基本代数函数运算的根基一元二次函数、幂函数讲义-2026届高三数学一轮复习（解锁“高考数学学科素养”专题系列）

该高中数学讲义聚焦一元二次函数与幂函数核心考点，涵盖函数图像、性质、解析式、根的分布等高考重点，按“基本函数-性质应用-综合拓展”逻辑架构知识网络。通过考点梳理（如二次函数三种解析式对比）、方法指导（如根的分布“三看三列”图象法）、真题训练（探点实例解析）等环节，帮助学生构建解题框架，突破难点。 资料以数学思维与数学语言为核心，创新设计“探点-探究”互动环节，如通过二次函数闭区间最值讨论培养推理能力，幂函数性质对比强化抽象能力。设置分层练习（基础巩固、能力提升），配合即时反馈，确保高效复习效果，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支撑。

解锁 “高考数学学科素养”专题系列——11基本代数函数运算的根基一元二次函数、幂函数 一元二次函数是一类简单而又基本的函数类型,具有丰富的内涵和外延,它可沟通函数、方程、不等式、数列和曲线等知识之间的联系,因此它是高考试题的基本工具.一元二次函数的图像、单调性、综合运应其对称、单调、奇偶和有界、最值等性质和其灵活的形式变化,可解决分析函数中的许多问题;一元二次函数是三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的主帅作用，也是研究包含二次曲线在内的许多内容的工具.完善幂数的处理方案，构建函数模型 解锁一：基本初等代数函数 1.正比例函数 形如,其图象是过原点的直线. 2.反比例函数 形如,其图象是实轴长为的等轴双曲线. 主要作用：研究倒数问题、处理方式的解题方向. 3.一次函数 形如，其图象是直线.一次函数解析式直线方程的斜截式 说明：关注系数的几何意义. 4.一次分式函数 形如，其图象是反比例函数的图象平移所得.其对称中心为. 注意一次分式函数条件: ;解题策略：化归反比例. 探点.一次分式函数的对称中心为，则 . 探究:由题意知,解得. 5.一元二次函数 形如，其图象是顶点为，焦点为的， 准线方程为的抛物线.它被轴解得的弦长. 说明: (1)注意一元二次函数与一元二次型的区别!二次型的特征为:①二次项系数可以为零;②定义域不为全体实数； 探点1.函数的 ①定义域为,则实数的取值范围为 ； ②值域为,则实数的取值范围为 . ③在 单调递减，则的取值范围 .e 探究: ①恒成立，若，.若，则，解得，综上实数的取值范围为； ②取得区间的所有值，若，则，不符合题意；设，则，解得或，综上实数的取值范围为或. 探点2.若关于的方程在有解，则实数的取值范围为 探究:已知命题可变为求关于为自变量的二次型函数的值域，所以，解得，故实数的取值范围为. (2)一元二次函数解析式的表示形式有三种： ①一般式，； ②顶点式，（其中为顶点坐标）； ③零点式,为方程的两个实根）. 说明: ❶一般式反应参数的意义； 零点式反应分解因式的理念（判定符号问题主要有三个切入点：配方、因式分解、构造函数求最值）； 顶点式体现配方思想. ❷在具体具体时要灵活、恰当选择,才能达到多元变少元，简化解题的目的. 探点1.在区间上的函数与在同一点取得相同的最小值，则在上的最大值为 . 探究:时取等号，因为，所以，所以的最小值点为，又与在同一点取得相同的最小值，所以，所以在上的最大值为. 探点2.已知二次函数满足，且的最大值是，则函数的单调减区间为 . 探究1(一般式):设，则，解得，所以，所以函数的单调减区间为. 探究2 (顶点式):由知函数的图象的对称轴方程为 ，由最大 值为，所以，且，由解得，所以，所以函数的单调减区间为. 探究3（零点式）：由知是方程的两根，可设，又最大值为，所以且，解得，所以，所以函数的单调减区间为. 探究4(零点式): 由二次函数满足 知的对称轴方程为，所以可设，由题意知，消去得所以函数的单调减区间为. 探点3.已知，方程的两根为，且. (1)当时，求证: ； (2)对称轴方程为，求证：. 探究: (1)(零点式).设方程，则由知，且 ，所以 ； (2)由(1)知，所以 ，因为 ，所以函数的对称轴方程为.即. 题思: ①将“方程的两根为”变式为 “不等式的解为”，结论不变. ②二次函数与一元二次方程和一元二次不等式构成一个组合体,在解题时要会灵活转化. 探点1.,且是的两个零点，则的大小关系为 分析:二次函数问题，利用 “三个二”之间的关系灵活转移. 探究1：的图象是函数的图象向下平移个单位使得，所以得图象如图所示，所以的大小关系为. 探究2.令，则.令，则是函数的图象与的图象的交点的横坐标.由图象可知. 探究3.是方程的两个实根,是方程的两个实根，且，,若的二次项系数为，，则的大小关系为 . 探究4：符号问题，分解因式或平方或求导.由题意知，所以，由题意知.在上式中取得，解得；再取得，解得或,综上所述. 悟惑: ①解题遇到“二次函数出现连乘积的式子”就要考虑零点式；若已知一元二次方程的两根就要想到二次函数的零点式. 探点.二次函数满足，且被轴截得弦长为，与的开口大小相同，则的焦点坐标为 探究:由知函数的对称轴方程为，又函数被轴截得弦长为，所以可设，所以焦点坐标为或. ②遇到因式之积比较数的大小常用解一元二次不等式法. ③遇到纵坐标相等，研究横坐标之和问题要想到对称轴问题. 探点.已知是一元二次函数的图象上两点，则 探究：因为是一元二次函数的图象上两点，，所以，所以，所以. (3)一元二次函数的解析式有三种形式，解题时要灵活选择. 主要作用： 1 二次连乘积;②平方问题;③二次型的出题题型;④抛物线的相关问题;⑤系数的 几何意义. 探点.若满足，且，则的大小关系为 探究:由题意知是关于的方程的两个根，而是函数的两个零点.因为，，有图可知的大小关系为. 解锁二：二次函数应注意的几个问题 1.二次函数的性质:略 说明: ①单调区间与在区间单调的包含关系； 探点.函数在上单调递增，则①实数的取值为 ；②单调增区间为，则实数的取值范围为 探究: ①,解得；② ②的奇偶性:若时是偶函数；时是奇函数.但二次函数总也不能是奇函数. ③对称性的一般表示；一般地，若二次函数满足，则其对称轴方程为，且. 探点.函数为偶函数，且时，，则时，的解析式为 探究：因为为偶函数，所以，即；当时，，此时，，即，故选 B ④一元二次函数在闭区间上一定有最大值和最小值，且最值只能在端点或区间内的对称轴取到；在开区间内最多有一个最值，且最值只能在区间内的对称轴处取到. 探点.已知函数在闭区间上有最大值，最小值，则的取值范围是 　 探究：选 2.在二次函数的图象是抛物线 探点.对于函数，若存在实数，使成立，则称为的不动点. (I)当时，求的不动点； (Ⅱ)若对于任何实数，函数恒有两相异的不动点，求实数的取值范围； （III）在（Ⅱ）的条件下，若的图象上、两点的横坐标是函数的不动点，且直线是线段的垂直平分线，求实数的取值范围. 探究: (I)当时， 设为其不动点，即则 ，解得的不动点是或. (Ⅱ)由得：. 由已知，此方程有相异二实根，恒成立，即即对任意恒成立.所以 即，解得故实数的取值范围为 (III)设，直线是线段的垂直平分线，所以 ，记的中点由（2）知因为 所以化简得：时，等号成立）.即， 实数的取值范围为 3.系数的几何意义：的符号决定抛物线的开口方向，的大小决定抛物线的开口大小；是抛物线在轴的截距，依赖于是函数图象在轴上的截距，且. 4.可转化为一元二次型的常见函数: ①（设，换元为二次型），一般地；②（设，换元为二次型）； ③（讨论去绝对值，化为分段二次函数.函数的奇偶性由的值确定） （约分化为二次型）. 探点.若，则的最小值为 . 探究1（讨论法）：，设，则 ，且.若，则，若，则. 探究2(几何法）: 表示点与点两个间距离，点轨迹为双曲线在第一 限部分，点在直线上. 5.一元二次函数的局部运算 探点.函数，函数的两个零点为，则的取值范围为 探究：利用图象可知，所以所求为. 解锁三：一元二次方程根的分布 1.研究一元二次方程根的分布的方法： (1)分解因式求根法： 探点.在有两个零点，则实数取值范围为 探究1（分解因式求根法）：令，则，由题意知，解得 ,故实数取值范围的取值范围是. (2)图象法： “三看、三列” 2.图象法的常见类型: 设是实系数一元二次方程的两实根,且. ①一元二次方程根的基本分布——零分布 所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系.比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧. 结论1:， 或 结论2:，或 结论3: 或 结论4:① ，且或；②，且或.、 3.一元二次方程的非零分布——分布 设一元二次方程（）的两实根为，，且。为常数。则一元二次方程根的分布（即，相对于的位置）有以下若干结论. （Ⅰ）为一个值 结论1: 结论2:。 结论3:. （Ⅱ）为两个值 结论4:有且仅有（或） 结论5: 结论6: 或 （Ⅲ）为三个值 结论7：结论 结论8: 说明:注意隐形的根的分布问题 探点1.若方程有两个不相同的实根，则的取值为 . 探究1（根的分布）：令=转化为关于的一元二次方程有两个不同的正实根.可解得. 探究2（分离): 探点2.已知二次函数设方程的两个实数根为. ①如果，设函数的对称轴为，求证：； 2 如果，，求的取值范围. 探点1:设，则的二根为和. ①由及，可得 ，即，即两式相加得，所以，； ②由, 可得又，所以同号.等价于或,即 或解之得 或,故的取值范围为或 探究2：求值域. 说明：隐形根的分布的常见类型：①非二次方程根的个数问题；②已知根的不等关系;两个相似的二次等式. 探点3.已知，且,，则实数的取值范围为 . 探究:由已知知是方程即，亦即的两个不等实根.而方程的两实根为，所以，即，故实数的取值范围为.(分解求根) 探点4.对于实数和，定义运算“﹡”：， 设，且 关于的方程为恰有三个互不相等的实数根，则的取值范围是_______探究：由新定义得，所以可以画出草图，若方程有三个根，则，且当时方程可化为，易知；当时方程可化为，可解得，所以，又易知当时有最小值，所以，即..（数形结合法） 解锁四：幂函数的定义 函数叫做幂函数，其中是自变量，是常数. 说明： ①幂函数中主要掌握时的函数图象与性质，即 的图象与性质; ②幂函数与一元一次函数、一元二次函数、一元三次函数、反比例函数、整式函数、分式函数、无理函数均有联系，且分别是它们的特例; ③除了以上五个基本的幂函数外，其它幂函数也要了解. 探点1.已知函数，则为何值时，是(1)幂函数；(2)幂函数，且是上的增函数；(3)正比例函数；(4)反比例函数；(5)一元二次函数. 探究: (1)要使，只需，即，故当时，是幂函数. (2)要使，只需,且，即，故当时，是幂函数，且是上的增函数. (3)要使，只需，即，故当时，是正比例函数. (4)要使，只需，即，所以无论取何实数值，都不是正比例函数. (5)要使，只需，即，故当时，是一元二次函数. 探点2.函数的图象是(　　) 探究:图象在第一象限上凸单调递增，排除又当时，故选. 解锁五：幂函数的性质： 1.幂函数的图象一定经过第一象限而不经过第四象限，第二、三象限由函数的奇偶性确定； 2.幂函数的图象恒过点； 3．，幂函数在单调递增且过原点.若，则幂函数在单调递减与坐标轴无公共点.若，则幂函数与坐标轴也无公共点； 4.若，则当时，幂函数图象上凸，且图象在上在的上方，在上在的下方.当时，幂函数图象下凸，且图象在上在的下方，在上在的上方； 5.相对位置:若，则指数大图象靠近坐标轴，当，则指数大图象靠近轴，指数小图象靠近轴，且坐标轴为渐近线. 说明:灵活运用性质解题 探点.已知幂函数为偶函数，且在单调递减，讨论 的奇偶性. 探究.因为在单调递减，所以，解得，又，所以，又是偶函数，所以，从而，.若，则是奇函数；若，则是偶函数；若，则是非奇非偶函数. 题思:变式，图象与坐标轴无公共点，则，可得. 探点.幂函数图象过点，且 ①，则的取值范围是 ； ②在上单调递减，则的取值范围是 探究: 由图象过点得，. ①由得，解得或，故的取值范围是或； ②，故的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $