研究复杂函数图象走向的代数工具：导数与函数的单调性 讲义-2026届高三数学二轮复习（解锁“高考数学八大基本思想”专题系列）

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——17研究复杂函数图象走向的 代数工具：导数与函数的单调性 导数既是对函数知识的补充和完善，也为今后进一步学习微积分奠定基础。是学习高等数学的基础,在中学数学与大学数学之间起着衔接作用·它的加入使中学数学解题方法有了新突破，导数本身融数形于一体,是中学数学知识的一个重要的交汇点. 导数作为函数的变化率刻画了函数变化的趋势（上升或下降的陡峭程度）.因此,了解函数的形态、图象走向；弄清曲线的切线问题；有利于其它学科的学习，有利于发展学生的思维能力. 解锁一：函数导数与单调性的本质属性 1.定义 函数 在处，，切线是“左下右上”式的，这时，函数在附近单调递增；在处，，切线是“左上右下”式的，这时，函数在附近单调递减． 2. 解锁定义 (1)利用导数研究函数单调性的充要条件 函数在区间内单调递增的充要条件是，且函数的零点是离散的；函数在区间内单调递减的充要条件是，且函数的零点是离散的. (2)利用导数判定函数单调性的步骤 ①判定已给函数所在范围是否是一个区间，是否可导； ②否(❶突变点、❷间断点、❸端点)直接回答无单调性，是继续实施以下三步 ❶求导数； ❷判定的符号（简单直接配方、分解因式判定符号；复杂求最值、放缩或再判断、构建函数第二次求导）； ❸回答问题. (3)利用导数求函数单调区间的步骤： ①确定函数的定义域; ②求导数； ③解不等式或； ④写单调区间(若解出一个不等式写成一个区间即为所求，若解出多个不等式，要考虑是否一个或 几个区间(同号且公共端点函数有意义就要合成一个区间，异号或公共端点函数无意义不能合成一个区间). 说明: ❶关注在零点两侧的符号的异同，以及不可导点两侧的函数值的大小，使在的零点两侧同号的区间或不可导且有意义点要并成一个区间. 单调区间的六种易错形式：;；若 都有，则的单调递增区间为；. 如：，则，其单调区间为而不是. 探点1.为上的单调函数，则的取值为 . 探究:设,则当时，所以在单调递增，设，则当时，，所以在单调递增，又已知函数为上的单调函数，所以，即为所求. 变式1.，为上的单调函数，则的取值为 . 探究:由悟惑2知在单调递增.设，则，即对恒成立，所以，又，即，故. 变式2.，为上的单调函数，则实数的取值范围为 . 探究:由悟惑2知在单调递增.设,则对恒成立且，由对恒成立知，或，解得即为所求. 探点2.已知函数,若存在 使得成立，则实数的取值范围为 . 探究:值域有公共元素. 变式:将条件变为，结论如何？ 悟惑:本题是单调性在求值域上的应用；另外，两个字母的量词共有四种情况，如本题的变式：. 探点3.已知函数满足，，则的取值范围为 . 探究：判定点的轨迹，注意是奇函数，且单调递增，所以可变为，所以，整理得，可求的取值范围为. ❷研究单调性的关键是判断导数的符号,能直接判定就直接判定，否则间接或二级或三级求导，研究的最值与比较. 探点1.定义在上的可导函数，已知的图象如右图所示， 的增区间为 . 探究：利用复合函数的的单调性可知所求为. 题思:导数符号的判定方式:①直接法；②最值法(二次或三次求导)；③找出函数的变号点. 探点2.定义在上的可导函数，满足，，则当时， 有极大值,无极小值 有极小值,无极大值 既有极大值又有极小值 既无极大值也无极小值 探究:由已知,设,则 当时,,所以在单调递增;当时,，所以在 单调 递减,所以当时,最小,所以,所以当时， ，所以在单调递增，故选. 悟惑:利用导数研究函数的关键就是研究函数的导数符号,不管给什么条件都要去挖掘导数符号的确定途径；另外判定导数符号的方式有两种：其一，整体，其二，局部. 探点3.已知函数=ln2(). (I)求函数的单调区间; (Ⅱ)若不等式对任意的都成立（其中是自然对数的底数），求的最大值. 探究: (I)的定义域为，设 （或）则(注意自然对数的切线不等式).令 则当时，在上为增函数，当时，在上为减函数.所以在处取得极大值，而,所以，函数g(x)在上为减函数.于是当时，所以当时，所以，当时，所以在上为增函数；当时，在上为减函数.故函数的单调递增区间为，单调递减区间为. (Ⅱ)不等式等价于不等式由知，设则由（Ⅰ）知，即所以于是在上为减函数.故函数在上的最小值为所以a的最大值为 悟惑:为了判定导数的符号，常需构造函数，其方式有: ①直接构造（分为整体与局部）； ②间接构造： ❶分离后构造； ❷变形构造（ⅰ变形为基本函数；ⅱ变形为对称形式；ⅲ易于新导数运算）； ❸放缩构造（ⅰ易于说明问题的函数；ⅱ导数基本不等式：、）. 探点1.研究关于的方程的根的个数. 探究:已知方程可变为.设，因，当为增函数；当为减函数；当时，而；当①时，方程有0个根；当②即时，方程有一个根；③当即时，方程有两个根.综上，当时，方程有0个根；当时，方程有一个根；当时，方程有两个根. 探点2.已知函数,当时，求证: 探究：要证时，，只需证.记，则，当时，，所以在，所以，即当时，. 探点3.已知函数，曲线在点处的切线与x轴交点的横坐 标为． (I)求； (Ⅱ)证明：当时，曲线与直线只有一个交点． 探究：(I)，曲线在点处的切线方程为． 由题设得，所以． (Ⅱ)由(Ⅰ)知，．设．由题设 知．当时，单调递增，，所以在有唯一实根;当时，令，则 ．在上单调递减，在上单调递增，所以．所以在上没有实根．综上，在R上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点． (4)一元三次函数, ①若，则在上为增函数； ②若，则在和上为增函数，在上为减函数，其中. ③一元三次函数存在对称点 (4)利用导数研究单调性的逆向问题的步骤： ①确定函数的定义域； ②求导； ③求使恒成立，并排除导数不存在的点的的取值范围； ④运算、整理； ⑤回答问题. 探点1.已知函数在上单调递增，则数的取值范围为 . 探究:，从而. 法一:讨论(略). 法二:分离，解得，故数的取值范围为. 变式:在上存在增区间，则实数的取值范围为 . 悟惑:要会研究函数不单调问题.求参数的取值范围即为单调的补集，说明不单调可举反例. 探点2.已知函数为自然对数的底数 (I)当时，求函数的极值； (Ⅱ)若函数在上单调递减，求的取值范围． 探究：（I）当时,，所以，当变化时，，的变化情况如下表： 1 3 － 0 ＋ 0 － 递减 极小值 递增 极大值 递减 所以，当时，函数的极小值为，极大值为. (Ⅱ)，令 . ①若，则，在内，，即，函数在区间上单调递减; ②若，则，其图象是开口向上的抛物线，对称轴为，当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减; ③若,则,其图象是开口向下的抛物线.当且仅当，即时，在内，，函数在区间上单调递减.综上所述，函数在区间上单调递减时，的取值范围是． (5)利用导数研究函数的单调性的应用 探点.若，则（ ） 探究：构造函数，；.利用函数的单调性可选. 3.导数与函数单调性的本质属性 函数内部变化率的大小，反映在一阶导数值上；一阶导数是正直或负值，反映在函数的单调性上，这种局部性质通过导数在全区间的符号一致性扩展到整体单调性.将局部导数特征与整体函数行为联系起来，从而建立导数符号与单调性的严格对应关系.进而体现数学八大数学之一——特殊与一般思想. 解锁二：解导数与函数单调性题的原则 第一步:求被导函数的定义域； 第二步:求导； 第三步:研究导函数的符合； 第四步:求解运算； 第五步:回答问题. 解锁三：导数与函数单调性应用的基本类型 1.导数应用的基本类型 (1)几何上的应用，即函数图象的走向,主要研究：函数的单调性、极值、最值； (2)代数方面的应用主要指：对恒等式求导研究新的恒等式(奇、偶函数的导数是偶、奇函数；二项函数求导赋值研究二项式系数问题)、利用最值研究不等式 说明: ①对等式求导可设两个函数说明. 如：可导的奇函数的导数是偶函数.即若可导，且，则.事实上可设，则，因为，所以，即. ②利用最值研究不等式分为：一元不等式、多元不等式、无未知量的不等式.对于一元不等式. 如: ,则只需先构造函数，后研究；对多元不等式可通过拼凑或换元变形为一元不等式或将其一视为变量构造函数求解. 探点1.已知函数,其导函数为. (1)求的最小值； (2)证明：对任意的和实数且，总有； (3)若满足：且，求的最小值. 探究: (1)，设,令，，所以当时， ，即在区间上为减函数；当时，，即在区间上为增函数；于是的最小值为. (2)不妨设，构造函数,则当时因为 ，由(1)知在区间上为增函数，于是,即，所以在单调递增，于是，即. (3)先证对任意的和实数且，总有 ,令，有 ,当且时，有 . 悟惑:多元视一个为变量.但不要视或为变量，也不要用为变量，因为还要考虑的条件. 探点2.已知函数,证明：对任意的，. 探究1：，因为，所以.设 ，可证当时，，所以，因为，所以，因为 ，所以，原来不等号前面少减1，所以. 探究2:要证对任意的，只需证，即 设函数，则只需证 悟惑:①研究大小问题有三种切入点:❶函数性质；❷不等式的有关理论；❸区域问题； ②利用函数需将一个参数视为变量.③证时，还可利用“拼凑”，即变为 ，易即. 2.导数应用的关键关键相关函数 将问题抽象成函数问题，并能确定出或构造出函数的解析式. 如1：已知,，在数列 中，任取前项相加，则前项和大于的概率为 分析： 单调递减，而所以由知，所以,即，所以,故选. 变式:，则. 说明:遇见一个函数与其导数的运算式或两个函数及其导数的运算式一定要改为一个新函数的导数方便解题，有时常用“”、“ ”配合构造原函数. 悟惑.若，且的零点是离散的，则函数为增函数. 如2:若，则函数是增函数， 3.已知一个函数与其导数的运算式构造新函数的常见类型： ①若，则函数单调递增； ②若，则函数单调递减； ③若，则函数单调递增； ④若则函数单调递增； ⑤若则函数单调递增； ⑥若，且的零点是离散的，则函数单调 递增；，函数单调递增； ⑦若当时，，则 在上单调递增； ⑧若当时，，则函数在上单调递增； ⑨若当时，，则在上单调递增； ⑩若，则在上单调递增； ⑪若，则在上单调递增； ⑫若，则在上单调递增； ⑬若，则在上单调递增； ⑭若，则在上单调递增； ⑮若，则在上单调递增； ⑯若,则在.一般地，则 ； ⑰若，且，则在或在 悟惑1.已知是定义在上的可导函数，且对于恒成立，则(下列) 提示：选 构造函数 探点1.设是定义在上的奇函数，且，当时，恒成立， 则不等式的的取值范围为 . 探点:由知，又，可推出 的取值范围为或. 总之，已知一个不等式研究导数的应用，就要搞清被导函数，思维点只有一个：基本初等函数的导数公式与导数的四则运算(或复合运算)的组合或化简式，别无它选. 探点2.已知定义在上的函数满足，，则 的零点个数最多有 . . . . 探究：当时，，在均单调递减，对 积分得，而已知，当时，， 如图，所以选. 探点3.设函数的导数为，对任意都有成立，则 与大小不定 探究:由知，所以单调递减，故选. 探点:利用导数研究问题的关键是搞清导数的符号.如已知 即，而不用.前者说明函数单调递增. 4.构造函数常见类型 (1)同构式 具有相同结构的两个代数式称为同构式，两个同构式可以由同一个代数式通过变量代换而得. 探点.若，则与的大小关系为 . 探究:比较大小首想“函数单调性”,因此要将已知变为一个函数的两个函数值,为此分离参数为比较与的大小.设函数,则函数的定义域为,此时 ，所以，当时，恒成立，所以函数在开区间上单调递增，因为，所以，即. 探点.设是定义在上的恒大于零的可导函数，且满足， 则当时可得到什么结论？ 探究:从运算法则观察导数特征.由及知,所以函数单调递增,所以.因为所以且 . (2)变形(分为恒等变形和放缩变形) 探点.比较的大小关系为 , 探究1：构造函数利用单调性.设，则可证在，所以 . 探究2：利用对数函数的单调性.，先比较的大小，再比较所求的大小. 探点.设，下列说法正确的是 若，则若，则. 若，则若，则. 探究:大小问题利用单调性.设，则单调递增，且，因为，所以，所以，故选. (3)指对变形式： ①（核心公式）② ③ ④ ⑤ (4)指对同构式：（母函数）. 还有常见同构式:与型：，； 与型：，. ① ② ③ ④ ⑤ 注意：一个概念:同构式 ； 一个核心:；一个方法:指对式分离， 构造同构式；一个提醒:注意同构后的整体变量范围。 探点.已知函数 (1)当时，判定函数有无极值； (2)若对任意的恒成立，求实数的最小值. 探究: (1)，设，则，所以函数，在单调递增,又,所 ，---函数有一个极小值，无极大值； (2)不等式等价于恒成立.设 ，则有，因为，所以在上单调递减.因为，所以，所以，由对数函数的单调性知对任意的恒成立，即对任意的恒成立.设，---，所以，故实数的最小值为. (5)利用运算法则构造函数 其一含有的运算式；其二显函数的运算式 ；其三混合式. (6)通过运算构造函数 探点1.已知函数的两个极值点为,且,恒成立，求实数的取值范围. 探究:由题意知函数的定义域为，且.令，则.当,即时，,此时函数在上单调递增,无极值,当，即时，由 可解得，，随着变化，的变化如右表: 当时,,又设，则因为，所以,即，故实数的取值范围为. 悟惑.二元通过消元化成一元. 探点2.已知函数，且函数在 处的切线与平行，是的两根，求证:. 探究:解得，所以单调递增.，相加得相减得，再将所得的两式相除得，设，则，设，可证所以. 悟惑:二元通过拼凑化成一元. (7)利用极值点的偏移构造函数 5.导数应用的难点 判定的符号！对于复杂问题利用“分解因式”、“配方”均很难确定的符号，为此要采用最值法或反证法确定的符号，对应需要两次、三次求导(此类问题函数有增有减). 探点1.(I)讨论函数的单调性，并证明当时，； (Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为， 求函数的值域． 探究: (I)证明:由知函数的定义域为,且..当或时，，所以在上均单调递增，所以当时，，,即，整理得； (Ⅱ),由(1)知，当 时，由(I)知在单调递增，所以其值域为，所以只有一解．使得，因为，所以，即，在单调递增，所以，当时，单调减；当时，在上单调增，，记，在时，，所以单调递增，所以，故函数的值域. 悟惑:判定导数运算式符合的常用技巧： ①分解与配方 分解成几个同号因式之积或配成几个同号之和； ②换元(等式代快、代入或三角换元或多次求导)与构造(构造函数：一个函数，分为两类：抽象函数、具体函数：分离、变形、变换；两个函数，研究两个函数的交点或相对位置关系问题)，将问题转化为另一变量或其它函数问题； 如:当时，，即为，实质是函数 单调递增问题. ③放缩代换，将被研究的代数式放大或缩小为另一个易于判定符号的式子； ④特例估算 如: “关于的运算，要取”、“关于的运算，要取”. ⑤讨论整合 ⑥表格法. 探点2.(2018全国二卷)已知函数． (1)若，证明：当时，； (2)若在只有一个零点，求实数． 探究: (1)证明：当时，函数．则，设，则，令，得.当时，，当时，，所以，所以在单调递增，所以； (2)设函数，则在只有一个零点的充要条件是在只有一个零点. ①若，则，所以没有零点； ②若，则.当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，故是在上的最小值. ❶若,即，则在没有零点； ❷若,即，则在只有一个零点； ❸若,即，则由于，所以在只有一个零点；由①知，当时，.所以，所以在有一个零点，因此在有两个零点，综上，在只有一个零点时，. 解锁四：利用导数的研究函数单调性的相关问题 1.利用导数研究函数的单调性 探点.设函数．若为函数的一个极值点，则下列图象不可能为图象的是(　　) 探究：因为 ，且为函数的一个极值点，所以；选项中，，不满足.故选 2.利用导数研究单调性的逆向问题 探点1.已知函数. (I)求函数的单调区间； (II)若在上是单调函数，求的取值范围． 探究:(I)的定义域为，. ①若，则，，此时在均为增函数； ②若，则由得，或，由于此时，所在均为增函数；由得，，考虑定义域，因为，所以在均为减函数； ③若，则由得，或，由于此时，所以当时，为增函数，时，为增函数． 由得，，考虑定义域，当，为减函数，时，为减函数． 综上，当时，函数的单调增区间为，． (II)当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为． 当时，函数的单调增区间为，，单调减区间为． (2)①当时，由(1)可得，在上单调递增，且时，. ②当时，即时，由(1)可得，在上单调递增，即在上单调递增，且时，. ③当时，即时，由(1)可得，在上不具有单调性，不合题意． ④当，即时，由(1)可得，在为减函数，同时需注意，满足这样的条件时在单调递减，所以此时或. 综上所述，的取值范围是或或． 探点2.已知函数． (I)求函数的单调区间； (II)若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，对于任意的，函数在区间上总不是单调函数，求的取值范围． 探究：(I)函数的定义域为，且 当时，的增区间为，减区间为 ； 当时，的增区间为，减区间为； 当时，不是单调函数． (2)由(1)及题意得，解得，所以，. 所以，所以.因为在区间上总不是单调函数，即在区间上有变号零点． 由于，所以.当，即对任意恒成立，由于，故只要，即；由，即.所以.即实数的取值范围是. 解锁五：导数的二级应用：利用导数研究函数单调性的应用 先利用导数判断函数的单调性，后利用函数的单调性解题.单调性的应用基本类型：①比较大小；②解不等式；③求值域或最值；④解方程；⑤证明方程至多有一个实根；⑥研究一个式子两边的结构相同等式或不等式. 探点1.回答下列问题： (1)设，且，则与的大小关系为 . 探究1（斜率代数法）:设，则,所以在上单调递减,因为,所以，即亦即. 探究2（斜率几何法）：函数上的点与连线的斜率记作，由正弦函数的图象与性质知函数单调递减，所以，即. 探究3（向量数量积）：设，则由知点在 的上方，且，所以点在的上方，但由正弦函数图象可知， ，所以，设点，则，所以，所以，又，所以，即. (2)比较的大小关系为 , 探究1：构造函数利用单调性.设，则可证在，所以 . 探究2：利用对数函数的单调性.，先比较的大小，再比较所求的大小. 探究3：斜率不好说明！ (3)已知，比较与的大小关系为 . 探究1(二项式定理):由二项定理知，与展开式的通项分别为和,即，所以，，所以，所以，,而展开式比的展开式多了一些项，所以前者大于后者.即. 探究2（去幂，取对数）比较的大小.即，亦即,，设函数，则当时.零，所以所以，所以，所以，因为，所以，即，故. 探究3：斜率(略). 说明:一个代数式的大小问题，首选初等办法，后用高等方法. 探点2.已知函数，若对，总存在，使得，则实数的取值范围为 . 探究：题意的本质是阐述一个事实： 探究：当时，，令，解得，再令，解得，所以在，所以当时，， ，所以的值域为，又，所以在，所以的值域为.由题意知在上的值域是在上的值域的子集，所以 解得或，又，所以，故实数的取值范围. 7772 学科网（北京）股份有限公司 $