专题01：三角函数填选压轴题八种考法归纳【填选压轴题】 讲义- 2026年高考数学二轮复习（上海专用）

2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题01 解三角形与三角函数填选压轴题八种考法归纳 1. （2025上海秋季高考）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 【答案】 【解析】 【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角. 【详解】如图，在处，，在处满足， （其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于）， 故设，则， 由勾股定理，，解得， 于是 故答案为： 2．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 【答案】 【分析】设，在和中分别利用正弦定理得到，，两式相除即可得到答案. 【详解】设， 在中，由正弦定理得， 即’ 即① 在中，由正弦定理得， 即，即，② 因为，得， 利用计算器即可得， 故答案为：. 3．（2023年上海卷11）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　 　． 【答案】arccos 【解答】解：斜坡的长度为l， 上坡所消耗的总体力y（1.025﹣cosθ）， 函数的导数y′， 由y′＝0，得4﹣4.1cosθ＝0，得cosθ，θ＝arccos， 由f′（x）＞0时cosθ，即arccosθ时，函数单调递增， 由f′（x）＜0时cosθ，即0＜θ＜arccos时，函数单调递减， 即θ＝arccos，函数取得最小值，即此时所消耗的总体力最小． 故答案为：θ＝arccos． 4．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】先利用余弦定理求得，再利用同角三角函数关系式求得. 【详解】， A为的内角， . 5．（2022年上海卷19）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点P与点C重合，求∠POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 【答案】(1) arcsin；(2) 28． 【解答】解：（1）点P与点C重合，由题意可得OB＝10，BC＝6，∠ABC＝120°， 由余弦定理可得OP2＝OB2+BC2﹣2OB•BCcos∠ABC＝36+100﹣2×6×10×（）＝196， 所以OP＝14，在△OBP中，由正弦定理得， 所以，解得sin∠POB， 所以∠POB的大小为arcsin； （2）如图，连结QA，PB，OQ，OP， ∵曲线CMD上任意一点到O距离相等， ∴OP＝OQ＝OM＝OC＝14， ∵P，Q关于OM对称， ∴P点在劣弧CM中点或劣弧DM的中点位置，S△QOM＝S△POM＝α， 则∠AOQ＝∠BOP＝S△BOP， 则五边形面积S＝2（S△AOQ+S△QOM） ＝2[] ＝196sinα+140cosα ＝28sin（α+φ），其中tanφ， 当sin（α+φ）＝1时，S五边形MQABP取最大值28， ∴五边形MQABP面积S的最大值为28． 题型01：解三角形的最值与范围问题 1. （2025届上海市大同中学高三三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】A 【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得，然后将化简为关于的表达式，利用基本不等式可得. 【详解】因为，，成等差数列， 所以，由正弦定理得， 即， 因为，则，所以， 又， 所以， 即，得， 又在中，最多有一个是钝角，所以， 因为 ， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为3. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为的表达式，即可利用基本不等式求解. 2．（22-23高一下·上海虹口·期中）在中，，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】运用余弦定理先求出，再利用正弦定理求出关于的表达式，作恒等变换，根据正弦函数的性质求出的值域. 【解析】， 由正弦定理得，。 又， ， ； 令，，则， ； 故答案为：. 3．在中，向量与向量垂直，则的最大值为_____ 【分析】根据题意，得到，求得，利用正弦定理，得到，进而求得，化简，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】设的三边对的三角分别为， 因为向量与向量垂直，可得， 即,可得，所以， 又因为，可得，即， 所以，可得， 因为，所以， 所以， 又因为，所以， 所以当，即时，取得最大值. 4．记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是______ 【分析】根据题意，化简得到，得到，求得且，由正弦定理得，结合，得到，进而求得的取值范围. 【详解】由，可得，所以， 即， 因为，可得，所以或， 当时，即，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，可得且， 由正弦定理得， 则 ， 又由，可得，所以， 即的取值范围. 故选：B. 5．已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是________ 【分析】由已知得，利用余弦边角关系可得，结合角的范围求目标式的范围. 【详解】由题设， 则，， 所以，而， 所以. 6．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正弦定理和余弦定理可得，再由三角恒等变换可得，由的范围可得的范围，令，，利用导数得出函数的单调性，从而可得出答案. 【详解】解：∵，∴， ∴，∴， ∴，∴ ，∴，∴或（不符合题意舍去）， ∴， ∴ ， 设， ∵是锐角三角形，∴，∴， ∴， ∴， 令，则， ∴函数在上单调递增， 故， ∴. 故选：C． 7. 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，求出、、关于所设参数的表达式，在中应用正弦定理求，再根据的取值范围求最值． 【详解】由题意可得两点关于折线对称，连结， 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以． 因为，即， 当，即时，， 此时取得最小值，且． 所以的最小值为． 故答案为：. 题型02：三角函数性质综合 8. （25-26金山区二模）函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】A 【详解】， ，故最小正周期为， 设，， 故为奇函数，故选项A正确. 9. （24-25上外附中高一下期中）已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据二倍角公式辅助角公式化简函数解析式可得，令，可得在区间上的值域为，作函数图象，观察图象可求的最值，由此可得结论. 【详解】因为 所以， 所以 由可得，， 令，则在区间上的值域为， 作函数，，的图象如下： 令可得，，， 令可得，或，， 结合图象可得的最小值为，故的最小值为， 的最大值为，故的最大值为， 观察四个选项，只有选项D不满足， 故选：D. 10.关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 【答案】C 【解析】为偶函数，故①正确．当时，，它在区间单调递减，故②错误．当时，，它有两个零点：；当时，，它有一个零点：，故在有个零点：，故③错误．当时，；当时，，又为偶函数，的最大值为，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C． 11. （24-25上海实验学校高一下期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）. ①函数值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【分析】首先，根据函数奇偶性的定义判断和的奇偶性；然后，通过三角函数的性质及绝对值的意义求出在不同区间的表达式，进而得到的取值情况，画出函数图象；最后，根据的不同取值求解方程的实数根.逐个判断即可. 【详解】函数的定义域为R， 因为，所以为偶函数， 当时，， 则， 当时，， 当时，， 所以函数的图象如下图所示 由可知， 在内，， 当，Z时，， 当，且，Z时，， 当或，Z时，， 因为， 所以为偶函数， 则函数的图象如下图所示 故选项①和③正确，②错误； 对于方程，当时，方程有一个实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 当时，，此时，方程没有实数根， 所以方程只有一个实数根，故④正确. 故选：B. 12．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知函数，下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的最小正周期为 C．图象关于对称 D．的最小正周期为． 【答案】C 【分析】化简函数，结合图象，即可判断最小正周期、对称轴及单调区间，利用周期函数概念即可判断新函数的周期性. 【解析】，作出函数图象： 可得，该函数的最小正周期为，选项B正确；图像不关于对称，选项C错误；在区间上单调递减，选项A正确； 因为， 所以是函数的周期，选项D正确； 故选：C 13．（21-22高一下·上海虹口·期末）设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 【答案】D 【分析】由对任意的恒成立得函数在取得最大值，从而可以求解，得到函数的解析式，然后结合正弦函数的性质分析各选项即可判断． 【解析】解：由对任意的恒成立得函数在取得最大值， 所以，则， 所以， 整理得， 对于，，则不是函数的对称中心，故错误； 对于，，则不是函数的对称中轴，故错误； 对于，令，， 解得，，， 显然不包含区间，故错误； 对于，，所以的最小正周期为，故正确． 故选：D． 题型03：求的最值或范围问题 14. （25-26徐汇区二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】因为， 由，. 因为函数在上没有最大值和最小值， 所以函数的半个周期的区间长度不小于，即. 结合正弦函数性质，则有或， 解得或. 即的取值范围为：. 15. 已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】函数．当时，令，则，若在有且仅有3个零点和3条对称轴，则在有且仅有3个零点和3条对称轴，则，解得.故选：A． 16. （24-25华东政法大学附中高一下期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】分析可知有两解，以整体，结合余弦函数图象分析求解. 【详解】令，可得， 函数在上有且仅有2个零点，即有两解， 因为，且，则，可知的区间长度为， 可得，解得， 所以的取值范围为. 故选：A. 17.，在有且仅有一条对称轴，则范围为 【答案】 【分析】由题意结合三角函数的性质可得，，整理后按照、、、分类讨论即可得解. 【详解】函数的图像在区间上有且仅有一条对称轴，， 函数的周期，， 令，则， ，整理得，， 且， 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，无解； 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 18. （24-25七宝中学高一下期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到的图象关于直线对称，从而三角函数的性质得到关于的不等式组，解之即可得解. 【详解】因为，则在取得最值， 所以的图象关于直线对称，且， 又函数在区间上有且仅有一个零点，设的最小正周期为， 所以，即，所以. 故答案为： 19.（25-26崇明区二模） 设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先找出两个函数的单调区间的分界点，再进行排序，找到相邻两分界点的最小间距即可 【详解】，由正弦函数的性质得到单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为； ，令，则， 故单调区间的分界点， 相邻分界点间隔为，因此每个单调区间的长度为. 两类分界点合并排序，可发现它们交替排列，相邻两个不同类型的分界点的间隔交替为和， 所以两类分界点之间的最小距离为，所以，又，所以a的取值范围是. 20. （2025上海市崇明中学高三三模）已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据函数能否取到最小值进行分类讨论即可. 【详解】当时，因为此时的最小值为， 所以，即. 若，此时能取到最小值，即， 代入可得，满足要求； 若取不到最小值，则需满足，即， 在上单调递减，所以存在唯一符合题意； 所以或者，所以所有满足条件的的积属于区间， 故选：C 题型04：三角函数的多零点或交点问题 21. （24-25七宝中学高一下期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，分别求得函数，的解析式，然后将方程的根转化为函数的交点，结合图象，代入计算，即可得到结果. 【详解】 依题意，函数的图象对称中心为且过点， 所以，解得，所以. 由于函数的两相邻对称中心之间的距离为1， 且为函数的一个极大值点， 所以，则， 由于， ，所以， 所以，，关于对称， 对于区间，有， 由于和的图象都关于对称， 所以和的交点也关于对称， 由于方程在上的所有根之和等于2028， 所以方程在上一共有个根， 也即和的图象有个交点， 则当时，和的图象有个交点， 通过观察图象可知，与的图象在区间上分别有个交点， 所以或， 解得或，所以整数的值构成的集合为. 故答案为：. 22. （24-25上海实验学校高一下期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据的性质可得时，有，进而讨论时，根据放缩法可得在无零点，进而根据函数图象可确定函数、在上交点个数，构造函数求解在有且只有一个零点.，即可求解. 【详解】当时，， 当时，，故， 当时，，故， ……，依次类推，可知时，有， 当时，，故在无零点， 同理在也无零点. ∵，故将的图象向右平移个单位后，图象纵向伸长为原来的两倍， 则在平面直角坐标系中，、在上如图所示： 又， 故、在上的图象共有4047个不同交点， 下证：当，有且只有一个零点. 由于当时，，故， 即当时，， 当时，，也满足， 因此对任意的，都有， 结合为奇函数，因此对任意的，都有， 当时，， 因此，有且只有一个零点. 综上，、在上的图象共有4048个不同交点， 即在有4048个不同的零点， 故答案为：4048 23．（23-24高二上·上海·期末）已知，，则与图像交点的横坐标之和为 . 【答案】 【分析】先分析出与均关于对称，然后结合图像确定它们的交点的个数，最后根据对称性计算即可 【解析】令，，于是正弦函数的对称中心为，由，则，令，其定义域为，，于是为奇函数，则关于对称，从向左平移单位得到，故关于对称，至此分析可知，与均关于对称. 在同一坐标系画出两者图像如下，注意到，，至此之后，将不再和相交，于是在的部分，两者有个交点，不妨设它们横坐标为（），且；根据对称性，的部分，两者也有个交点，设它们横坐标为（），且，利用对称性可知：，，……，，于是，注意到与图像均过，于是它们图像交点的所有横坐标之和为. 故答案为： 24．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】依题意可得函数的图像与直线只在前几段有交点，分别分析函数与在前几段的交点个数，找到临近点，分析临界值时的交点情况，即可求出参数的取值范围. 【解析】因为函数在各段中的最大值逐渐减小，要使函数的图像与直线恰有个交点， 则函数的图像与直线只在前几段有交点， 依题意当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 若，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象仅有个交点，不符合题意， 所以， 当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 此时函数的图像与直线的图象恰有个交点， 若时，则当时，，此时函数的图像与直线必有个交点， 不满足函数的图像与直线的图象恰有个交点， 所以， 综上可得，即实数的取值范围是. 故答案为： 题型05：双变量问题 25．（2021·上海·高一期末）将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对满足的、，有的最小值为，则______． 【答案】或 【解析】 【分析】 先求解的解析式，根据可知一个取得最大值一个是最小值，不妨设取得最大值，取得最小值，结合三角函数的性质的最小值为，即可求解的值； 【详解】 由函数的图象向右平移，可得  不妨设取得最大值，取得最小值， ，，． 可得 的最小值为，即． 得或 故答案为或． 26. 已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A【详解】由题意得，（），由于函数的图象关于点对称，故，即，由于，故，故，最小正周期为，由于，故中的一个为函数最大值，另一个为最小值，即的最小值为，故选：A 27.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据的值域得到，则成立的必要条件是，当时必然成立，讨论时是否满足条件即可. 【详解】因为，所以，， 因为，所以，所以， 即，，所以， 当且仅当时，成立， 所以， 必要条件：，解得； 若，即时，必然成立； 若，因为，，不妨设， 则，，且， 所以，， 所以①，②， ①②两式联立得，即， 所以，又，所以，， 当时，，不符合条件； 当时，，则，此时； 当时，，则或，此时或， 因为，所以； 综上，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点之一在于根据的值域得到，将问题转化为；关键点之二在于讨论时是否满足条件. 题型06：解三角形实际应用 28. （25-26徐汇区二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 【答案】 【解析】 【详解】 作垂直于无人机航线与平面的平面，与无人机航线交于点A,与平面交于直线BC， 线段BC的长为农药条带的宽度，BH为水平线 作于D，于H,由坡角为易得， 由题意得, 则，， 所以， ， 因为，所以，， . 29. （25-26奉贤区二模）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米） 【答案】 【解析】 【详解】在中，，，； 由正弦定理可得，整理可得. 在中，， 由正弦定理， 整理可得. 所以 . 30. （25-26虹口区二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度） 【答案】 【解析】 【分析】先由题意得出 ，，且 ．再设 ，则 ，利用正弦定理表示出 的长度，最后在 中由余弦定理列方程求得 的值． 【详解】由题意可得 B，D，E，C 四点共线，，，，且点 A 为点 E 绕点 D 旋转后的位置，所以 ． 因此 设 ，则 ，所以 在 中，由正弦定理可得所以 在 中，由余弦定理可得 将 ，， 代入，得 两边同除以 ，得 化简可得 令 ，则 解得 ，或 ，或 ． 因为 ，所以 ，故 ． 于是故此时. 31. （2025上海宝山区高三三模）如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意设，则.，在，，中，分别用正弦定理，得，，再相乘化简即可求解. 【详解】由题可得， 设，则. 由题意，在中，， 在中，， 在中，， 将上述三式相乘，得， 从而有， 得， 所以. 故答案为： 32. （2025上海市崇明中学高三三模）如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成. 已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到） 【答案】 【解析】 【分析】设，则，则利用面积公式可得，利用导数可求面积最大时对应的角. 【详解】因为，， 故，故，设，则， 又 ， 设， 则， ， 记，，因为，故， 又当时，，当时，， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，此时， 故，用度表示后约等于， 故答案为：. 33. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 【答案】 【解析】 【分析】过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，，先求出，，在中，利用正弦定理求得，再根据，求得，从而可求得，再求出，再根据三角形的面积公式即可得解. 【详解】如图所示，过作对边的垂线，垂足为点，过点作对边的垂线，垂足为点，连接，， 由题意，， 因为为得中点，所以，又，所以，， 又，， 由正弦定理得，所以， 又，所以， ， 所以， 所以, 所以阴影部分面积为. 故答案为： 34.（2025建平中学高三下学期三模） 如图，已知一块半径为的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】当直角三角形的斜边在上时，由点轨迹可知；当直角三角形的直角边在上时，分析可知在线段上，设，可将三角形面积表示为，利用导数可求得的最大值，由此可得三角形面积最大值；对比两个最大值即可得到最终结果. 【详解】设该直角三角形为， ①若直角三角形的斜边在上，则点轨迹是以为直径的半圆弧（不包括）， 若面积最大，则且斜边上的高为 ； ②若直角三角形的直角边在上，点在上， 当在线段上时，，此时无最大值； 当在线段上时，设，则，又， ； ； 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，则； ，裁出三角形面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题考查平面几何中的三角形面积最值的求解问题，解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量的函数的形式，从而利用导数的知识来求解函数最值，得到三角形面积的最值. 题型07：三角函数命题结论辨析 35．（上海高考）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论： ①存在α在第一象限，β在第三象限； ②存在α在第二象限，β在第四象限； 则（　　） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 【答案】由tanα•tanβ＝tan（α+β）， 即为tanα•tanβ， 设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0， 若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0， 即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m﹣2﹣8m2＝﹣8（m）2， 当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解， β在第三象限不可能，故①错； 可令tanα， 由tanα•tanβ＝tan（α+β）， 即为tanα•tanβ， 可得tanβ， 解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对． 故选：D． 36. （24-25南汇中学高一下期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于x轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且．已知命题：①；②函数在上有4051个零点，则以下判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件得求出可判断①；令求出，解不等式可判断②. 【详解】因为，所以，解得，故①正确； 令得， ，由得， 因为，所以，共有4050个， 即函数在上有4050个零点，故②错误. 故选：B. 37. （24-25光明中学高一下期中调研）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为； ②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值； ④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据“正余弦函数”定义结合题给条件得出，结合正弦函数性质，对“正余弦函数”的性质进行逐一判断. 【详解】由题知，点坐标为，则 . 性质①：，值域为，正确. 性质②：， ，所以，错误. 性质③：当时，，，非最值； 最值出现在，即，错误. 性质④：正弦函数为周期函数，最小正周期为， 故为周期函数，最小正周期为，正确. 综上，性质①④正确，共2个. 故选：B. 38.（24-25七宝中学高一下期中）关于函数的以下两个命题： ①函数的图象是轴对称图形； ②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（ ） A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 【答案】C 【解析】 【分析】对于①：根据最值分析若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为，举反例说明即可；对于②：先证，分和两种情况，结合函数最值放缩即可证明. 【详解】对于①：因，当且仅当时，等号成立， 若，为最大值， 可知当且仅当时，取到最大值， 若函数的图象是轴对称图形，则对称轴只能为， 但，即， 所以函数的图象是轴对称图形不成立，故①错误； 对于②：先证， 当时，如图所示： 在标准单位圆中，轴，， 则的长为，， 可得； 当时，则； 综上所述：，可得. 当时，，即； 当时，则， 即； 综上所述：，故②正确； 故选：C. 题型08：三角函数与向量、数列综合 39．（23-24复旦附中高三期中）设是的外心，点为的中点，满足，若，则面积的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】B 【分析】首先由，，结合余弦定理得出，进一步由三角形面积公式、同角三角函数关系恒等式得，由此即可得解. 【详解】 因为，， 所以， 从而，即， 所以，所以， 所以的面积为 ， 等号成立当且仅当， 综上所述，面积的最大值为4. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：关键是依次得出，，由此即可顺利得解. 40. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ） A. 9 B. 17 C. 26 D. 34 【答案】D 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简函数，分析函数的图象性质得图象关于点对称，利用等差中项的性质结合正弦型函数的对称性可求得结果. 【详解】依题意，， 由，得， 当时，，即函数的图象关于点对称，， 由等差中项的性质得， 则， 所以数列的前17项和为：. 故选：D 41. （25-26虹口区二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（ ）． A. 为严格增数列 B. 为公差不为零的等差数列． C. 为等比数列（其中，） D. 为周期数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列及三角函数性质对各选项逐一分析是否存在符合条件的无穷等差数列. 【详解】在A选项中，假设是严格递增的无穷数列， 但，且是周期函数，在一个周期内有增有减， 对无穷等差数列，当，则， 所以会周期性波动，不可能一直严格递增，A错误， 在B选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则，所以， 由于是关于的周期变化的函数， 所以不是常数， 即不是公差不为零的等差数列，B错误， 在C选项中，设等差数列的首项为，公差为（）， 则， 若为等比数列，则， ，，， ， 当，时，则， 该数列各项均为正数，且不为常数列，其项和为 ，此时数列， 当为奇数时，为奇数，， 当为偶数时，为偶数，， 故为数列，是公比为的等比数列， 所以存在这样的无穷等差数列使得为等比数列，C正确， 在D选项中，因为是各项为正数且不为常数列的无穷等差数列， 所以，即， 所以会趋近于， 而周期数列是指经过一定的项数后会重复出现相同的项， 所以不可能是周期数列，D错误. 42. （25-26金山区二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为， ， ， ， . 所以. 设， 则. 所以， 所以. 43．（2025届虹口区高三 一模）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（   ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 【答案】A 【分析】假设，，成等比数列，可得，在同一坐标系内作和的图象可判断①；分，和，求出的最大值和最小值可知，判断该方程是否有解可判断②. 【详解】对于①，若，，成等比数列，即，， 则，即，得， 在同一坐标系内作和的图象：    可知方程，有且只有一解， 所以存在等比数列以及锐角α，使成立，①是真命题； 对于②，假设存在等差数列以及锐角α， 使成立，则必有， 当时，显然不成立； 当时，，， 所以，， 所以， 则， ，即，即， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 当时，，， 所以，， 所以， 同理， 因为，所以，， 不存在这样的使得等式成立； 所以②是真命题. 故选：A. 【点睛】思路点睛：与三角有关的方程是否有解的问题，可根据代数式的特征选择合适的范围，再根据范围判断一些特定代数式的符号，从而可判断方程是否有解. 44. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得有非零解，利用数列的收敛性得即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，代入得： 整理得： 由于是无穷等比数列，所以 因时左边无界，时右边有界，均矛盾， 所以，此时，则： ， 设，则，即， 因为对成立且，为使方程有非零解， 则即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 45．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______ 【答案】 【分析】设，分析可得，求得，，对分奇数和偶数两种情况讨论，结合参变量分离法可求得实数的取值范围. 【详解】设函数，该函数的定义域为， 因为， 则函数为偶函数，因为方程有唯一解，则， 所以，且，故数列是以为公差和首项的等差数列， 故，，由题意可得. 若为奇数，则，因为，当且仅当时，等号成立， 所以，，可得； 若为偶数，则，令，则，， 当时，,， 且数列中的偶数项从开始单调递增，因为，此时. 综上所述，. 故答案为：. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高考数学二轮复习高分冲刺【压轴题全突破】 专题01 解三角形与三角函数填选压轴题八种考法归纳 1. （2025上海秋季高考）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角_________．（结果用角度制表示，精确到） 2．（2024·上海·高考真题）已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则 (精确到0.1度) 3．（2023年上海卷11）某公园欲建设一段斜坡，坡顶是一条直线，斜坡顶点距水平地面的高度为4米，坡面与水平面所成夹角为θ．行人每沿着斜坡向上走1m消耗的体力为（1.025﹣cosθ），欲使行人走上斜坡所消耗的总体力最小，则θ＝　 　． 4．（2023·上海·高考真题）在中，已知，，，则 ． 5．（2022年上海卷19）如图，在同一平面上，AD＝BC＝6，AB＝20，O为AB中点，曲线CD上任一点到O距离相等，角∠DAB＝∠ABC＝120°，P，Q关于OM对称，MO⊥AB； （1）若点P与点C重合，求∠POB的大小； （2）P在何位置，求五边形MQABP面积S的最大值． 题型01：解三角形的最值与范围问题 1. （2025届上海市大同中学高三三模）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，成等差数列，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 2．（22-23高一下·上海虹口·期中）在中，，且，则的取值范围是 ． 3．在中，向量与向量垂直，则的最大值为_____ 4．记的内角的对边分别为，已知，则的取值范围是______ 5．已知在中，角，，所对的边分别为，，，，若，则的取值范围是________ 6．在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7. 在边长为1的正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上．则线段AD的长度的最小值为______． 题型02：三角函数性质综合 8. （25-26金山区二模）函数是（ ） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 9. （24-25上外附中高一下期中）已知函数的定义域是，值域是，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 10.关于函数有下述四个结论： ①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（,）单调递增 ③f(x)在有4个零点 ④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③ 11. （24-25上海实验学校高一下期中）设，用表示不超过的最大整数，例如.已知函数，函数，则以下结论中正确的个数有（ ）. ①函数值域是，②函数的图象关于对称，③函数是偶函数，④方程只有一个实数根. A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 12．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知函数，下列说法不正确的是（    ） A．在区间上单调递减 B．的最小正周期为 C．图象关于对称 D．的最小正周期为． 13．（21-22高一下·上海虹口·期末）设函数，其中.若对任意的恒成立，则下列结论正确的是（    ） A．为函数的一个对称中心 B．的图像关于直线对称 C．在上为严格减函数 D．函数的最小正周期为 题型03：求的最值或范围问题 14. （25-26徐汇区二模）设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数（），若在区间内有且仅有3个零点和3条对称轴，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16. （24-25华东政法大学附中高一下期中）若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 17.，在有且仅有一条对称轴，则范围为 18. （24-25七宝中学高一下期中）已知函数满足对任意的都有．若函数在区间上有且仅有一个零点，则的取值范围是________． 19.（25-26崇明区二模） 设，．若对任意，存在使得函数在区间上是单调函数，则实数a的取值范围是________． 20. （2025上海市崇明中学高三三模）已知函数在区间上的最小值恰为，则所有满足条件的的积属于区间（ ） A. B. C. D. 题型04：三角函数的多零点或交点问题 21. （24-25七宝中学高一下期中）已知函数过点，且图象对称中心为，函数的两相邻对称中心之间的距离为1，且对任意的，恒成立．若方程在上的所有根之和等于2028，则满足条件的构成的集合为________． 22. （24-25上海实验学校高一下期中）已知函数，函数满足以下三点条件：①定义域为；②对任意，有；③当时，.则函数在区间上零点的个数为______. 23．（23-24高二上·上海·期末）已知，，则与图像交点的横坐标之和为 . 24．（22-23高一下·上海闵行·期末）已知函数的定义域为，且当时，，其中取一切正整数.函数的图像与直线恰有24个交点，则实数的取值范围是 . 题型05：双变量问题 25．（2021·上海·高一期末）将函数的图象向右平移 个单位后得到函数的图象，若对满足的、，有的最小值为，则______． 26. 已知函数的图象关于点对称，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 27.（2024青浦区高三三次学业监测） 已知，若存在、，且，使得成立，则的取值范围是______． 题型06：解三角形实际应用 28. （25-26徐汇区二模）如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图.将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴､母线与轴夹角为的圆锥及其内部.若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”.当时，的最大值为__________.（结果精确到） 29. （25-26奉贤区二模）如图所示，A，B，C为山脚两侧共线的三点，在山顶P处测得三点的俯角分别为，，．计划沿直线AC开通穿山隧道，为了求出隧道DE的长度，还测得米，米，米，则根据以上数据，隧道DE的长度约为________米．（结果精确到1米） 30. （25-26虹口区二模）某种健身拉力器的手臂固定支架为BE，需运动者将肩关节放置于点B处，手肘放置于点D处，手掌放置于点E处握拳握住弹力绳的一端，弹力绳的另一端连接于点C处；保持B、D、E、C四点共线．将小臂视为线段DE，长度为r，大臂视为线段BD，长度为1.3r．在锻炼时要求保持肩关节B和手肘D不动，运用大臂力量将小臂DE绕着手肘D作圆周运动，始终与BC处于同一平面，弹力绳随之以紧绷状态从CE拉伸至CA．已知某位运动者健身时，当弹力绳拉至最长时，，则此时________度．（结果精确到0.1度） 31. （2025上海宝山区高三三模）如图，要在和两地之间修建一条笔直的隧道，现在从地和地测量得到：，.则__________.（结果精确到） 32. （2025上海市崇明中学高三三模）如图，是款电动自行车用“遮阳神器”的结构示意图，它由三叉形的支架和覆盖在支架上的遮阳布组成. 已知，，且；为保障行车安全，要求遮阳布的最宽处；若希望遮阳效果最好（即的面积最大），则的大小约为______.（结果四舍五入精确到） 33. （2025华东师范大学二附中高三5月冲刺试卷）雨天外出虽然有撑雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，热爱探究数学问题的小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：小明把人假设为身高、肩宽分别为，的矩形＂纸片人＂； 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄长，可绕矩形＂纸片人＂上点旋转； 假设4：伞面为被伞柄垂直平分的线段． 如图，在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其＂裤脚＂被淋湿（阴影）部分的面积_________（结果精确到）； 34.（2025建平中学高三下学期三模） 如图，已知一块半径为的残缺的半圆形材料，为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在上，则裁出三角形面积的最大值为__________． 题型07：三角函数命题结论辨析 35．（上海高考）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论： ①存在α在第一象限，β在第三象限； ②存在α在第二象限，β在第四象限； 则（　　） A．①②均正确 B．①②均错误 C．①对②错 D．①错②对 36. （24-25南汇中学高一下期中）我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行于x轴的直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等，已知函数图象中的两条相邻“平行曲线”与直线相交于、两点，且．已知命题：①；②函数在上有4051个零点，则以下判断正确的是（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①为真命题，②为假命题 C. ①为假命题，②为真命题 D. ①和②均为假命题 37. （24-25光明中学高一下期中调研）在平面直角坐标系中，已知任意角以坐标原点为顶点，轴非负半轴为始边，若终边经过点，且，定义，称“正余弦函数”，对于“正余弦函数”，有同学得到以下性质： ①该函数的值域为； ②该函数为奇函数； ③该函数在时取到最大或最小值； ④该函数为周期函数，且最小正周期为． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 38.（24-25七宝中学高一下期中）关于函数的以下两个命题： ①函数的图象是轴对称图形； ②对任意的，不等式恒成立．则正确的是（ ） A. ①正确②正确 B. ①正确②错误 C. ①错误②正确 D. ①错误②错误 题型08：三角函数与向量、数列综合 39．（23-24复旦附中高三期中）设是的外心，点为的中点，满足，若，则面积的最大值为（    ） A．2 B．4 C． D．8 40. 已知等差数列中，，设函数，记，则数列的前17项和为（ ） A. 9 B. 17 C. 26 D. 34 41. （25-26虹口区二模）一定存在各项均为正数且不为常数列的无穷等差数列，使得（ ）． A. 为严格增数列 B. 为公差不为零的等差数列． C. 为等比数列（其中，） D. 为周期数列 42. （25-26金山区二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 43．（2025届虹口区高三 一模）设数列的前四项分别为，对于以下两个命题，说法正确的是（   ）． ①存在等比数列以及锐角α，使成立． ②对任意等差数列以及锐角α，均不能使成立． A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题 C．①是假命题，②是真命题 D．①是假命题，②是假命题 44. （2024上海市曹杨第二中学高三三模）设，．若存在公比的无穷等比数列，使得对任意正整数都成立，则的取值范围是________． 45．（2022·上海交大附中高三开学考试）在数列中，，为的前项和，关于的方程有唯一解，若不等式，对任意的恒成立，则实数的取值范围为______ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $