6.2.3 组合 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

6.2.3 组 合 第六章 计数原理 作者编号：32100 1 新知探究 问题：从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名去参加某一项活动，有多少种不同的选法？ 分析：在甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名同学，只需考虑将选出的 2 名同学作为一组，不需要考虑他们的顺序。于是，有如下 3 种情况： 甲乙，甲丙，乙丙 这里每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题. 作者编号：32100 一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合。 一、组合的定义 注意： (1)组合要求 n 个元素是不同的，取出的 m 个元素也是不同的，即从 n 个不同的元素中进行 m 次不放回地取出. (2)取出的 m 个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求. 作者编号：32100 概念讲解 探究：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？ 名称 排列 组合 相同点 不同点 区分 都是从 n 个不同元素中取出m(m≤n)个元素，元素无重复 排列与元素的顺序有关 排列的有序性 组合与元素的顺序无关组合的无序性 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题 作者编号：32100 例1 校门口停放着 9 辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有 3 辆，下面的问题是排列问题，还是组合问题？ (1)从中选 3 辆，有多少种不同的方法？ (2)从中选 3 辆给 3 位同学，有多少种不同的方法？ 解析：(1)选出3辆车即可，没有顺序，是一个组合问题； (2)不仅要选出3辆车，还要分配给3位同学，是有顺序的， 是一个排列问题. 典例剖析 变式训练 练习1 下列问题是组合问题的是(　 　)(多选) A. 从甲、乙、丙 3 名同学中选出 2 名分别去参加 2 个乡镇的社会调查， 有多少种不同的选法 B. 有 4 张电影票，要在 7 人中选出 4 人去观看，有多少种不同的选法 C. 某人射击 8 枪，击中 4 枪，且命中的 4 枪均为 2 枪连中，有多少种 不同的结果 D. 从 10 个里选 3 个人去开会，有多少种选法 BCD　 组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果. 练习2 判断下列各事件是排列问题还是组合问题： (1)4名同学分成人数相同的舞蹈和书法两个课外小组，有多少种分法？ (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候，共需握手多少次? (3)从 3 个风景点中选出 2 个游览，有多少种不同的方法? 组合 (2)从10人中选出 3 个不同学科的科代表，有多少种选法？ (5)把5本不同的书分给5个学生，每人一本，共有多少种方法？ (6)10个人相互写一封信，共写了多少封信． 排列 排列 组合 组合 排列 变式训练 典例剖析 例2 平面内有A、B、C、D共 4 个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? 分析：(1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题； (2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不考虑它们的顺序，是组合问题. 例2 平面内有A、B、C、D共 4 个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条? (1)解析：一条有向线段的两个端点要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段的条数，就是从 4 个不同元素中取出 2 个元素的排列数，即有向线段条数为 . 这12条有向线段分别是 典例剖析 典例剖析 例2 平面内有A、B、C、D共 4 个点. (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条? (2)解析：由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的 2 条有向线段作为一条线段，就是以平面内 4 个点中的 2 个点为端点的线段的条数，共有如下6条：AB，AC，AD，BC，BD，CD. 变式训练 练习3 从 5 人中选 3 人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有(　 ) A. 60种 B. 36种 C. 10种 D. 6种 D 解析：甲必须参加，因此只要从除甲之外的 4 人中选 2 人即可，有乙1乙2，乙1乙3，乙1乙4，乙2乙3，乙2乙4，乙3乙4，共6种不同的选法． 练习4 现有6名教师，其中4名男教师，2名女教师． (1)现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (1)解析：设 4 名男教师分别为A1、A2、A3、A4，2名女教师分别为B1，B2，则从中选 2 名的选法有：A1A2，A1A3，A1A4，A1B1，A1B2，A2A3，A2A4，A2B1，A2B2，A3A4，A3B1，A3B2，A4B1，A4B2，B1B2，共15种． 变式训练 练习4 现有6名教师，其中4名男教师，2名女教师． (1)现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)解析：从 4 名男教师中选 2 名有：A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，共6种．2名女教师只有1种选法，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法6×1＝6种 变式训练 练习5 一个口袋内装有 4 个标号不同的白球和 1 个黑球． (1)从口袋内取出 3 个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解析：设口袋内的 4 个白球分别为A1、A2、A3、A4，1 个黑球为B． (1)从口袋内取出 3 个小球，有A1A2A3，A1A2A4，A1A2B，A1A3A4，A1A3B，A1A4B，A2A3A4，A2A3B，A2A4B，A3A4B，共10种取法． 变式训练 练习5 一个口袋内装有 4 个标号不同的白球和 1 个黑球． (1)从口袋内取出 3 个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出 3 个球，使其中含有 1 个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出 3 个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 变式训练 解析：设口袋内的 4 个白球分别为A1、A2、A3、A4，1 个黑球为B． (2)取出的 3 个球中有 1 个黑球，由(1)知有 6 种取法． (3)取出的 3 个球中不含黑球，由(1)知有 4 种取法． 课堂总结 1. 组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2. 判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法： 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 作者编号：32100 课后练习 1. 甲、乙、丙、丁 4 支足球队举行单循环赛. (1)列出所有各场比赛的双方； (2)列出所有冠、亚军的可能情况. 解析： (1)甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁. (2)冠、亚军的可能情况： ►课本P22 冠军 甲 乙 甲 丙 甲 丁 乙 丙 乙 丁 丙 丁 亚军 乙 甲 丙 甲 丁 甲 丙 乙 丁 乙 丁 丙 课后练习 ►课本P22 2. 已知平面内A，B，C，D这 4 个点中任何 3 个点都不在一条直线上，写出以其中任意 3 个点为顶点的所有三角形. 解析：△ABC，△ACD，△ABD，△BCD，共4个. 课后练习 ►课本P23 3. 现有1，3，7，13这 4 个数. (1)从这 4 个数中任取 2 个相加，可以得到多少个不相等的和? (2)从这 4 个数中任取 2 个相减，可以得到多少个不相等的差? 解析：(1)不相等的和为 4，8，14，10，16，20，共 6 个. (2)不相等的差为-2，-6，-12，2，-4，-10，6，4， 12，10，共10个. $