专题03：解三角形与三角形解答题十种考法归纳 讲义-2026届高三数学二轮复习（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题03 解三角形与三角函数解答题十种考法归纳 1．【2022年上海卷19】如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点P与点C重合，求∠POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 2. （2021年上海高考）已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，. （1）若，求、；（2），求. 3.（2020上海高考）已知函数. ①若的周期，求的值，并求出此时方程的解集； ②若，函数，，求函数的值域. 题型一：解三角形的周长、面积问题 1. （松江2023一模18）在三角形中，内角，，所对边分别，，，已知. （1） 求角的大小； （2） 若，三角形的面积为，求三角形的周长. 2. 在中，已知内角所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的面积. 题型二：解三角形中中线、角平分线、高问题 4. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，为边的中点，，求. 5. 在中，内角的对边分别是，且 ． （1）求的大小； （2）若，为的角平分线，且，求的面积． 6. 如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 7. 在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 8. 记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 9. 如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 10. （金山2023一模19）在中，设角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的最大值. 题型三：解三角形的最值与范围问题 11．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 12.在锐角中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角的值； （2）若，求周长的取值范围. 13. 在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 14. △ABC中，角的对边分别为，已知，且， （1）若，求边长b的值； （2）求△ABC的面积S的最大值． 15. （2024长宁区二模）在中，角的对边分别为． （1）若，求 （2）若， 的面积，求外接圆半径的最小值． 16．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 17．（2024·上海闵行·二模）在锐角中，角所对边的边长分别为，且. (1)求角； (2)求的取值范围. 18. （松江2023二模）在锐角中，内角、、所对边分别为、、，且． （1）求角； （2）求的最大值． 题型四：三角函数的值域与最值 19．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 20.（青浦2023二模）已知函数的表达式为. （1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程； （2）求函数在上的值域. 21. （2024宝山区一模）设函数＝，． 若，函数是偶函数，求方程； 求函数＝的值域． 22. （青浦2023一模17）已知函数，. （1） 求的单调增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 23.（2023上海交大附中高三月考）已知函数，其中，，且此函数的最小正周期等于． （1）求的值，并写出此函数的单调递增区间； （2）求此函数在的最大值和最小值，并求出取到最值时的值． 题型五：三角函数性质综合 24. 已知函数的最小正周期为． (1)求的值及的对称中心； (2)若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间． 25．（24-25高三上·上海黄浦·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 26.（2025·上海静安·二模）已知向量， 记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 27．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 28. （长宁2024二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位； （2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数的取值范围； （3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 题型六：三角函数中解不等式 29.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，. (1)求函数的表达式； (2)求 关于x的不等式的解集. 30.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 31． 函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 32． （2024·上海松江区·高三一模）已知函数. （1）求的最小正周期和值域； （2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围. 33．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； (2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 34.已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 题型七：三角函数的零点、实数解、方程根问题 35．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 36．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 37.（宝山2023二模）已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调区间； （2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 38.（2025上海高三专题练习）已知函数. （1）求函数在区间上的值域； （2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围. 39. 已知直线（）与函数、的图像分别交于、两点． （1）当时，求的值； （2）求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点． 40．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 41. 已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 题型八：三角函数与数列综合 42．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若. (1)求证：a、b、c成等差数列； (2)若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小. 43.已知函数，． （1）若函数是偶函数，求实数的值． （2）若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值． 44.已知数列满足，. (1)求（只需写出数值，不需要证明）； (2)若数列的通项可以表示成的形式，求，. 45. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 46.数列满足，，，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求正整数，使得. 题型九：三角函数与解三角形、平面向量综合 47.的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. （1）求； （2）点满足，且，求. 48．（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 49. （2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 50.（崇明2023一模18）已知函数. （1）求的单调增区间； （2）在中，为角的对边，且满足，且，求的取值范围. 51.（徐汇2023二模）已知向量，，函数． （1）设，且，求的值； （2）在△中，，且△的面积为，求的值． 52.（2024崇明一模） 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，. （1）求角B大小； （2）设，当时，求的最小值及相应的x. 53.已知向量，， （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在△中，角为锐角，且，，，求边的长． 54．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 55.（2024闵行区一模）已知，，． （1）设，求函数的解析式及最大值； 时 （2）设的三个内角的对边分别为，当时，，且，求的面积． 56．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 57.（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 题型十：三角函数新定义问题 58.设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. （1）设函数，求证：； （2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 59.（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； (3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 5．（2022年新高考全国II卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 6．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 7．（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 8．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 9.在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 10．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 12．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 13.已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 14．（24-25高一下·闵行期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 15.已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若在上存在最小值，求实数的取值范围. 16．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 17．（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 18.我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题03 解三角形与三角函数解答题十种考法归纳 1．【2022年上海卷19】如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点P与点C重合，求∠POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 【答案】(1) arcsin；(2) 28． 【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°， 由余弦定理可得OP2＝OB2+BC2﹣2OB•BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（）＝196， 所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得， 所以，解得sin∠POB， 所以∠POB的大小为arcsin； （2）如图，连结QA，PB，OQ，OP， ∵曲线CMD上任意一点到O距离相等， ∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14， ∵P，Q关于OM对称， ∴P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM＝S△POM＝α， 则∠AOQ＝∠BOP＝S△BOP， 则五边形面积S＝2（S△AOQ+S△QOM） ＝2[] ＝196sinα+140cosα ＝28sin（α+φ），其中tanφ， 当sin（α+φ）＝1时，S五边形MQABP取最大值28， ∴五边形MQABP面积S的最大值为28． 2. （2021年上海高考）已知、、为△的三个内角，、、是其三条边，，. （1）若，求、；（2），求. 【答案】（1）,（2） 【解析】（1），∴，； （2），∴，∵， 由正弦定理， 3.（2020上海高考）已知函数. ①若的周期，求的值，并求出此时方程的解集； ②若，函数，，求函数的值域. 【答案】①， ② 题型一：解三角形的周长、面积问题 1. （松江2023一模18）在三角形中，内角，，所对边分别，，，已知. （1） 求角的大小； （2）若，三角形的面积为，求三角形的周长. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）在中，由正弦定理，可得， 又由，得，即， . 又因为，可得； （2）由题意，，故， 故， 由余弦定理，知，解得. 故三角形的周长为. 2. 在中，已知内角所对的边分别为，且满足. (1)求角； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理进行边角转化，然后结合三角函数的公式求解即可； （2）利用三角形的面积公式和余弦定理求解即可. 【详解】（1）由及正弦定理， 可得， 结合， 由， 得， 化简可得. ， ，即. 又. （2）由的面积为，结合（1）可得， 在中，由余弦定理可得， ， 或（舍去）， 的周长为. 3. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)证明：； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理即可求证； （2）由（1）求得，结合同角三角函数关系和三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）由及正弦定理得， 所以， 又，所以， 即； （2）因为，，， 所以，又，所以， 所以的面积. 题型二：解三角形中中线、角平分线、高问题 4. 在中，角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若，为边的中点，，求. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先利用余弦定理将分母转化为 ，再将 tanA+tanC 化为正弦、余弦形式，结合三角形内角和与三角恒等变换，求出角C. （2）可利用中线长公式或在两个小三角形中分别应用余弦定理，结合（1）中求得的角 C，建立关于的方程，最终求出. 【详解】（1）因为 . 所以，故，所以. （2）由于 故，由余弦定理又有，而，故有 ，. 所以. 5. 在中，内角的对边分别是，且 ． （1）求的大小； （2）若，为的角平分线，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先应用两角和正弦公式化简，再应用诱导公式计算得出余弦值即可求解角； （2）根据余弦定理计算，应用角平分线定理结合面积公式计算求解. 【详解】（1）由得， ，所以， 即，因为，所以， 则，所以． （2）中，由余弦定理得，即①， 因为为的角平分线，所以，即②， 联立①②，解得，所以． 6. 如图，已知三角形的内角的对边分别为，且. (1)求的大小； (2)若，设为三角形的角平分线，求的长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角，利用两角和的正弦公式和三角形内角和公式求解； （2）利用面积方法和三角形的面积公式计算. 【详解】（1）由得, 又因为， 所以, 又因为， 所以, 又因为, 所以. （2）因为， 所以, 又因为, 所以, 所以, 故答案为：. 7. 在中，角所对的边分别为. (1)若，求的面积S； (2)若角C的平分线与的交点为，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用同角三角函数的平方关系，把化成，根据正弦定理可得，在根据余弦定理，可得角，再结合余弦定理，表示出，可得的值，进而利用可求面积. （2）根据，结合可得：，再结合基本不等式，可求的最小值. 【详解】（1）由， 得. 由正弦定理得. 所以， 因为，所以. 在中，， 由余弦定理， 得，解得. 所以. 即的面积S为. （2）因为为角C平分线，，所以. 在中，， 所以， 由，得，所以. 因为，所以由基本不等式，得， 所以，当且仅当时取等号. 所以的最小值为. 8. 记的内角、、所对边分别为、、，面积为，且． (1)证明：； (2)若，边上的高为，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形的面积公式结合二倍角的正弦定理可得出，再利用正弦定理结合两角和的正弦公式化简可得出所证结论成立； （2）解法1：利用两角和的正切公式可求出的值，过作，过作，、分别为垂足，设，在中，应用勾股定理求出的值，然后在，利用勾股定理可求出的值； 解法2：利用同角三角函数的基本关系求出、的值，利用三角形的面积公式求出的值，然后利用正弦定理可求出的值. 【详解】（1）因为，所以， 在中，，所以． 由正弦定理，得． 因为， 所以， 所以，即， 所以． （2）因为，所以，由（1）知． 法1：因为， 所以为锐角三角形． 过作，过作，、分别为垂足， 由，设， 因为，所以，， 所以在中，，，，所以，解得， 所以在中，，即．    法2：因为，又因为，解得，． 因为，所以，所以，． 由，得，解得． 由正弦定理，得，解得． 9. 如图，在中，为的中点，且． (1)求； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用三角形的面积公式可求. （2）在和中，分别利用余弦定理，即可求，进而可得. 【详解】（1）因为为的中点，所以， 则， 即， 因为，所以， 所以，即． （2）不妨令，则，设，则． 在中，由余弦定理得， 即．① 在中，由余弦定理得，即．② ①②联立，解得， 所以． 10. （金山2023一模19）在中，设角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为角，再由诱导公式和两角和的正弦公式化简即可； （2）由得，因为，两方程联立结合均值不等式即可得出答案. 【解析】（1）由，得，……2分 即， ……4分 从而，由，得； ……6分 （2）由，得， 从而，即 ……8分 又因为，得， ……9分 所以，即，从而， ……10分 而，故， ……12分 解得，等号当且仅当时成立. 所以的最大值为. ……14分 题型三：解三角形的最值与范围问题 11．（2024·上海宝山·一模）在中，已知. (1)若且，求的面积； (2)若求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合正弦定理、余弦定理和面积公式即可求解； （2）结合基本不等式求最值和三角形边的关系即可求解. 【详解】（1）由正弦定理得，又，从而，         由得，            从而，                               所以的面积. （2）由，            又，当且仅当时取等号，       从而，所以，                        又因为中，，从而，                       所以的范围是. 12.在锐角中，角所对的边分别为，且满足. （1）求角的值； （2）若，求周长的取值范围. 【答案】 （1） （2） 【分析】 （1）利用正弦定理把边化为角，结合三角变换可得解； （2）用正弦定理把边化角，结合三角恒等变换化简，利用三角函数的值域求解，即可得到答案. （1） 由正弦定理可得：， 因为A为三角形内角，所以， 所以，可得：，即， 因为，可得，可得， 所以可得 （2） 由正弦定理得， 所以 ， 因为，所以 从而，所以，所以， 故周长的取值范围是 13. 在锐角△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且△ABC外接圆半径为. (1)求角B的大小； (2)求△ABC周长的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由，利用正弦定理，可得，由余弦定理求出，从而得到的值. （2）由正弦定理得的值，将进行边化角，得到，由△ABC为锐角三角形得到，结合正弦函数的性质得到的范围，从而得到△ABC周长的取值范围. 【详解】（1）∵， 由正弦定理，可得，即. 由余弦定理，可得，又∵，∴. （2）由正弦定理，可得， ， ∵△ABC为锐角三角形，可得，即，解得， ∴，∴，∴， 即，△ABC周长的取值范围为. 14. △ABC中，角的对边分别为，已知，且， （1）若，求边长b的值； （2）求△ABC的面积S的最大值． 【答案】 （1） （2） 【分析】 (1)根据已知条件，结合余弦定理可以求出∠A，再结合正弦定理，即可求出边b； (2)使用三角形面积公式结合余弦定理和基本不等式即可求出面积最大值﹒ （1） 由余弦定理可知 ∵ 又， ∴由正弦定理可知：，∴，． （2） 由(1)可知 又 由余弦定理可知 当且仅当b＝c时，bc有最大值为12 则△ABC面积最大值． 15. （2024长宁区二模）在中，角的对边分别为． （1）若，求 （2）若， 的面积，求外接圆半径的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理化简即可 （2）根据三角形的面积公式可得，再根据基本不等式可得，再根据正弦定理求解即可 小问1详解】 因为，由正弦定理，，所以，因为，所以 【小问2详解】 由已知，，所以， 所以 因为 所以（当时取等号） 所以 所以的最小值为（当时取得） 16．（2024·上海嘉定·二模）在中，角、、的对边分别为、、，． (1)求角，并计算的值； (2)若，且是锐角三角形，求的最大值． 【答案】(1)或；当时，；当时， (2) 【分析】（1）由题意，根据同角的平方关系可得，求出B，进而求出即可； （2）由题意可得，求出C的范围，根据正弦定理可得，利用三角恒等变换化简计算得（），结合的范围和正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由，得，则， 又，所以或. 当时，； 当时，. （2）若为锐角三角形，则， 有，解得. 由正弦定理，得，则， 所以 ， 其中，又，所以， 则，故当时，取到最大值1， 所以的最大值为. 17．（2024·上海闵行·二模）在锐角中，角所对边的边长分别为，且. (1)求角； (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）由已知结合正弦定理可得结果； （2）根据为锐角三角形求出，利用两角差的正弦公式及辅助角公式化简，根据正弦函数性质可得结果. 【详解】（1）， ， 又， ，. （2）由（1）可知，，且为锐角三角形， 所以，， 则， 因为， . 18. （松江2023二模）在锐角中，内角、、所对边分别为、、，且． （1）求角； （2）求的最大值． 解：（1）由结合正弦定理可得：, 因为△ABC为锐角三角形，所以 故. （2）结合(1)的结论有： （或者） 由可得：， 当时，， 即的最大值是. 题型四：三角函数的值域与最值 19．（24-25高三上·上海浦东新·期末）已知函数的表达式为，． (1)若函数的最小正周期为，求的值及的单调增区间； (2)若，设函数的表达式为，求当时，的值域． 【答案】(1)，单调增区间为； (2) 【分析】（1）根据最小正周期得到方程，求出，并用整体法求出函数递增区间； （2）利用三角恒等变换得到，结合，得到，从而得到函数值域. 【详解】（1）因为，所以，解得， ， 令，解得， 故单调递增区间为； （2），， 时，，故， 所以. 20.（青浦2023二模）已知函数的表达式为. （1）求函数的最小正周期及图像的对称轴的方程； （2）求函数在上的值域. 解：（1）由已知 则函数的最小正周期为， 令，得， 即函数的对称轴方程为； （2）由（1），，， ，， 即在上的值域为. 21.（2024宝山区一模）设函数＝，． 若，函数是偶函数，求方程； 求函数＝的值域． 解：（1）由＝，得＝， ∵ 为偶函数，∴ ， ∵ ，∴ ， ∴ ＝，即， ，即方程的解集是. （2）＝ ＝ ＝ ， ∵ ，∴ ， ∴ ， ∴ 函数＝的值域为：． 22. （青浦2023一模17）已知函数，. （1） 求的单调增区间； （2）求在区间上的最大值和最小值. 【答案】（1），；（2）最大值为，最小值为. 【解析】（1）， 令，，解得，， 所以的单调增区间为； （2）由（1）知，，当时，则， 所以当，即时，取最大值，为， 当，即时，取最小值，. 23.（2023上海交大附中高三月考）已知函数，其中，，且此函数的最小正周期等于． （1）求的值，并写出此函数的单调递增区间； （2）求此函数在的最大值和最小值，并求出取到最值时的值． 【答案】（1），函数的单调递增区间为；（2）答案见解析. 【分析】 （1）利用诱导公式和辅助角公式化简函数解析式为，求得的值，然后解不等式即可得出函数的单调递增区间； （2）由可求得的取值范围，结合正弦型函数的基本性质可求得函数的最大值和最小值及其对应的的值. 【详解】 （1）， 因为函数的最小正周期为，，则， 由，解得， 因此，函数的单调递增区间为； （2），则. 当时，即当时，函数取最大值，即； 当时，即当时，函数取最小值，即. 【点睛】 方法点睛：求函数在区间上值域的一般步骤： 第一步：三角函数式的化简，一般化成形如的形式或的形式； 第二步：由的取值范围确定的取值范围，再确定（或)的取值范围； 第三步：求出所求函数的值域（或最值）. 题型五：三角函数性质综合 24. 已知函数的最小正周期为． (1)求的值及的对称中心； (2)若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间． 【答案】(1)，对称中心为； (2) 【分析】（1）利用辅助角公式变形，根据最小正周期得到，整体法求出函数的对称中心； （2）由平移和伸缩变换得到，整体法求出函数的单调递增区间. 【详解】（1）， 最小正周期为，，故， 所以，令，解得， 故的对称中心为； （2）将的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到， 令，解得， 故的单调递增区间为. 25．（24-25高三上·上海黄浦·期末）已知． (1)求函数的最小正周期； (2)求函数，的单调减区间． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得函数解析式，再利用二倍角公式变形，结合正弦型函数的周期公式求解即可； （2）由定义域得的取值范围，根据正弦函数的单调性列不等式，求解即可. 【详解】（1）由，得， 则函数， 故最小正周期为. （2）由，得，； 由，得， 令，解得； 故单调减区间为. 26.（2025·上海静安·二模）已知向量， 记． （1）求函数的最小正周期； （2）若函数（其中常数）为奇函数，求的值． 【解析】（1），（4分） 故函数的最小正周期为（2分） （2）．（2 分） 由函数为奇函数，得（此处也可以用诱导公式推得） 即，（4分） 由常数，解得．（2分） 27．（2024·上海嘉定·一模）已知，其中. (1)若，求函数的值域； (2)若，且函数在内有极小值，但无极大值，求的值. 【答案】(1)； (2)7或15. 【分析】（1）把代入，求出时相位范围，再利用余弦函数性质求出值域. （2）由已知可得，再利用给定区间及极值情况求出范围即可得解. 【详解】（1）当时，，由，得， 则，， 所以函数的值域是. （2）由，得，解得， 当时，而，则， 又函数在内有极小值，无极大值，则， 解得，于是或 ，解得或， 当时，，又，无解； 当时，，又，则； 当时，，又，则； 当时，，又，无解， 所以的值是7或15. 28. （长宁2024二模）（1）求简谐振动的振幅、周期和初相位； （2）若函数在区间上有唯一的极大值点，求实数的取值范围； （3）设，，若函数在区间上是严格增函数，求实数的取值范围. 解:（1） 所以振幅为，周期为，初相为为. （2），设，则， 当时，取得极大值， 由题意，方程在区间上有唯一解，所以，得. 解法二： 令，得，列表 0 0 0 极大值 极小值 极大值 函数在区间上有唯一的极大值点时， （3），当时， 因为，所以， 进而，， 此时，在区间上是严格增函数. 当时，，不是严格增函数； 当时，设，则，进而，， 此时，在区间上是严格减函数. 综上，若函数在区间上是严格增函数，则. 题型六：三角函数中解不等式 29.已知函数是定义在上的奇函数，并且当时，. (1)求函数的表达式； (2)求 关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，化简，再根据为奇函数求解当时，函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，再根据奇函数的性质解不等式即可. 【解析】（1）当时，函数 . 当时，； 当时，， 即； 因为， 所以. 因此； （2）当时，， 因此有在上严格单调递增； 而当时， 因此有在上严格单调递增； 原不等式可化为：； 而是定义在上的严格增函数， 所以； 因此不等式的解集为. 30.已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，关于的不等式有解，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）由题意，． 求单调递减区间： 由，得， 求单调递增区间： 由，得． 所以函数的单调递增区间为， 单调递减区间为． （2）由题意，当时，关于的不等式有解， 即不等式有解; 因为当时，，所以有解， 只需要即可． 而． 令，则在上单调递减， 所以当时，，即， 所以实数的取值范围为． 31． 函数的部分图像如图所示. (1)求的解析式； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可得，即，解得. 函数过点， 所以，则， 解得，又，则， 所以； （2）因为，所以，则， 令， 设，函数图象开口向上，恒过定点. 由题意，恒成立，由二次函数的图象性质可知， 只需， 解得，故的取值范围为. 32． （2024·上海松江区·高三一模）已知函数. （1）求的最小正周期和值域； （2）若对任意，的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）最小正周期，值域为；（2）. 【分析】 （1）利用三角恒等变换进行化简，即可求得周期与值域； （2）设，由（1）得，转化为二次不等式恒成立问题，分离参数，求取值范围. 【详解】 解：（1） ∴的为最小正周期， 值域为； （2）记，则， 由恒成立， 知恒成立，即恒成立， ∵∴. ∵在时单调递增 ∴k的取值范围是 33．（25-26高三下·上海浦东新·期中）已知，． (1)若函数是定义在上的奇函数，求常数的值； (2)若，若关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、函数不等式恒成立问题 【分析】（1）根据奇函数定义进行求解即可； （2）化简，分离参数，令，求导，得到函数在上的最小值，进而求出实数a的取值范围. 【详解】（1）若函数是定义在上的奇函数， 则对任意恒成立， 即 即对恒成立． 即对恒成立． 因此．又，故． 因此，若函数是定义在上的奇函数，常数的值为； （2）若，则， 由题意，即对任意恒成立． 令，即 ， 由， 可知函数在内的两个驻点为，， 比较，，，的大小， 可知函数在上的最小值为． 因此，实数a的取值范围为. 34.已知函数，. (1)求函数的最小正周期和单调增区间； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1),； (2). 【分析】（1）根据正弦型函数的周期公式易得周期，将看成整体角，利用正弦函数的增区间即得其单调增区间； （2）将不等式变形为，利用正弦型函数的图象求得在上的值域，列出不等式组解之即得. 【解析】（1）函数的最小正周期为, 由，解得，， 故函数的最小正周期为，单调增区间为. （2）由可得，即（*）， 因，设，当时，， 而在上递增，在上递减，故，则， 要使（*）式恒成立，需使，解得.故实数的取值范围是. 题型七：三角函数的零点、实数解、方程根问题 35．（2024·上海·模拟预测）已知函数． (1)求函数的在上单调递减区间； (2)若函数在区间上有且只有两个零点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式化简函数解析式，再求出相位的范围，并借助正弦函数的性质求出递减区间. （2）由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质得到不等式组，解得即可. 【解析】（1）依题意， ， 当时，，由，得， 所以函数的在上的单调递减区间为. （2）当时，，又函数在区间上有且只有两个零点， 即函数在只有两个零点， 因此，解得， 所以的取值范围为. 36．（24-25高三上·上海·期中）已知，， (1)若，求函数，的值域； (2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得； （2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围. 【解析】（1）若，则， 因为，所以， 所以当，即时， 函数，取最大值； 当，即时， 函数，取最小值， 所以，函数，的值域为； （2）由， 因为最小正周期为，所以， 即，则. 令，，则. 于是函数在上恰有3个零点， 等价于函数在上恰有3个零点， 作出函数的图像可得， 解得. 所以，的取值范围为.    37.（宝山2023二模）已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调区间； （2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围. 解： ……2分 最小正周期 ……4分 当即时， 函数为增函数. ……6分 当即时， 函数为减函数. ……8分 (2) 方程有两个不同的实数解 等价于和直线的图像在上有两个不同的交点. ……10分 ，则， ……12分 由图知 ……14分 38.（2025上海高三专题练习）已知函数. （1）求函数在区间上的值域； （2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】 （1）利用及二倍角公式和辅助角公式将函数化简整理为，再根据正弦函数的图像与性质求出函数的值域； （2）由已知得由，得，且或，结合方程在区间上至少有两个不同的解，可得，解不等式可得解. 【详解】 （1）， 令，， 由的图像知，，即，， 所以函数的值域为. （2） ，，即 ，，且或 由于方程在区间上至少有两个不同的解， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【点睛】 方法点睛：考查三角函数的值域时，常用的方法： （1）将函数化简整理为，再利用三角函数性质求值域； （2）利用导数研究三角函数的单调区间，从而求出函数的最值. 39. 已知直线（）与函数、的图像分别交于、两点． （1）当时，求的值； （2）求关于的表达式，写出函数的最小正周期，并求其在区间内的零点． 解（1）点的坐标为，点的坐标为． 因此． （2）． 函数的最小正周期为． 令，可得，（）． 函数在区间内的零点为、、、． 40．（2024·上海徐汇·一模）已知，若定义在上的函数的最小正周期为，且对任意的，都有. (1)求实数的值； (2)设，当时，，求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据最小正周期及三角函数的性质、不等式恒成立有，即可求参数值； （2）应用三角恒等变换有，令求解，结合即可求结果. 【详解】（1）， 由的最小正周期为，知， ， ∴. （2）由（1）可得：， ， 或，即或，， 又，则不妨令，故. 41. 已知函数相邻两个零点间的距离为，函数为奇函数. (1)求的解析式； (2)若函数在区间上有两个零点，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求含sinx(型)函数的值域和最值、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）根据题意，求得，得到的值，再结合函数为奇函数，求出的值，即可求得函数的解析式； （2）设，由，得到，作出函数在的图象与直线的图象，求得，代入即可求解. 【详解】（1）由函数相邻两个零点间的距离为，可得函数的最小正周期， 因为，可得， 所以，可得， 又因为为奇函数，可得，解得， 因为，所以，所以. （2）由（1）知，函数， 设，因为，可得， 函数在区间上的大致图象，如图所示， 函数在区间上有两个零点， 即函数的图象与直线在区间内有两个交点，且两交点的横坐标分别为. 结合图象，可得，整理得， 所以. 题型八：三角函数与数列综合 42．（23-24高三下·上海松江·阶段练习）设的内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若. (1)求证：a、b、c成等差数列； (2)若均为整数，且存在唯一的钝角满足条件，求角C的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，逆用和角的正弦公式，结合正弦定理角化边即得. （2）由（1）的结论及已知设，再利用余弦定理结合唯一钝角三角形条件求解即得. 【解析】（1）在中，由，得， 即， 由正弦定理得，所以a、b、c成等差数列. （2）由（1）及已知，设，显然， ，则有，又， 因此，由存在唯一的钝角满足条件，得，于是， 所以. 43.已知函数，． （1）若函数是偶函数，求实数的值． （2）若，将方程的所有正数解从小到大排列，构成数列，其前项和为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数性质 ，结合正弦函数的对称性，得到相位满足的条件，再由 确定的值. （2）将代入，解方程 得到正数解的通项公式，将其整理为等差数列形式，再利用等差数列求和公式求前项和. 【详解】（1）因为函数是偶函数，所以，，整理可得，所以， 因为，所以. （2）由得， 解得， 从小到大排列为：，所以， . 44.已知数列满足，. (1)求（只需写出数值，不需要证明）； (2)若数列的通项可以表示成的形式，求，. 【解】（1），，，，，……， 故数列的周期为3，. （2）法一：由，，得到， 则，解得：，. 法二：因为的周期为3，所以 又由，则，即， 则，即，因为， 解得. 45. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前2024项和． 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）由等差数列、等比数列基本量的计算求得即可； （2）得到表达式后，发现（），故由分组求和法即可求解. 【解析】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，，即，解得， 所以； （2）由（1）可知，， 对于任意，有， 所以， 故数列的前2024项和为 ． 46.数列满足，，，. (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求正整数，使得. 【解】（1）由已知条件可知，由于， 故， 则， 故数列是以1为公差的等差数列，且首项为， 故， 即. （2） ， 由，得. 题型九：三角函数与解三角形、平面向量综合 47.的内角所对的边分别为，其面积为. 已知. （1）求； （2）点满足，且，求. 【答案】（1） （2）. 【分析】（1）根据三角形面积公式及向量的数量积求解即可. （2）求出向量，对进行平方可得到，将对应向量代入化简可得，结合余弦定理求出，代入求值即可 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 因为，，所以， 又因为，所以. （2）因为，. 因为，所以，则， 即. 整理得，即，也即. 因为，所以，即. 在中，由余弦定理知，， 所以. 48．（2024·上海虹口·一模）设． (1)当函数的最小正周期为时，求在上的最大值； (2)若，且在中，角、、所对的边长为、、，锐角满足，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的最小正周期求出，即可得到的解析式，再根据正弦函数的性质计算可得； （2）依题意可得，即可求出，由数量积的定义求出，再由余弦定理及基本不等式求出的最小值. 【详解】（1）因为且函数的最小正周期为， 所以，解得，所以， 则， 由，则， 所以当，即时取得最大值. （2）当时，，则， 因为，所以，则，解得； 因为，所以， 由余弦定理， 所以，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. 49. （2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【详解】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 50.（崇明2023一模18）已知函数. （1）求的单调增区间； （2）在中，为角的对边，且满足，且，求的取值范围. 【答案】（1）（）；（2）. 【解析】（1）， .......5分 由（），解得 ， 所以单调增区间为（）； ..................................7分 （2）由正弦定理，得， 因为在三角形中，所以，即，......2分 当时，； 当时，有， 由于，所以， .................................5分 故，又，得 ，所以的取值范围是. 51.（徐汇2023二模）已知向量，，函数． （1）设，且，求的值； （2）在△中，，且△的面积为，求的值． 解：（1）由题意得==． 由，得， 于是，因为，所以 ； （2）因为，由（1）知． 在△ABC中，设内角A、B的对边分别是. 因为△ABC的面积为，所以，于是. ① 由余弦定理得，所以．  ② 由①②可得或 于是． 由正弦定理得， 所以． 52.（2024崇明一模） 在△中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，，，. （1）求角B大小； （2）设，当时，求的最小值及相应的x. 【答案】（1） （2）当时，有最小值. 【分析】（1）利用向量垂直的充要条件和正弦定理即可求解； （2）先利用两角和的正弦公式及余弦的二倍角公式化简，再用辅助角公式化为，最后利用三角函数的性质求出最小值及其取得最小值时的值. 【小问1详解】 由已知条件得， 由正弦定理得， 即，, 则， ∵，∴， 又∵ ,∴; 【小问2详解】 , ∵,∴,， 则的最小值，其中，即当时，有最小值. 53.已知向量，， （1）求函数的最大值及相应的值； （2）在△中，角为锐角，且，，，求边的长． （1）解：， 所以函数的最大值为，此时. （2）解：因为，所以，又角为锐角，则， 因为，所以. 由正弦定理，则，即. 54．（2024·上海松江·二模）设，函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为． (1)求函数的解析式； (2)在中，设角、及所对边的边长分别为、及，若，，，求角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据图象的两条相邻对称轴之间的距离为求出即可； （2）由得出，过点作于点，得出，分别求出的长，结合即可得出，进而得出，根据即可求得答案． 【详解】（1）， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以, 则，解得， 所以． （2）由得，， 因为，所以，即， ，解得(舍负)， 过点作于点，如图所示， 由得，，则， 所以，则， 所以，则． 55.（2024闵行区一模）已知，，． （1）设，求函数的解析式及最大值； 时 （2）设的三个内角的对边分别为，当时，，且，求的面积． 解：（1）由题意 ， 所以，函数的最大值为，当且仅当， 即时，取到最大值． （2）由题意 所以，， 因为为三角形内角，所以，所以， 由余弦定理：得 解得 或， 所以或． 56．（2024·上海静安·一模）已知向量，且. (1)求及； (2)记，求函数的最小值. 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示和向量模的坐标运算即可； （2）根据（1）中结果代入计算得，再根据二次函数性质即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 由于 则 ， 因为，所以. （2）， 因为，则，则当，即时，该函数取得最小值. 57.（2024·上海青浦·二模）对于函数，其中，． (1)求函数的单调增区间； (2)在锐角三角形中，若，，求的面积． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）由二倍角正弦、余弦公式及辅助角公式化简，根据复合函数的单调性求出结果； （2）由（1）及条件求出角A，根据数量积的定义及三角形面积公式可得结果. 【详解】（1） 令，则，函数为增函数， 当时函数为增函数， 即，得， 所以函数的单调增区间是． （2）（2）由已知，所以， 因为，所以，即，所以， 又，所以， 所以的面积． 题型十：三角函数新定义问题 58.设为坐标原点，定义非零向量的“相伴函数”为，向量称为函数的“相伴向量”.记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为. （1）设函数，求证：； （2）记的“相伴函数”为，若函数，与直线有且仅有四个不同的交点，求实数的取值范围； （3）已知点满足，向量的“相伴函数”在处取得最大值.当点运动时，求的取值范围. 【解析】（1） ∴取满足条件， （2）由题知：. 可求得在单调递增，单调递减，单调递增，单调递减且， ∵图像与有且仅有四个不同的交点，， （3）， 其中， ， ∴当即时，取得最大值. 此时， 令则由知，解之得， ，因为在上单调递增， 所以在上单调递减，从而 59.（2024·上海·二模）固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．类比三角函数的三种性质：①平方关系：；②两角和公式：，③导数：定义双曲正弦函数． (1)直接写出，具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）； (2)当时，双曲正弦函数的图像总在直线的上方，求直线斜率的取值范围； (3)无穷数列满足，，是否存在实数，使得？若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）类比，写出平方关系，和角关系和导数关系，并进行证明； （2）构造函数，，求导，分和两种情况，结合基本不等式，隐零点，得到函数单调性，进而得到答案； （3）当时，利用数学归纳法证得排除该可能；当，同理证得，从而利用换元法即可得解. 【详解】（1）平方关系：； 和角公式：； 导数：． 理由如下：平方关系， ； 和角公式：， 故； 导数：，； （2）构造函数，， 由（1）可知， ①当时，由， 又因为，故，等号不成立， 所以，故为严格增函数， 此时，故对任意，恒成立，满足题意； ②当时，令， 则，可知是严格增函数， 由与可知，存在唯一，使得， 故当时，，则在上为严格减函数， 故对任意，，即，矛盾； 综上所述，实数的取值范围为． （3）当时，存在，使得， 由数学归纳法证明：，证明如下： ①当时，成立， ②假设当（为正整数）时，， 则成立. 综上：. 所以，有，即. 当时， ， 而函数的值域为， 则对于任意大于1的实数，存在不为0的实数，使得， 类比余弦二倍角公式，猜测. 证明如下： 类比时的数学归纳法，设， 易证，，，，， 所以若， 设，则，解得：或，即， 所以，于是. 综上：存在实数使得成立. 【点睛】思路点睛：对新定义的题型要注意一下几点： （1）读懂定义所给的主要信息筛选出重要的关键点 （2）利用好定义所给的表达式以及相关的条件 （3）含有参数是要注意分类讨论的思想. 1．（2024年新课标全国Ⅱ卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【解析】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 方法三：利用极值点求解 设，则， 显然时，，注意到， ，在开区间上取到最大值，于是必定是极值点， 即，即， 又，故 方法四：利用向量数量积公式（柯西不等式） 设，由题意，， 根据向量的数量积公式， ， 则，此时，即同向共线， 根据向量共线条件，， 又，故 2．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【解析】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 3．（2023年高考全国甲卷数学（文）真题）记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)若，求面积． 【解析】（1）因为，所以，解得：． （2）由正弦定理可得 ， 变形可得：，即， 而，所以，又，所以， 故的面积为． 4．（2023年高考全国乙卷数学（理）真题）在中，已知，，. (1)求； (2)若D为BC上一点，且，求的面积. 【解析】（1）由余弦定理可得： ， 则，， . （2）由三角形面积公式可得， 则. 5．（2022年新高考全国II卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知． (1)求的面积； (2)若，求b． 【解析】（1）由题意得，则， 即，由余弦定理得，整理得，则，又， 则，，则； （2）由正弦定理得：，则，则，. 6．（2022年高考全国乙卷数学（文）真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知． (1)若，求C； (2)证明： 【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以． （2）由可得， ，再由正弦定理可得， ，然后根据余弦定理可知， ，化简得： ，故原等式成立． 7．（2022年新高考全国I卷数学真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若，求B； (2)求的最小值． 【解析】（1）因为，即， 而，所以； （2）由（1）知，，所以， 而， 所以，即有，所以 所以 ． 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 8．（2024·上海杨浦·一模）已知的内角所对边的长度分别为. (1)若，求的面积； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合题设及余弦定理可得，进而结合三角形面积公式求解即可； （2）由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简求得，进而结合平方关系求解即可. 【详解】（1）由，得， 由余弦定理得，即， 所以，即， 所以的面积为. （2）由，由正弦定理得， 可得， 则， 因为，所以， 则，又， 所以. 9.在锐角中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边，边的中点为，求中线长的取值范围. 【解析】（1）由余弦定理得， 即， 由正弦定理得 ， ，即， . （2）由余弦定理得：，则. 由正弦定理得 所以， 因为是锐角三角形，所以，即， 则. 中线长的取值范围是. 10．（23-24高一下·上海嘉定·期中）已知函数． (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 【分析】（1）先用二倍角公式化简，后用周期公式计算即可． （2）由范围，得到范围，再得到范围，最后得到范围即可． 【解析】（1），，则的最小正周期为． （2），则，，． 所以在上的最大值为，最小值为． 11．（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为． (1)求的解析式与单调递减区间； (2)已知在时，求方程的所有根的和． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的奇偶性与对称性可得函数解析式，进而可得函数单调区间； （2）结合函数值域与对称性以及二次方程解的情况可得解. 【解析】（1） ， 由为奇函数，则， 即，， 又，所以， 又图像的相邻两条对称轴间的距离为，即，， 解得， 则，或， 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； 当时， 令，，解得，， 即单调递减区间为，； （2）设，则方程可转化为，解得或， 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或或，即方程的解有，，； 若，则，则此时满足，即， 此时 当时，函数图像如图所示， 由，则，， 若，则，或，即方程的解有，； 若，由（1）得此时函数在上单调递减， 即当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减， 又，且，， 所以在和分别各有一解，在上无解， 且满足与关于对称轴对称， 则， 此时. 12．（2024·上海金山·二模）已知函数，记，，，. (1)若函数的最小正周期为，当时，求和的值； (2)若，，函数有零点，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用三角函数的周期公式求得，再利用三角函数的值域与周期性求得，从而得解； （2）根据题意，利用换元法将问题转化为在有解，从而利用参变分离法或二次函数根的布分即可得解. 【解析】（1）因为函数的最小正周期，所以， 则当时，， 所以，得， 因为，所以取得， （2）解法一： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解，化简得， 又在上单调递减， 所以，则. 解法二： 当，时，，， 设， 由题意得，在有解， 记，对称轴为， 则由根的分布可得，即，解得， 所以. 13.已知函数 (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)求在区间上的最值，并求出取得最值时x的值； (3)若不等式在区间上恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)最小正周期为； (2)答案见解析； (3) 【解题思路】（1）由正弦函数的性质求解周期和单调递增区间即可； （2）由函数的单调性可得函数的最值； （3）令，将不等式转化为关于的一元二次不等式，结合二次函数的性质求解即可； 【解答过程】（1）最小正周期， 令，解得， 所以单调递增区间为. （2）因为，所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为 （3）当时，为增函数， ， 所以， 令，则， 不等式在区间上恒成立等价于在上恒成立， 令，开口向上，对称轴为， 当时，在上单调递增，则，与矛盾，舍去； 当时，在上单调递减，则，与矛盾，舍去； 当时，， 综上，m的取值范围是. 14．（24-25高一下·闵行期末）已知函数在区间上的值域为. (1)求函数的解析式； (2)若对任意，存在使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由结合正弦型函数的基本性质可求出函数的值域，进而可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可得出函数的解析式； （2）由题意可知，，求出在时的最小值，可得出，由此可得出关于的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）因为，则，则， 因为，则， 由题意可得，解得，因此，. （2）由题意可得， 因为，所以，，则，故， 因为，则， 由题意可得，即， 所以，，解得， 因此，的取值范围是. 15.已知函数. (1)求的单调递减区间； (2)若在上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）由二倍角公式及辅助角公式化简函数，令，解得函数递减区间； （2）求出函数的对称轴，由（1）可知函数的单调区间，结合对称性得出函数有最小值的条件. 【详解】（1）， ， ， ， 令，则， 即的单调递减区间为：. （2）令，解得， 即是函数的对称轴， 又由（1）可知函数在区间上单调递增， 结合对称性可知当时，， 此时函数在上不存在最小值， 当时，， 在区间上最小值 或者在处取得， 或者在整个函数的最低点处取得， 当时，，即时取得最小值， 所以实数的取值范围. 16．（2025·上海闵行·二模）已知，函数的部分图像如图所示，图中最高点，最低点．    (1)求函数的解析式； (2)若的内角所对的边分别为，若，，求面积的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由点确定周期，可得，再由即可求解的值，从而得函数解析式； （2）由确定，得到，再结合正弦定理、三角恒等变换、正弦型函数的性质即可得的取值范围，由三角形面积公式得面积的取值范围． 【详解】（1）因为图像经过，， 所以得周期，由得，. 又得，， 又因为， 所以，所以． （2）因为，又， 结合图像对称性可知：，则， 又，由正弦定理得：， 则， 所以 ， 由，，可得， 所以，则， 故， 于是可得的面积为， 故面积的取值范围为. 17．（2025·上海·模拟预测）已知. (1)求函数的最小正周期和最大值； (2)在中，若，，求. 【答案】(1)函数的最小正周期为，最大值为 (2) 【分析】（1）利用二倍角和两角和与差以及辅助角公式将函数化为的形式，再利用周期公式和正弦型函数的性质，即可求函数的最小正周期和最大值. （2）根据，，求解出，即可得. 【详解】（1）， 故函数的最小正周期为，最大值为. （2）由，解得. 又，从而， 因为，所以为锐角，. . 18.我们知道：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取其定义域D中的任意值时，有，且成立，那么函数叫做周期函数．对于一个周期函数，如果在它的所有周期中存在一个最小正数，那么这个最小正数就叫做函数的最小正周期．对于定义域为R的函数，若存在正常数T，使得是以T为周期的函数，则称为正弦周期函数，且称T为其正弦周期． (1)验证是以为周期的正弦周期函数． (2)已知函数是周期函数，请求出它的一个周期．并判断此周期函数是否存在最小正周期，并说明理由． (3)已知存在这样一个函数，它是定义在R上严格增函数，值域为R，且是以T为周期的正弦周期函数．若，，且存在，使得，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)是它的一个周期且是最小正周期，证明见解析； (3)． 【详解】（1），证毕． （2），易知是它的一个周期， 因为， 下面证明是的最小正周期， 时，是增函数， 时，是减函数， 又， ， 所以，即函数图象关于直线对称， 所以当时，不可能是函数的周期， 假设函数有小于的正周期，则，取， 与时，函数的单调性相同，但，而在这两个区间上单调性相反，假设错误． 所以是的最小正周期． （3）因为是周期函数，是它的一个周期， ，，又由题意，, 因为，，是严格递增函数， 所以， 又时，， ，， 因为是严格递增函数， 所以与是一一对应的， 因此，． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $