专题05：数列解答题八种考法归纳 讲义-2026届高三数学二轮复习（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题05 数列解答题八种考法归纳 1.（2025全国高考数学1卷）设数列满足， （1）证明：为等差数列； （2）设，求． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【小问1详解】 由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. 【小问2详解】 由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用退位法可求公比，再求出首项后可求通项； （2）利用分组求和法即可求. 【详解】（1）因为,故， 所以即故等比数列的公比为， 故，故，故. （2）由等比数列求和公式得， 所以数列的前n项和 . 3．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， （2）因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 4．【2022年上海市高考数学第21题】数列{an}对任意n∈N*且n≥2，均存在正整数i∈[1，n﹣1]，满足an+1＝2an﹣ai，a1＝1，a2＝3． （1）求a4可能值； （2）命题p：若a1，a2，⋯，a8成等差数列，则a9＜30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由； （3）若a2m＝3m，（m∈N*）成立，求数列{an}的通项公式． 【答案】（1）7或9； （2）证明见解析，逆命题q：若a9＜30，则a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列是假命题，理由见解析； ． 【解答】解：（1）a3＝2a2﹣a1＝5，a4＝2a3﹣a2＝7或a4＝2a3﹣a1＝9． （2）∵a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列，∴， a9＝2a8﹣ai＝30﹣ai＜30． 逆命题q：若a9＜30，则a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7，a8为等差数列是假命题，举例： a1＝1，a2＝3，a3＝5，a4＝7，a5＝9，a6＝11，a7＝13，a8＝2a7﹣a5＝17，a9＝2a8﹣a7＝21． （3）因为， ∴，a2m+1＝2a2m﹣aj（j≤2m﹣1）， ∴a2m+2＝4a2m﹣2aj﹣ai， ∴， 以下用数学归纳法证明数列单调递增，即证明an+1＞an恒成立： 当n＝1，a2＞a1明显成立， 假设n＝k时命题成立，即ak＞ak﹣1＞ak﹣1⋯＞＞a2＞a1＞0， 则ak+1﹣ak＝2ak﹣ai﹣ak＝ak﹣ai＞0，则ak+1＞ak，命题得证． 回到原题，分类讨论求解数列的通项公式： (1)若 j＝2 m﹣1，则a2m＝2aj+ai＝2a2m﹣1+ai＞a2m﹣1﹣ai矛盾， (2)若 j＝2 m﹣2，则，∴，∴i＝2m﹣2， 此时， ∴， (3)若 j＜2 m﹣2，则， ∴，∴j＝2m﹣1， ∴a2m+2＝2a2m+1﹣a2m﹣1（由（2）知对任意m成立）， a6＝2a5﹣a3， 事实上：a6＝2a5﹣a2矛盾． 综上可得． 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式； （2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得. 【详解】（1）∵，∴,∴, 又∵是公差为的等差数列， ∴,∴, ∴当时，， ∴, 整理得：, 即, ∴ ， 显然对于也成立， ∴的通项公式； （2） ∴ 6．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）由已知得,且，取,得,由题意得,消积得到项的递推关系,进而证明数列是等差数列; （2）由（1）可得的表达式,由此得到的表达式,然后利用和与项的关系求得. 【详解】（1）[方法一]： 由已知得,且，, 取,由得, 由于为数列的前n项积， 所以, 所以， 所以, 由于 所以，即,其中 所以数列是以为首项，以为公差等差数列; [方法二]【最优解】： 由已知条件知    ① 于是．       ② 由①②得．     ③ 又，       ④ 由③④得． 令，由，得． 所以数列是以为首项，为公差的等差数列． [方法三]：   由，得，且，，． 又因为，所以，所以． 在中，当时，． 故数列是以为首项，为公差的等差数列． 题型一、等差、等比的判定与证明 1. 在数列中，，在数列中，. (1)求证数列成等差数列并求； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）条件等式两边取倒数化简变形即可； （2）由累乘法求得的通项公式，对不等式进行缩放，结合裂项相消求和即可证明. 【解析】（1）由知， 故， 即，数列成等差数列， 所以，所以； （2）由，得， 于是 所以， ， 所以. 2. 记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 3. 已知数列满足，． (1)设，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先化简，再推导出等于一个常数，即可证明结论；（2）结合第一问，先求出的通项公式，再结合的特点，采用错位相减法和分组求和法进行求解 【解析】（1） 其中，所以数列为以为首项，公比为的等比数列. （2）由（1）知： 所以，故 故 令① ② 两式相减： ，又 所以 4. 设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由可得，再通过化简结合等比数列的定义即可证明； （2）先结合（1）求出，再根据时，求出，最后验证即可. 【详解】（1）， ， 即， 即， 即， 即， 又， 数列是以首项为，公比为的等比数列. （2）由（1）知：， 即， 当时，， ， 又也适合上式， 故. 题型二、求数列的通项公式 5．（2023·上海徐汇·统考一模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用等差数列前项和公式计算，结合，可求得公差，继而可求得通项公式；（2）根据等差等比数列的通项公式及前项和公式进行计算即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 又因为，且， 所以，故． 所以． （2）由（1）可知，，又，所以． 因为，可得， 所以， ． 6．（2023·上海嘉定·统考一模）已知数列的前n项和为，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）利用之间的关系进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）因为当时，有， 所以当时，有， 两式相减，得， 当时，由，适合， 所以，； （2）因为，； 所以， 因此. 7. （2025届上海市大同中学高三三模）已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式可得，再由与的关系，即可得到结果； （2）由裂项相消法代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 当时，； 当时，， 且满足上式，所以. 【小问2详解】 ， ， 数列的前项和为. 8.（24-25华师大二附中高一下期中）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据数列的递推式采用两式相减的方法可得，再结合等比数列定义即可得的通项公式，由点在函数的图象上，可得，结合等差数列定义可得的通项公式； （2）由题意可得，结合等比数列与等差数列求和公式分组计算即可得解. 【小问1详解】 因为， 所以当时，， 所以， 所以，所以，又，， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，所以， 因为点在函数的图象上，所以，即， 又，所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以； 【小问2详解】 因为是所有的正偶数，又，所以，所以 . 9. 已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，两边同时除以， 所以，所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以， 当时，， 当时，也满足上式， 所以. （2）由（1）可得，， 则 . 题型三、数列求和 10.已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 【思路分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程组求首项、公差即可得解； （2）根据等差数列、等比数列的求和公式求解即可. 【规范答题】（1）设等差数列的公差为， 即解得 所以 （2）因为数列是首项为2，公比为3的等比数列，则， 又因为，所以. 设数列的前项和为， 则 . 11.已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求前项和. 【思路分析】 （1）根据题意结合与之间的关系分析可知数列是等比数列，进而可得数列的通项公式； （2）根据（1）中结论可得，利用裂项相消法求和. 【规范答题】 （1）因为， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列， 所以． （2）由（1）可知， 则，， 可得， 故. 12.已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组即可由等差数列的通项公式求解； （2）求出数列的通项公式，利用错位相减法可求得的表达式. 【详解】（1）设的公差为d，则由题有， 、，所以． （2）由（1）得，， 所以， 所以， 两式相减得， 即， 解得． 13. 已知数列的前项和，满足：；数列满足： (1)求的通项公式 (2)设，求的前项和 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由即可求，对于，分为奇数和偶数讨论，利用递推公式即可求； （2）分奇数项和偶数项，利用等比数列前项和公式和错位相减法即可求解. 【详解】（1）由题意有：当时，，即， 当时，由有，所以， 所以，且,所以数列是以公比为，首项为的等比数列， 所以， 所以， 由， 当时，， 当时，， 所以， 所以当为奇数时，， 所以， 所以， 所以当为偶数时，， 所以； （2）由（1）有：， 所以， 又， 所以①， ②， 由①②有：， 所以， 所以. 题型四、数列中的最值范围问题 14. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，． (1)求与的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值． 【答案】(1)． (2) 【分析】（1）根据题意结合等差数列以及等比数列的相关公式，列出方程组，求出等差数列以及等比数列的基本量，即可求得答案. （2）写出的表达式，利用裂项求和法求出，解不等式，即可求得答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为， 由已知，，，，得， 即， 解得（舍）或， 故． （2）， 故， 则，即，即， 解得， ，的最大值为，即满足条件的n的最大值为． 15. 已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设（，为常数）求数列的前项和的最值． 【答案】（1）；（2），没有最小值． 【解析】（1）由条件，列等式求公比，再求通项公式；（2）由（1）可知，根据等差数列的特征求的最值. 解：（1）∵，当时，显然不成立；当时，． 整理得，解得，∵，∴． ∴．（2）． 当时，有，数列是以为公差的等差数列， 此数列是首项为正的递减的等差数列． ，得，．没有最小值． 16. 已知数列的前项和为，且为正整数． (1)证明：是等比数列； (2)当取到最小值时，求的值．(参考数据：) 【答案】(1)见解析(2)15 【解析】(1)利用与的关系证明；(2)根据确定当为何值时，取到最小值. （1）当时，因为，所以 所以，所以，即， 当时，解得，所以是以为首项，为公比的等比数列， （2）由（1）得，所以， 由＝, 令即即，即， 令即即，即， 所以当时单调递减，当时单调递增，且, 所以当取到最小值时，的值为15. 17. 已知数列的首项，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求使不等式成立的最小正整数n. 【答案】(1)证明见解析(2)11 【解析】（1）根据递推公式变换可知数列是以为首项，公比为的等比数列； （2）根据，然后利用等差数列求和公式求解. (1)解：由题意得：根据，得： 可知数列是以为首项，公比为的等比数列. . (2) .  解得或，又 使不等式成立的最小正整数n为11. 18．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，依题意根据等差数列通项公式得到关于、的方程组，解得即可求出通项公式； （2）由（1）可得，利用等差数列求和公式求出，再解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 故； （2）由（1）可得， 则， 所以，则数列是以为首项，为公差的等差数列， 故， 因为，所以，所以， 所以或， 因为，所以，所以的最小值是． 19.已知数列的前项和满足，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，， 当时，， ， 综上所述，； （2）由（1）得， 当时，. 故 ， 要使，即，解得， 又，故取最大值为. 20.已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)议，当取得最小值时，求n的取值． 【答案】(1) (2)1，2，3． 【解析】（1）因为， 当时，， 所以， 又时，不满足上式， 故数列的通项公式为. （2）当n为奇数时，， 当，时， 因为单调递增，∴， 综上，当n为奇数时，； 当n为偶数时，， 因为单调递增，∴． 综上所述，当取得最小值时，n的取值为1，2，3． 21.已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求使得成立的最大正整数的值． 【答案】(1)； (2)7. 【解析】（1）因为是和的等比中项， 所以， 又因为数列是公差为2的等差数列， 所以， 故数列的通项公式为． （2）因为， 所以数列的前项和为 ， 又因为， 所以， 设， 因为， 所以单调递增，又， 所以， 所以使得成立的最大正整数的值为7. 题型五、 数列与不等式 22. 已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）将配凑得，从而可得，根据等比数列的定义证明；（2）由（1）可得，从而得，再利用等比数列的求和公式计算，即可证明. 【解析】（1）由得：. 由可得， 数列是以为首项，为公比的等比数列 （2）由（1）得：. ，当且仅当时取等号 . 即. 23. 已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 【解析】（1）由题意，数列满足， 当时，可得，解得； 当时，可得， 两式相减得，所以， 当时，，适合上式， 所以数列的通项公式为. （2）令，由， 可得， 所以， 因为，可得，所以. 24. 已知数列满足，． (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前n项和，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】(1)把化为，从而利用累加法可求； (2)由可推，利用放缩，可证. 【解析】（1）由题意知，所以，即 从而， ， 则． 显然满足上式，所以 （2）由（1）知， 所以，所以． 又因为， 所以， 所以． 25. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式 ； （2）设若，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由递推关系化简求得数列通项公式. （2）先用错位相减法求得bn的通项公式，然后求最大值，即可求得参数的取值范围. 【解析】（1）由， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. （2）由（1）知，①， 两边同乘得，②， ①-②得，， 故，， 取， 当时，恒成立，则恒成立， 即数列从第二项开始是单减的，又， 故数列的最大项为， 若恒成立，则. 【点睛】方法点睛：（1）递推关系构造新数列，从而求得待求数列通项； （2）错位相减法求等差数列与等比数列乘积的前n项和，作比法求数列单调性，从而求得数列最值，解得参数取值范围. 26.在数列中，，的前项为． (1)求证：为等差数列，并求的通项公式； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2). 【解析】（1）由，，得，， 则，因此数列是以为首项，1为公差的等差数列， 于是，所以的通项公式是. （2）由（1）知，，， 因此当时，恒成立，即对恒成立， 而对勾函数在上单调递增，于是当时，，则， 所以的取值范围是. 27．（2023·上海金山·统考一模）已知数列满足，且． (1)求的值； (2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据对数运算性质可得，即可判断为等比数列，即可根据等比数列的通项求解， （2）利用作差法可得对正整数恒成立，即可求解. 【详解】（1）由，得，故，即. 又，故数列是以为首项，为公比的等比数列. 从而，.所以. （2）设数列满足， 因为数列为严格增数列， 故对正整数恒成立，   即对正整数恒成立， 当时，取到最小值.所以. 题型六、数列的存在性问题 28. 记为数列的前项和，已知的等差中项为. (1)求证为等比数列； (2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【解析】（1）因为的等差中项为，所以， 因为时，，则，所以， 由得， 又，两式相减得，即， 所以有，所以， 所以是等比数列，其首项为，公比为2. （2）由（1）知，所以，所以， 因为，所以， 又， 所以，所以. 29.已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为， 所以， 所以，又， 所以， 所以， 所以， （2）因为，，成等比数列， 所以， ， ， 由已知方程的判别式大于等于0， 所以， 所以对于任意的恒成立， 所以对于任意的恒成立， 当时，， 当时，由，可得 当时，， 又 所以 30.已知数列满足：. (1)当时，求数列中的第10项； (2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，，证明见解析 【解析】（1）由已知，所以，相除得； 又，所以，所以. （2）假设存在正数，使得数列是等比数列，由得，由，得， 因为是等比数列，，即， 下面证明时数列是等比数列， 由（1）知数列和都是公比是的等比数列， 所以，； 所以为奇数时，，为偶数时，， 所以对一切正整数，都有，所以，所以存在正数使得数列是等比数列. 31.已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上. (1)证明：数列是等比数列； (2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【解析】（1）证明：对任意的正整数，点均在函数图象上， 可得，即， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）解：不存在. 理由：由（1）得， 当时，可得， 又因为，所以， 反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增， 假设存在使得成等差数列， 可得，即， 两边同除以，可得 因为是偶数，是奇数，所以， 所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列. 题型七、数列公共项、插入项、奇偶项、重排列问题 32. 已知数列的首项，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求. 【解析】（1）因为，， 所以，取倒得， 所以，即，即， 因为，所以是，的等比数列， 所以. （2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3， 合计个3， 所以. 33. 已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和. 【解析】（1）因为①， 所以时，②， ①②得：，即， 又时，，所以也满足上式， 故的通项公式为. （2）设数列满足． 记的前项和为，的前项和为，则． 由等比数列的求和公式得：，． 所以． 即新数列的前项和． 34. 为数列的前项和，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和. 【解析】（1）当时，，解得（舍去）， 由得时，， 两式相减得， 因为，所以， 所以是等差数列，首项为4，公差为3， 所以； （2）由于， 因此数列的前100项中含有的前13项，含有中的前87项， 所求和为. 35. 设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）. (1)求数列的通项公式； (2)试确定的值，使得数列为等差数列； (3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求. 【解析】（1）由题意，可得，所以， 解得或（舍），则， 又，所以. （2）由，得， 所以，，， 因为数列为等差数列，所以，解得， 所以当时，，由（常数）知此时数列为等差数列. （3）因为，所以与之间插入个2， ，所以与之间插入个2， ，所以与之间插入个2， …… 则的前项，由个，构成， 所以. 36. 已知等比数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 【解析】（1）， 当时，， 两式相减可得，， 故等比数列的公比为， ， ， 故数列的通项公式为． （2）由得：，， 故，即， ， ， 得：， 故． 37．（2023·上海青浦·统考一模）已知有穷等差数列的公差d大于零． (1)证明：不是等比数列； (2)是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由； (3)若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在指数函数满足条件，理由见解析 (3)3 【分析】（1）计算，得到证明； （2）计算切线方程，令得，即，满足条件. （3）举例说明时成立，考虑时，确定不可能所有项均为正数或均为负数，的前三项即为中最小的三项，确定，考虑，两种情况，根据等比数列性质得到，整理得到，，，验证不成立，得到答案. 【详解】（1），故不是等比数列. （2）在处的切线方程为， 令得，因此，欲使满足条件，只需使， 令，则，满足条件， 故存在指数函数满足条件． （3）取，则成等比数列，故满足条件． 考虑， 首先，不可能所有项均为正数或均为负数， 否则，对应的等比数列的公比为正，等比数列严格增或严格减， 从而即为等比数列，不可能． 其次，因为是等比数列，所以也是等比数列，不妨设严格增， 则的前三项即为中最小的三项， 则一定对应于中的连续三项，     不妨设，则． ①若，则，则成等比数列，不可能； ②若，则，则成等比数列， ，即，得，，， 而除了这三项外，最小值为或， 但和均无法与构成等比数列，因此不符合条件． 综上所述：所有可能的的值是3． 【点睛】关键点睛：本题考查了等差数列和等比数列的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中根据特殊例子确定满足条件，再考虑时不成立，是解题的关键. 38.已知均为不是的正实数，设函数的表达式为（）. （1）设且，求的取值范围； （2）设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值. 解：（1）由，得及.……………………2分 将代入，得，故，…………4分 所以，即的取值范围为.………………6分 （2）将代入，得. ，，其中为正整数.……8分 且（常数），，故是首项为、公差为的严格增的等差数列； ，，故是首项为、公比为的严格增的等比数列.……10分 易得，且，，， ，……12分 所以.……14分 39.（2023杨浦二模） 已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，. （1）写出数列前4项的所有可能取法； （2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由； （3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值. 【答案】（1）答案见解析； （2）不存在，理由见解析； （3）51 【分析】（1）根据题意得或，再直接求解即可； （2）根据或，再证明，即可证明结论‘； （3）根据①或②得对于任意的，均可以使用①递推，②不能连续使用，进而记记且，可得且，进而得，再根据特例说明即可得答案. 【小问1详解】 解：由得或， 所以或， 因为足，， 所以或， 所以，当时，或； 当时，或 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以舍， 所以，数列前4项的所有可能取法有，，，或，，，或，，，. 【小问2详解】 解：不存在，下面证明： 因为， 所以，或， 当时， 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以，即 或， 所以； 当时， 因为数列是由正实数组成的无穷数列， 所以，即 所以或（舍）， 综上，， 所以，，. 综上，不存在正整数，满足. 【小问3详解】 解：由， 所以，①或②， 对于任意的，均可以使用①递推，只有满足时，才可以使用②递推； 若，显然，下次只能用①递推，即 所以，②不能连续使用. 记且， 若，则； 若，则，所以， 所以且， 所以，中至少有共51项，即. 举例如下： 所以，此时， 所以，的最小值为51. 【点睛】关键的点睛：本题第三问解题的关键在于构造且，推理得到且，，进而结合题意说明最小值可以取到即可. 题型八、 数列新定义 40. 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． （1）若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 【答案】（1）有且只有一个常值“配对和”数列：； （2）1 （3）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据新定义及为等差数列分析即可得解； （2）分类讨论当时，，，同理可分析当时，也有得解； （3）根据新定义，列举不同情况，逐一验证，可得出结论。 【小问1详解】 一方面，数列的任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和， 所以若有两个常值“配对和”数列b，b，…，b以及c，c，…，c，则，即， 即只存在一个常值“配对和”数列． 另一方面，由等差数列性质，为的一个“配对和”数列， 因此，有且只有一个常值“配对和”数列：； 【小问2详解】 若，且，则递增， 所以的常值“配对和”数列只能是：， 否则必有两项不相等．注意到若，则， 由此可知，即，矛盾．同理，若此时，也矛盾． 因此，时有．同理，当时，也有． 综上，等比数列的公比． 【小问3详解】 由题意，此时，由于改变各项顺序不影响“配对和”数列的存在与否， 故不妨设的各项按照从小到大顺序依次为：． 注意到数列任意“配对和”数列的各项之和等于的各项之和． 因此，若假设存在两个“配对和”数列和， 使得和分别是数列的前3项和后3项， 那么数列的各项之和为0，又数列的各项均非零，故． 由于数列和构成数列，所以存在． 因为此时是数列中最小项，故且； 同理，存在，其中且． 由此可知，数列的大小排序为： 因为数列和的各项之和均为0，则有下面几种可能情况： 1．一组：由于，故只能写成中的某两个和， 则中的某一个，剩余两个和这与矛盾！ 2．一组：矛盾理由与情况1同理！ 3．一组：则只能， 由于可得， 而，故，故，矛盾； 同理：不能一组，故可得不能一组！ 同理：不能一组！ 而显然不能一组：如不然，则这与矛盾！ 同理：也显然不能一组！ 则可能情况只能还有以下两种可能： 4．一组：则，作差得矛盾！ 5．一组：由于，那么要由两两配对相加得到，这是不可能的，矛盾！ 因此各项非零的数列不存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项． 41. （24-25上师大附中高一下期末）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 【答案】（1）是，理由见解析 （2）3个 （3） 【解析】 【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义“接近”，即可判断； （2）由新定义可得，求得的范围，即可得到所求个数； （3）运用等差数列的通项公式可得，讨论公差，，结合新定义“接近”，推理和运算，即可得到所求范围． 【小问1详解】 （1）是， 理由：是首项为1，公比为的等比数列， 可得，， 则， 可得数列与接近. 【小问2详解】 （2）与 “接近”，， ， 由于,其中, 互不相等，有3个元素. 【小问3详解】 与“接近”， ， 是公差为的等差数列，， ①当时，则，此时中无正数； ②当时，存在， 满足：，即与“接近”， 满足：， 即这100个都为正数； 综上，的取值范围是. 42. 已知，等差数列的前项和为，记. （1）求证：函数的图像关于点中心对称； （2）若是某三角形的三个内角，求的取值范围； （3）若，求证：. 反之是否成立？并请说明理由. （1）证：在函数的图像上任取一点，点关于点的对称点为，而， 所以点在函数图像上，所以函数的图像关于点中心对称. （2）解：若是某三角形的三个内角，则，又为等差数列，则， ， ， 不妨设，则，于是， 所以. （3）证： 若，又，则， 因为为等差数列且，所以当时，，于是 .故， 所以，得证. 若,则, 反之不成立 考虑存在等差数列，满足，则,于是与关于对称，所以. 下面证明，存在可以使得且. 不妨设，又，所以. ，考虑函数，,其中 因为，，所以存在使得， 所以存在，使得即，但是.所以反之不成立. 注：反例不唯一，例如：考虑，证明存在，使得，. 43．（2023·上海杨浦·统考一模）设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列； (3)当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由. 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)见解析 (3)存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是 【分析】（1）利用奇偶性的定义即可判定； （2）反证法，假设假设数列是等差数列，公差为，然后结合等差数列的性质推出矛盾； （3）根据递推关系得到与的关系，讨论公比与的大小关系，然后根据等比数列的性质即可得出答案. 【详解】（1）任取，都有，     因此函数是奇函数． （2）反证法：假设数列是等差数列，公差为，                 由数列是严格增数列可知． 因为，所以，即非零常数           因为， 所以（其中是正整数）．                              因为，，所以．方程无解，矛盾． 假设不成立，即当时，数列不是等差数列． （3）若数列是等比数列，则其各项均非零，设其公比为 由 得 ，即． 考虑方程，均为该方程（记为①）的解．        由函数的值域为可知，即， 所以．若，则当充分大时（时）， ，这与矛盾，从而不合题意．           若，函数在是严格增函数 由时，可知函数当时，均有， 因此函数的零点（即方程①的解）的绝对值均大于1，即． 但若，由，则当充分大时（时）， 将有，这与矛盾，从而不合题意．                综上，只能有．此时方程①为， 记．因为， 所以存在，使是方程①的解． 进而由函数是奇函数，也是方程①的解．因此只需取   其中是正整数即可. 综合上述，存在公比为负数的无穷等比数列，其公比只能是． 44．（2023·上海普陀·统考一模）若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”. (1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由； (2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式； (3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明. 【答案】(1)不是“”数列 (2)， (3)，证明见解析 【分析】（1）根据“数列”的定义进行判断，说明理由； （2）根据是首项为2的“数列”，求出，由是等比数列，设公比为，由，可得，作差可得，利用前三项数列，可以求解和，进而求解等比数列的通项公式； （3）根据题意构造函数，求导并判断在上单调递增，由是 “数列”与，反复利用，可得对于任意的，,进而得到，推出，再利用在上单调递增，得到，通过已知条件变形推出. 【详解】（1）根据“数列”的定义，则，故， 因为成立，成立，不成立， 所以不是“数列”. （2）由是首项为的“数列”，则，， 由是等比数列，设公比为， 由， 则， 两式作差可得， 即 由是 “数列”，则，对于恒成立， 所以， 即对于恒成立， 则，即， 解得，，， 又由，，则，即 故所求的，数列的通项公式 （3）设函数，则，令， 解得，当时，， 则在区间单调递减， 且， 又由是 “数列”， 即 ，对于恒成立， 因为，则， 再结合， 反复利用， 可得对于任意的，, 则， 即，则， 即，，，， 相加可得， 则, 又因为在上单调递增， 所以， 又，所以， 即， 故. 【点睛】关键点睛：本题主要数列的新定义题型，紧扣题意进行求解，同时构造函数，利用导数判断单调是证明不等式的关键. 1. 已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列： (2)若，求正整数的所有取值. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据证明为定值即可； （2）先根据（1）求出，再利用错位相减法求出，从而可得，再根据函数的单调性即可得解. 【解析】（1）由，得， 当时，，所以， 当时，， 两式相减得，即， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列； （2）由（1）得，所以， ， ， 两式相减得， 所以， 则， 由， 得， 即， 令， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上是增函数， 由， ， 则当时，， 所以若，正整数的所有取值为. 2. 已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【答案】(1)证明见详解， (2) 【解析】（1）因为， 令，则，解得，则， 且， 可得数列是以首项为1，公比为的等比数列， 所以，即. （2）由（1）可知：， 则 ， 所以. 3．已知各项均为正数的数列，满足：，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2) 【解析】（1）由，得， 又，所以当时， ， 所以，又，符合上式，，所以， 又，所以． （2）由（1）知，所以， ， 两式相减得， 所以． 4.已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意求出等差数列的公差，即可得到其通项公式；由数列满足，.根据等比数列的定义可证明数列是等比数列； （2）由分组求和法，结合等差数列、等比数列的前项和公式可求得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 得，解得. 所以. 由得，即， 又， 所以是一个以4为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）可得，所以. 所以. 所以. 5.已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项的性质，可证为等差数列，根据等差数列的求和公式，可得首项和公差d的值，代入公式，即可得答案. （2）由错位相减法求和即可. 【详解】（1）因为，所以数列为等差数列， 设数列的公差为d，且，则，解得， 又，所以，即， 则，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 所以， 则， 两式相减可得：， 即， 化简可得：. 6.已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用关系求通项公式即可； （2）应用裂项相消法求. 【详解】（1）由，得， 两式相减得，则； （2）由（1）可知，则， 所以 . 7.已知数列， (1)令，求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明根据递推公式证明为定值即可； （2）利用错位相减法求解即可. 【详解】（1）因为， 所以，即， 又， 所以数列是公比为，首项为的等比数列； （2）由（1）得，则， 则， ， 两式相减得， 所以. 8.已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 【思路分析】（1）当时，可得，即，当时，，即可推出，可得，即可求证数列是等差数列，求出的通项公式，进而可得数列的通项公式； （2）由（1）知，求出，利用错位相减法和分组求和法即可求解. 【规范答题】（1）由，得（）， 当时，（）， ∴，化为， ∵，∴， 即当时，， 令，可得，即． 又， ∴数列是首项和公差均为1的等差数列． 于是，∴． （2）由（1）知，∴ 故， 令， ∴， ∴ ∴，∴. 9.设数列的前n项和为，已知，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，为数列的前n项和，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由得出，再计算，将代入，即可证明； （2）由（1）得，得出为公比为的等比数列，根据等比数列的通项公式得出，代入，再裂项得，即可求得数列的前n项和． 【详解】（1）因为，所以， 即 所以 （为常数）， 所以数列是等差数列． （2）由（1）知，即.所以， 所以为公比为的等比数列，又，所以， 因为， 所以， 所以数列的前项和为： ． 10.记为数列的前项和，已知 （1）求数列的通项公式； （2）设 若 求正整数m的值. 解：（1）由得： 且当时 ……3分 所以，数列从第2项开始构成以为首项，2为公比的等比数列, 故 数列 的通项公式为： ……6分 （2）当时，又. ……8分 当m =1 时， 不满足条件； ……10分 当时，由 解得 m =11. ……14分 11.已知数列的前项的和为,且. (1)当时,求证数列为等比数列,并求的通项公式; (2)当时,不等式对于任意都成立,求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】(1)退相减,得出递推式,再用构造法证明,最后求通项公式 (2)恒成立问题,通过分离与转化为函数最值问题求解 【解析】（1）当时, 当,则 当 两式相减得,即 所以 所以是首项为,公比为3的等比数列 所以,所以 （2）当时,,即 当时, 由,得,即对于任意都成立,令 则 因为在上单调递减,在上单调递增 所以当时,,所以 12. 已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明过程见解析； (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由等差数列通项公式基本量计算得到公差为2，首项为1，从而得到前n项和； （2）假设存在，使对任意恒成立，变形为对任意恒成立，结合当时，，求出且，因此符合题意得不存在. 【解析】（1）由题意得：，解得：， 由，解得：， 所以； （2）假设存在，使对任意恒成立， 则对任意恒成立， 即对任意恒成立， 当时，， 所以且，因此符合题意得不存在，证毕. 13. 设等比数列的前项和为，已知，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等比数列的通项公式和求和公式列式求，即可得结果； （2）利用分组求和可求得，再结合函数单调性证明. 【解析】（1）设数列的公比为， ∵，则，解得， 故. （2）由（1）知， 所以 ∵在上单调递增，则数列为递增数列， ∴当时，， 故当时，. 14. 记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 【答案】见解析 【解析】（1）因为，即①， 当时，②， ①②得，， 即， 即，所以，且， 所以是以为公差的等差数列． （2）[方法一]：二次函数的性质 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，所以， 所以，当或时，． [方法二]：【最优解】邻项变号法 由（1）可得，，， 又，，成等比数列，所以， 即，解得， 所以，即有. 则当或时，． 15. 已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 【解析】(1)，， 则当时，，即，而， 因此，数列是公比为2的等比数列，则，即， 所以. (2)记，由（1）知，， 不妨假设存在三项成等差数列，则， 因为，所以， 令，则，于是有对是递增的， 则，即， 因此， 即，其左边为负数，右边为正数，矛盾， 所以数列中不存在成等差数列的三项． 16.已知等差数列{an}满足a5=16，a7=22，正项等比数列{bn}的前n项和为Sn， 满足S6=5S4－4S2，且b2=a1． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)是否存在n使得，若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)设公差为d，∴， ∴，. 由，， 设公比为q ∴，，∴． (2)，当时，，当时，， 当时，，当时，令， ，∴单调递减， ∴，故存在n使得，. 17.已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上. (1)证明：数列是等比数列； (2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由. 【解析】（1）证明：对任意的正整数，点均在函数图象上， 可得，即， 又因为，可得， 所以数列表示首项为，公比为的等比数列. （2）不存在. 理由：由（1）得， 当时，可得， 又因为，所以， 反证法：因为，且从第二项起数列严格单调递增， 假设存在使得成等差数列， 可得，即， 两边同除以，可得 因为是偶数，是奇数，所以， 所以假设不成立，即不存在不同的三项能构成等差数列. 18.已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 【答案】(1) (2) 【解析】（1）当时，， 当时，，因为也符合上式． 所以． （2）由（1）可知， 所以 ． 19.已知是等差数列，，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，记，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为是等差数列，，，且，，成等比数列， 所以，即，解得或（舍去）， 所以． （2）由题意知，， 所以 ． 当为偶数时， ， 当为奇数时， ． 综上． 20.已知数列的首项，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）因为，， 所以，取倒得， 所以，即，即， 因为，所以是，的等比数列， 所以. （2）在之间有2个3，之间有个3，之间有个3，之间有个3， 合计个3， 所以. 21.设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）. (1)求数列的通项公式； (2)试确定的值，使得数列为等差数列； (3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求. 【答案】(1) (2) (3)2226 【解析】（1）由题意，可得，所以， 解得或（舍），则， 又，所以. （2）由，得， 所以，，， 因为数列为等差数列，所以，解得， 所以当时，，由（常数）知此时数列为等差数列. （3）因为，所以与之间插入个2， ，所以与之间插入个2， ，所以与之间插入个2， …… 则的前项，由个，构成， 所以. 22.已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)已知 ，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列. 【答案】(1)数列不为“回归数列”，详见解析 (2)详见解析 【分析】(1) 由“回归数列”的概念，结合的结果可判断； (2)设，结合以及等差数列的概念可解. 【详解】（1）对于任意仍为数列 中的项，则称数列为“回归数列”. 己知则， 显然不是数列中的项，故：数列不为“回归数列”. （2）由题意知:，必存在，使得：由题意可知：， ，故因此，即: 整理得：，则数列为等差数列. 23.在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)①；②. 【分析】（1）求出数列的通项公式，结合“二阶等差数列”的定义判断即可； （2）①求出等差数列的通项公式，再利用累加法可求得数列的通项公式； ②由可得，令，分析数列的单调性，求出该数列最大项的值，即可得出实数的取值范围. 【详解】（1）因为，所以 ， 所以，故数列为等差数列， 故数列为二阶等差数列. （2）①根据题意可得，， 因为数列为等差数列，故数列的公差为, 所以等差数列的首项为，故， 所以， 当时，，，，， 上述等式相加得， 故， 也满足，故对任意的，； ②由题意可知，，即，可得， 令，则， 当且时，，可得； 当时，； 当且时，，可得， 所以数列的最大项为，故， 所以实数的取值范围是. 24.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列.设的二阶和数列的前项和为. (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求和； (2)若，求的二阶和数列的前项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且（，），若，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差. 【答案】(1)， (2) (3)的最大值是1999，公差. 【分析】（1）根据一阶和数列的定义以及，，，的值可计算出，，的值，再根据二阶和数列的定义计算出，的值，由的二阶和数列是等比数列可得公比，从而解得，的值，再由定义可求出的值； （2）根据定义和以及可得的通项公式，进而求得的前n项和公式； （3）由和一阶和数列的定义可得，从而可得公差，结合可得正整数k的最大值. 【详解】（1）解：由题意，得，，. ∴，， ∵是等比数列，∴公比， 由此得，，∴. （2）由题意得， ， ∴ . （3）∵，∴， ∴. ∵数列是等差数列，设公差为， 则，得. ∵， ∴ ，得， ∴的最大值是1999，此时公差. 【点睛】关键点点睛：此题考查了数列的新定义，意在考查学生的计算能力，逻辑推理能力，解题时充分理解新定义，运用新定义，再结合所学知识是解题的关键. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题05 数列解答题八种考法归纳 1.（2025全国高考数学1卷）设数列满足， （1）证明：为等差数列； （2）设，求． 2．（2024·全国甲卷·高考真题）已知等比数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和. 3．（2023·全国乙卷·高考真题）记为等差数列的前项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和． 4．【2022年上海市高考数学第21题】数列{an}对任意n∈N*且n≥2，均存在正整数i∈[1，n﹣1]，满足an+1＝2an﹣ai，a1＝1，a2＝3． （1）求a4可能值； （2）命题p：若a1，a2，⋯，a8成等差数列，则a9＜30，证明p为真，同时写出p逆命题q，并判断命题q是真是假，说明理由； （3）若a2m＝3m，（m∈N*）成立，求数列{an}的通项公式． 5．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 6．（2021·全国乙卷·高考真题）记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知． （1）证明：数列是等差数列; （2）求的通项公式． 题型一、等差、等比的判定与证明 1. 在数列中，，在数列中，. (1)求证数列成等差数列并求； (2)求证：. 2. 记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 3. 已知数列满足，． (1)设，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和． 4. 设数列的前n项和，. (1)证明：数列是等比数列； (2)求的通项公式. 题型二、求数列的通项公式 5．（2023·上海徐汇·统考一模）已知等差数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)若等比数列的公比为，且满足，求数列的前项和． 6．（2023·上海嘉定·统考一模）已知数列的前n项和为，其中． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 7. （2025届上海市大同中学高三三模）已知数列的前项和满足，且. （1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和. 8.（24-25华师大二附中高一下期中）已知数列满足，且，在数列中，，点在函数的图象上. （1）求和的通项公式； （2）将数列和的所有公共项从小到大排列得到数列，求数列的前项和. 9. 已知数列的前n项和为，，． (1)求数列的通项； (2)设，求数列的前n项和． 题型三、数列求和 10.已知等差数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若数列是首项为2，公比为3的等比数列，求数列的前项和． 11.已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； (2)若，，求前项和. 12.已知等差数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 13. 已知数列的前项和，满足：；数列满足： (1)求的通项公式 (2)设，求的前项和 题型四、数列中的最值范围问题 14. 设是等比数列，是递增的等差数列，的前项和为，，，，． (1)求与的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求满足成立的的最大值． 15. 已知数列是首项等于的等比数列，公比，是它的前项和，满足． （1）求数列的通项公式； （2）设（，为常数）求数列的前项和的最值． 16. 已知数列的前项和为，且为正整数． (1)证明：是等比数列； (2)当取到最小值时，求的值．(参考数据：) 17. 已知数列的首项，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)设，求使不等式成立的最小正整数n. 18．（2024·上海虹口·二模）已知等差数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列前项和为，且，若，求正整数的最小值. 19.已知数列的前项和满足，，为数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)求使成立的的最大值. 20.已知数列的前n项和． (1)求数列的通项公式； (2)议，当取得最小值时，求n的取值． 21.已知数列是公差为2的等差数列，且是和的等比中项． (1)求数列的通项公式； (2)设，数列的前项和为，求使得成立的最大正整数的值． 题型五、 数列与不等式 22. 已知数列满足. (1)证明：数列是等比数列； (2)设，证明：. 23. 已知数列满足. (1)求数列的通项公式； (2)记数列的前项和为，证明：. 24. 已知数列满足，． (1)求数列的通项公式；(2)记为数列的前n项和，证明：． 25. 已知数列的前n项和为，且，. （1）求的通项公式 ； （2）设若，恒成立，求实数的取值范围. 26.在数列中，，的前项为． (1)求证：为等差数列，并求的通项公式； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 27．（2023·上海金山·统考一模）已知数列满足，且． (1)求的值； (2)若数列为严格增数列，其中是常数，求的取值范围． 题型六、数列的存在性问题 28. 记为数列的前项和，已知的等差中项为. (1)求证为等比数列； (2)数列的前项和为，是否存在整数满足？若存在求，否则说明理由. 29.已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为． (1)若，求； (2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围． 30.已知数列满足：. (1)当时，求数列中的第10项； (2)是否存在正数，使得数列是等比数列，若存在求出值并证明；若不存在，请说明理由. 31.已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上. (1)证明：数列是等比数列； (2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由. 题型七、数列公共项、插入项、奇偶项、重排列问题 32. 已知数列的首项，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求. 33. 已知数列满足. (1)求的通项公式； (2)在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前2n项和. 34. 为数列的前项和，已知，且. (1)求数列的通项公式； (2)数列依次为：，规律是在和中间插入项，所有插入的项构成以3为首项，3为公比的等比数列，求数列的前100项的和. 35. 设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）. (1)求数列的通项公式； (2)试确定的值，使得数列为等差数列； (3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求. 36. 已知等比数列的前项和为，且 (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 37．（2023·上海青浦·统考一模）已知有穷等差数列的公差d大于零． (1)证明：不是等比数列； (2)是否存在指数函数满足：在处的切线的交轴于，在处的切线的交轴于，…，在处的切线的交轴于？若存在，请写出函数的表达式，并说明理由；若不存在，也请说明理由； (3)若数列中所有项按照某种顺序排列后可以构成等比数列，求出所有可能的m的取值． 38.已知均为不是的正实数，设函数的表达式为（）. （1）设且，求的取值范围； （2）设，，记，，现将数列中剔除的项后、不改变其原来顺序所组成的数列记为，求的值. 39.（2023杨浦二模） 已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，，，. （1）写出数列前4项的所有可能取法； （2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由； （3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值. 题型八、 数列新定义 40. 若实数列的项数为，则称项数为m的数列为的一个“配对和”数列，其中为的一个排列，即．例如：数列1，2，3，4，5，6的一个“配对和”数列为． （1）若为等差数列，求的所有常值“配对和”数列； （2）若为公比为正数的等比数列，且存在一个常值“配对和”数列，求等比数列的公比； （3）若数列的项数为6且各项均非零，问：是否存在两个“配对和”数列和，使得和分别是数列的前3项和后3项？若存在，求出所有的配对和；若不存在，说明理由． 41. （24-25上师大附中高一下期末）给定无穷数列，若无穷数列满足：对任意，都有，则称与“接近”． （1）设是首项为1，公比为的等比数列，，判断数列是否与“接近”，并说明理由； （2）设数列的前三项为：，是一个与“接近”的数列，求集合的元素个数； （3）设是公差为的等差数列，若存在数列满足：与“接近”，且在中至少有100个为正数，求的取值范围． 42. 已知，等差数列的前项和为，记. （1）求证：函数的图像关于点中心对称； （2）若是某三角形的三个内角，求的取值范围； （3）若，求证：. 反之是否成立？并请说明理由. 43．（2023·上海杨浦·统考一模）设函数，（其中常数，），无穷数列满足：首项，. (1)判断函数的奇偶性，并说明理由； (2)若数列是严格增数列，求证：当时，数列不是等差数列； (3)当时，数列是否可能为公比小于0的等比数列？若可能，求出所有公比的值；若不可能，请说明理由. 44．（2023·上海普陀·统考一模）若存在常数，使得数列满足（，），则称数列为“数列”. (1)判断数列：1，2，3，8，49是否为“数列”，并说明理由； (2)若数列是首项为的“数列”，数列是等比数列，且与满足，求的值和数列的通项公式； (3)若数列是“数列”，为数列的前项和，，，试比较与的大小，并证明. 1. 已知数列的前项和为，且 (1)求，并证明数列是等差数列： (2)若，求正整数的所有取值. 2. 已知数列满足，且． (1)证明：数列为等比数列，并求出数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 3．已知各项均为正数的数列，满足：，，． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前n项和． 4.已知数列是等差数列，且，，数列满足，. (1)求的通项公式，并证明数列是等比数列； (2)若数列满足，求的前项和. 5.已知数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)数列满足，求数列的前n项和． 6.已知数列的前n项和为，且，． (1)求的通项公式： (2)若，，求． 7.已知数列， (1)令，求证：数列是等比数列； (2)若，求数列的前项和. 8.已知数列的前n项和，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 9.设数列的前n项和为，已知，，． (1)证明：数列是等差数列； (2)记，为数列的前n项和，求． 10.记为数列的前项和，已知 （1）求数列的通项公式； （2）设 若 求正整数m的值. 11.已知数列的前项的和为,且. (1)当时,求证数列为等比数列,并求的通项公式; (2)当时,不等式对于任意都成立,求的取值范围. 12. 已知是公差为的等差数列，前项和为的平均值为4，的平均值为12. (1)求证：； (2)是否存在实数，使得对任意恒成立，若存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由. 13. 设等比数列的前项和为，已知，且. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，证明：当时，. 14. 记为数列的前n项和．已知． (1)证明：是等差数列； (2)若成等比数列，求的最小值． 15. 已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)判断数列中是否存在成等差数列的三项，并证明你的结论． 16.已知等差数列{an}满足a5=16，a7=22，正项等比数列{bn}的前n项和为Sn， 满足S6=5S4－4S2，且b2=a1． (1)求{an}和{bn}的通项公式； (2)是否存在n使得，若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由． 17.已知数列的前项和为，对任意的正整数，点均在函数图象上. (1)证明：数列是等比数列； (2)问中是否存在不同的三项能构成等差数列？说明理由. 18.已知数列的前n项和为，且． (1)求的通项公式； (2)若数列满足，求数列的前2n项和． 19.已知是等差数列，，，且，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，记，求. 20.已知数列的首项，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)在与（其中）之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.记为数列的前n项和，求. 21.设等比数列的首项为，公比为（为正整数），且满足是与的等差中项；数列满足（，）. (1)求数列的通项公式； (2)试确定的值，使得数列为等差数列； (3)当为等差数列时，对每个正整数，在与之间插入个2，得到一个新数列.设是数列的前项和，试求. 22.已知数列，若对于任意正整数n，仍为数列中的项，则称数列为“回归数列”. (1)已知 ，判断数列是否为“回归数列”，并说明理由； (2)若数列为“回归数列”，且对于任意正整数n，均有成立，证明：数列为等差数列. 23.在数列中，记，若为等差数列，则称为二阶等差数列． (1)若，判断是否为二阶等差数列？并说明理由； (2)已知二阶等差数列满足，，． ①求数列的通项公式； ②若不等式对恒成立，求实数k的取值范围． 24.对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列.设的二阶和数列的前项和为. (1)若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求和； (2)若，求的二阶和数列的前项和； (3)若是首项为1的等差数列，是的一阶和数列，且（，），若，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $