期中解答题突破训练2025-2026学年湘教版八年数学级下册

期中解答题突破训练2025-2026学年湘教版版八年级下册 板块一：四边形 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，延长BE到F，使BE＝EF，连接AF、CF、DF．求证：四边形ADCF是平行四边形． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形． 3.如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 4.如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 5.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 6.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长． 7.如图，在矩形中，平分交边于点E，过点E作交边于点F，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 8．如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 板块二：图形与坐标 1．小霞和爸爸妈妈到公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系知识，画出了如图所示的公园景区地图．可是她忘记了在图中标出坐标系的轴轴和原点，只知道木栈道景点的坐标为，月亮桥景点的坐标为． (1)请在图中画出轴、轴，并标出坐标原点； (2)请写出其它三个景点、、的坐标． 2．如图，如果一个小正方形的对角线长，乐乐家原来的位置是． (1)乐乐爸爸在医院工作，医院在乐乐家北偏东方向处是点A（   ，   ）展览馆在乐乐家东偏南方向走处是点B（   ，   ），并在图中标出点A、点B的位置． (2)如本市出租车收费标准为：以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元．乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费多少钱？ 3．已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第一象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 5.已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点为“智慧点”． （1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由． （2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)把向左平移个单位，向下平移个单位得到，画出 ； (2)点为内一点，则平移后点的对应点 的坐标为 ； (3)求的面积． 7．知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 8.如图所示，在x轴上、点B在y轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为．    (1)直接写出点E的坐标___________； (2)在四边形中，点P从点B出发，沿“”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题： ①当t＝___________秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②求在运动过程中是否存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，若存在，求出点P的坐标：若不存在，试说明理由； ③当时，设，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由． 板块三：一次函数 1.已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求： （1）这个一次函数的解析式． （2）当x＝﹣3时，y的值． 2.已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 3．如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求△ABP的面积； （3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集． 4.如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B． （1）直线l向右平移2个单位长度得到的直线l1的表达式为 　 　； （2）直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的表达式为 　　； （3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标． 5.甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发，1h以后乙车出发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）的对应关系如图所示： （1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？ （2）求乙车出发多长时间追上甲车？ （3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km． 6.某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元． （1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式； （2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选用哪种运输方式所需用较少？ 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点的坐标； (2)是轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)是轴上的一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 8．如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】 期中解答题突破训练2025-2026学年湘教版版八年级下册 板块一：四边形 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，延长BE到F，使BE＝EF，连接AF、CF、DF．求证：四边形ADCF是平行四边形． 【答案】证明：如图， ∵E是AD的中点， ∴AE＝ED， 又∵BE＝EF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∴AF＝BD，且AF∥BD， ∵AD是BC边上的中线， ∴CD＝DB， ∴AF＝DC， 又AF∥CD， ∴四边形AFCD是平行四边形． 2.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别为BC、AC中点，连接DE并延长至点F，使得EF＝DE，连接AD、AF、CF，求证：四边形ADCF为矩形． 【答案】证明见解析． 【解答】证明：∵点D、E分别为BC、AC中点， ∴AE＝EC，BD＝DC， ∵EF＝DE， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵AB＝AC，BD＝DC， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴▱ADCF是矩形． 3.如图，在四边形中，，，平分． 求证：四边形是菱形． 【答案】见解析 【详解】解：平分， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 4.如图，在中，于点，于点，，求证：四边形是正方形． 【答案】见解析 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是矩形． ∵， ∴四边形是正方形． 5.如图，在▱ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AF＝CE，连接BE，DE，BF，DF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠BAC＝80°，AB＝AF，DC＝DF，求∠EBF的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）30°． 【解答】（1）证明：在▱ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAF＝∠DCE， 在△ABF和△CDE中， ， ∴△ABF≌△CDE（SAS）， ∴BF＝DE，∠DEF＝∠BFA， ∴ED∥BF， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵四边形BEDF是平行四边形， ∴BE＝DF， ∵AB＝DC＝DF， ∴AB＝BE， ∴∠BEA＝∠BAC＝80°， ∴∠ABE＝180°﹣2×80°＝20°， ∵AB＝AF， ∴∠ABF＝∠AFB＝（180°﹣80°）＝50°， ∴∠EBF＝∠ABF﹣∠ABE＝50°﹣20°＝30°． 6.如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且∠OBC＝∠OCB． （1）求证：四边形ABCD为矩形； （2）过B作BE⊥AO于E，∠CBE＝3∠ABE，BE＝2，求AE的长． 【答案】（1）略 （2）2﹣2． 【解答】（1）证明：∵∠OBC＝∠OCB， ∴OB＝OC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OC＝OA＝AC，OB＝OD＝BD， ∴AC＝BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°， ∵∠CBE＝3∠ABE， ∴∠ABE＝×90°＝22.5°， 在EB上取一点H，使得EH＝AE，易证AH＝BH，设AE＝EB＝x，则AH＝BH＝x， ∵BE＝2， ∴x+x＝2， ∴x＝2﹣2． 7.如图，在矩形中，平分交边于点E，过点E作交边于点F，连接． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵    ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∵平分， ∴，   ∵， ∴， ∴，    ∴， ∴矩形是正方形． （2）在中，，， ∴， ∴， ∴在中，． 8．如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ②连接交于点O， 则，， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的边长为． 板块二：图形与坐标 1．小霞和爸爸妈妈到公园游玩，回到家后，她利用平面直角坐标系知识，画出了如图所示的公园景区地图．可是她忘记了在图中标出坐标系的轴轴和原点，只知道木栈道景点的坐标为，月亮桥景点的坐标为． (1)请在图中画出轴、轴，并标出坐标原点； (2)请写出其它三个景点、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， ， 【详解】（1）解：由木栈道景点的坐标为，月亮桥景点的坐标为，得到原点坐标的位置，如下图所示即为所求： （2）解：由（1）可得， 庆典广场点坐标为， 亲子乐园点坐标为， 迷宫点坐标为． 2．如图，如果一个小正方形的对角线长，乐乐家原来的位置是． (1)乐乐爸爸在医院工作，医院在乐乐家北偏东方向处是点A（   ，   ）展览馆在乐乐家东偏南方向走处是点B（   ，   ），并在图中标出点A、点B的位置． (2)如本市出租车收费标准为：以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元．乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费多少钱？ 【答案】(1)；，画图见解析 (2)他要付车费元 【详解】（1）解：点A、点B的位置如图所示，点A，点B． （2）解：因为以内（含）起步价10元，超过的部分，每千米收费1.6元， 所以，乐乐从家乘出租车按（1）中路线去展览馆参观，他要付车费为（元）， 答：他要付车费11.6元． 3．已知点是平面直角坐标系中的点． (1)若点A在x轴上，求a的值； (2)若点A在第一象限，且到两坐标轴的距离和为9，请确定点A的坐标． 【答案】(1) (2)点A的坐标为 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， ∴； （2）解：∵点A在第一象限，且到两坐标轴的距离和为9， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 4．在平面直角坐标系中，点A的坐标为． (1)若点A在y轴上，求点A的坐标； (2)若点，直线轴，求a的值； (3)点C的坐标为，若直线轴，且线段的长为5，求b的值及点C的坐标． 【答案】(1) (2)； (3)当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为 【详解】（1）解：由题意可得，， 解得， ， ； （2）解：直线轴， ，B两点的纵坐标相等，即， 解得； （3）解：直线轴， ，C两点的横坐标相等， 即， 解得， ， 点A的坐标为． 线段的长为5， 当点C在点A上方时， ， 解得，此时点C的坐标为； 当点C在点A下方时， ， 解得，此时点C的坐标为． 综上所述，当b的值为2时，点C的坐标为；当b的值为时，点C的坐标为． 5.已知当m、n都是实数，且满足2m＝6+n，则称点为“智慧点”． （1）判断点P（4，10）是否为“智慧点”，并说明理由． （2）若点M（a，1﹣2a）是“智慧点”．请判断点M在第几象限？并说明理由． 【答案】解：（1）点P不是“智慧点”， 由题意得：， ∴m＝5，n＝20， ∴2m＝2×5＝10， 6+n＝6+20＝26， ∴2m≠6+n， ∴点P（4，10）不是“智慧点”； （2）点M在第四象限， 理由：∵点M（a，1﹣2a）是“智慧点”， ∴， ∴m＝a+1，n＝2﹣4a， ∵2n＝6+n， ∴2（a+1）＝6+2﹣4a， 解得a＝1， ∴点M（1，﹣1）， ∴点M在第四象限． 6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上． (1)把向左平移个单位，向下平移个单位得到，画出 ； (2)点为内一点，则平移后点的对应点 的坐标为 ； (3)求的面积． 【答案】（1）解：∵向左平移个单位，向下平移个单位， ∴顶点，，对应点，，， 连接，，， ∴即为所求； （2）解：∵向左平移个单位，向下平移 个单位 ∴平移后点点的对应点的坐标为， 故答案为：； （3）解：的面积． 7．知图，在平面直角坐标系中，已知点，点C在y轴正半轴上，． (1)求点C的坐标； (2)设点P为x轴上的一点，若，试求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点P为x轴上的一点， ∴设， 则， ∵， ∴， ∴， 解得：或； ∴或． 8.如图所示，在x轴上、点B在y轴上，将沿x轴负方向平移，平移后的图形为，且点C的坐标为．    (1)直接写出点E的坐标___________； (2)在四边形中，点P从点B出发，沿“”移动．若点P的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，回答下列问题： ①当t＝___________秒时，点P的横坐标与纵坐标互为相反数； ②求在运动过程中是否存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，若存在，求出点P的坐标：若不存在，试说明理由； ③当时，设，，试问，，之间的数量关系能否确定？若能，请用含x，y的式子表示z，写出过程；若不能，说明理由． 【答案】(1) (2)①2；②在运动过程中存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，此时点坐标为或；③能确定， 【详解】（1）解：∵点B在y轴上，点C的坐标为，沿x轴负方向平移，得到， ∴沿轴负方向平移3个单位得到， ∵点的坐标是， ∴点的坐标是； 故答案为： （2）解：①∵点的坐标为． ，， ∵点的横坐标与纵坐标互为相反数； 点在线段上， ， 即 当秒时，点的横坐标与纵坐标互为相反数； 故答案为：2 ②如图1，当点在线段上时，由题意得，此时点的坐标， ∵△PEB的面积是△CAB面积的一半， ∴ 解得， 此时点坐标为； 如图2，当点在线段上时，由题意得，此时点的坐标， ∵△PEB的面积是△CAB面积的一半， ∴， 解得， 此时点坐标为． 答：在运动过程中存在点P，使得△PEB的面积是△CAB面积的一半，此时点坐标为或；    ③能确定． 如图3，过作交于， ∵， ∴， ，， ， ．    板块三：一次函数 1.已知一次函数图象经过点A（1，3）和B（2，5）．求： （1）这个一次函数的解析式． （2）当x＝﹣3时，y的值． 【答案】解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（k≠0）．则 ， 解得 ． 故该一次函数解析式为：y＝2x+1； （2）把x＝﹣3代入（1）中的函数解析y＝2x+1，得 y＝2×（﹣3）+1＝﹣6+1＝﹣5． 即：y的值为﹣5． 2.已知y﹣1与x+2成正比例，且x＝﹣1时，y＝3． （1）求y与x之间的关系式； （2）它的图象经过点（m﹣1，m+1），求m的值． 【答案】解：（1）根据题意：设y﹣1＝k（x+2）， 把x＝﹣1，y＝3代入得：3﹣1＝k（﹣1+2）， 解得：k＝2． 则y与x函数关系式为y＝2（x+2）+1＝2x+5； （2）把点（m﹣1，m+1）代入y＝2x+5得：m+1＝2（m﹣1）+5 解得m＝﹣2． 3．如图，已知函数y1＝2x+b和y2＝ax﹣3的图象交于点P（﹣2，﹣5），这两个函数的图象与x轴分别交于点A、B． （1）分别求出这两个函数的解析式； （2）求△ABP的面积； （3）根据图象直接写出不等式2x+b＜ax﹣3的解集． 【答案】解：（1）∵将点P （﹣2，﹣5）代入y1＝2x+b，得﹣5＝2×（﹣2）+b，解得b＝﹣1，将点P （﹣2，﹣5）代入y2＝ax﹣3，得﹣5＝a×（﹣2）﹣3，解得a＝1， ∴这两个函数的解析式分别为y1＝2x﹣1和y2＝x﹣3； （2）∵在y1＝2x﹣1中，令y1＝0，得x＝， ∴A（，0）． ∵在y2＝x﹣3中，令y2＝0，得x＝3， ∴B（3，0）． ∴S△ABP＝AB×5＝××5＝． （3）由函数图象可知，当x＜﹣2时，2x+b＜ax﹣3． 4.如图，已知直线l：y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B． （1）直线l向右平移2个单位长度得到的直线l1的表达式为 　 　； （2）直线l关于y＝﹣x对称的直线l2的表达式为 　　； （3）点P在直线l上，若S△OAP＝2S△OBP，求P点坐标． 【答案】（1）y＝2x； （2）y＝x+2； （3）P（﹣，）或（2，8）． 【解答】解：（1）直线l：y＝2x+4向右平移2个单位得到的直线l2的解析式为：y＝2（x﹣2）+4，即y＝2x， 故答案为y＝2x； （2）∵（0，4），（﹣2，0）在直线l：y＝2x+4上， 这两点关于y＝﹣x的对称点为（﹣4，0），（0，2）， 设直线l1的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线l1的解析式为：y＝x+2， 故答案为y＝x+2； （3）∵直线l：y＝2x+4交x轴于A，交y轴于B． ∴A（﹣2，0），B（0，4）， ∴OA＝2，OB＝4， 设P的坐标为（x，2x+4）， ∵S△OAP＝2S△OBP， ∴OA•|2x+4|＝2×OB•|x|，即|2x+4|＝4|x|， 解得x＝﹣或2， ∴P（﹣，）或（2，8）． 5.甲、乙两车从佳木斯出发前往哈尔滨，甲车先出发，1h以后乙车出发，在整个过程中，两车离开佳木斯的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）的对应关系如图所示： （1）直接写出佳木斯、哈尔滨两城之间距离是多少km？ （2）求乙车出发多长时间追上甲车？ （3）直接写出甲车在行驶过程中经过多长时间，与乙车相距18km． 【答案】解：（1）由图象可知，佳木斯、哈尔滨两城之间距离是360km； （2）由图象可知，乙车速度为360÷3＝120（km/h），甲车速度为360÷（4+1）＝72（km/h）， 设乙出发x小时追上甲车， 根据题意得：120x＝72（x+1）， 解得x， 答：乙车出发小时追上甲车； （3）设甲车出发yh与乙车相距18km， ①乙车出发前， 由题意得72y＝18， 解得y； ②乙车出发后， 由题意得：|72y﹣120（y﹣1）|＝18， 解得：y或x， 综上所述，甲车在行驶过程中经过h或h或h与乙车相距18km． 6.某乳品公司向某地运输一批牛奶，由铁路运输每千克需运费0.60元，由公路运输，每千克需运费0.30元，另需补助600元． （1）设该公司运输的这批牛奶为x千克，选择铁路运输时，所需运费为y1元，选择公路运输时，所需运费为y2元，请分别写出y1、y2与x之间的关系式； （2）若公司只支出运费1500元，则选用哪种运输方式运送的牛奶多？若公司运送1500千克牛奶，则选用哪种运输方式所需用较少？ 【答案】解：（1）y1＝0.6x， y2＝0.3x+600． （2）当y1＝1500时，x＝2500， 当y2＝1500时，x＝3000， ∵3000＞2500， ∴公路运输时运送的牛奶多． 当x＝1500时，y1＝900，y2＝1050， ∵1050＞900， ∴公司运送1500千克牛奶，铁路运输方式便宜． 7．如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)直接写出点的坐标； (2)是轴上一点，当的面积为时，求点的坐标； (3)是轴上的一点，当为等腰三角形时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)的坐标为或； (3)点的坐标为或或或． 【详解】（1）在中，令，则， ∴点的坐标是， 在中，令，则， ∴点的坐标是， （2）设的坐标为， 的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴，    ∴， ∴， ∴的坐标为或； （3）设点的坐标为． ∵点的坐标为，点的坐标为， 下面分三种情况说明． 当时，即． ∴． 解得（舍去，此时与重合）或． ∴的坐标是． 当时，即． ∴． ∴ ∴． 解得或． ∴的坐标是或． 当时，即． ∴． ∴． 解得． ∴的坐标是． 综上所述，点的坐标为或或或． 8．如图， 直线交轴于点，交轴于点， (1)求直线 的解析式； (2)在坐标轴上是否存在点，使得 是直角三角形? 若存在，求出点的坐标； 若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标、和 【详解】（1）解：直线交轴于点，交轴于点， 设直线：，将、代入得 ，解得， 直线 的解析式； （2）解：存在， 根据题意，分三种情况讨论：①；②；③； 当时，如图所示： 点的坐标是； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 当时，如图所示： 设， 在中，，则， 在中，，则， 由等面积法可知，即，则，解得，故； 综上所述，点的坐标、和． 学科网（北京）股份有限公司 $