数与形结合思想在解题中的应用讲义-2026届高三数学二轮复习（解锁“高考数学八大基本思想”专题系列）

解锁 “高考数学八大基本思想”专题系列——二数与形结合思想 在解题中的应用 数学思想方法是数学知识内容的精髓、灵魂与本质所在.其对人类精神生活的影响最为突出,比任何科学都更加凸显.学思想方法是研究数学发现，发明，创新和其他创造性活动的规律和方法的一门数学学科. 而数形结合思想主旨:以形助数、以数定形激发人的思维灵感，唤醒大脑的休眠状态，提升解题能力. 解锁一：解数学问题的原则 1.精准的阅读与理解；2.多维的联想与提取；3.科学的理念与方法；4.完善的逻辑与整合；5.严谨的知识与体系；6.快速的推算与书写；7.长宽的耐力与心态. 解锁二：数形结合思想的本质属性 1.数形结合思想：就是根据所研究数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，巧妙、和谐地建立起数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化（以形助数，以数解形）来解决数学问题的一种重要思想方法. 2.解读定义 数形结合的方法具有双向性：借助“形”的生动性和直观性认识“数”，即以“形”为手段，“数”为目的；“数形结合”是一种重要的数学思想，也是一种智慧的数学方法。我们在研究抽象的“数”的时候，往往要借助于直观地“形”，在探索“形”的性质时，又往往离不开“数”通过“数”与“形”的结合，我们对事物、规律的把握就能既容易又细致、深刻. 3.运用数形结合的思想分析解决问题的三个原则 (1)等价性原则： 在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整的表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明，但它同时也是抽象而严格证明的事实． (2)双向性原则： 在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的． 例如，在解析几何中，我们主要是运用代数的方法来研究几何问题，但是在许多时候，若能充分地挖掘利用图形的几何特征，将会使得复杂的问题简单化． (3)简单性原则： 就是找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单，而不是去刻意追求代数问题运用几何方法，几何问题运用代数方法． 4.数形结合思想的本质属性 形结合思想的本质是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来进行思考，使“数”与“形”各展其长，优势互补实现抽象思维与形象思维的结合，从而使复杂问题简化，抽象问题具体化起到优化解题途径的目的. 解锁三：数形结合思想的有关性质 几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质; 运用数形结合数学不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程;在解选择题、填空题中更显其优势，要注意培养这种思想意思，要争取胸中有图见数想图，以开拓自 己的思维视野. 解锁四：数形结合思想的原则 先解读后操作； 图转数是常理； 数转图客观题(用图求解)，主观题用图析（除画图外，用作参照物）; 说明:运用数形结合思想解题的关键是 1.要善于挖掘数与图的隐含关系 探点1. 函数的图象总在的图象的上方，则实数的取值范围是 . 探究:图形语言转化代数关系.题意的代数表示为，即对任意实数都成立，所以，解得，故实数的取值范围是. 悟惑:模型一:已知图象位置关系求参数取值范围. 探点2.已知数列为等差数列，首项与公差均为非负整数，且满足，则的最小值为 . 探究:不等式即为区域问题，又等差数列，因此是线性问题，又首项与公差均为非负整数，所以问题即为线性规划的整点问题.可求得的最小值为. 悟惑:模型二:二维关系 探点3.设函数满足，当时，试用表示的取值范围为 . 探究:变数关系用图象.设，则直线必与线段和线段相交，因此当时，图象在直线与直线之间，包括边界，所以所求的取值范围为. 悟惑:模型三:已知有明确的几何特征. 2.要善于营造数与形的转化 如果条件中的结构特征符合数学中的某种几何意义，那么构建相应的图形或利用相关的代数性质，使数形结合更加逼真. 探点1.设函数是周期为的偶函数，且当时，，则当时， . 探究1:将未知转移到已知.(周期转移):当时，，所以，因为当时，，所以，又是周期为的偶函数，所以，所以. 探究2(对称转移): 因为函数是以为周期的周期函数，所以，又是偶函数，所以，当时，，所以. 探究3(图象法):由图象可知当时，. 悟惑: 模型一:分段函数问题一般要借助图象. 探点2.在平行四边形中，,连接相交于点，若 ,则实数 探究1:求与的值(利用共线定理表示法的唯一性): 因为三点；分别共线，所以存在实数使得：，从而，由平面向量基本定理表示法的唯一性知且，解得，即所以，故选. 探究2(利用几何性质求与的值):延长、交于点，因为 ,又，所以,因为所以,而,所以，所以,所以所以，故选. 悟惑: 模型二:已知几何语言或几何图形. 探点3.函数的最大值为 ；最小值为 . 探究1(代数换元图形法):设，则，且.所以. 探究2(三角换元代数法):设，则，,可设,因为，所以.所以. 探究3（导数图象法）:由得，当时，令，则，所以函数在，当时，，所以函数在，所以函数在时取到最大值，最小值在或处取到，所以. 变式:仅求最值，可用柯西不等式. 悟惑: 模型三:二元换元要首选几何意义. 3.灵活、准确地运用基本几何量的意义、几何特征和恰当的代数变形 基本几何量的意义包括：代数意义和几何意义；几何特征主要指：奇偶性、对称性、周期性，恰当变形是指化成最简式或具有更逼真的几何意义. 探点1.设点在曲线上，点在曲线上，则的最小值为 探究:函数的图象是由的图象向上平移一个单位所得，因此的图象关于对称，而 ，所以曲线在的切线与对称轴垂直，双曲线右下支顶点为，则为所求的最小值. 悟惑: 模型一:基本函数问题常借用函数图象分析求解. 探点2.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为 探究:函数与函数互为反函数，图象关于对称函数上的点到直线的距离为，设函数，则，所以，所以，由图象关于对称得最小值为，故选. 悟惑: 模型二：两条曲线上两点间距离的最值问题均需借助对称性，将问题转化为相关问题，关于直线对称转化为垂线问题；关于点对称转化为圆心问题. 解锁五：数形结合思想解题的常见类型与解题策略 1.数学概念的数量特征及其故有的几何意义之间的相互转化 (1)实数与数轴上的点的对应关系 探点1.若，，则是的 条件（充分不必要）. 探究1：不等式法（讨论繁琐） 探究2.数轴法，如右图. 探点2.求函数取得最小值时的值. 探究：数形结合.让从的左边往右运动，分析绝对值的几何意义，由可知：若为奇数，则当时最小，且最小值为；若为偶数，则当时最小，且最小值为，综上，当为奇数时，；当为偶数时， (2)集合的运算关系与韦恩图 使用数轴表示不等式的解集，用2处理并、交、补等复杂集合关系，尤其适用于含参数的结合问题、分伙与分类问题 (3)两个函数图象的位置关系 探点1.函数的取值范围为 ；单调区间为 . 探究1: 可通过数轴上距离之差直观讨论可知函数的取得所求取值范围为，单调区间为， 探究2：通过去绝对值化为分段函数. ，从图象可得函数的取值范围为；单调区间为， 探究3：利用绝对值不等式求解.因为，所以 ，所以，故函数的取值范围为；在用运动与极限的观点可知函数的单调区间为， 探点2.解不等式 探究1(解不等式法)：已知不等式同解于或，解得，故已知不等式的解集为. 探究2(归一法)：可变为，设，则有，解得 ，故已知不等式的解集为. 探究3(两个函数图象位置关系):设，它们的图象如图所示，已知不等式在图象的意义是图象上下方对应的横坐标，所以，故已知不等式的解集为. 悟惑：一般地，形如的不等式皆可用数形结合求解，更一般的只要不等式两边可作出其函数的图象或方程的曲线均可以用数形结合法求解.如：不等式，的解为 .设，则用图象可得或为所求. (4)函数与方程 ①通过函数图象判定方程根或函数零点的个数、单调性、最值. 探点.函数的单调递增区间为 . 探究：讨论去绝对值利用基本函数的图象直接回答问题. ，由图象可知函数的单调递增区间为 ②利用图象交点求解方程组或超越方程 探点.方程实根个数为 . 探究：设，则由图象可知，两个函数图象交点个数为，即方程实根个数为2. ③利用图象估计方程根的大致取值 探点.若，则（） 探究：，设， 画出图象,可看出两个图象交点的横坐标，令 ，由图象可看出，故选. (5)数列的通项、前项和公式与其几何特征的对应关系 探点.正数等差数列，等比数列满足：，则与的大小关系为 探究1(代数法):设，则 ,所以当公比为时，当公比大于，且不为时. 探究2(几何法):如图可知当公比为时，当公比大于，且不为时. (6)以几何元素或几何条件为背景建立起的概念 如：三角与三角形或单位圆、向量与坐标、三角形与正余弦定理、区域与几何概型、圆锥曲线定义与平面几何、复数与点与向量等. 探点1.如图，已知点是圆上的一个动点，点是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的投影的最大值是 探究: 圆心到直线的距离为，所以与外离，所以,所以向量在向量上的投影为，所以过与直线垂直，且与圆相时向量在向量上的投影的最大值=或最小，故选. 探点2.已知向量，若与的夹角为，则直线 与圆的位置关系是 A 相切 B相交且过圆心 C相交 D相离 探究:由题意知，圆心到直线的距离为，所以相切，故选. 探点 3.已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，直线与曲线围成的平面区域为，向区域上随机投一点，点落在区域内的概率为则实数的取值范围是 . 探究:几何概型问题.试验区域是半圆，构成事件的区域为弓形.边界值法，已知直线,由几何意义知实数的取值范围是. 变式一: ,则圆心角为，实数的取值范围是; 变式二: 变为；曲线变为，其它不变.则试验区域面积为，构成事件的区域面积为，所以实数的取值范围是. (7)方程与曲线的对应关系 探点已知，且，则 . 探究:由知，直线与单位圆交于不同两点，所以，所以 (8)二元不等式与区域的对应关系 二元一次不等式是线性规划问题，二元二次不等式是二次曲线内外侧点的问题. 探点1.设函数），满足，当时，试用表示的取值范围.（）； 探点2.条件：是条件：的 条件 探究：(集合法) 表示以原点为圆心，半径为的圆域；表示以为圆心，半径为的圆域，两圆内切，所以条件是条件：的必要不充分. 2.数学中的基本几何量 (1)点坐标 ①；；②;③. (2)两点间距离问题 ①； 探点.的最小值为 . 探究:表示与两点间距离的平方.而点的轨迹是以原点为圆心，为半径的上半圆，点的轨迹是反比例函数的图象，所以最小值为. ②； ③. 探点.设，，则的最小值是 . 探究:所求最小值为由已知得表示点与两点的距离之和，所以最小值为. (3)两点的斜率： 探点. ❶若，则的最小值为 . ❷实数满足，则的取值范围为 . 探究: ❶表示点与点连线的斜率，因为，所以，所以当与圆切于轴右侧时斜率最小，最小值为，故的最小值为. ❷满足不等式的点表示的平面区域为区域，其中而表示点与连线的斜率，由图可知的取值范围为. (4)截距：； 见(6)的探点(略). (5)点到直线的距离问题：； 探点.的最小值为 . 探究: 表示点与点间的距离，表示点到直线的距离,所以的最小值为. (6) 不等式与平面区域 探点.若实数满足，不等式恒成立，则实数的取值范围为 探:1(几何法直线)：由实数满足，不等式恒成立知，点在直线的右侧，且在圆上，实质相当于圆在直线的右侧，且与直线相离或相切，所以,解得，故选. 探究2(代数法)：由可设，所以 的最小值为.因为等价于，所以不等式恒成立，即为，即，亦即，故选. 探究3(几何法截距) 等价于，设，利用直线与圆有公共点，所以，可求得，所以不等式恒成立，即为，即，亦即，故选. (7)面积:若，则表示分别以点的横坐标、纵坐标为边的矩形面积. 探点.动点在以为顶点的三角形区域，则的最大值为 探究:由图形特征可知，当点位于线段上时才可能取得最大值.此时点坐标满足，从而，因为，所以当时，. (8)图象性质 如：图象的对称轴方程为、一个周期为. 探点.函数是定义在上的且满足下列三个条件： ①对，都有； ②对； ③的图象关于对称，则的大小关系为 . 探究：由①知的周期为；由②知在上单调递增；由③知是偶函数，所以图象关于直线，由此画出图象在上的示意图，可比较出. (9)几何性质 如：为直角三角形的三边长. 等等！ 3.由数构造图形 对已给的运算式或不等关系转化为它的几何意义或划归为相应的图形求解.常见的题型有： (1)一元问题要想到运用函数图象或数轴研究； 探点.若为三者的最小者，则函数的最大值是 . 探究:分别画出的图象，取三个图象中在下方的函数即为函数的图象，所以函数的最大值是. (2)二元代数式要想到函数图象或基本曲线或基本曲线的局部； 探点1.已知，若在线段上，则有 . . . . 探究:利用椭圆的定义知，选. 探点2.点是椭圆上一点，它到其中一个焦点的距离为，为的中点，为坐标原点，则= . 探究:利用三角形的中位线和椭圆的定义知. (3)三角形问题； 探点1：若，且，则可视为三角形的三边长； 探点2：若出现，则可联想到三角形中的余弦定理： . (4)连乘积问题转化为多项式函数 探点.已知且则的大 小关系为 . 探究:设，则，利用函数图象可得 . （5）二次根式或二元等式联想函数问题、二元不等式与圆锥曲线或其局部、区域的沟通； 悟惑.平面直角坐标系中，点集，求点集所表示的区域面积______ . (6)一个角为定值，可联想圆周角; (7)已知坐标等式可考虑是否运用向量理论求解； 如：; . 探点.椭圆上两点,且，则直线方程为 ; 探究1(解交点)：因为点在椭圆上，所以，将代入解得，从而所求直线方程为）. 探究2(向量法):由已知得的比为，即，所求直线方程为. (8)三个量的问题可考虑构造长方体解题，常见的有： ①; ②； ③，且定值； ] ④一个三棱锥对棱长度相等. 探点.若四点均在半径为的球面上，且，则三棱锥的体积为 . 探究:补成长方体，可求棱长为，所以所求体积为. 4．由形观数、数得图 探点1.函数的图象可能是 探究:选. 探点2.已知函数对于曲线上横坐标成等差数列的三个点给出以下判断： ①一定是钝角三角形；　　　　②可能是直角三角形； ③可能是等腰三角形；　　　　④不可能是等腰三角形． 其中正确的判断是 .①③ 　　　 .①④ 　　　 .②③ 　　　 .②④ 探究: 5.通过坐标系“形题数解” (1)平面几何与向量 探点.中，,点在线段，则的最小值为 . 探究1坐标； 探究2（化一元）：. (2)立体几何与向量. 2 学科网（北京）股份有限公司 $