精品解析：浙江省温州市南浦实验中学2022—2023学年下学期4月八年级数学期中试卷

共同体学校学业质量检测 （初二下）数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分． 2.考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式，不允许使用计算器． 3.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 4.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知，下列说法错误的是（　　） A. 与之间的距离是线段的长度 B. C. 线段的长度就是与两条平行线间的距离 D. 4. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 5. 如图，四边形的对角线和相交于点O，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. B. C. D. 6. 若是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 7. 一个多边形的内角和与它的外角和的比为，则这个多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于的方程有两个相等的实数根，若，，则与的关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式中字母的取值范围是________． 12. 如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则______． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________ 14. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________． 15. 一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），若比赛的总局数为28局，设共有x位选手参加比赛，则可列出方程为：____________． 16. 美术兴趣小组的同学准备用长为，宽为的三幅绘画作品装饰教学楼楼道的一块平行四边形墙面．如图，是这块墙面的示意图，其中，，．要求：①中间这幅画的中心（对角线交点）与的对角线交点O重合，②每幅画的下边缘与水平地面平行，③三幅画的左下角E，F，G在同一直线上，且这条直线与平行，④相邻两幅画的水平间距，E到的距离，H到的距离均相等．则第一幅画的左下角E到的距离为_______m，E到的铅垂距离交于Q）为______m． 三、解答题（本题有8小题，共66分．各小题要求写出必要的解答过程） 17. 计算： （1）； （2）． 18. （1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 19. 解一元二次方程x2﹣8x+1=0； 20. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E， （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 21. 定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若与是关于4的共轭二次根式，则__________ （2）若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 22. 如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1． （1）以为边在图1中画一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积为12； （2）以为对角线在图2中画一个平行四边形（非正方形），使每个顶点都在格点上，且面积为10． 23. 学校手工坊的成员们想利用一张长18分米，宽11分米的矩形铁皮，制作长方体铁盒，用于存放工具盒（工具盒尺寸为3分米分米分米，任意面均可作为底面）． 原始方案 AI 设计思路：将铁皮剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体铁盒 改进方案 AI 设计思路：将铁皮剪去四个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体无顶盖铁盒 （1）原始方案中，设小正方形的边长为分米，若该铁盒的底面积为30平方分米，求的值，并求出这个铁盒最多能容纳工具盒的个数． （2）为了增加长方体铁盒的容积，社团成员小伟提出，能否用该铁皮设计一款无顶盖的铁盒的改进方案，使其能容纳尽量多的工具盒【说明：铁片剪去的部分不再拼接使用，工具盒存放时不可高出铁盒】是否有可能放下32个工具盒？如果可以，请求出此时铁盒高度，并说明摆放方法（允许画草图说明）；如果不能，请写出你最多能放几个？ 24. 如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E． （1）直接写出边的长为______； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C与点A重合，求的长； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 共同体学校学业质量检测 （初二下）数学试题卷 亲爱的同学： 欢迎参加考试！请你认真审题，积极思考，细心答题，发挥最佳水平．答题时，请注意以下几点： 1.全卷共三大题，24小题，满分为120分． 2.考试时间为120分钟，本次考试采用闭卷形式，不允许使用计算器． 3.答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上均无效． 4.答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题． 祝你成功！ 试题卷 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分） 1. 下列方程中，属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项分析判断即可求解，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程． 【详解】解：A. ，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意； B. ，含有2个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； C. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意； D. ，未知数的次数是1次，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 2. 若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知，直接解答即可． 【详解】解：∵， 即 解得． 故选：B． 【点睛】考查二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是解题的关键． 3. 如图，已知，下列说法错误的是（　　） A. 与之间的距离是线段的长度 B. C. 线段的长度就是与两条平行线间的距离 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质、平行线间的距离定义、平行四边形的判定与性质等知识，结合平行线的性质及平行线间的距离定义数形结合即可判断A、C选项对错；再由平行四边形的判定与性质即可判定B、D选项对错，从而确定答案，熟记平行线间的距离定义、平行四边形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：A、∵， ∴与之间的距离是线段的长度；该选项正确，不符合题意； B、∵， ， ， ∴四边形是平行四边形， ∴；该选项正确，不符合题意； C、由图可知与和不垂直，线段的长度就是与两条平行线间的距离说法错误，符合题意； D、∵， ∴四边形是平行四边形， ∴；该选项正确，不符合题意； 故选：C． 4. 用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于”时，应先假设（    ） A. 有一个锐角小于 B. 每一个锐角都小于 C. 有一个锐角大于 D. 每一个锐角都大于 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，直角三角形的两个锐角互余，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的第一步是假设原命题的结论不成立．原命题为“至少有一个锐角不大于”，其反面是“所有锐角都大于”． 【详解】解：原命题的结论是“至少有一个锐角不大于”，即存在一个锐角小于或等于． 反证法需假设结论的反面成立，即“两个锐角都大于”．此时，两个锐角的和将超过，与直角三角形中两锐角之和为矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．选项中对应“每一个锐角都大于”的是D． 故选：D． 5. 如图，四边形的对角线和相交于点O，下列不能判定四边形为平行四边形的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定条件逐一判断即可． 【详解】解：A、， 根据判定定理（5）可知能判定能判定四边形为平行四边形，故本选项错误； B、 ∵， ∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO， 又∵OA=OC， ∴△ABO△CDO（AAS）， ∴AB=CD， ∴四边形ABCD是平行四边形，故本选项错误； C、， ∴AB=AD，， ∵一组对边相等，另一组对边平行，不能判定四边形ABCD是平行四边形， 故本选项正确； D、，根据判定定理（2）能判定四边形ABCD是平行四边形， 故本选项错误． 故选C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形． 6. 若是方程的两个根，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据韦达定理求得，然后由变形为含有x1+x2和x1•x2的式子，并代入求值即可． 【详解】∵方程的二次项系数a=2，一次项系数b=−6，常数项c=3， ∴根据韦达定理，得, ∴ 故选:A. 【点睛】考查一元二次方程根与系数的关系, 熟记公式是解决本题的关键. 7. 一个多边形的内角和与它的外角和的比为，则这个多边形的边数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用多边形的内角和与外角和定理得到，然后解方程即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意得， 解得， 即这个多边形的边数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了多边形内角和与外角和， 边形的内角和为且为整数；多边形的外角和等于，熟记是解题的关键． 8. 如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理分别求出AB和AB′，再根据BB′=AB-AB′即可得出答案． 【详解】∵AC＝6m，BC＝3m， ∴AB＝＝＝3m， ∵AC′＝6m，B′C′＝m， ∴AB′＝＝＝m， ∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m； 故选：B． 【点睛】考查了二次根式的应用和勾股定理，解题关键是根据已知条件求出AB和AB′的长度． 9. 如图，在中，垂直平分于点，且，，则的对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接交于点F，根据线段垂直平分线的性质得出，根据平行四边形的性质得出，，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：如图，连接交于点F， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， ∴． 10. 已知关于的方程有两个相等的实数根，若，，则与的关系正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式．方程化为一般式为，根据根的判别式的意义得到，所以，于是可计算出，，然后消去得到与的关系． 【详解】解：方程化为一般式为， 根据题意得， ∴， ∴， 即， ，， ． 故选：A． 二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 二次根式中字母的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的定义列不等式求解即可． 【详解】解析：由题意得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 12. 如图，在四边形中，，，将沿翻折得到，若，，则______． 【答案】##95度 【解析】 【分析】本题考查了两直线平行，同位角相等的性质，翻折变换的性质，三角形的内角和定理．根据两直线平行，同位角相等求出，，再根据翻折的性质求出和，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵沿翻折得， ∴，， 在中， ． 故答案为：． 13. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是____________ 【答案】且 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根得到且，即可求出答案． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故答案为：且． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的判别式求参数，正确掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解题的关键． 14. 在中，，点N是边上一点，点M为边上的动点，点D、E分别为的中点，则的最小值是 ___________． 【答案】##2.4## 【解析】 【分析】连接，当时，的值最小，此时的值也最小，根据勾股定理求出，根据三角形的面积求出，再求出答案即可． 【详解】解：连接， ∵点D、E分别为的中点， ∴， 当时，的值最小，此时的值也最小， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形的面积，勾股定理，三角形的中位线，垂线段最短等，熟知三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键． 15. 一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），若比赛的总局数为28局，设共有x位选手参加比赛，则可列出方程为：____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设共有x位选手参加比赛，根据题意，列出方程，即可． 【详解】解：设共有x位选手参加比赛，根据题意得： ． 故答案为： 16. 美术兴趣小组的同学准备用长为，宽为的三幅绘画作品装饰教学楼楼道的一块平行四边形墙面．如图，是这块墙面的示意图，其中，，．要求：①中间这幅画的中心（对角线交点）与的对角线交点O重合，②每幅画的下边缘与水平地面平行，③三幅画的左下角E，F，G在同一直线上，且这条直线与平行，④相邻两幅画的水平间距，E到的距离，H到的距离均相等．则第一幅画的左下角E到的距离为_______m，E到的铅垂距离交于Q）为______m． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】过点作，交的延长线于点，在中，求出，再利用相邻两幅画的水平间距，到的距离，到的距离均相等．列方程求解即可求出第一幅画的左下角到的距离；过第一幅画的中心作分别交，于点，，交第一幅画下沿于点，过点作于点，在中，求出，利用，，即可求出到的铅垂距离． 【详解】解：过点作，交的延长线于点， 四边形是平行四边形， ，， ， ∴ ∴在中，， ， 设， 根据题意，得， 解得， 第一幅画的左下角到的距离为； 过第一幅画的中心作分别交，于点，，交第一幅画下沿于点，过点作于点， 由题意，知， ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查直角三角形的性质，平行四边形的性质，中心对称的性质，勾股定理，解答时还涉及一元一次方程的解法．理解题意，构造直角三角形，并熟练运用三角函数关系是解题的关键． 三、解答题（本题有8小题，共66分．各小题要求写出必要的解答过程） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将二次根式化为最简，再合并同类二次根式即可； （2）先将用平方差、完全平方公式将原式展开，再合并同类二次根式即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除法，涉及最简二次根式、分母有理化、合并同类二次根式、平方差和完全平方公式等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 18. （1）如图①，四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O，则　　（填“”“”“”）； （2）如图②，正方形是中心对称图形，两个正方形如图所示摆放，O为小正方形对角线的交点，求作过点O的直线将整个图形分成面积相等的两部分． 【答案】（1）；（2）详见解析 【解析】 【分析】本题考查了复杂作图，中心对称图形性质，掌握中心对称图形的性质是解题的关键 （1）根据中心对称图形的性质作答； （2）根据中心对称图形的性质作图． 【详解】解：（1）∵四边形是中心对称图形，直线经过对称中心O， ， 故答案为：； （2）如图②：直线即为所求． 19. 解一元二次方程x2﹣8x+1=0； 【答案】x1=4+，x2=4﹣； 【解析】 【分析】用配方法解一元二次方程可得． 【详解】x2﹣8x+1=0； x2﹣8x=﹣1， x2﹣8x+16=15， x﹣4=±， 所以x1=4+，x2=4﹣． 【点睛】本题考查解一元二次方程，除本题使用的配方法，我们还常用公式法求解． 20. 如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的角平分线AE交CD于点F，交BC的延长线于点E， （1）求证：BE=CD； （2）连接BF，若BF⊥AE，∠BEA=60°，AB=4，求平行四边形ABCD的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质和角平分线易证∠BAE=∠BEA，根据等腰三角形的性质可得AB=BE； （2）易证△ABE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AE=AB=4，AF=EF=2，由勾股定理求出BF，再由AAS证明△ADF≌△ECF，即△ADF的面积=△ECF的面积，因此平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB=CD， ∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠BAE=∠DAE， ∴∠BAE=∠AEB， ∴AB=BE，∴BE=CD； （2）解：∵AB=BE，∠BEA=60°， ∴△ABE是等边三角形， ∴AE=AB=4， ∵BF⊥AE， ∴AF=EF=2， ∴BF=， ∵AD∥BC， ∴∠D=∠ECF，∠DAF=∠E， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴△ADF的面积=△ECF的面积， ∴平行四边形ABCD的面积=△ABE的面积=AE•BF=×4×2=4． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质和平行四边形的性质． 21. 定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭二次根式． （1）若与是关于4的共轭二次根式，则__________ （2）若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】（1） （2）－2 【解析】 【分析】（1）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可． 【小问1详解】 解：∵与是关于4的共轭二次根式， ∴， ∴． 【小问2详解】 ∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． 22. 如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，点A，B在格点上，每一个小正方形的边长为1． （1）以为边在图1中画一个平行四边形，使每个顶点都在格点上，且面积为12； （2）以为对角线在图2中画一个平行四边形（非正方形），使每个顶点都在格点上，且面积为10． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）作一个底为3，高为4的以为边的平行四边形即可； （2）作一个底为5，高为2的以AB为对角线的平行四边形即可． 【小问1详解】 如图1，四边形ABCD即为所求； 【小问2详解】 如图2，四边形ACBD即为所求； 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，平行四边形的面积和性质等知识，熟练掌握知识点并学会利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 23. 学校手工坊的成员们想利用一张长18分米，宽11分米的矩形铁皮，制作长方体铁盒，用于存放工具盒（工具盒尺寸为3分米分米分米，任意面均可作为底面）． 原始方案 AI 设计思路：将铁皮剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体铁盒 改进方案 AI 设计思路：将铁皮剪去四个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体无顶盖铁盒 （1）原始方案中，设小正方形的边长为分米，若该铁盒的底面积为30平方分米，求的值，并求出这个铁盒最多能容纳工具盒的个数． （2）为了增加长方体铁盒的容积，社团成员小伟提出，能否用该铁皮设计一款无顶盖的铁盒的改进方案，使其能容纳尽量多的工具盒【说明：铁片剪去的部分不再拼接使用，工具盒存放时不可高出铁盒】是否有可能放下32个工具盒？如果可以，请求出此时铁盒高度，并说明摆放方法（允许画草图说明）；如果不能，请写出你最多能放几个？ 【答案】（1）；15个 （2）能设计一个容纳32个工具盒的铁盒，此时铁盒的高度为，摆放方法见解析 【解析】 【分析】（1）设小正方形的边长为分米，则这个铁盒的底面边长分别为：分米，分米，根据底面积为平方分米，列出方程，解方程，得出铁盒的长、宽、高，然后求出可以容纳工具盒的个数即可； （2）设小正方形的边长为y分米，则无盖的长方体铁盒的长为分米，宽为分米，高为y分米，分别求出，，，，时，铁盒可以容纳工具盒的个数，然后进行判断即可． 【小问1详解】 解：设小正方形的边长为分米，则这个铁盒的底面边长分别为：分米，分米，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， ∴铁盒的底面边长分别为：（分米），（分米）， ∴铁盒的长、宽、高分别为6分米、5分米、3分米， ∵工具盒尺寸为3分米分米分米， 又∵，，， ∴这个铁盒最多能容纳工具盒的个数为（个）． 【小问2详解】 解：设小正方形的边长为y分米，则无盖的长方体铁盒的长为分米，宽为分米，高为y分米， 当时，长为16分米，宽为9分米，高为1分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为14分米，宽为7分米，高为2分米，先将工具盒以边长为和的面作为底，平放上两层，可以放个，再将工具盒以边长为和的面作为底，放上一层，可以放4个，如图所示： 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为12分米，宽为5分米，高为3分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为10分米，宽为3分米，高为4分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为8分米，宽为1分米，高为5分米，将工具盒以边长为和的面作为底，平放上一层，如图所示： 此时最多可以容纳工具盒个， 综上，可以设计一个容纳32个工具盒的铁盒，此时铁盒的长为14分米，宽为7分米，高为2分米，先将工具盒以边长为和的面作为底，平放上两层，这样放个，再将工具盒以边长为和的面作为底，放上一层，这样放4个． 24. 如图1，在中，，，．以为边，在外作等边，D是的中点，连接并延长，交于点E． （1）直接写出边的长为______； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）将图1中的四边形折叠，折痕为，F在上，G在上： ①如图2，若使点C与点A重合，求的长； ②若使点C与的一边中点重合，直接写出的长是______． 【答案】（1）； （2）证明：∵中，D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， ， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； （3）①，②4或或1 【解析】 【分析】（1）根据含有角的直角三角形的边长关系，即可解答； （2）证明，求出，可得，再证明，即可解答； （3）①设，由折叠可得，在中，根据勾股定理，列方程即可解答； ②分类讨论：点C与的中点重合；点C与的中点重合；点C与的中点重合，依次画图解答即可． 【小问1详解】 解：在中，，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①设，由折叠可得：， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， ； ②当点C与的中点D重合时，； 当点C与的中点重合时，连接（如图3－1中）. 可得，， 在中，有，即， ∴； 当点C与的中点重合时，连接，过点作于点J. 则，， 在中，， ∴， ∴. 综上所述，满足条件的的长为4或或1． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行四边形的判定，等腰三角形的性质，含有角的直角三角形，应用分类讨论画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $