专题06：导数中档题八种考法归纳 讲义-2026届高三数学二轮复习（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题08 导数中档题九种考法归纳 1. （2025上海秋季高考）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】（1） （2）且. 【解析】 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【小问1详解】 因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 【小问2详解】 在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 2．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， (3)严格单调递减 【分析】（1）代入，利用基本不等式即可； （2）由题得，利用导函数得到其最小值，则得到，再证明直线与切线垂直即可； （3）根据题意得到，对两等式化简得，再利用“最近点”的定义得到不等式组，即可证明，最后得到函数单调性. 【详解】（1）当时，， 当且仅当即时取等号， 故对于点，存在点，使得该点是在的“最近点”． （2）由题设可得， 则，因为均为上单调递增函数， 则在上为严格增函数， 而，故当时，，当时，， 故，此时， 而，故在点处的切线方程为. 而，故，故直线与在点处的切线垂直． （3）设， ， 而， ， 若对任意的，存在点同时是在的“最近点”， 设，则既是的最小值点，也是的最小值点， 因为两函数的定义域均为，则也是两函数的极小值点， 则存在,使得， 即① ② 由①②相等得，即， 即，又因为函数在定义域R上恒正， 则恒成立， 接下来证明， 因为既是的最小值点，也是的最小值点， 则， 即，③ ，④ ③④得 即，因为 则，解得， 则恒成立，因为的任意性，则严格单调递减. 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是结合最值点和极小值的定义得到，再利用最值点定义得到即可. 题型01 导数与切线问题 1.已知函数. (1)若对，曲线在点 处的切线恒过点，求的值； (2)当时，证明：. 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义可求出曲线在点处的切线方程，再将代入可得的方程，解方程即可； （2）当时，，所以原问题转化为恒成立，令，利用导数在函数最值中的应用，求出，由此即可证明结果. (1) 解： 的定义域为， 所以曲线在点处的切线方程为： 将点代入得： ， 化简得： 上式对恒成立， 所以 . (2)证明：当时，， 若恒成立，则原命题得证. 令， 则， ， 所以在上单调递增，且 所以在单调递减，在单调递增. 所以， 即恒成立， 所以原命题得证. 2. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 【答案】(1)答案见解析；(2) 和. 【解析】(1)由函数的解析式可得：， 导函数的判别式， 当时，在R上单调递增， 当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增， 当时，在，上 单调递增，在上单调递减. (2)由题意可得：，， 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：, 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：, 与联立得， 化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得, ， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和 3.已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 【详解】（1）依题意，，求导得，则，而当时，， 所以所求切线方程为，即. （2）假设直线与曲线、均相切，对应的切点分别为，， 而，，则，消去得， 令，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， ，， 因此函数在及各存在一个零点， 所以存在2条与曲线均相切的直线. 4.已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 【答案】(1)； (2)①过点的切线分别有1条、0条；②2条，理由见解析. 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、已知某点处的导数值求参数或自变量、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程，根据切线过原点，将原点坐标代入求参数值； （2）①②设切点为且，应用导数的几何意义求切线方程，根据点在切线上得到相关方程，再应用导数研究对应函数的零点个数，即可得. 【详解】（1）由题设，则，且， 所以曲线在处的切线为， 由切线过原点，则，可得， 所以； （2）由题设，则，设切点为且， 所以切线方程为，则， ①若切线过点，则，可得，即过点的切线仅有一条； 若切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上无零点，即没有过点的切线； ②切线过点，则，令，则， 所以时，时， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，时，时， 所以在上有2个零点，即过点的切线有2条. 题型02 利用导数研究函数的单调性 【方法点拨】常见考法：1.利用导数研究函数的单调性（不含参数） 2.利用导数研究函数的单调性（含参数） 3.利用函数的单调性确定参数值或取值范围 5. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为． （2） 【分析】（1）确定函数的定义域，求导，求，在定义域内的解得单调区间； （2）设点（），利用点到直线的距离公式构造新函数求解最值即可；或者根据几何性质，当曲线上过一点的切线与已知直线平行时，切点到直线的距离即所求最值. 【详解】（1）函数的定义域为，对函数求导得， 令，得；令，得， 所以函数单调递增区间为，单调递减区间为． （2）解法一：设点（）， 所以点到直线的距离为， 令，则， 令，得（舍去）或， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以在处取到极大值，也是最大值， 所以，当且仅当时等号成立， 即点到直线距离的最小值为． 解法二：直线的斜率， 设（），又，令， 得，解得（舍）或，所以点的坐标为， 所以曲线上与直线平行的切线的切点为， 由题意知点到直线距离的最小值即为点到直线的距离， 又点到直线的距离， 所以点到直线距离的最小值为． 6. 已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）利用导数求斜率，然后求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程； （2）求导，对参数分类讨论即可. 【详解】（1）若，则，，所以，， 故在处的切线方程为，即． （2）因为，且， 当时，时，时， 所以，在上单调递减，在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，时恒成立，故在上单调递增； 当时，时，时，时， 所以，在、上分别单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在、上分别单调递增，在上单调递减． 7. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）根据方程根的情况，结合导数的性质、函数的定义域分类讨论进行求解即可； （2）根据极值点的定义，结合（1）的结论，通过构造新函数，利用导数判断新函数的单调性进行求解即可. 【详解】（1）由函数的解析式可知， ， ①若，则恒成立，在上单调递增， ②若，则由，得或； 由，得． 在上单调递减，在和上单调递增， ③若，则由，得； 由，得． 在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 在和上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）是方程的两个根，， ，且，所以， ， 令，则． 在上单调递减， ， 的最小值为. 8. 已知函数f（x）=2lnx+1． （1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围； （2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性． 【解析】（1）函数的定义域为： ， 设，则有 ， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以当时，函数有最大值， 即， 要想不等式在上恒成立， 只需； （2）且 因此，设 ， 则有， 当时，，所以， 单调递减，因此有，即 ，所以单调递减； 当时，，所以， 单调递增，因此有，即 ，所以单调递减， 所以函数在区间和 上单调递减，没有递增区间. 题型03 利用导数研究极值问题 9.已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若在其定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【分析】（1），，求导利用导数确定极值即可； （2）根据题意可得，在上有两个不同的根，令，求导分析单调性，结合图像确定参数范围即可. 【详解】（1）当时，，则， 令，解得． 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增． 故函数在处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）由题意知，函数的定义域为，， 又在定义域内有两个不同的极值点， 则方程在上有两个不同的根， 即方程在上有两个不同的根， 即方程在上有两个不同的根， 令，，则， 则当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以， 因为，当时，，当时，0， 当时，，所以函数图像如下， 又在上有两个不同的根 所以实数的取值范围为． 10.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围． 【答案】(1)在和上单调递减，在上单调递增 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数零点的个数求参数范围 【分析】（1）通过导数讨论函数单调性； （2）因有三个极值点，即有三个根，从而再将问题转换问两函数的交点，进而确定的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为. ，因此， 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递减； 当时，，故单调递增. 综上，在和上单调递减，在上单调递增. （2）函数，定义域为. ，当时，，因此是的一个极值点. 因为有三个极值点，因此在上有两个不同的根，且.不妨设. 当时，该方程只有1个根，不满足题意，故. 因此方程可等价于. 设，，上述方程有两个不同的根，等价于该两函数的图像有两个交点. 当时，由于，，且单调递增，而单调递减，故两函数图像在上没有交点，不符合题意，故. 则，因此图像的一条过原点的切线为，其中切点为. 故，解得.即该切线为. 因此，只有当时，函数与才有两个交点，且. 此时，有三个根，即由三个极值点. 因此. 故. 11.已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)讨论函数的导函数的单调性； (2)设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围. 【答案】(1)答案见解析；(2). 【分析】 （1）先求导，再对利用导数分两种情况求函数的单调区间； （2）求出，令，则，令，再对分两种情况讨论分析得解. (1) 解： ，令，则， ①当时，， ②当时，时，，时，； 综上，当时，在上是增函数； 当时，在上是增函数，在上是减函数； (2) 解：，则，， 令，则， 令，则， 当时，，，故，是减函数， 所以. ①当，即时，， 即在上是减函数，不符合是极小值，舍去； ②当，即时， 因为是减函数，且，， 所以，使得， 当时，，即是增函数，所以， 即在上是增函数； 当时，，使得，是减函数， 故， 从而是增函数，所以，即在上是减函数. 综上，的取值范围是. 12.已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数在上的单调性； (3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究方程的根、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程即可得出结果； （2）求导，再对参数进行分类讨论即可得出函数的单调性； （3）原问题转化为在上有两个不同的解，进而转化为的图象与在内恰有两个不同的交点，利用导数进行求解即可. 【详解】（1）当时，，， 又，， 故切线方程为. （2），令， ， 当时，，故在上单调递增， ， 当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增， 当时，，使得， 故当时，在上单调递减， 当时，在上单调递增. （3）在内恰有两个不同的极值点， 在内恰有两个不同的实根， 故的图象与在内恰有两个不同的交点， 由（2）可知， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故当时，， 当时，， 在处有最大值即， 又， 的取值范围为. 13.已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若函数存在极值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）函数的定义域为， ， 因为曲线在处的切线方程为， 故切点为， 因为，故切点在曲线上， 因为，所以，解得， 故的值为； （2）当时，函数存在极值； 当时，若函数存在极值，则有解， 即， 当，即时，关于的方程无解， 当，即时，得， 令，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处有极小值为， 因为时，，当时，，故函数大致图象如下：    所以要使有解，则或， 下面，讨论或，函数是否存在极值， 令，， 当时，在上恒成立， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 因为时，，所以，即，， 所以当时，函数存在极值， 当时，因为时，，时，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在处有最小值， 因为，， 所以当时，，故函数存在极值， 当时，，故函数不存在极值； 综上，若函数存在极值，求的取值范围为. 14.已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，再由点斜式方程即可求得切线方程； （2）将函数求导后分类讨论推得，且有最小值，依题意，需使，即，构造函数，（），通过求导分析即可确定a的取值范围. 【详解】（1）当时，， ∴，故 ∴曲线在处的切线方程为：， 即. （2）因的定义域为， 当时，，则在上单调递增，无最小值； 故. 由得，由得， ∴在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，有最小值， 依题意，，即， ∵，∴， 设，（），则， 因，则在上单调递增， 又，故由可得， 即，解得， 故实数a的取值范围是. 15.已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)求证：当时，存在极大值，且极大值小于． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由可得，， 则，由题意，可得，解得， 即； （2）由在区间上单调递增，可知在区间上恒成立， 即在区间上恒成立，也即在区间上恒成立. 因函数在区间上为增函数，故， 则的取值范围为； （3）因，要使存在极大值，需使关于的方程有正实根， 而当时，，此时方程有两正根为， 由可得或，由可得， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 故当时，函数取得极大值. 不妨设，由可得，即得， 则的极大值为，且因，则得， 要证函数的极大值小于，只需证， 设，则， 因，则有，故函数在上单调递增， 则， 即， 故时，函数的极大值小于. 题型04利用导数研究最值问题 16.已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 （1）求得导数,利用导数的几何意义计算即可得出结果； （2）由在上的最小值为0，化简可得，构造函数，利用导数求得最小值即可求得结果. 【详解】 解：（1）当时，， ∴，， ∴切线方程为， 即 （2）∵， ∴原条件等价于：在上，恒成立. 化为 令， 则 令，则 在上，， ∴在上， 故在上，；在上， ∴的最小值为，∴ 17.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有最大值且为.则求的值. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数（含参）的单调区间、已知函数最值求参数 【分析】（1）分类讨论求导数，根据导数正负判断函数单调性； （2）求导数得出函数单调性再根据最大值求参数. 【详解】（1）由题意可得的定义域为，且． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1），当时，在上单调递增，则无最大值，即不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 由已知 则，令， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，令，则， 所以在上单调递减，，即， 则在上单调递增， 又， 所以是的唯一解， 综上，． 18.已知函数在上单调递增. (1)求的值； (2)设，证明：存在最小值且最小值小于1. 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数后根据导数非负结合分类讨论可求的值； （2）求出的导数，根据虚设零点可求最小值，结合基本不等式可证最小值小于1. 【详解】（1）， 因为在上单调递增，故， 而时，，故即； 而时，，故即， 故. （2）, 故， 设，则， 故即在上单调递增. 而，， 故在存在一个零点且： 当时，；当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故， 而，故， 故， 而，双勾函数在为减函数，故， 故. 19.已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 【答案】(1)极大值点，极大值，无极小值点和极小值； (2) (3) 【分析】 【详解】（1）的定义域为， 当时，，， 由得；得； 则在上单调递增，在上单调递减， 则的极大值点为，极大值为，无极小值点和极小值； （2）因， 令，则在上恒成立， 故在上单调递减，则， 因，则，， 则存在使得， 故时，；时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 又，，则， 故函数在上的最小值为. （3）由题意可知，使得成立， 即使得成立， 又，则，即， 故a的取值范围为. 题型05 利用导数研究不等式恒成立与能成立 【方法点拨】常用方法： （1）分离参数法：若对恒成立，则只需； 若对恒成立，则只需； （2）分类讨论法：①首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等； ②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；③得出结论； （3）构造函数法：①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． ②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等. 20.已知函数． （1）证明：当时，无零点； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 【解析】（1）函数的定义域为，当时，， ， 令，则， ∴在上单调递增，又，， ∴存在，使得，即， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， ∴， ∴当时，函数无零点． （2）恒成立，即恒成立，∴恒成立． 令，则； 令，则， ∴函数在上单调递增， 又，， ∴存在，使得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴， 令，则，∴函数在上单调递增， ∵，∴， ∴， ∴， ∴实数的取值范围为． 21.已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)． (1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)若a＝1，则f(x)＝xex－2(2x－1)． 即f′(x)＝xex＋ex－4， 则f′(0)＝－3，f(0)＝2， 所以所求切线方程为3x＋y－2＝0. (2)由f(1)≥0，得a≥>0， 则f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为≥对任意的x>0恒成立． 设函数F(x)＝(x>0)， 则F′(x)＝－. 当0<x<1时，F′(x)>0； 当x>1时，F′(x)<0， 所以函数F(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以F(x)max＝F(1)＝. 于是≥，解得a≥. 故实数a的取值范围是. 22.设，是实数，函数．。 （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求的值． 【答案】(1)答案见解析；（2）0. 【分析】（1）代入后求导得，再求出导函数为0时的根，最后分析其单调性即可； （2）分，以及讨论即可； 【详解】（1）当时，， 则 对于开口向下的二次函数， 因为，所以必有唯一正根． 因此当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上：的单调增区间为，单调减区间为． （2）在上恒成立等价于在上恒成立． 注意到． 则当时，，由第（i）问的单调性知在上恒成立． 当时，，此时当时，单调递增，，矛盾； 当时，，此时当时，单调递减，，矛盾． 综上所述，的值为0． 23.已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数． (1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 解：(1)因为a＝2，所以f(x)＝(x＋1)ex，所以f(0)＝1， f′(x)＝(x＋2)ex，所以f′(0)＝2， 所以所求切线方程2x－y＋1＝0. (2)令h(x)＝f(x)－g(x)， 由题意得h(x)min≥0在x∈[0，＋∞)上恒成立， 因为h(x)＝(x＋a－1)ex－x2－ax， 所以h′(x)＝(x＋a)(ex－1)． ①若a≥0，则当x∈[0，＋∞)时，h′(x)≥0，所以函数h(x)在[0，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(0)＝a－1， 则a－1≥0，得a≥1. ②若a＜0，则当x∈[0，－a)时，h′(x)≤0； 当x∈[－a，＋∞)时，h′(x)≥0， 所以函数h(x)在[0，－a)上单调递减，在[－a，＋∞)上单调递增， 所以h(x)min＝h(－a)， 又因为h(－a)＜h(0)＝a－1＜0，所以不合题意． 综上，实数a的取值范围为[1，＋∞)． 24.已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：对任意的，恒成立. 【答案】(1)；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】 (1)对给定函数求导，并求出单调区间而得解； (2)对要证的不等式等价转化，构造函数，再求其最值即可得解. 【详解】 (1)由题意可得f(x)的定义域为，， 由，得，由，得，则f(x)在上单调递减，在上单调递增， 即时，f(x)取得最小值，故 (2)要证成立，即证， 只需证，就证， 设g(x)=xlnx-x+1，函数g(x)是a=1时的函数f(x)，则由(1)可得g(x)min=g(1)=0， 设则， 由，得0<x<2；由，得x>2，则h(x)在(0，2)上单调递增，在(2，+∞)上单调递减， 即x=2时，h(x)取得最大值，故h(x)max=h(2)=0， 因为g(x)与h(x)的最值不同时取得，所以g(x)>h(x)，即， 故当x>0时，不等式恒成立. 【点睛】 关键点睛：函数不等式的证明，等价转化，再构造函数是解决问题的关键. 题型06 导数中函数零点（方程根）问题 25.已知f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2. (1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数． 解：(1)f′(x)＝－＋＝， 令f′(x)＞0，解得x＞1，令f′(x)＜0，解得0＜x＜1， 所以f(x)在(0，1)上单调递减， 在(1，＋∞)上单调递增． (2)F′(x)＝f(x)＝＋－3， 由(1)得∃x1，x2，满足0＜x1＜1＜x2， 使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，＋∞)上大于0， 即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，＋∞)上单调递增， 而F(1)＝0，x→0时，F(x)→－∞，x→＋∞时， F(x)→＋∞， 画出函数F(x)的草图，如图所示． 故F(x)在(0，＋∞)上的零点有3个． 26.已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调性区间； (3)若函数，有2个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】 【详解】（1）因为， 所以切线斜率为， 又因为， 所以切线方程为，即； （2）因为， 所以当在上单调递减； 当在上单调递增； 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为； （3）因为函数有2个零点，所以有两个解， 转化为函数图象与直线有两个交点， 由（2）知，的单调递减区间为，的单调递增区间为； 所以， 又因为时，时 ， 且；， 所以当时，函数图象与直线有两个交点， 即函数有2个零点时，. 27.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示： (1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围． 【解】　(1)因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c， 所以f′(x)＝x2＋2ax＋b. 因为f′(x)＝0的两个根为－1，2， 所以 解得a＝－，b＝－2， 由导函数的图象可知(图略)，当－1<x<2时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减， 当x<－1或x＞2时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增， 故函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和(2，＋∞)， 单调递减区间为(－1，2)． (2)由(1)得f(x)＝x3－x2－2x＋c， 函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上是增函数， 在(－1，2)上是减函数， 所以函数f(x)的极大值为f(－1)＝＋c， 极小值为f(2)＝c－. 而函数f(x)恰有三个零点，故必有 解得－<c<. 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是. 28.已知函数f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a>0. (1)若曲线y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程； (2)若f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，求实数m的取值范围． 解：(1)因为f(0)＝a－1＝0，所以a＝1，此时f(x)＝ex－ex－1. 所以f′(x)＝ex－e，f′(0)＝1－e. 所以曲线y＝f(x)在原点处的切线方程为y＝(1－e)x. (2)因为f(x)＝aex－aex－1，所以f′(x)＝aex－ae＝a(ex－e)． 当x>1时，f′(x)>0；当0<x<1时，f′(x)<0. 所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增． 所以当x∈[0，＋∞)时，f(x)min＝f(1)＝－1. 令h(x)＝g(x)＋m＝－x3－x2＋6x＋m， 则h′(x)＝－3x2－3x＋6＝－3(x＋2)(x－1)． 当x>1时，h′(x)<0；当0<x<1时，h′(x)>0. 所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 所以当x∈[0，＋∞)时，h(x)max＝h(1)＝＋m. 要使f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，则＋m≥－1，即m≥－. 所以实数m的取值范围为. 29.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)． (1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围． 解：(1)由题意知，函数f(x)的定义域为R， 又f(0)＝1－a＝2，得a＝－1， 所以f(x)＝ex－x＋1，求导得f′(x)＝ex－1. 易知f(x)在[－2，0]上单调递减，在(0，1]上单调递增， 所以当x＝0时，f(x)在[－2，1]上取得最小值2. (2)由(1)知f′(x)＝ex＋a，由于ex>0， ①当a>0时，f′(x)>0，f(x)在R上是增函数， 当x>1时，f(x)＝ex＋a(x－1)>0； 当x<0时，取x＝－， 则f<1＋a＝－a<0. 所以函数f(x)存在零点，不满足题意． ②当a<0时，令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)． 在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)单调递减， 在(ln(－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x＝ln(－a)时，f(x)取最小值． 函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，解得－e2<a<0. 综上所述，实数a的取值范围是(－e2，0)． 30.已知函数，. (1)当时，求证：在上有唯一极大值点； (2)若没有零点，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】 【详解】（1）令，则， 则在上单调递减， 又，， 故存在，使得， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减； 故在上有唯一极大值点； （2）， 令，则； ①若，则，在上是增函数， 因为，， 所以恰有一个零点， 要想的零点不是的零点， 则需满足，即有， 代入，得，解得， 所以当时，此时无零点，符合题意； ②若，此时的定义域为， 当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 所以，又， 由题意，当，即时，无零点，符合题意； 综上，的取值范围是. 31.已知函数. (1)讨论函数在区间上的极值点的个数； (2)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析； 【分析】 【详解】（1）由函数，. 令，，. ①若时，，所以在上单调递增，且， 即在上单调递增，且， 所以函数在上单调递增，函数无极值点； ②当时，，， 当，所以. 所以函数在上单调递增且有唯一零点， 即函数在上单调递增且有唯一零点， 当；当， 所以函数在有唯一的极小值点，无极大值点； ③当时，因为，所以， 所以函数在上单调递减，无极值点. 综上所述：当或时，函数在上无极值点； 当时，函数在上有唯一的极小值点，无极大值点. （2）由（1）可知，当时，函数在上单调递减，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在上单调递增，且， 所以函数在上无零点； 当时，函数在有唯一的极小值点，且， 要使函数在区间上有唯一零点，所以. 所以， 令，得，即. 再令，， 所以在上单调递增， 且. 所以函数在上有唯一零点， 所以，即. 题型07 导数与不等式的证明 【方法点拨】基本证明步骤 1.作差或变形：对原不等式移项、通分等，或直接作差转化为“函数值与0的关系”； 2.构造新函数：按上述构造方法，搭建辅助函数； 3.分析函数性质：用导数研究函数的单调性、极值或最值； 4.推导结论：结合函数性质，证得不等式。 特殊处理：若构造的函数难用导数求解，可分别求不等式左右两端函数的最值，通过“左式最小值>右式最大值”证明 32、已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 【解】　(1)f′(x)＝－a(x>0)， ①若a≤0，则f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增； ②若a>0，则当0<x<时，f′(x)>0，当x>时，f′(x)<0， 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明：因为x>0，所以只需证f(x)≤－2e， 当a＝e时，由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 所以f(x)max＝f(1)＝－e. 记g(x)＝－2e(x>0)， 则g′(x)＝， 所以当0<x<1时，g′(x)<0，g(x)单调递减， 当x>1时，g′(x)>0，g(x)单调递增， 所以g(x)min＝g(1)＝－e. 综上，当x>0时，f(x)≤g(x)， 即f(x)≤－2e，即xf(x)－ex＋2ex≤0. 33.已知f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立． 解：(1)由f(x)＝xln x，x>0，得f′(x)＝ln x＋1， 令f′(x)＝0，得x＝. 当x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增． ①当0<t<<t＋2，即0<t<时，f(x)min＝f＝－； ②当≤t<t＋2，即t≥时，f(x)在[t，t＋2]上单调递增，f(x)min＝f(t)＝tln t. 所以f(x)min＝. (2)证明：问题等价于证明xln x>－(x∈(0，＋∞))． 由(1)可知f(x)＝xln x(x∈(0，＋∞))的最小值是－， 当且仅当x＝时取到． 设m(x)＝－(x∈(0，＋∞))， 则m′(x)＝， 由m′(x)<0得x>1时，m(x)为减函数， 由m′(x)>0得0<x<1时，m(x)为增函数， 易知m(x)max＝m(1)＝－，当且仅当x＝1时取到． 从而对一切x∈(0，＋∞)，xln x≥－≥－，两个等号不能同时取到，即证对一切x∈(0，＋∞)都有ln x>－成立． 34.已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)判断的零点个数，并说明理由； (3)证明：函数的图象在直线的下方. 【答案】(1) (2)的零点个数为1个 (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由，得， 所以，又， 所以在点处的切线方程为，即； （2），令，所以， 当，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以， 即对恒成立，所以在单调递减， 又，所以的零点个数为1个； （3）要证函数的图象在直线的下方， 即证，即证， 即证，又，所以即证， 即证， 令，求导得， 当，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 所以，所以， 要证，可证，即证即可， 令，求导可得， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以在成立， 所以函数的图象在直线的下方. 题型08 导数与三角函数综合 【方法点拨】1. 导数与三角函数综合: 分段分析：利用三角函数的有界性与周期性，以特殊角（如）为界分段讨论单调性。 切线放缩：熟记经典不等式（如时），通过切线或二次函数放缩将超越函数转化为代数不等式证明。 同构思想：识别等复合结构的对称性或利用辅助角公式化简。 2.常见题型：三角函数与对数指数结合，多个三角函数综合考察函数的单调性、极值最值、恒成立、零点问题。 35. 已知函数，． （1）求在区间上的极值点； （2）证明：恰有3个零点． 【答案】（1）极大值点，极小值点；（2）证明见解析. 【详解】解：（1）（）， 令，得，或． 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故是的极大值点，是的极小值点． 综上所述，在区间上的极大值点为，极小值点为． （2）（）， 因为，所以是的一个零点． ， 所以为偶函数． 即要确定在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可． 当时，． 令，即，或（）． 时，，单调递减，又，所以； 时，，单调递增，且， 所以在区间内有唯一零点．当时，由于，． ． 而在区间内单调递增，， 所以恒成立，故在区间内无零点， 所以在区间内有一个零点，由于是偶函数， 所以在区间内有一个零点，而， 综上，有且仅有三个零点． 36. 已知函数. （1） 若为的导函数，证明：在上存在唯一的极大值点； （2） 证明：有且仅有两个零点. 解答：（1）由题意知：定义域为：且，令，，，，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递减. 下面考虑端点值：因为， ，使得. 当时，；时， 即在上单调递增；在上单调递减，则为唯一的极大值点. 即：在区间上存在唯一的极大值点. （2）由（1）知：，.下面分区间逐次讨论： ①．当时，由（1）可知在上单调递增，，在上单调递减，又，为在上的唯一零点. ②．当时，在上单调递增，在上单调递减，又 ，在上单调递增，此时，不存在零点. 又，使得，在上单调递增，在上单调递减. 考虑端点值：由于.在上恒成立，此时不存在零点. ③．当时，单调递减，单调递减,在上单调递减 又，.即，又在上单调递减.在上存在唯一零点. ④.当时，，，，即在上不存在零点. 综上所述：有且仅有个零点. 37.已知函数． （1）求的单调递减区间： （2）记，若，试讨论在上的零点个数（参考数据：）． 解析：（1）的单调递减区间为． （2）由已知，所以． 令，则． 因为，所以当时，；当时，， 则在上单调递增，在上单调递减． 又． 当，即时，，则存在，使得，所以当时，； 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减． 因为，所以．又， 则由零点存在性定理可得，此时在上仅有1个零点． 若时，，又在上单调递增，在上单调递减， 而，所以存在，使得， 且当和时，；当时，， 则在和上单调递减，在上单调递增． 因为，所以．因为，所以． 又因为，由零点存在性定理可得，在和内各有1个零点，即此时在上有2个零点． 综上所述，当时，在上仅有1个零点；当时，在上有2个零点． 38.已知函数， (1)求函数的最值； (2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由． 【答案】(1)当时，在R上无最大值与最小值 当时，在R上无最大值，有最小值为. (2)函数在上的零点的个数为，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）先对函数进行求导，在对进行讨论，即可求出答案. （2）先写出函数的解析式，在对函数进行求导，再分两种情况对进行讨论，当时，利用零点存在性定理和隐零点求出有两个零点，当时，无零点. (1) ， ①当 ，即时，得恒成立，此时函数在R上单调递增，故函数在R上无最大最小值 ②当，即时，由，解得， 当时，，单调递增 当时，，单调递减 所以时，取最小值 即 综上所述：当时，在R上无最大值与最小值 当时，在R上无最大值，有最小值为. (2) ，则 ①当时，由在区间上单调递减，知：在上单调递增，且，，知：函数在上有唯一的零点. 当时，由，知：在上单调递减，同理可知：在上单调递增.由，，， 故函数在区间上有两个不同的零点. ②当时，由， 构造函数，则由恒成立，知：函数在上单调递增，故：，由，知：函数在上恒成立，即恒成立，此时函数无零点. 综上，函数在上的零点的个数为. 39.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 1．（1）见解析； （2）. 【分析】（1）求导得到导函数后，设为进行再次求导，可判断出当时，，当时，，从而得到单调性，由零点存在定理可判断出唯一零点所处的位置，证得结论；（2）构造函数，通过二次求导可判断出，；分别在，，和的情况下根据导函数的符号判断单调性，从而确定恒成立时的取值范围. 【详解】（1） 令，则 当时，令，解得： 当时，；当时， 在上单调递增；在上单调递减 又，， 即当时，，此时无零点，即无零点     ，使得 又在上单调递减    为，即在上的唯一零点 综上所述：在区间存在唯一零点 （2）若时，，即恒成立 令 则， 由（1）可知，在上单调递增；在上单调递减 且，， ， ①当时，，即在上恒成立 在上单调递增 ，即，此时恒成立 ②当时，，， ，使得 在上单调递增，在上单调递减 又， 在上恒成立，即恒成立 ③当时，， ，使得 在上单调递减，在上单调递增 时，，可知不恒成立 ④当时， 在上单调递减     可知不恒成立 综上所述： 40. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）依题意，． 又， 所以. 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由（1）知，，， 所以. 令，则， 因为，所以，即， 所以在上单调递减，所以， 即，所以是上的单调递减函数. （3）令， 则， 由（2）知，在上单调递减， 所以当时，，此时，即在上单调递减， 所以，即， 当时，，，. 所以即， 所以即， 综上可得：当时，. 41.己知函数. (1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：. 【答案】(1). (2)证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）将不等式转化为，设，求导函数，分析导函数的符号，得出函数的单调性和最值，由此可得实数a的取值范围； （2）令，利用正弦函数的性质可得证. (1) 解：当时，，则可化为， 设，则， 因此在上单调递减，在上单调递减，则， 所以； (2) 证明：令，则， 所以①当时，，此时； ②当时，由（1）可知：当时，，即 ③当时，， 综上所述：当时，. 42.已知函数，． (1)若，分析的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)在区间上单调递减． (2)证明见解析 【分析】（1）根据导数与函数单调性的关系判断即可. （2）要证，只需证，结合时，，只需证.通过构造函数，结合导数与单调性及最值的关系证明即可. 【详解】（1）当时，，则． 设，则， 当时，，所以单调递减，， 当时，，所以. 所以当时，，，即， 故在区间上单调递减． （2）当时，， 要证，只需证， 又当时，，即证． ． 令，则当时，， 所以在上单调递减，因此， 所以，因此在区间上单调递减，所以． 综上，原不等式得证，即当时，． 题型09 导数与数列综合 43. 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 【详解】（1），， 对于方程，当，即时，， 函数在上单调递减； 当，即时，方程有两个不相等的实数根， ，且， 当或时，；当时，， 即函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，函数的单调递增区间为， 单调递减区间为，. （2）由（2）知，当时，函数在上单调递减， 又，当时，，即当时，. ，， 即，当时，， 当时，，当时，， 当时，， 累加可得，， 即， 所以. 44. 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)； (2)； (3) 证明见解析. 【分析】（1）求出及，由点斜式求得切线方程； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）由（2）得，令可得，累加证明. 【详解】（1）当时，，，即切点坐标为， 又可得，即切线斜率为， 所以曲线在处的切线方程为，即； （2）当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. （3）由（2）可知，当时，在单调递减， 且时，，即， 令，则，所以， 即， 所以 . 45. 已知函数，其导函数为. (1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点； (2)讨论的单调性； (3)证明：当且时，. 【详解】（1）由，得，. 令，，则. 由题意，知，解得. 当时，令，，则， 当时，，即单调递减. 又，所以当时，，即单调递增， 当时，，即单调递减， 所以为的极大值点. （2）由（1），得. 若，则，当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 若，令，得或. ①当，即时， 若，则，单调递减， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减； ②当，即时，，在上单调递减； ③当，即时， 若，则，单调递减， 若，则，单调递增， 若，则，单调递减. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2），得当时，，在上单调递增， 所以，即， 当时，整理，得， 令（，且）， 得， 两边同时取自然对数，得， 则， 即当且时，. 46. 已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为．数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）分和两种情况，利用导数判断函数的单调性，即可判断零点； （2）由方程两边取对数，转化为，再构造函数在上单调递增，结合等比数列的性质，即可判断证明； 【详解】（1）当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有唯一零点1． 当时，因为，， 所以函数有唯一零点，得证， （2）由（1）知，，且， 两边取自然对数，得，（*） 所以， 两式相减，得， 所以． 因为函数在上单调递增， 所以，所以数列单调递增． 假设数列中存在，，成等比数列，则， 所以． 由（*）式得，，代入上式，得 ， ．（**） 因为，所以， 又，所以方程（**）无解． 所以数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列． 47. 已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点； (3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明过程见解析 (3)证明过程见解析 【分析】（1）根据导数的性质，结合极值的定义进行求解即可； （2）构造新函数利用导数的性质，结合函数零点存在原理进行求解即可； （3）根据题意得到，结合（1）中结论、等比数列的定义进行运算证明即可. 【解析】（1）由题意可知：的定义域为，的定义域为， ， 当时，得，此时函数单调递增， 当时，得，此时函数单调递减， 因此函数极大值为， 单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，得，此时函数单调递增， 当时，得，此时函数单调递减， 因此函数极大值为， 单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为； 函数极大值为，单调递增区间为，单调递减区间为. （2）设， 设， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 设， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 因此有，当时取等号， 于是有， 因此单调递减，而， 根据函数零点存在原理，当时，函数在内有唯一零点， 因此有唯一实根，因此曲线有唯一交点. （3）由（1）可知两个函数的最大值均为， 且函数单调递增区间为，单调递减区间为； 函数单调递增区间为，单调递减区间为， 由（2）可知曲线有唯一交点，且交点在内， 因为直线和曲线共有三个不同交点，其中， 因此两条曲线必过两个曲线的交点， 所以有， 因此有， 因为，，在上单调递增， 所以有， 同理，，而函数在单调递减， 所以有，而，所以， 因此成等比数列. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用构造新函数，利用导数的性质、结合放缩法进行运算证明. 1. 已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）根据切点和斜率求得切线方程. （2）构造函数，利用导数判断的单调性，从而证得不等式成立. (1) ，，， 故曲线在点处的切线方程为. 即． (2) 设， 则 ． 由（1）知，又， 所以，所以在上单调递增，故， 所以，，． 2.已知函数. (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值是18，最小值； (2). 【难度】0.65 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】（1）求出函数的导数，再求出在指定区间上的最值. （2）设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，再利用导数，结合函数的零点个数求出的范围. 【详解】（1）函数，，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 所以函数的最大值是18，最小值. （2）设过点的直线与曲线相切的切点为， 由（1）得切线斜率，切线方程为， 由切线过点，得，整理得， 令，求导得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数在处取得极小值，在处取得极大值， 由过点存在3条直线与曲线相切，得方程有3个互不相同的解， 即直线与函数的图象有三个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图： 观察图象得当时，直线与函数的图象有三个交点， 所以实数的取值范围是. 3.已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增.当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (2) 【解题思路】（1）对函数求导，对参数分类讨论，根据导数判断函数单调性； （2）结合（1）进而求得函数的最大值，再结合不等式求解参数取值范围. 【解答过程】（1）函数的定义域， 对函数求导得， ①当时，，因为，所以，则， 函数在上单调递增. ②当时，令，即，解得（舍）或， 当，所以，则，函数单调递增. 当，所以，则，函数单调递减. ③当时，令，即，解得（舍）或， 因为，所以，则，函数在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当时，函数在上单调递增， 所以当，，则存在，使成立. 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 所以 ， 若存在，使，即 令， 求导， 令，， 令，解得或（舍）， 当，，函数单调递增. 当，，函数单调递减. 所以有最大值， 可知，在单调递减，且，当，， 当时，. 综上，实数的取值范围是. 4.已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 因为，所以， 当时，令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，，， 若，则，，当且仅当时取等号， 函数在上单调递增，，解得，不符合题意； 若，则，，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，，解得，不符合题意； 若，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，解得， 所以. 5.已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，则，所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，令可得，列表如下： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数既有极大值，也有极小值，且极小值为，解得. 因此，实数的取值范围是. 6.设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 【详解】（1）若，则，从而， 故，从而曲线在点处的切线斜率为，故所求切线为直线. 又，故所求切线方程为. （2）由，知. 当时，，故在上单调递增； 当时，； 从而的解集是，的解集是. 这表明在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. （3）首先我们有. 当时，由上一问结论，知在上单调递增，在上单调递减. 这意味着当时，；当时，. 故在和上均单调递减，从而不是的极值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 而，故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递增， 故在上单调递增. 这表明当时，有，从而在上单调递增， 故不可能是的极大值点，不满足条件； 当时，由上一问结论，知在上单调递减. 注意到此时，故当时，； 当时，. 从而在上单调递增，在上单调递减， 这说明是的极大值点，满足条件. 综上，的取值范围是. 7.已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）当时，证明：. 【答案】（1）；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）将不等式分离常数，得到恒成立，利用构造函数法，结合导数求得的最小值，由此求得的取值范围. （2）将要证明的不等式转化为证，利用导数求得的最小值、以及的最大值，进而证得结论成立. 【详解】 （1）由题可得. 若恒成立，即，也即恒成立， 设函数则，令，可得. 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 所以函数在时取得最小值， 所以，故的取值范围为. （2）当时，. 要证，即要证， 因为，所以 令解得. 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增， 因此在处取得极小值，也是最小值， 所以. 设函数，所以， 令所以， 当时，所以在上单调递减，所以. 当，即时， 当，即时，在上单调递增； 当，即时，在上单调递减， 所以在处取得极大值，也是最大值， 所以. 因为所以 所以当时，成立. 【点睛】 研究不等式恒成立问题，可采用分离常数法，结合导数来求得参数的取值范围. 8.已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 【详解】（1）若，则，，设切点， 此切线的斜率，所以切线方程为， 因为切线过点，可得，，则切线方程为； （2）， ①当时，，，， 在上单调递增，函数至多1个零点，不合题意； ②当时，令，解得（舍去），， ，，在上单调递增， ，，在上单调递减， 当时，，，，，， 所以要使函数有两个零点，则， ，令，， 令，，所以在上单调递增， 又因为，得到，解得． 综上所述：． 9. 已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若与的图象有公共点，求的取值范围． 【详解】（1）当时，，则，即切点为， 因为，所以切线斜率， 所以所求切线方程为，即， 所以的图象在处的切线方程为； （2）由题意，知有解，即有解，整理得， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，当时，；当时，， 所以的值域为，即，即， 所以的取值范围是． 10. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 【详解】（1）当时，， 在点处的切线方程为： （2）定义域为， （i）当时，，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减； （ii）当时，则由得或， 当时，，所以在单调递增； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减； 当时，，令得 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述， 当时在上单调递增，在上单调递减； 当时在和上单调递增，在上单调递减； 当时在单调递增； 当时在和上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）知且，， 记，则且， 当时，；当时 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以有，所以，等号成立当且仅当 故当时，由（2）知有且只有一个零点，舍去 当且时，， 要使得有三个零点，则，解得 所以的取值范围是 11. 已知函数，. (1)若恒成立，求实数m的取值范围； (2)求证：当时，. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）令，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由（1）可知恒成立，即，要证，只需证明成立即可，然后设，利用导数求出的单调性，然后即可证明. (1) 令， 则 所以在上单调递减，在上单调递增，在处取得最大值， 若恒成立，则，即. (2) 证明：由（1）可知恒成立，即， 要证，只需证明成立即可. 设，则， 设， 则，易得在上单调递减，在上单调递增， 又，，因为，所以，所以存在，使得， 所以当时，；当时，. 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以， 因此，当时，， 故当时，. 12.已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：存在，使得成等差数列． 【答案】(1) (2)① ；②证明见解析 【分析】（1）代入得到函数解析式，然后求，得到，即可写出函数在处的切线方程； （2）写出函数定义域，求.①由题意知再内有两不等实根，列出不等式求出的范围，然后验证此时的是否满足函数存在两个极点；②由①得到，然后代入并求得结果.然后再零点存在性原理证明存在，使． 【详解】（1）当时，． ，∴在处的切线方程为． （2）函数定义域为，． ①由题意知在内有两不等实根，则有： ，解得． 当时，令，或． 令， ∴在上单调递增，在上单调递减，此时有两个极值点， 符合题意． ②由①知． ． 下证存在，使． 先证，取，∵，∴． 令，，令，， ∴在上单调递减． ∴，∴在上单调递减． ∴，∴. 再证．， 令，，令，则，∴在上单调递增． ∴，∴在上单调递增．∴，即． 由零点存在定理知存在，使得成等差数列． 13.已知函数． （1）若曲线在点处的切线与x轴平行． ①求实数的值：②证明：函数在内只有唯一极值点； （2）当时，证明：对于区间内的一切实数，都有． （1）①由题意得，, ∵,∴即, ②证明：由①可知，，则, 当时，,函数单调递减， 当时，, 函数单调递增， 又, 所以存在唯一的,使得, 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增, 所以函数在内只有唯一极值点，且取得极小值故原命题得证. （2）要证对于区间内的一切实数，都有，即证, 由（1）可知，在上单调递增，且, 所以因为，所以, 当，即时，由在上单调递增， 则．所以在上单调递减， 所以，即得证； (ii)当，即时， 由（1）②可知：,所以得证 综上，当时，对于区间内的一切实数，都有． 14.设函数，. (1)若函数在定义域内单调递减，求的取值范围； (2)设，证明：（为自然对数的底数）. 【答案】(1) (2)证明见解析 【解析】 【分析】 （1）由于在内单调递减，则对恒成立，求出的导数，再根据分离参数法，即可求出结果； （2）取，由第（1）问可知在为单调递减函数，可知，即对成立，令，则有，根据不等式放缩和裂项相消法即可求证结果. (1) 解：函数的定义域为， 且， 则， 由于在内单调递减，则对恒成立， 即对恒成立， 从而，则， 故的取值范围为 (2) 证明：取，由第（1）问可知在为单调递减函数， 从而； 则对成立， 令， 有； 从而 ， 故. 15.已知. (1)曲线在点处的切线为直线，记的斜率为，比较与的大小； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由函数 可得，则， 所以曲线在点处的切线的斜率为， 因为，所以，即. （2）由函数， 当时，可得， 若，可得恒成立； 若，由（1）知：， 令，可得， 因为，可得，所以，在递增， 又由， 当时，即，此时，即， 所以在递增，所以，满足恒成立； 当时，即，存在，使得， 当时，，即，单调递减，则， 不满足恒成立，舍去， 综上可得，实数的取值范围为. （3）令，可得，其中， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，即，即， 由（2）知，当，，即， 即， 令，则，即， 可得， 所以， 又由对数的运算性质，可得， 所以对于任意正整数，总有. 16.已知函数. （1）直线过点且与曲线相切，求直线方程； （2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 【答案】（1） （2） 【分析】（1）设切点坐标为，根据导数的几何意义可得切线方程为，代入点可得，即可得结果； （2）根据题意可知的圆心和半径，结合两圆外切可知数列是以首项，公差的等差数列，结合裂项相消法求解即可. 【详解】（1）因为，则，设切点坐标为，则切线斜率， 可得切线方程为，即， 代入点可得，解得，所以直线方程为. （2）由（1）可知：，则，由题意可知：的圆心为，半径， 因为与外切，则， 可得，且， 整理可得，即，可知数列是以首项，公差的等差数列， 则，即，则， 所以. 17.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围； (3)若，数列的前项积为，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）通过，，三种情况讨论即可； （2）构造，通过求导，分，，三种情况讨论即可； （3）由（2）取得到，在成立，令，得到，进而得到，进而可求证. 【解答过程】（1），， ， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递减； 当时，由，得， 由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2），， 即 令，且， 而， 令，则 ①当时，，在单调递增； 又，所以当，即； ②当，即时，， ，即在单调递增； 又，所以当，即； ③当时，有两根，. 因为， 所以，. 可得：由，即，得， 由，即，得， 所以单调递增区间为；单调递减区间为. 又，即存在，使得，不符合题意，舍去； 综上所述，的取值范围是 （3）由（2）知，当时， 在成立， 令， 则， 则， 即 所以 所以，得证. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【解答题全通关】 专题08 导数中档题九种考法归纳 1. （2025上海秋季高考）已知． （1）若，求不等式的解集； （2）若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 2．（2024·上海·高考真题）对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”． (1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”； (2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直； (3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性． 题型01 导数与切线问题 1.已知函数. (1)若对，曲线在点 处的切线恒过点，求的值； (2)当时，证明：. 2. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． 3.已知，． (1)求曲线在处的切线； (2)与曲线均相切的直线是否存在？若存在，有几条？请说明理由． 4.已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线过原点，求的值. (2)当时， ①判断过点的切线条数，直接写出结果； ②判断过点的切线条数并说明理由. 题型02 利用导数研究函数的单调性 【方法点拨】常见考法：1.利用导数研究函数的单调性（不含参数） 2.利用导数研究函数的单调性（含参数） 3.利用函数的单调性确定参数值或取值范围 5. 已知函数． （1）求函数的单调区间； （2）点是函数图象上任意一点，求点到直线距离的最小值． 6. 已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 7. 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)已知存在两个极值点，若，且，求的最小值． 8. 已知函数f（x）=2lnx+1． （1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范围； （2）设a>0时，讨论函数g（x）=的单调性． 题型03 利用导数研究极值问题 9.已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)若在其定义域内有两个不同的极值点，求实数的取值范围． 10.已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有三个极值点，求实数的取值范围． 11.已知函数（其中为自然对数的底数）. (1)讨论函数的导函数的单调性； (2)设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围. 12.已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数在上的单调性； (3)若在内恰有两个不同的极值点，求的取值范围． 13.已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若函数存在极值，求的取值范围. 14.已知函数， (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若函数有最小值，且的最小值大于，求实数a的取值范围. 15.已知函数， (1)若曲线在处的切线方程为，求的值； (2)若在区间上单调递增，求的取值范围； (3)求证：当时，存在极大值，且极大值小于． 题型04利用导数研究最值问题 16.已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若，且在上的最小值为0，求的取值范围. 17.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有最大值且为.则求的值. 18.已知函数在上单调递增. (1)求的值； (2)设，证明：存在最小值且最小值小于1. 19.已知． (1)当时，求函数的极值点和极值； (2)时，求函数在上的最小值； (3)若不等式的解集非空，求a取值范围． 题型05 利用导数研究不等式恒成立与能成立 【方法点拨】常用方法： （1）分离参数法：若对恒成立，则只需； 若对恒成立，则只需； （2）分类讨论法：①首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等； ②从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值或最值；③得出结论； （3）构造函数法：①对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数、系数升指数等，把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构”构造辅助函数． ②为了实现不等式两边“结构”相同的目的，需时时对指对式进行“改头换面”，常用的方法有：、、、、、，有时也需要对两边同时加、乘某式等. 20.已知函数． （1）证明：当时，无零点； （2）若恒成立，求实数的取值范围． 21.已知函数f(x)＝axex－(a＋1)(2x－1)． (1)若a＝1，求函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程； (2)当x>0时，函数f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围． 22.设，是实数，函数．。 （1）讨论函数的单调性； （2）若在上恒成立，求的值． 23.已知函数f(x)＝(x＋a－1)ex，g(x)＝x2＋ax，其中a为常数． (1)当a＝2时，求函数f(x)在点(0，f(0))处的切线方程； (2)若对任意的x∈[0，＋∞)，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 24.已知函数. (1)求的最小值； (2)证明：对任意的，恒成立. 题型06 导数中函数零点（方程根）问题 25.已知f(x)＝＋－3，F(x)＝ln x＋－3x＋2. (1)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性； (2)判断函数F(x)在(0，＋∞)上零点的个数． 26.已知函数 (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数的单调性区间； (3)若函数，有2个零点，求a的取值范围. 27.函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)的导函数的图象如图所示： (1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间； (2)若函数y＝f(x)有三个零点，求c的取值范围． 28.已知函数f(x)＝aex－aex－1，g(x)＝－x3－x2＋6x，其中a>0. (1)若曲线y＝f(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程； (2)若f(x)＝g(x)＋m在[0，＋∞)上有解，求实数m的取值范围． 29.已知函数f(x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)． (1)若f(0)＝2，求实数a的值，并求此时f(x)在[－2，1]上的最小值； (2)若函数f(x)不存在零点，求实数a的取值范围． 30.已知函数，. (1)当时，求证：在上有唯一极大值点； (2)若没有零点，求的取值范围. 31.已知函数. (1)讨论函数在区间上的极值点的个数； (2)若函数在区间上有唯一零点，证明：. 题型07 导数与不等式的证明 【方法点拨】基本证明步骤 1.作差或变形：对原不等式移项、通分等，或直接作差转化为“函数值与0的关系”； 2.构造新函数：按上述构造方法，搭建辅助函数； 3.分析函数性质：用导数研究函数的单调性、极值或最值； 4.推导结论：结合函数性质，证得不等式。 特殊处理：若构造的函数难用导数求解，可分别求不等式左右两端函数的最值，通过“左式最小值>右式最大值”证明 32、已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)． (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0. 33.已知f(x)＝xln x. (1)求函数f(x)在[t，t＋2](t>0)上的最小值； (2)证明：对一切x∈(0，＋∞)，都有ln x>－成立． 34.已知函数. (1)求在点处的切线方程； (2)判断的零点个数，并说明理由； (3)证明：函数的图象在直线的下方. 题型08 导数与三角函数综合 【方法点拨】1. 导数与三角函数综合: 分段分析：利用三角函数的有界性与周期性，以特殊角（如）为界分段讨论单调性。 切线放缩：熟记经典不等式（如时），通过切线或二次函数放缩将超越函数转化为代数不等式证明。 同构思想：识别等复合结构的对称性或利用辅助角公式化简。 2.常见题型：三角函数与对数指数结合，多个三角函数综合考察函数的单调性、极值最值、恒成立、零点问题。 35. 已知函数，． （1）求在区间上的极值点； （2）证明：恰有3个零点． 36. 已知函数. （1） 若为的导函数，证明：在上存在唯一的极大值点； （2） 证明：有且仅有两个零点. 37.已知函数． （1）求的单调递减区间： （2）记，若，试讨论在上的零点个数（参考数据：）． 38.已知函数， (1)求函数的最值； (2)令，求函数在区间上的零点个数，并说明理由． 39.已知函数f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围． 40. 已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设，求证：是上的单调递减函数； (3)求证：当时，. 41.己知函数. (1)若关于x的不等式在上恒成立，求实数a的取值范围； (2)当时，证明：. 42.已知函数，． (1)若，分析的单调性； (2)证明：当时，． 题型09 导数与数列综合 43. 已知函数. (1)讨论的单调性； (2)求证：. 44. 45. 已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若对任意恒成立，求a的取值范围； (3)证明：． 46. 已知函数，其导函数为. (1)若的一个极值点为1，求的值，并判断该极值点是极大值点还是极小值点； (2)讨论的单调性； (3)证明：当且时，. 47. 已知函数，． (1)证明：有唯一零点； (2)记的零点为．数列中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列，并说明理由； 48. 已知． (1)求函数的单调区间和极值； (2)请严格证明曲线有唯一交点； (3)对于常数，若直线和曲线共有三个不同交点，其中，求证：成等比数列． 1. 已知函数，． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：． 2.已知函数. (1)求在区间上的最值； (2)若过点存在3条直线与曲线相切，求实数的取值范围. 3.已知函数，其中. (1)讨论函数的单调性； (2)若存在，使成立，求实数的取值范围. 4.已知函数 ． (1)当时，判断在定义域上的单调性； (2)若函数在上的最小值为，求实数的值． 5.已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，存在极小值且极小值小于，求的取值范围． 6.设函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求的单调区间； (3)已知在处取得极大值，求实数的取值范围． 7.已知函数. （1）若恒成立，求的取值范围； （2）当时，证明：. 8.已知函数，． (1)若，求过原点且与函数图象相切的直线方程； (2)若函数有两个零点，求a的取值范围． 9. 已知函数． (1)若，求的图象在处的切线方程； (2)若与的图象有公共点，求的取值范围． 10. 已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数有三个零点，求的取值范围. 11. 已知函数，. (1)若恒成立，求实数m的取值范围； (2)求证：当时，. 12.已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若有两个极值点． ①求的取值范围； ②证明：存在，使得成等差数列． 13.已知函数． （1）若曲线在点处的切线与x轴平行． ①求实数的值：②证明：函数在内只有唯一极值点； （2）当时，证明：对于区间内的一切实数，都有． 14.设函数，. (1)若函数在定义域内单调递减，求的取值范围； (2)设，证明：（为自然对数的底数）. 15.已知. (1)曲线在点处的切线为直线，记的斜率为，比较与的大小； (2)若对任意的，恒成立，求的取值范围； (3)证明：. 16.已知函数. （1）直线过点且与曲线相切，求直线方程； （2）已知在导函数的图象上，以点为圆心的与轴都相切，且与彼此外切.若，且，求数列的前项之和. 17.已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若，，求的取值范围； (3)若，数列的前项积为，求证：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $