题04 函数解答题七种考法归纳 1.（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【详解】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 2．（2024·上海·高考真题）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【详解】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 3.（2023年上海卷18）已知a，c∈R，函数f（x）． （1）若a＝0，求函数的定义域，并判断是否存在c使得f（x）是奇函数，说明理由； （2）若函数过点（1，3），且函数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点，求此时c的值和a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析；(2) c＝1，实数a的取值范围是（，）∪（，+∞）． 【解答】解：（1）若a＝0，则f（x）x1， 要使函数有意义，则x≠0，即f（x）的定义域为{x|x≠0}， ∵y＝x是奇函数，y＝1是偶函数， ∴函数f（x）＝x1为非奇非偶函数，不可能是奇函数，故不存在实数c，使得f（x）是奇函数． （2）若函数过点（1，3），则f（1）3，得3a+2+c＝3+3a，得c＝3﹣2＝1， 此时f（x），若数f（x）与x轴负半轴有两个不同交点， 即f（x）0，得x2+（3a+1）x+1＝0，当x＜0时，有两个不同的交点， 设g（x）＝x2+（3a+1）x+1， 则，得，得，即a， 若x+a＝0即x＝﹣a是方程x2+（3a+1）x+1＝0的根， 则a2﹣（3a+1）a+1＝0，即2a2+a﹣1＝0，得a或a＝﹣1， 则实数a的取值范围是a且a且a≠﹣1， 即（，）∪（，+∞）． 4．（2022年上海市高考数学第18题）f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）． （1）若将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，图像经过（3，0），（5，0），求实数a，m的值． （2）若a＞﹣3且a≠0，求解不等式f（x）≤f（6﹣x）． 【答案】（1）a＝﹣2，m＝1． （2）﹣3＜a＜0时，解集是（﹣a，3]； a＞0时，解集是[3，6）． 【解答】解：（1）因为函数f（x）＝log3（a+x）+log3（6﹣x）， 将函数f（x）图像向下移m（m＞0）后，得y＝f（x）﹣m＝log3（a+x）+log3（6﹣x）﹣m的图像， 由函数图像经过点（3，0）和（5，0）， 所以， 解得a＝﹣2，m＝1． （2）a＞﹣3且a≠0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）可化为log3（a+x）+log3（6﹣x）≤log3（a+6﹣x）+log3x， 等价于， 解得， 当﹣3＜a＜0时，0＜﹣a＜3，3＜a+6＜6，解不等式得﹣a＜x≤3， 当a＞0时，﹣a＜0，a+6＞6，解不等式得3≤x＜6； 综上知，﹣3＜a＜0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是（﹣a，3]， a＞0时，不等式f（x）≤f（6﹣x）的解集是[3，6）． 5.（2021上海高考） 已知函数. （1）若，求函数的定义域； （2）若，若有2个不同实数根，求的取值范围； （3）是否存在实数，使得函数在定义域内具有单调性？若存在，求出的取值范围. 【答案】（1）; (2);(3) 【解析】（1），∴，解得； （2），设，∴有2个不同实数根， ∴整理得，，同时，∴； （3）当，，在递减， 此时需满足，即时，函数在上递减； 当，，在上递减， ∵，∴，即当时，函数在上递减； 综上，当时，函数在定义域上连续，且单调递减 题型一：求函数的值域或最值 1.（2025长宁区·上海市延安中学高三期中）函数是定义在实数集上的奇函数，当时，， （1）求的解析式； （2）若函数，求的值域. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1），则，由奇函数的性质即可求出； （2）分别求出和时函数的最值，即可求出值域. 【详解】 （1）因为是定义在实数集上的奇函数，所以， 设，则，所以， 所以， 所以； （2）当时，， 当且仅当时取等号， 当时，单调递增，此时， 所以的值域为. 【点睛】 关键点睛：本题考查奇函数解析式的求解，考查分段函数的值域的求解，解题的关键是利用好奇函数的性质，会判断函数的单调性. 2.（2022·全国·高三专题练习）已知函数（为常数，）是上的奇函数． (1)求实数的值； (2)若函数在区间上的值域为，求的值． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由求得参数值，再检验即可； （2）由函数的单调性得，代入可求得． (1) 由是奇函数得，，此时是奇函数； (2) 由复合函数的性质得在定义域内是增函数， 所以，，，或（舍去）， ， 所以． 3.（2025上海高三专题练习）已知函数. （1）解不等式； （2）求的最小值. 【答案】（1） ；（2） 【分析】 （1）由可得,即,求解即可； （2）将写为分段函数的形式,再由一次函数的性质判断单调性,即可求得最值. 【详解】 解:（1）因为, 则,即, 解得,即 （2）由题,, 所以在上单调递增,在上单调递减, 所以 【点睛】 本题考查解含绝对值的不等式,考查求分段函数的最值. 4.已知函数为奇函数． (1)求的值； (2)，求的值域； (3)在上的最小值为1，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为函数为奇函数， 所以对任意的恒成立，故，即， 所以的值为. （2）由（1）知，所以， 令，函数在上单调递增，则， ， 令， 所以当时，取得最小值，当时，取得最大值， 所以的值域为. （3）令， 采用与（2）相同的换元方法可得， 当，即时，当时，取得最小值， 由题意得，解得，舍去， 当，即时，当时，取得最小值， 由题意得，解得或（舍去）， 当，即时，当时，取得最小值，不符合题意，舍去. 综上，. 5. 已知函数. (1)当时，求的值域. (2)若为偶函数，函数， （i）求实数的值，并判断的单调性（不需要证明）； （ii）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i），单调递增；（ii） 【详解】（1）当时，， 因为，则， 所以的值域为. （2）（i）因为，可知函数的定义域为， 且， 若为偶函数，则， 即，可得， 结合的任意性，可得，即， 所以，可知函数的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在定义域内单调递增， 则在定义域内单调递增，且在定义域内单调递增， 所以在定义域内单调递增； （ii）由（i）可知：在上单调递增，则， 因为对任意的，成立， 则，可得， 即，可得， 又因为，则，可得. 构造，， 因为，在上都是增函数， 可知在上是增函数，则， 要满足存在，， 则，即，可得， 所以实数的取值范围是. 6．（2025·上海闵行·一模）已知幂函数满足. (1)求函数的解析式； (2)已知函数定义域内的满足，求证：； (3)设函数的定义域为，如果存在区间，使得在上的值域也为，试求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据幂函数的定义求出或，再根据即可求出答案； （2）利用基本不等式得到，解不等式即可证明； （3）根据题意得到，将代入得到，令，，则，求二次函数的值域即可求出答案. 【详解】（1）因为为幂函数， 所以，解得或， 因为，所以， 故. （2）， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 又，所以. （3）因为在上单调递减， 所以， 两式相减得：， 因为，所以， 所以，所以， 因为，所以，则，所以， 将代入， 得，， 令，，则，，所以， 所以实数的取值范围是. 题型二：函数的基本性质综合应用 7.设函数，其中为实数． (1)若的定义域为，求的取值范围； (2)当的定义域为时，求的单调减区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由已知，，，则，可解得实数的取值范围； （2）求出，对实数的取值范围进行讨论，利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的单调递减区间. 【解析】（1）解：由题意可知，，，则，解得. 因此，实数的取值范围是. （2）解：由题意可知，，. 因为时，. ①当时，即当时，由可得， 此时函数的单调递减区间为； ②当时，即当时，对任意的，且不恒为零， 此时函数无单调递减区间； ③当时，即当时，由可得， 此时函数的单调递减区间为. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为； 当时，函数无单调递减区间； 当时，函数的单调递减区间为. 8. 已知函数为偶函数，且. （1）求的值，并确定的解析式； （2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数. 【答案】（1）或,（2）存在; 【解析】 【分析】 （1）根据函数为偶函数,且可知且为偶数,即可求得的值,进而确定的解析式. （2）将（1）所得函数的解析式代入即可得的解析式.根据复合函数单调性对底数分类讨论,即可求得在区间上为减函数时实数的取值范围. 【详解】 （1）因为 则,解不等式可得 因为 则或或 又因为函数为偶函数 所以为偶数 当时, ,符合题意 当时, ,不符合题意,舍去 当时, ,符合题意 综上可知, 或 此时 （2）存在.理由如下: 由（1）可得 则且 当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为增函数且满足在上恒成立 即解不等式组得 当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为减函数且满足在上恒成立 即解不等式组得 综上可知,当或时, 在上为减函数 所以存在实数,满足在上为减函数 【点睛】 本题考查了幂函数的定义及性质,复合函数单调性的判断及应用,分类讨论思想的用法,属于中档题. 9. 已知函数，且. (1)求的值，并指出函数的奇偶性； (2)在（1）的条件下，运用函数单调性的定义，证明函数在上是增函数. 【答案】(1)，为奇函数 (2)证明见解析 【分析】（1）求出的值，根据与的关系判断的奇偶性； （2）根据函数单调性的定义，任取，判断的符号得到的单调性. 【解析】（1）因为，又，所以， 所以，， 此时，所以为奇函数； （2）任取，则 ， 因为,所以,所以, 所以即， 所以函数在上是增函数. 10. （2025上海杨浦区·复旦附中高三期末）已知函数（，常数）. （1）讨论函数的奇偶性，并说明理由； （2）若函数在上是单调函数，求的取值范围. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】 （1）分和两种情况讨论，结合函数奇偶性的定义可判断出函数的奇偶性； （2）任取，利用作差法得出，然后对函数在区间上单调递增或单调递减进行分类讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】 （1）当时，，该函数的定义域为，， 此时，函数为奇函数； 当时，，该函数的定义域为，， 则，，此时，函数为非奇非偶函数. 综上所述，当时，函数为奇函数； 当时，函数为非奇非偶函数； （2）任取，则， ，则. ①若函数在上单调递增，则， 则，得， 由已知条件得，所以，，则； ②若函数在上单调递减，则， 则，得， 由已知条件得，所以，，此时不存在. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】 本题考查函数奇偶性的判断，同时也考查了利用函数在区间上的单调性求参数，考查分类讨论思想的应用，属于中等题. 题型三：利用函数性质解不等式 11.（2024上海高三专题练习）已知函数，其中常数满足. （1）若，判断函数的单调性； （2）若，求时的取值范围. 【答案】（1）当时，函数在上是增函数,当时，函数在上是减函数；（2）当时，则；当时，则. 【详解】 （1）当时，任意， 则 ∵，， ∴，函数在上是增函数, 当时，同理，函数在上是减函数； （2） 当时，，则； 当时，，则. 12.（2024·上海黄浦·二模）设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 13.（2024上海·模拟预测） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案； （2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可. 【解析】（1）解：函数的定义域满足，即， 所以，要使函数的定义域非空，则，即. 若将函数图像向下移后得到的解析式为： ，. 所以在函数的图像上，即， 解得：， 所以， （2）解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 14. 已知函数． (1)当时，求的值域； (2)若最小值为，求m的值； (3)在（2）的条件下，若不等式在有实数解，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 故函数在上单调递增，所以， 故所求值域为. （2）函数的最小值为， 令，则， 由二次函数图像开口向上，对称轴为直线， 当时，函数在上单调递增，无最小值； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数在上的最小值为， 由题意可得，解得或（舍去）. 综上，. （3）由题意，有实数解， 即，可得， ，当且仅当时取等号， 在上恒成立， 有实数解，，有实数解 解得，即实数a的取值范围为． 题型四：函数恒成立问题 15. 已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)1 (2)函数在定义域内单调递增，证明见解析 (3) 【分析】（1）由是奇函数可得，求出a的值，再验证此时是奇函数； （2）先分离常数，再判断其单调性，利用定义证明函数在R上单调递增； （3）利用的奇偶性和单调性将不等式变成，再利用二次函数恒成立求出实数m的取值范围. 【解析】（1）因为函数的定义域为R，所以，∴. 经检验当时，有，所以. （2）， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设，所以， 因为，所以，所以函数在R上单调递增. （3）∵是奇函数，由已知可得 ，则， ∴，故，. ∴实数m的取值范围为. 16. （2023上·上海浦东新·高三统考期末）已知函数，其中． (1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明． (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）是奇函数，利用解出并检验即可． （2）利用基本不等式求的最小值解决恒成立问题. 【详解】（1）函数定义域为R，若是奇函数，则，解得， 此时，，符合题意， 故. （2）当时，， 由，则，当且仅当，即时等号成立， 所以，又不等式恒成立，得， 则实数的取值范围为. 17.（2024上海金山区·高三一模）已知定义域为的函数. （1）试判断函数在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （2）若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数在上单调递减，证明见解析；（2）. 【分析】 （1）利用证明函数单调性的步骤，取值、作差、变形、等号、下结论即可证明在上的单调性； （2）首先利用定义证明的奇偶性，再根据奇偶性和单调性脱掉，转化为关于的一元二次不等式恒成立，分离转化为最值问题即可求解. 【详解】 （1）函数在上单调递减. 证明如下：任取，且， ， 因为，所以，，， 即，故函数在上单调递减. （2）因为， 故为奇函数， 所以， 由（1）知，函数在上单调递减， 故，即对于任意恒成立， 所以，令，则， 因为，所以， 18.（2022·上海虹口·二模）已知函数是定义域为的奇函数. (1)求实数的值，并证明在上单调递增； (2)已知且，若对于任意的、，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，求出，利用函数奇偶性的定义可验证函数为奇函数，再利用函数单调性的定义可证得结论成立； （2）由题意可得，可得出，求得，分、，根据已知条件可得出关于的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【解析】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数， 则，解得，此时， 对任意的，，即函数的定义域为， ，即函数为奇函数，合乎题意， 任取、且，则， 所以，，则， 所以，函数在上单调递增. （2）解：由（1）可知，函数在上为增函数， 对于任意的、，都有，则， ， 因为，则. 当时，则有，解得； 当时，则有，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 19.（2025上海徐汇区·位育中学高三月考）已知函数的图象关于原点对称，其中为常数. （1）求的值； （2）当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的方程在上有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）利用奇函数的定义可求的值. （2）先计算出，再求出它在上的最大值后可求的取值范围. （3）根据可得，令，求出该函数在的值域后可求的取值范围. 【详解】 （1）∵函数的图象关于原点对称，∴函数为奇函数，∴， 即， 整理得到：恒成立，解得或（舍）. （2） 当时，， ∴. （3）由（1）知，，即，即即在上有解， 在上单调递减，的值域为， ∴. 【点睛】 本题考查奇函数的定义，还考查了与对数函数有关的函数的最值或值域的求法，注意不等式的恒成立问题可以转化为函数的最值问题，方程有解问题可以转化为新函数的值域问题，本题属于中档题. 即实数的取值范围是. 20.已知函数，． (1)若，写出它的单调递增区间； (2)若对于的任意实数，都有成立，试求实数的范围． 【答案】(1)与 (2)或 【分析】（1）先求函数的定义域，再根据复合函数单调区间的求法求解； （2）先利用偶函数及条件判断区间上的单调性，结合二次函数的知识求解. 【解析】（1）当时，，此函数是一个复合函数，外层是增函数， 令可解得，或，或， 即函数的定义域是； 又， 所以内层函数在与上是增函数， 所以复合函数在与上是增函数， 所以函数的单调递增区间为与. （2）因为对于的任意实数，都有成立，所以时为增函数； 易知，所以函数为偶函数， 所以当时为减函数． 对于时，，； 设，由题意得：，或； 则或. 21. 已知定义域为的函数是奇函数． (1)求的值． (2)判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论． (3)是否存在实数，对于任意，不等式恒成立？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1)； (2)为上的减函数，证明见解析； (3). 【详解】（1）因为为上的奇函数，所以， ，， 此时函数，， 则其为奇函数，满足题意. （2）为上的减函数． 任取， ， ，，，， ， ，所以为上的减函数． （3）若不等式恒成立， ，又为上的奇函数， 所以， 又为上的减函数，所以对恒成立． 即对恒成立． ，， 设，其对称轴为， 又因为离对称轴更远， 所以， 所以． 22. 已知函数． (1)求函数的定义域并判断函数的奇偶性； (2)解不等式． 【答案】(1)，偶函数 (2)当时不等式解集为，，当时不等式解集为. 【详解】（1）由题意得解得：， 函数的定义域是，定义域关于原点对称，， 所以函数是偶函数； （2）即， 化简得：， 当时，由题意得：， 解得：， 当时，由题意得：， 解得， 综上所述当时不等式解集为，， 当时不等式解集为. 23. 已知函数为偶函数． (1)求实数的值； (2)证明：在上单调递增； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见详解 (3) 【详解】（1）由， 所以 因为函数为偶函数，所以， 所以， 所以， 即， 因为，所以. （2）证明：由（1）得：， 即 ， 令， 对，规定， 由 因为函数在单调递增，且， 所以，且， 即， 所以， 所以函数在上单调递增， 又函数在上单调递增， 所以在上单调递增， （3）因为函数是上单调递增的偶函数， 所以， 所以的解集等价于： ， 所以有：， 令，则， 所以， 解得：或， 即或， 解得：或， 所以不等式的解集为：. 24.．（2025·上海·三模）设且，已知函数． (1)判断是否为偶函数，并说明理由； (2)令函数，解关于的不等式． 【答案】(1)偶函数，理由见解析. (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为. 【分析】（1）由偶函数的性质证明即可； （2）由偶函数的性质，换元令，再分和结合对数函数的单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】（1）是偶函数. 理由如下： 因为， 且，即定义域为，定义域关于原点对称. ， 是偶函数. （2）为偶函数， 令. 当时，在上单调递增，在区间上单调递减， 由，得且，解得. 当时，在上单调递减，在区间上单调递增， 由，得且，解得. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 题型五：函数零点、实数根等问题 25．（2025·上海·三模）已知函数， (1)当时，解不等式； (2)已知函数为偶函数，且函数在区间上有零点，求正实数的取值范围． 【答案】(1)； (2) 【分析】根据函数单调性的性质判断的单调性，根据单调性列出不等式即可求出原不等式解集； 根据是偶函数求出，令，求出的取值范围，令，将原题转化为方程有解问题即可求解. 【详解】（1）当时，函数， 函数是和都是R上的减函数，所以为减函数， 所以不等式等价于， 解得或， 即原不等式解集为． （2）由于是偶函数，则， 代入化简得，解得， 令，，则， 所以在上有解，， 因为函数在上严格增，所以， 解得，故的取值范围为． 26．（25-26高三上·上海·期中）已知． (1)当时，求函数的定义域及不等式的解集； (2)若函数只有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2)或. 【分析】（1）求出的定义域，再求出定义域；求出的表达式，解对数不等式即可； （2）求出，由函数只有一个零点，得到只有一解，由得到，代入，得到，从而得到关于的方程只有一个正根，讨论和两种情况求解即可. 【详解】（1），，，， ，的定义域，中，， 的定义域. ，，，，， 不等式的解集为. （2）， ， 函数只有一个零点， 只有一解，，， ，，， ，恒成立，关于的方程只有一个正根， 当时，转化为，符合题意； 当时，若有两个相等的实数根，则，解得， 此时方程的根为，符合题意； 当时，若有两个相异的实数根，则，解得， 此时设方程的两个根为，则有， 方程的两个根只能异号，，，此时方程只有一个正根，符合题意. 综上可知，实数的取值范围为或. 27. 已知函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6，函数是奇函数. (1)求和的值； (2)用函数单调性的定义证明：函数在上单调递增； (3)若函数恰有两个不同的零点，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）因为函数（且）在区间上的最小值与最大值之和为6， 当时，函数在上单调递减，， 解得(舍去)或（舍去），均不符合题意. 当时，函数在上单调递增，， 解得或（舍去）.所以. 又有函数是奇函数，且定义域为R，所以，解得. 经检验，符合题意， 故，. （2）设，且，由（1）得，所以，. ， 由，在R上单调递增，所以，即，且，所以. 所以，即，所以函数在上单调递增. （3）因为由（1）可得，， 所以. 令，所以. 又因为函数恰有两个不同的零点， 所以方程，即有两个不同的正根， 而由对勾函数，当且仅当时等号成立，且函数在单调递减，在上单调递增，. 所以方程即有两个不同的正根，即与有两个不同的交点，得.如图： 故的取值范围为. 28. 已知函数为奇函数． (1)求常数的值； (2)当时，判断的单调性； (3)若函数，且在区间上没有零点，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增 (3) 【分析】（1）根据奇函数及对数函数的性质求参数值； （2）令，结合对数函数的性质判断的大小关系即可. （3）将问题转化为在区间上无解，根据右侧函数的单调性求值域，即可确定m的范围. 【解析】（1）由，即， 所以，故，则， 当时，显然不成立，经验证：符合题意； 所以； （2）单调递增 由（1）知：，若， 则， 而，即， 所以，故单调递增. （3）由，令， 所以，由（2）知：在上递增，而在上递减， 所以在上递减，则. 又在区间上无解，故 29. （2023嘉定二模）设常数，函数． （1）若函数是奇函数，求实数的值； （2）若函数在时有零点，求实数的取值范围． 【解析】（1）【法1】函数的定义域为． 因为函数是奇函数，所以． 设，则得 ，即 ，即 ，代入， 得，解得 ． 此时． 又因为 ，即 ， 所以是奇函数． 因此所求实数的值为 ． 【法2】函数的定义域为． 因为函数是奇函数，所以． 即 ， 即 ， 即 ，即 对任意都成立， 所以 ，解得 ． 因此所求实数的值为 （2）解：设， 即关于的方程在区间上有实数解．……2分 设，因为 ，所以 ， 于是原问题等价于关于的方程（*）在区间上有实数解． 当时，方程（*）不成立，所以，于是方程（*）可化为 （）， 即函数与函数 （）的图像有公共点 因为函数 （）为增函数，则得该函数的值域为 ， 所以 ，解得 ， 即所求的实数的取值范围是 30. （2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【详解】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 31.（2023松江二模）已知函数f（x）＝2x+a•2﹣x（a为常数，a∈R）． （1）讨论函数f（x）的奇偶性； （2）当f（x）为偶函数时，若方程f（2x）﹣k•f（x）＝3在x∈[0，1]上有实根，求实数k的取值范围． 解：（1）∵函数f（x）＝2x+a•2﹣x的定义域为x∈R， 又∵f（﹣x）＝2﹣x+a•2x ∴①当f（﹣x）＝f（x）时，即2﹣x+a•2x＝2x+a•2﹣x时，可得a＝1 即当a＝1时，函数f（x）为偶函数； ②当f（﹣x）＝﹣f（x）时，即2﹣x+a•2x＝﹣（2x+a•2﹣x）＝﹣2x﹣a•2﹣x时，可得a＝﹣1 即当a＝﹣1时，函数f（x）为奇函数． （2）由（1）可得，当函数f（x）为偶函数时，a＝1， 即f（x）＝2x+2﹣x时，f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x+2﹣x）2﹣2 由题可得，（2x+2﹣x）2﹣2﹣k（2x+2﹣x）＝3⇔（2x+2﹣x）2﹣k（2x+2﹣x）﹣5＝0 令t＝2x+2﹣x，则有t2﹣kt﹣5＝0⇒t＝ ∵x∈[0，1] ∴ 又∵，当且仅当⇒x＝0时，等号成立 根据对勾函数的性质可知，，即 ①⇒⇒k2+20≤k2﹣8k+16⇒ ⇒⇒k2+20≥k2﹣10k+25⇒ 此时k的取值不存在； ②⇒⇒k2+20≥k2﹣8k+16⇒ ⇒⇒k2+20≤k2﹣10k+25⇒ 此时，可得k的取值为 综上可得 32.（2023虹口二模）设且，，已知函数． （1）当时，求不等式的解； （2）若函数在区间上有零点，求的取值范围． 解：(1)，不等式可化为 若，则，解得，不等式的解集为. 若，则，解得，不等式的解集为. 综上所述：，的解集为；，的解集为.…7分 （2）.…………8分 令，即，∵，∴， ∴；∴.……………………11分 设，， 得：，解得.……………………………………14分 题型六：函数与数列综合 33. （2025全国高考数学1卷）设数列满足， （1）证明：为等差数列； （2）设，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 34．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知函数，数列是正项等比数列，且， (1)计算的值； (2)用书本上推导等差数列前n项和的方法，求的值. 【答案】(1)1； (2). 【分析】（1）直接代入化简即可； （2）由（1），结合等比数列性质，即可求解. 【解析】（1）因为函数， 所以 （2）因数列是正项等比数列，且，则， 所以， 同理， 令， 又， 则有，故， 所以. 35．（2024·上海·模拟预测）若． (1)过，求的解集； (2)存在使得成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出底数，再根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）存在使得成等差数列等价于在上有解，利用换元法结合二次函数的性质可求的取值范围． 【解析】（1）因为的图象过，故，故即（负的舍去）， 而在上为增函数，故， 故即， 故的解集为. （2）因为存在使得成等差数列， 故有解，故， 因为，故，故在上有解， 由在上有解， 令，而在上的值域为， 故即. 题型七：函数新定义问题 36.（2021·上海·统考一模）已知函数的定义域是，若对于任意的、，当时，都有，则称函数在上为非减函数. （1）判断，与，是否是非 减函数? （2）已知函数在上为非减函数，求实数的取值范围； （3）已知函数在上为非减函数，且满足条件：①，②，③，求的值. 【答案】（1）在上不是非减函数，在上是非减函数；（2）；（3）. 【解析】（1）化简两个函数的解析式，结合二次函数和一次函数的单调性可得出结论； （2）任取、且，由题中定义可得，通过作差法得出，求出的取值范围，即可得出实数的取值范围； （3）根据题意计算出，根据非减函数的定义得知，对任意的，，由已知条件得出，进而可得出，即可得解. 【详解】（1）， 所以，函数在区间上为减函数，在区间上为增函数， 则函数在区间上不是非减函数， 当时，， 所以，函数在区间上为非减函数； （2）任取、且，即， 因为函数在上为非减函数， 有， ，， ，， ，则，则，，即， 因此，实数的取值范围是； （3）由已知得，，得， 从而，，所以，， 因为函数为上的非减函数， 对任意的，，即，所以，， ，所以，， 所以，， ，则，因此，. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“非减函数”，解题时要充分理解“非减函数”的定义，本题第（2）问，在解题时充分利用定义，结合函数单调性、作差法以及参变量分离得出，进而可求得参数的取值范围；在求解第（3）问时，要结合赋值法以及非减函数的定义得出对任意的恒成立，再结合已知条件将所求函数值转化至已知区间进行求解. 37.（2023·上海长宁·统考一模）若函数与满足：对任意，都有，则称函数是函数的“约束函数”.已知函数是函数的“约束函数”. (1)若，判断函数的奇偶性，并说明理由： (2)若，求实数的取值范围； (3)若为严格减函数，，且函数的图像是连续曲线，求证：是上的严格增函数. 【答案】(1)是偶函数；理由见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意结合偶函数的定义分析证明； （2）根据题意结合的单调性分析可得，，设，，可知与均为上的严格增函数，利用导数分析求解； （3）根据题意分析可得任意，都有，利用反证法先证当时，，再明当时，，即可得结果. 【详解】（1）因为，故对任意的都有． 又因为函数是函数的“约束函数”， 则对任意，都有， 取，可得恒成立， 即对任意的成立，故是偶函数； （2）因为是上的严格增函数，则是上的严格增函数， 设，则， 进而， 可得，， 所以，， 设，， 则与均为上的严格增函数， 因为，恒成立， 对于恒成立， 因为，，当且仅当时，等号成立， 所以，解得得， 当时，恒成立， 所以实数的取值范围为. （3）设，因为是严格减函数，所以，即， 而，所以， 所以对任意，都有， ①首先证明：当时，， 假设存在，且， 设，则，， 所以存在，使得， 得，与结论对任意，矛盾， 所以不存在，使得， 同理可得：也不存在，使得， 所以当时，. ②再证明：当时，， 假设存在，使得，则， 设，则，， 所以存在，使得， 得，与结论对任意，矛盾， 所以假设不成立，即对任意，都有 所以是上的严格增函数. 【点睛】关键点睛：“新定义”题型的关键是根据新定义的概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解，（3）中也结合反证法分析求解. 38.（2026虹口区高三一模）已知函数的定义域为,记,其中,且. (1)当，求函数的零点: (2)当，若恒有，求实数的取值范围； (3)当，求证:“对于任意的正有理数，函数在上均是严格增函数”的充要条件是“任取中两个不相同的元素和,均有”. 【解析】（1） （2） 若,则(舍) 若,则(舍) 必要性 对称轴: 在上严格增 （3）必要性:不妨设 要证 只要证 只要证 易知 取,得证 充分性:要证严格增函数 只要证 只要证 只要证 只要证 取,得证 1.（2024-25长宁区高三监测练习试卷）已知常数，函数的表达式为 （1）证明：函数是奇函数； （2）若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【小问1详解】 由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； 【小问2详解】 ， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 2. 已知（且）． （1）若，解方程，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解. （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围; 【小问1详解】 当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； 【小问2详解】 当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：取值范围为． 3.（2022·上海浦东新·一模）已知函数，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若函数，写出函数的单调递增区间并用定义证明. 【答案】(1)答案见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）分、两种情况， 利用函数奇偶性的定义判断出结果； （2）求得，可以确定的单调递增区间为，之后利用函数单调性证明即可. 【解析】（1）当时，， 定义域为， 任选，都有， 所以时函数为偶函数； 当， 则； 时函数既非奇函数又非偶函数； （2）函数的单调递增区间为. 证明：， 任取且， ， 由于，则； 由于，则； 所以，即.   函数的单调递增区间为. 4．（24-25高三上·上海金山·期末）已知常数，函数的表达式为 (1)证明：函数是奇函数； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求出定义域，利用奇函数的定义判断可得答案； （2）判断出函数在区间上的单调性，根据单调性求出最值可得答案. 【解析】（1）由得， 所以函数的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数是奇函数； （2）， 令， 则在上单调递增， 又为增函数， 所以在上单调递增， 其最大值为， 解得. 5．（21-22高三上·上海浦东新·阶段练习）设函数（为实数）. （1）若，解不等式； （2）若当时，关于的不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）或   （2） 【分析】（1）分打开绝对值，解不等式即可； （2）由可得，再由，可得，结合，即为，分，讨论，即得解 【解析】（1）由于，不等式 可得，即 或 解不等式得：或 （2）由，解得 由，可得 当时，该不等式即为，即 当时，符合题设条件； 当时，，由题意得 解得 综上，实数的取值范围是 6．（2025高三上·上海奉贤·期中）已知 （1）若函数在的最大值为，求的值； （2）若，求不等式的解集. 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）由函数在上是增函数且，故根据题意得函数的最大值为，再根据函数单调性即可得，解得. （2）根据题意得，进而分或两种情况求解即可得答案. 【解析】解：（1）因为函数在上是增函数， 所以， 因为函数在的最大值为， 所以函数的最大值为， 由于函数是增函数， 所以，解得：. （2）当时，， 所以或，解得或. 故若，求不等式的解集为 【点睛】本题考查分段函数与对数函数的性质，考查分类讨论思想与运算求解能力，是中档题.本题第一问解题的关键在于注意到函数在上是增函数且，进而将问题转化为函数的最大值为求解，第二问的解题核心是分类讨论. 7．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数. (1)求的解析式； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据奇函数性质求得，再验证是否满足题设，即可得解析式； （2）令，问题化为能成立求参数范围. 【解析】（1）由题设，故， 所以， 又，满足题设， 所以且； （2）由题设在上能成立， 令，则，即， 又在上递增，则， 所以. 8.（24-25高三上·上海杨浦·期中）已知函数为奇函数． (1)求的值并直接写出的单调性（无需说明理由）； (2)若存在实数，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减 (2) 【分析】（1）根据奇函数的含义可求得的值，根据函数单调性的定义法可求得单调性； （2）根据单调性以及奇函数性质可得，从而得到不等式，求解即可. 【解析】（1）因为函数为奇函数，定义域为R，则， 所以，即， 此时，满足，即为奇函数， ，定义域为R，对，且， 则， 因为，所以，，， 所以，即函数在R上单调递减； （2）由，则， 又因为为奇函数，所以， 又因为函数在R上单调递减， 所以，因为存在实数，使得， 所以，解得， 所以的取值范围为. 9.（2025高三下·上海闵行·开学考试）已知关于的方程在复数集内有两个根，且满足， (1)求实数的值； (2)若，存在实数，使得不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）分有两个实根和有两个共轭虚根两种情况讨论，根据题意结合韦达定理分析运算； （2）根据题意分析可得，先根据对数函数单调性分析可得对任意恒成立，再根据恒成立问题分析运算. 【解析】（1）①当方程有两个实根时，则，即，可得，， ∵，解得； ②当方程有两个共轭虚根时，则，即， 设，则，可得，， 所以，，解得或， 即方程两根分别为，，则； 综上所述：或. （2）若，由（1）得， 由存在实数，使得不等式， 则， ∵，且在定义域内为增函数，则 ∴，则对任意恒成立， 设，则，解得， 故实数的取值范围为. 10.（24-25高三上·上海·期中）已知函数是定义域为R的偶函数. (1)求实数a的值； (2)已知关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由可构造方程求得的值； （2）利用换元法令，从而得到方程在时有解，再分参数，求出右边的值域即可. 【解析】（1）由偶函数定义知：， 即，. （2）由（1）知， ，即， 即，令，则， 则方程在时有解， 则，令，，则. 11．（2024·上海徐汇·二模）已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【解析】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 12．（21-22高三上·上海虹口·阶段练习）已知函数，其中，且． (1)当时，若，求实数的取值范围； (2)若存在实数使得方程有两个实根，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分段解不等式，再相并即可得解； （2）当和时，利用图象列式可求出结果，当时，根据函数的单调性以及，可知不符合题意. 【解析】（1）当时，，则， 当时，解不等式，解得，故， 当时，解不等式，解得，故， 所以实数的取值范围是； （2）①当时， 由图可知，当时，存在直线与有两个交点， 由，解得，故； ②当时， 由图可知，当时，存在直线与有两个交点， 即，解得，故； 当时，函数在和上都为增函数，且， 所以为增函数， 所以不存在实数使得方程有两个实根， 综上所述：实数的取值范围是为. 13 （2025华东师大三附中高三三模）如图所示是函数的图象，由指数函数与幂函数“拼接”而成． （1）已知，求的取值范围； （2）若方程存在实数解，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入函数、的解析式，求出、的值，可得出函数的解析式，然后利用函数的定义域、单调性结合可得出关于的不等式组，由此可求得实数的取值范围； （2）分析可知的取值范围即为函数的值域，可得出关于的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 由题意可得，解得，故. 因为函数在上严格减， 由可得，解得， 因此，实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为方程存在实数解，即方程存在实数解， 则的取值范围即为函数的值域， 由题图可知，函数的值域为，故函数的值域为， 所以，即，解得或， 因此，实数的取值范围是. 14. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）已知函数是定义在上的奇函数. （1）求实数的值及函数的值域； （2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据解得，并检验时，满足题意，得出函数解析式，求解值域； （2）根据函数值域，将问题转化，故，利用换元法求解最值即可得解. 【详解】（1）由解得，反之时， ，符合题意， 故，据此，， 即值域为 （2）在显然是单调增函数，为正数， 所以，故， 令，则 随的增大而增大， 最大值为，实数范围是. 【点睛】此题考查根据函数奇偶性求参数的取值，根据不等式恒成立求解参数的取值范围，涉及参变分离，换元法求解最值. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $