精品解析：新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市第三十一中学2025-2026学年高一第二学期4月月考数学试卷

2025-2026学年第二学期4月月考 高一数学（问卷） （时间：100分钟 总分：150分 命题人：蒲海娜） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用向量加减法的运算律化简即可得. 【详解】. 故选：C 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，若，则与的模相等，但方向无法确定，故A错误； 对于B，零向量的长度是0，故B正确； 对于C，长度相等且方向相同的向量叫相等向量，故C错误； 对于D，方向相同或相反的向量称为共线向量，规定零向量与任意向量共线，故D错误. 3. 如图，在平行四边形ABCD中， （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量加法的平行四边形法则分析求解. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则，  故选：B. 4. 平面向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量减法的坐标运算可得. 【详解】因为，，所以，所以，解得. 故选：B. 5. 已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直的计算公式和向量数量积的定义求出，结合两向量夹角的范围即可求得答案. 【详解】由可得， 解得，因，则. 故选：C. 6. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用平面向量减法法则即可得到. 【详解】. 故选：B. 7. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知结合余弦定理即可求解． 【详解】由余弦定理可得 ，故． 8. 在△ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由大边对大角即可求出. 【详解】由正弦定理可得，， 因为，所以，则， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选择中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中结果一定为零向量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用向量的加法运算，结合零向量的意义逐项计算判断作答. 【详解】对于A，，A是； 对于B，，不一定是零向量，B不是； 对于C，，C是； 对于D，，D是. 故选：ACD 10. 下列说法中不正确的是（ ） A. 方向相反的两个非零向量一定共线 B. 零向量是最小的向量 C. 若，则一定为一个三角形的三个顶点 D. 单位向量都相等 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据共线向量，零向量，单位向量的定义即可求解. 【详解】对于A,方向相反的向量一定共线，A正确， 对于B，向量没有大小，零向量是模长最小的向量，故B错误， 对于C，，则可能共线，此时无法构成三角形，故C错误， 对于D，单位向量是长度为1的向量，但方向不一定相同，故D错误， 故选：BCD 11. 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. sin(B+C)=sinA B. cos(B+C)=cosA C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角形内角和定理与诱导公式判断A，B；利用余弦定理计算判断C，D作答. 【详解】依题意，中，，，A正确； ，B不正确； 因，则由余弦定理得：，而，即有，为直角三角形，C正确； 因，则，而，即有，为钝角三角形，D不正确. 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_________ 【答案】 【解析】 【分析】由可直接得解. 【详解】由可得：. 所以. 故答案为. 【点睛】本题主要考查了向量的数乘运算的性质，属于基础题. 13. 下列四个等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的是______．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据向量加法的运算律、相反向量的性质，结合向量加法的运算法则逐一判断即可. 【详解】由向量的运算律及相反向量的性质可知①②是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的，对于④，向量的线性运算，结果应为向量，故④错误， 故答案为：①②③ 14. 已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为_______. 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理得，由三角形内角的关系得. 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以， 所以，因为，所以，所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据向量的加减、数乘运算化简即可. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 . 16. 设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】将问题转化为证明，由向量线性运算可证． 【详解】证明：因为 ， 所以与共线． 又因为与有公共的起点A，所以A，B，D三点共线． 17. 已知 （1）若，，求与的夹角； （2）若，与的夹角为，求． 【答案】（1）（或） （2） 【解析】 【小问1详解】 已知，，，得， 代入数值得. 由于，故（或）. 【小问2详解】 已知，，夹角，由数量积公式变形得 ， 代入数值得. 18. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将分别用坐标表示出来，后用向量平行的条件即得到答案. （2）将用坐标表示出来，后用向量垂直的条件即可得到答案. 【小问1详解】 由题意得，, ∵，∴， 解得． 【小问2详解】 由题意得，， ∵，∴， 解得. 19. 已知向量，，． （1）若，所成角为钝角，求x的取值范围； （2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 【答案】（1）且 （2） 【解析】 【分析】（1）由坐标表示向量的数量积小于零且不共线即可； （2）先由坐标表示向量垂直的条件求出，再由投影向量的计算公式求解即可. 【小问1详解】 由题知，且，不共线． ，即． 当时，，即． 综上，且． 【小问2详解】 ，，， 在上的投影向量为． 20. 记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求B的值； （2）若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理，根据角化边的思想，整理等式，结合余弦定理，可得答案； （2）利用三角形面积公式，结合余弦定理，根据三角形周长公式，可得答案. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以，由余弦定理可得， 又，所以． 【小问2详解】 因为，所以， 由余弦定理可得： 所以， 所以△ABC的周长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期4月月考 高一数学（问卷） （时间：100分钟 总分：150分 命题人：蒲海娜） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 化简后等于（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 零向量的长度是0 C. 长度相等的向量叫相等向量 D. 共线向量是长度相等的向量 3. 如图，在平行四边形ABCD中， （ ） A. B. C. D. 4. 平面向量，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 已知向量为单位向量，，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 在中，若，，，则（　　） A. B. C. D. 8. 在△ABC中，，，，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选择中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中结果一定为零向量的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列说法中不正确的是（ ） A. 方向相反的两个非零向量一定共线 B. 零向量是最小的向量 C. 若，则一定为一个三角形的三个顶点 D. 单位向量都相等 11. 的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，对于，有如下命题，其中正确的有（ ） A. sin(B+C)=sinA B. cos(B+C)=cosA C. 若，则为直角三角形 D. 若，则为锐角三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，若，则_________ 13. 下列四个等式： ①； ②； ③； ④． 其中正确的是______．（填序号） 14. 已知的内角为所对应的边分别为，且．则角的大小为_______. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 化简： （1）； （2）. 16. 设，是平面内的一组基底，，，，求证：A，B，D三点共线． 17. 已知 （1）若，，求与的夹角； （2）若，与的夹角为，求． 18. 已知向量． （1）若，求实数的值； （2）若，求实数的值． 19. 已知向量，，． （1）若，所成角为钝角，求x的取值范围； （2）若，求在上的投影向量（结果用坐标表示）． 20. 记△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求B的值； （2）若△ABC的面积为，b＝2，求△ABC周长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $