专题12.3 复数的几何意义重难点题型讲义（1个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题12.3 复数的几何意义重难点题型专训 （1个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 复数的坐标表示 题型二 在各象限内点对应复数的特征 题型三 实轴、虚轴上点对应的复数 题型四 判断复数对应的点所在的象限 题型五 根据复数的坐标写出对应的复数 题型六 根据复数对应坐标的特点求参数 题型七 求复数的模 题型八 由复数模求参数 题型九 与复数模相关的轨迹(图形)问题 题型十 复数的三角表示 题型十一 复数乘、除运算的三角表示 拓展训练一 复数坐标的相关应用 拓展训练二 复数模的相关求值 拓展训练三 复数的三角形式 知识点一： 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【即时训练】 1．（25-26高一下·广西南宁·月考）在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 2．（25-26高一下·山东济南·月考）若，则的最大值为_____． 【经典例题一 复数的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·河南南阳·期末）复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·随堂练习）在复平面内作出表示下列复数的点： (1)； (2)； (3)； (4)5． 1．（2025·江西·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（25-26高一下·广西南宁·月考）在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【经典例题二 在各象限内点对应复数的特征】 【例1】（24-25高三下·河北承德·月考）复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（24-25高一下·陕西榆林·期中）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； (3)z在复平面中对应的点位于第三象限. 1．（25-26高三上·湖南·月考）设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 2．（多选）（25-26高三上·安徽·月考）已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为______． 4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【经典例题三 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例1】（24-25高三下·广东惠州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·陕西西安·期中）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 2．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列有关复数的说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若，则是纯虚数 C．复平面的虚轴上的点表示纯虚数 D．若，则 3．（24-25高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为___________. 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知为三角形的一个内角，为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在实轴上． (1)求； (2)设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积． 【经典例题四 判断复数对应的点所在的象限】 【例1】（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知，在复平面内复数对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例2】（24-25高一下·山东济宁·月考）已知是复数，且和都是实数，其中是虚数单位． (1)求复数和； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围． 1．（25-26高三下·北京·月考）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026·四川德阳·二模）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高三上·上海·月考）若复数满足，则在复平面内对应的点位于第________象限 4．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限． (1)若的实部与虚部之和为7，且，求； (2)若，且的实部不为0，讨论在复平面内对应的点位于第几象限． 【经典例题五 根据复数的坐标写出对应的复数】 【例1】（24-25高一下·福建漳州·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【例2】（2026高一·全国·专题练习）在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为，，2，O为复平面的坐标原点. （1）求向量和对应的复数； （2）求平行四边形的顶点D对应的复数. 1．（24-25高二上·安徽安庆·月考）复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东枣庄·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C．1+i D． 3．（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________. 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知复数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的向量分别为，求向量对应的复数. 【经典例题六 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例1】（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·海南·月考）已知复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 1．（24-25高三上·黑龙江鹤岗·月考）在复平面内，复数对应的点在直线上，则（    ） A．1 B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 3．（2026高三·广东·专题练习）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数______ 4．（24-25高一下·天津·期中）已知复数，.（是虚数单位） (1)若z对应复平面上的点在第三象限，求m的范围； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z是实数，求|z|的值. 【经典例题七 求复数的模】 【例1】（2026·山东青岛·一模）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【例2】（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 1．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C．5 D． 2．（多选）（25-26高三上·安徽·月考）已知，其中，为虚数单位，且复数和均为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·上海·月考）已知复数z满足（i为虚数单位），则__________. 4．（24-25高一下·甘肃·期中）已知复数是一元二次方程的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【经典例题八 由复数模求参数】 【例1】（2025·湖南永州·模拟预测）若且该复数的虚部为负数，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知复数，且为纯虚数. (1)求的值； (2)若复数满足，，求的取值范围. 1．（25-26高三下·北京朝阳·开学考试）若复数模为，则的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 2．（多选）（2025·浙江·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为______. 4．（25-26高一·上海·课堂例题）若复数，复数满足，且是纯虚数，求复数． 【经典例题九 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 【例1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）设，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点的集合是什么图形？ (1)； (2). 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（多选）（24-25高一下·广东广州·月考）已知复数满足，则（    ） A．可以是 B．若为纯虚数，则的虚部是2 C． D． 3．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 4．（24-25高一下·安徽·月考）（1）设复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是什么图形？请求出该图形的面积. （2）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围. 【经典例题十 复数的三角表示】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求的值． 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课后作业）将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）将下列各复数转化为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)20； (3). 【经典例题十一 复数乘、除运算的三角表示】 【例1】（2024高一下·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，求的辐角的主值． 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（   ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 3．（2024高一下·全国·专题练习）_________. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算： (1) (2). 【拓展训练一 复数坐标的相关应用】 【例1】（24-25高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·河北邢台·月考）已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 1．（24-25高三上·河南安阳·月考）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高二下·重庆巴南·月考）（多选）在复平面内，复数对应的点是，则（     ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）已知复数在复平面内表示一个以原点为圆心的圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为______. 4．（24-25高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【拓展训练二 复数模的相关求值】 【例1】（25-26高三上·河北邯郸·月考）若复数，则（   ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 1．（2026高三上·河南·专题练习）设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（多选）（25-26高三上·河北雄安·期中）已知复数，，满足，为的共轭复数，则下列说法一定正确的有（   ） A． B． C． D． 3．（2026高三下·天津·专题练习）若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 _____； 4．（24-25高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 【拓展训练三 复数的三角形式】 【例1】（25-26高一下·全国·月考）复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）把复数，分别表示为三角形式． 1．（25-26高一下·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三下·重庆江北·月考）已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是___________，辐角的主值是________． 4．（25-26高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) (4) 1．（25-26高一上·北京·期末）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知复数满足，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B．2 C． D． 4．（24-25高一下·湖北荆州·期末）设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若满足，则 D． 5．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 7．（多选）（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 8．（多选）（25-26高一下·山东青岛·月考）若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 9．（多选）（2025·重庆·三模）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．可能为 B． C．的实部与虚部之积不大于3 D．在复平面内对应的点可能是 10．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）若复数为实数，则正整数值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 11．（2025高三上·江西南昌·专题练习）若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是______. 12．（2024·四川·一模），若与关于复平面虚轴对称，则__________ ． 13．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 15．（25-26高一·全国·课后作业）÷()=_____. 16．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 17．（24-25高一下·湖北武汉·期中）（1）计算： （2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？ 18．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数． (1)若，求； (2)若||，且是纯虚数，求 19．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 20．（25-26高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.3 复数的几何意义重难点题型专训 （1个知识点+11大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 复数的坐标表示 题型二 在各象限内点对应复数的特征 题型三 实轴、虚轴上点对应的复数 题型四 判断复数对应的点所在的象限 题型五 根据复数的坐标写出对应的复数 题型六 根据复数对应坐标的特点求参数 题型七 求复数的模 题型八 由复数模求参数 题型九 与复数模相关的轨迹(图形)问题 题型十 复数的三角表示 题型十一 复数乘、除运算的三角表示 拓展训练一 复数坐标的相关应用 拓展训练二 复数模的相关求值 拓展训练三 复数的三角形式 知识点一： 复数的几何意义 1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴． 2、复数的几何意义 （1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的． （2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量是一一对应的． 【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系 实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数， 原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数． 3、复数的模 （1）定义：向量的r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值 （2）记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. （3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，r∈R)． 【即时训练】 1．（25-26高一下·广西南宁·月考）在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，，，则的形状为（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】先表示出A，B，C三点坐标，根据两点间距离公式分别求出，再利用勾股定理的逆定理即可求解. 【详解】根据题意， 点坐标为 点坐标为 点坐标为 ， 则 ， ， 因为 . 所以 是直角三角形，故选： B 2．（25-26高一下·山东济南·月考）若，则的最大值为_____． 【答案】 【分析】利用复数模的几何意义将问题转化为圆上点到原点的距离最值问题，通过原点到圆心的距离加半径得到结果. 【详解】复数在复平面对应的点满足，几何意义为：复平面内动点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 的几何意义是动点到原点的距离。 计算原点到圆心的距离：， 因此圆上点到原点的最大距离为，即的最大值为. 【经典例题一 复数的坐标表示】 【例1】（24-25高一下·河南南阳·期末）复数与复数在复平面内对应的点关于虚轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法运算和复数的几何意义即可得到答案. 【详解】，其在复平面内对应的点为， 则复数在复平面内对应的点为，所以. 故选：D. 【例2】（25-26高一·全国·随堂练习）在复平面内作出表示下列复数的点： (1)； (2)； (3)； (4)5． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点的坐标，即可求解. 【详解】（1）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点为. （2）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得在复平面对应的点为. （3）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数 在复平面对应的点为 （4）解：如图所示，根据复数的几何意义，可得复数在复平面对应的点为    1．（2025·江西·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的几何意义，得，再结合复数的除法运算，即可求解. 【详解】由题意知，，则. 故选：D. 2．（2026·浙江·模拟预测）已知为虚数单位，若复数满足，则在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据已知等式求出复数，再确定其在复平面内对应点的位置. 【详解】已知，则， 分子分母同乘，即， 所以复数在复平面内对应的点为，在第四象限. 故选：D. 3．（25-26高一下·广西南宁·月考）在平行四边形中，，，三点对应的复数分别是，，，则点对应的复数是________； 【答案】 【分析】设出的坐标，解法一：根据复数的几何意义，结合平行四边形性质求解；解法二：根据复数的几何意义，结合向量相等求解. 【详解】由题意可得, 设的坐标为， 解法一：平行四边形中，对角线互相平分，即与中点坐标相同， 所以，解得，故点对应的复数是. 解法二：由于，可得， 故，故点对应的复数是. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）在复平面内，已知平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，．求： (1)向量对应的复数； (2)向量对应的复数； (3)点对应的复数． 【答案】(1) (2) (3)． 【分析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （3）由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数. 【详解】（1）复平面内平行四边形的三个顶点对应的复数分别为0，，， ∴向量对应的复数，向量对应的复数为． ， ∴向量对应的复数为． （2）， ∴向量对应的复数为． （3）， ∴向量对应的复数为， ∴点对应的复数为． 【经典例题二 在各象限内点对应复数的特征】 【例1】（24-25高三下·河北承德·月考）复数z满足，则在复平面内复数z对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先利用复数除法运算化简z，然后根据复数的几何意义求解即可. 【详解】由题意知， 则在复平面内复数z对应的点为，该点位于第一象限. 故选：A. 【例2】（24-25高一下·陕西榆林·期中）求实数m的值或取值范围，使得复数分别满足： (1)z是实数； (2)z是纯虚数； (3)z在复平面中对应的点位于第三象限. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据复数的概念列式求解即可； （2）根据复数的概念列式求解即可； （3）根据复数的几何意义列不等式组求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数，所以，所以； （2）因为复数是纯虚数，所以， 所以； （3）复数在复平面中对应的点为， 因为该点位于第三象限，所以，所以. 1．（25-26高三上·湖南·月考）设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算法则求出，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，则， 则，解得：或， 所以或，其在复平面内对应的点位于第一、三象限． 故选：C 2．（多选）（25-26高三上·安徽·月考）已知复数，则（    ） A．不可能为实数 B．不可能为纯虚数 C．在复平面内表示的点不可能在第一象限 D．恒成立 【答案】BCD 【分析】A：考虑且时的情况；B：计算出的范围并判断；C：根据的范围作出判断；D：计算出的范围，则的范围可知. 【详解】选项A：当且时，为实数，故A错误； 选项B：因为，所以，所以的实部不为，所以不可能为纯虚数，故B正确； 选项C：因为，所以在复平面内表示的点在虚轴的左侧，故C正确； 选项D：因为，所以， 又因为，所以， 所以，故D正确； 故选：BCD. 3．（24-25高一下·北京西城·期末）已知复数z在复平面内所对应的点的坐标为，则为______． 【答案】1 【分析】根据复平面内的点与复数的对应关系可知复数，再利用复数的四则运算法则与模的定义即可求解. 【详解】由已知得该复数， 则， 故答案为：1. 4．（25-26高一下·江苏无锡·月考）已知复数. (1)若复数是实数，求实数的值； (2)若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【详解】（1）因为复数是实数， 所以， 解得或； 所以实数的值为或； （2）因为复数表示的点在第四象限， 所以， 即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 【经典例题三 实轴、虚轴上点对应的复数】 【例1】（24-25高三下·广东惠州·月考）在复平面内，复数与对应的点关于实轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的除法运算法则化简复数，即可根据对称求解. 【详解】由可得， 故， 故选：B. 【例2】（24-25高一下·陕西西安·期中）在复平面内，若复数对应的点： (1)在虚轴上； (2)在第三象限． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）当复数在虚轴上时，其实部为0，列式即可解出答案； （2）当复数在第三象限时，其实部小于0，虚部小于0，列式即可解出答案； 【详解】（1）复数的实部为， 虚部为． 由题意得，解得或； （2）由题意，得，解得. 1．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，复数对应的点在虚轴上，则的值为（    ） A．或 B． C．且 D．或 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义，构造方程得解. 【详解】∵复数对应的点在虚轴上，∴，∴或. 故选：A. 2．（多选）（24-25高一下·安徽蚌埠·期末）下列有关复数的说法正确的是（    ） A．若复数，则 B．若，则是纯虚数 C．复平面的虚轴上的点表示纯虚数 D．若，则 【答案】AD 【分析】设，则，由复数可判断A；由得可判断B；由复平面的定义可判断C；    设，分别计算和可判断D. 【详解】设，则， A，若复数，则，，所以，正确；     B，若，则，则是实数，错误； C，复平面的虚轴上的点除点外表示纯虚数，错误；     D，若，则， ， 所以，正确. 故选：AD. 3．（24-25高一下·重庆渝中·期中）复数，对应点在虚轴上，实数的值为___________. 【答案】或 【分析】由条件可得，解出即可. 【详解】因为复数对应点在虚轴上， 所以，解得或 故答案为：或. 4．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）已知为三角形的一个内角，为虚数单位，复数，且在复平面上对应的点在实轴上． (1)求； (2)设，，在复平面上对应的点分别为A，B，C，求的面积． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）化简，即可根据复数的几何意义列方程求解， （2）化简，得对应的点的坐标，即可根据向量数量积的坐标运算得垂直关系求解. 【详解】（1）∵，， 因为在复平面上对应的点在实轴上， 所以， ，所以，故； （2）由（1）知：，， 所以，， 所以． 在复平面上对应的点分别为，，， 所以，，， 所以，，所以，． 【经典例题四 判断复数对应的点所在的象限】 【例1】（25-26高三下·辽宁抚顺·月考）已知，在复平面内复数对应的点所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】借助复数运算法则及复数的几何意义计算即可得. 【详解】，故复数对应的点为，位于第四象限. 【例2】（24-25高一下·山东济宁·月考）已知是复数，且和都是实数，其中是虚数单位． (1)求复数和； (2)若复数在复平面内对应的点位于第三象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）设（a，），由复数的运算法则分别求出和的表达式，再根据二者都为实数进行求解即可； （2）根据复数的几何意义计算求解即可. 【详解】（1）设（a，），则， 为实数，，即， ， 为实数，， 即，则，； （2）由（1）得， 依题意得，解得，实数m的取值范围是. 1．（25-26高三下·北京·月考）在复平面内，复数对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】由复数的除法运算法则得： ， 其对应的点为， 故对应点位于第四象限. 2．（2026·四川德阳·二模）当时，复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】由整理可得， 可知复数在复平面内对应的点为， 因为，则，， 所以复数在复平面内对应的点位于第二象限. 3．（24-25高三上·上海·月考）若复数满足，则在复平面内对应的点位于第________象限 【答案】一 【分析】利用复数的除法与乘法运算，化简复数为标准式，结合复数的几何意义，可得答案. 【详解】由，则， 所以复数在复平面上对应点为，该点位于第一象限. 故答案为：一. 4．（24-25高一下·陕西商洛·期末）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限． (1)若的实部与虚部之和为7，且，求； (2)若，且的实部不为0，讨论在复平面内对应的点位于第几象限． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）设，由题意得出解出即可求出复数； （2）设，由题意可得出之间的关系，在对讨论即可判断对应的点位于第几象限. 【详解】（1）依题意可设（a，b∈R，a>0，b<0）， 因为z的实部与虚部之和为7，且，所以 解得a=12，b=-5，故 （2）依题意可设 因为 （a>0，b<0）， 所以，且． 因为，所以， 所以 ． 当时，，在复平面内对应的点位于第三象限； 当时，，在复平面内对应的点位于第四象限． 【经典例题五 根据复数的坐标写出对应的复数】 【例1】（24-25高一下·福建漳州·期中）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，得到，结合共轭复数的概念，即可求解. 【详解】由复数对应的点的坐标是，可得，所以的共轭复数为. 故选：B. 【例2】（2026高一·全国·专题练习）在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为，，2，O为复平面的坐标原点. （1）求向量和对应的复数； （2）求平行四边形的顶点D对应的复数. 【答案】（1）对应的复数为，对应的复数为（2） 【解析】（1）由复数写出对应点的坐标，从而得相应向量的坐标，由向量运算的坐标表示计算出向量，然后再由坐标得出对应的复数； （2）可利用与互相平分，结合中点坐标公式求出点坐标，然后可得对应复数． 【详解】（1）由已知得所对应的复数分别为，，2， 则，，， 因此，， 故对应的复数为，对应的复数为. （2）由已知得点A，B，C的坐标分别为，则的中点为，由平行四边形的性质知的中点也，若设，则有， 解得，故.所以D对应的复数为. 1．（24-25高二上·安徽安庆·月考）复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数的几何意义写出，然后根据复数的除法计算. 【详解】由复数的几何意义可知，，. 故选：C 2．（2025·山东枣庄·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C．1+i D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出复数，再利用复数的除法求解. 【详解】由复数在复平面内对应的点为，得， 所以. 故选：C 3．（24-25高一下·北京西城·期末）在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则__________. 【答案】 【分析】根据复平面内点的坐标得到复数z，再根据复数的除法法则计算即可. 【详解】因为复数z对应的点的坐标是， 所以复数， 所以. 故答案为： 4．（24-25高一下·广东深圳·期中）已知复数. (1)求； (2)若复数在复平面内对应的向量分别为，求向量对应的复数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的四则运算化简即可求得； （2）由复数的坐标运算即可求得向量对应的复数. 【详解】（1）. （2）由得，又， 则， 所以向量对应的复数为. 【经典例题六 根据复数对应坐标的特点求参数】 【例1】（25-26高一下·安徽阜阳·月考）在复平面内，复数对应的点在第二象限，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为复数在复平面内对应的点在第二象限， 所以，解得， 所以的取值范围为. 【例2】（24-25高一下·海南·月考）已知复数． (1)若是实数，求的值； (2)若是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）根据实数的概念列方程求解的值； （2）根据纯虚数的概念列式求的值； （3）复数的几何意义及第四象限点的坐标的特征列不等式组求解． 【详解】（1）若是实数， 则，解得或. （2）若复数是纯虚数， 则，解得. （3）若在复平面内对应的点位于第四象限，则， 不等式，即，解得或； 不等式，即，解得， 所以，，即的取值范围是. 1．（24-25高三上·黑龙江鹤岗·月考）在复平面内，复数对应的点在直线上，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】求出复数对应的点代入直线方程可得，再利用复数的除法运算可得答案. 【详解】复平面内，复数对应的点为， 又在直线上，所以，解得， 所以， 则. 故选：B. 2．（多选）（24-25高一下·广东潮州·期末）已知是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】BC 【分析】首先根据复数的乘方化简复数，再根据复数的几何意义得到不等式组，解得即可. 【详解】因为， 所以，则复数在复平面内对应的点为， 依题意可得，解得，所以符合题意的有B 、C. 故选：BC 3．（2026高三·广东·专题练习）已知i为虚数单位，若复数对应的点在复平面的虚轴上，则实数______ 【答案】 【分析】由复数的运算法则与几何意义求解. 【详解】由， 结合题意，则，解得. 故答案为：. 4．（24-25高一下·天津·期中）已知复数，.（是虚数单位） (1)若z对应复平面上的点在第三象限，求m的范围； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z是实数，求|z|的值. 【答案】(1) (2) (3)0 【分析】（1）首先写出复数的实部与虚部，即可得到复数在复平面内所对应的点的坐标，再根据题意得到不等式组，解得即可； （2）根据实部为零，虚部不为零得到方程（不等式）组，解得即可； （3）根据虚部为零，得到方程，求出求出，从而得到； 【详解】（1）∵复数的实部为，虚部为， 在复平面内所对应的点的坐标为， ∵对应复平面上的点在第三象限， ∴，解得 ∴ （2）∵是纯虚数，∴， ∴ （3）∵是实数， ∴，解得， ∴，则； 【经典例题七 求复数的模】 【例1】（2026·山东青岛·一模）已知复数，则（   ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【详解】由，则， 所以. 【例2】（24-25高一下·上海·期中）已知复数，其中为虚数单位. (1)若复数为纯虚数，求的值； (2)求的最小值. 【答案】(1)0 (2). 【分析】（1）根据纯虚数的概念解方程组可得结果； （2）由复数的模长公式以及二次函数性质计算可得其最小值. 【详解】（1）由复数为纯虚数可得，所以； （2）易知， 则可知时，的最小值为. 1．（25-26高三上·福建莆田·期中）已知是虚数单位，复数满足，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】根据题设化简复数，再利用模长公式计算即可. 【详解】由题意得，化简得， 根据模长公式，得. 故选：. 2．（多选）（25-26高三上·安徽·月考）已知，其中，为虚数单位，且复数和均为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】设，先由复数的运算求得，利用复数的模长公式计算即可求得. 【详解】设，则，由题意可得，且，得. 又，则，解得. 于是，所以. 故选：AD. 3．（25-26高三下·上海·月考）已知复数z满足（i为虚数单位），则__________. 【答案】1 【详解】由得，所以， 所以，即， 所以 4．（24-25高一下·甘肃·期中）已知复数是一元二次方程的根. (1)求的值； (2)若复数（其中）为纯虚数，求复数的模. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据实系数方程的两根为共轭复数，结合韦达定理可求得结果； （2）根据纯虚数定义可求得，由模长定义可求得结果. 【详解】（1）是实系数一元二次方程的根， 是该方程的另一个根， ，即. （2）由（1）知：， 为纯虚数，，解得：， ，的模为. 【经典例题八 由复数模求参数】 【例1】（2025·湖南永州·模拟预测）若且该复数的虚部为负数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，利用复数的模的计算公式以及已知条件建立方程组，求解出x和y的值，再根据虚部为负确定． 【详解】设，因为，所以，即． 又因为，所以，即． 因为，所以 化简得，解得． 把代入，得，即，解得． 因为该复数的虚部为负，所以，则， 故选：A 【例2】（24-25高一下·新疆哈密·期末）已知复数，且为纯虚数. (1)求的值； (2)若复数满足，，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）根据复数的除法运算，结合纯虚数的概念，求的值. （2）根据复数模的概念列不等式，解不等式可求的取值范围. 【详解】（1）因为为纯虚数， 所以. （2）由题意：， 所以. 所以的取值范围为：. 1．（25-26高三下·北京朝阳·开学考试）若复数模为，则的值为（    ）． A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】解法1：利用复数模的定义，； 解法2：利用复数模的性质，. 【详解】解法1：由，所以 ，解得. 解法2：由已知，解得. 2．（多选）（2025·浙江·模拟预测）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】设出复数的代数形式，由模的意义求出，再逐项判断得解. 【详解】设，由，得，解得， 对于A，不是实数，A错误； 对于B，，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，由，得；由，得，，因此，D错误. 故选：BC 3．（24-25高三上·上海·期中）记是虚数单位，设复数且，则复数的虚部为______. 【答案】 【分析】根据条件，利用复数模长的计算公式，即可求解. 【详解】因为，，则，得到， 又，所以，则复数的虚部为， 故答案为：. 4．（25-26高一·上海·课堂例题）若复数，复数满足，且是纯虚数，求复数． 【答案】或 【分析】设，根据复数的模长以及是纯虚数，列式求解，即得答案. 【详解】设， 由得， ， 由是纯虚数得且， 联立，解得或， 故或. 【经典例题九 与复数模相关的轨迹(图形)问题】 【例1】（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知复数z满足，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数加减的几何意义可确定最大值. 【详解】，复数z在复平面中对应的点到的距离为1， 该点轨迹为以为圆心，半径为1的圆， 表示复数z在复平面中对应的点到的距离，所以最大值为， 故选：D. 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）设，且满足下列条件，求在复平面内，复数z对应的点的集合是什么图形？ (1)； (2). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据复数模长的几何意义求解即可. 【详解】（1）由得向量的模小于3， 即点到原点的距离小于3， 所以复数z对应的点Z的集合是以原点O为圆心，3为半径的圆面，不包括边界． （2）由得向量的模等于2，即点到原点的距离等于2， 所以满足的点Z的集合是以原点O为圆心，2为半径的圆． 1．（2025·辽宁·模拟预测）已知满足，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】D 【分析】设，根据模长得到方程，求出，并求出，从而得到. 【详解】设，则， 即，由于，故，解得， 则， 故选：D 2．（多选）（24-25高一下·广东广州·月考）已知复数满足，则（    ） A．可以是 B．若为纯虚数，则的虚部是2 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数的模长公式，纯虚数的概念及复数模长的几何意义可得选项. 【详解】当时，，选项A正确； 若为纯虚数，则，选项B错误； 易知，选项C正确； 由可知，在复平面上，复数对应的点在以点为圆心，2为半径的圆上， 的几何意义是点到点的距离，可得，选项D正确， 故选：ACD. 3．（25-26高一下·福建三明·月考）已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 【答案】4 【分析】利用复数的几何意义进行求解. 【详解】复数z满足，则复数z对应的点在以为圆心，半径的圆上， 而表示圆上的点到定点的距离， 圆心到定点距离为： 所以（是虚数单位）的最小值为：. 4．（24-25高一下·安徽·月考）（1）设复数在复平面内对应的点为，则满足的点的集合是什么图形？请求出该图形的面积. （2）已知复数在复平面内对应的点位于第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）答案见解析，面积为；（2）. 【分析】（1）根据复数与复平面内点的对应关系，结合复数的模长，判断复数在复平面内对应的点所在的区域，利用圆的面积公式求解. （2）根据复数对应的点在第四象限，得到实部为正，虚部为负，列出不等式，求出参数范围即得答案. 【详解】（1）因为方程表示的点的集合是以为圆心，2为半径的圆， 方程表示的点的集合是以为圆心，1为半径的圆. 所以不等式表示的点的集合是以为圆心，1，2为半径的两个圆所形成的圆环（含边界）， 所以该圆环的面积. （2）因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得或， 故的取值范围是. 【经典例题十 复数的三角表示】 【例1】（2025高一·全国·专题练习）复数z1＝1，在复平面内，z2对应的向量由z1对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转而得到，则（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的三角形式的乘法运算即可求解. 【详解】由题可知， 所以， 所以， 故选:B. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）求的值． 【答案】 【分析】由复数的三角表示以及复数相等的充要条件即可求解. 【详解】设，则． 又， 由复数相等条件，知． 1．（2025·贵州贵阳·模拟预测）复数，由向量绕原点逆时针方向旋转而得到.则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】写出复数的三角形式，绕原点逆时针方向旋转得到复数的三角形式，从而求得的三角形式得解. 【详解】,, 所以复数在第二象限，设幅角为， 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·江西·月考）任何一个复数都可以表示为，且可以表示为三角形式代表复数的模，是以轴的非负半轴为始边，以所在的射线为终边的角.著名数学家棣莫弗就此进行了深度探究，发现，该公式称为棣莫弗公式.根据上面的知识，若复数满足，则可能的取值为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】根据棣莫弗定理可得的一般形式，求出、可得答案. 【分析】设，其中，则， 所以，而，则， 故即，故， 故B，D正确，A，C错误. 故选：BD. 3．（25-26高一下·全国·课后作业）将复数所表示的向量绕原点按逆时针方向旋转角所得的向量对应的复数为，则_____________． 【答案】 【分析】根据复数的三角表示式进行求解即可. 【详解】由题意得，，． 所以将所表示的向量逆时针旋转，所得向量对应的复数为． 根据复数乘法的几何意义，旋转角。该值满足. 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）将下列各复数转化为三角形式（辐角取主值）： (1)； (2)20； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）（3）将各个复数利用三角形式表示出来即可. 【详解】（1）因为，所以，， 又，所以，所以. （2）因为，所以，， 又，所以，所以. （3）因为，所以，， 又，所以，所以. 【经典例题十一 复数乘、除运算的三角表示】 【例1】（2024高一下·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合复数三角形式的运算，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得 . 故选：A. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，，求的辐角的主值． 【答案】 【分析】利用复数的乘法运算化简，再结合辐角主值的定义求出. 【详解】 ， 因为辐角主值属于，所以的辐角的主值为． 1．（25-26高一·全国·课后作业）已知为虚数单位，，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可. 【详解】， . 故选：D. 2．（多选）（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（   ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 【答案】AD 【分析】根据题意，化简得到，，结合选项，即可求解. 【详解】因为， ， 所以，将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到. 故选：AD. 3．（2024高一下·全国·专题练习）_________. 【答案】 【分析】借助复数的三角表示的运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）计算： (1) (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）利用复数三角形式的乘法运算求解. 【详解】（1） （2） 【拓展训练一 复数坐标的相关应用】 【例1】（24-25高一下·上海闵行·期末）在复平面上，设点、对应的复数分别为、，当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出取临界值时点的坐标、，即可得到图象，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积. 【详解】由题意可得，点在单位圆上，点的坐标为， 如图：当时，点的坐标为，当时，点的坐标为， 向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和. 由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)， 故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积， 因为，所以扇形的面积为等于. 故选：B.    【例2】（25-26高一下·河北邢台·月考）已知复数． (1)若为纯虚数，求的值； (2)若为实数，求的值； (3)若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）（2）（3）利用复数的定义，以及复数的几何意义，列出相应的关系式，即可求解. 【详解】（1）由复数，因为复数为纯虚数，可得，解得． （2）由复数为实数，可得， 解得或． （3）由复数在复平面内对应的点位于第二象限，则满足， 解得，即的取值范围为． 1．（24-25高三上·河南安阳·月考）若复数在复平面内对应的点位于第四象限，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用复数的运算法则，求出复数，结合复数的几何意义求出结果 【详解】解： 因为复数在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得或. 所以，实数的取值范围为. 故选：C 2．（多选）（24-25高二下·重庆巴南·月考）（多选）在复平面内，复数对应的点是，则（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】首先根据复数的几何意义表示出复数，再根据共轭复数及复数模的计算公式计算可得； 【详解】解：因为在复平面内，复数对应的点是，所以，所以，， 故选：ACD 3．（2026高三·全国·专题练习）已知复数在复平面内表示一个以原点为圆心的圆周，则在复平面内表示的点构成的形状为______. 【答案】线段 【分析】根据复数的几何意义得出，进而得出复数对应点在直线上，结合自变量范围得出线段. 【详解】设在复平面内表示的点为， 因为在复平面内对应点，故， ，由此可知对应的点为， 所以，所以, 又，所以， 即复数在复平面内表示的点构成的形状为线段. 4．（24-25高一下·上海·期末）当实数为何值时，复数为： (1)实数； (2)纯虚数； (3)对应点在第二象限？ 【答案】(1)或； (2)； (3)． 【分析】（1）结合实数的概念，即可求解； （2）结合纯虚数的概念，即可求解； （3）结合复数的几何意义，即可求解． 【详解】（1）复数为实数，则， 所以或. （2）复数为纯虚数，则， 所以. （3）复数对应点在第二象限，则，解得， 所以实数的取值范围是. 【拓展训练二 复数模的相关求值】 【例1】（25-26高三上·河北邯郸·月考）若复数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据复数的四则运算可得，再求其模长. 【详解】由题意得，所以． 故选：C. 【例2】（24-25高一下·河北·期中）已知复数，且为纯虚数（是的共轭复数）. (1)求实数的值； (2)设复数，求； (3)复数满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）运用纯虚数概念，构造方程计算即可； （2）先化简复数，再根据模长公式计算即可 （3）运用复数模长几何意义计算. 【详解】（1）因为，则， 所以， 又为纯虚数，所以，解得； （2）， 所以 （3）因为，即，所以对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆 表示对应的点到点的距离 又因为圆心到的距离为， 所以最小值为 1．（2026高三上·河南·专题练习）设为复数，若，则的最小值为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设，根据题意求出的关系，再根据复数的模的公式即可得解. 【详解】设， 由，得，所以， 由，解得， 则， 所以当时，. 故选：A. 2．（多选）（25-26高三上·河北雄安·期中）已知复数，，满足，为的共轭复数，则下列说法一定正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用复数的模的运算可判断A，利用复数的几何意义可判断B，虚数不能比较大小可判断C，利用复数模的不等式可判断D. 【详解】对于A，设，，，，，，为虚数单位， 则，， 故，故A正确； 对于B，记，在复平面上对应的向量分别为，，可知，故B正确； 对于C，取，，，此时虚数无法比较大小，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD. 3．（2026高三下·天津·专题练习）若复数 满足 ( 为虚数单位)，则 _____； 【答案】 【分析】先根据复数的除法及乘法计算化简，再应用模长公式计算求解. 【详解】由复数 满足 ， 可得 ， 所以 ． 故答案为：. 4．（24-25高一下·上海·期末）已知关于的实系数一元二次方程的两根为. (1)若为虚数，，且，求和的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)， (2)或. 【分析】（1）由根的判别式可得，设，结合复数的几何意义和韦达定理计算即可求解； （2）法一：分别讨论当方程有两个实根、两个虚根的情况，结合韦达定理、复数的几何意义即可求解；法二：利用韦达定理和完全平方公式计算直接得出结果. 【详解】（1）由题意，关于的实系数一元二次方程的两个虚根为， 可得，即， 设，由，解得， 所以，； （2）法一：由关于的实系数一元二次方程的两根为， ①若方程有两个实根，则，可得，且， 则，解得； ②若方程有两个虚根，则，可得， 设，不妨设，可得，解得， 所以. 综上可得，实数的值为或. 法二：由关于的实系数一元二次方程的两根为， 则， ， 解得或. 【拓展训练三 复数的三角形式】 【例1】（25-26高一下·全国·月考）复数，若，则的值可以是（   ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】先将复数化为三角形式，再根据复数的幂运算法则求出，最后根据建立等式求解. 【详解】，则， 由于得：， 故,解得， 因为，所以的值可以是5，11，17，. 故选：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）把复数，分别表示为三角形式． 【答案】， 【分析】利用复数三角形式的定义求解即可 【详解】由于复数三角形式为,其中,为复数的辐角（辐角通常取主值，范围为）； 由于，辐角的主值为， ． 由于，，又对应点为在第二象限，所以辐角的主值为， ． 1．（25-26高一下·全国·单元测试）设为复数，且的辐角主值为，的辐角主值为，则复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意结合复数的三角形式，可设，，化简整理后比较系数即可求得的值，进而可求得复数. 【详解】由题意设，， 所以有， 即 所以，即， 则， 故选：D. 2．（多选）（24-25高三下·重庆江北·月考）已知复数(为虚数单位)，则下列说法中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由已知可得，由复数三角形式的乘方运算，即可判断各选项的正误. 【详解】由， A：，正确； B：，错误； C：由B知：，正确； D：，错误； 故选：AC 3．（2025高一·全国·专题练习）把复数与对应的向量分别按逆时针方向旋转和后，重合于向量且模相等，已知，则复数的代数形式是___________，辐角的主值是________． 【答案】 / 【分析】利用复数旋转的乘法公式，根据与旋转后的结果相等及的代数形式列等式，即可求得的代数形式，再求其辐射角主值即可. 【详解】由题意可知， 又， 则 ， 可知对应的坐标为，则它的辐角主值为. 故答案为：；. 4．（25-26高一·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）（2）（3（4）利用复数三角形式的乘法与除法运算法则求解即可，注意计算的准确性. 【详解】（1） . （2） . （3） . （4） . 1．（25-26高一上·北京·期末）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数的乘除运算计算，然后得到其共轭复数，进而得到其对应的点的坐标. 【详解】因为复数. 所以共轭复数. 所以共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B. 2．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】利用复数模的几何意义转化复数z满足的限制条件，进而求得的最大值. 【详解】设复数、在复平面内对应的点分别为， 复数在复平面对应的点为：， 由可知：复数z在复平面内对应的点到两点的距离之和为2， 而，所以点在线段上，故， 则， 当时，的最大值为. 故选：B. 3．（25-26高二上·贵州贵阳·月考）已知复数满足，其中为虚数单位，则（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】先将题中所给式子化简，解出，再计算模长即可. 【详解】由，得，，， 故， 故选：D． 4．（24-25高一下·湖北荆州·期末）设，为复数，是虚数单位，下列命题中正确的是（    ） A． B．若，则 C．若满足，则 D． 【答案】C 【分析】选项A，利用虚数单位的周期性幂运算判断； 选项B，通过反例说明模长相等的复数平方不一定相等； 选项C，结合复数的几何意义，分析单位圆上的点到定点的距离范围； 选项D，利用复数与共轭复数的乘积公式与平方的关系对比. 【详解】对于A，结合虚数单位的幂运算，，故A错误； 对于B，令，，则，但，，则，故B错误； 对于C，因为满足，所以表示复平面上对应单位圆上的点，则表示在复平面内，对应的点到点的距离，又点在单位圆上，所以，故C正确； 对于D，令，则，所以， ，所以，故D错误. 故选：C. 5．（2026·重庆·一模）任何一个复数 都可以表示成 的形式，通常称为复数的三角形式． 法国数学家棣莫弗发现： ，我们称这个结论为棣莫弗定理． 则 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将化为三角形式，再根据棣莫弗定理化简求值，即得答案. 【详解】 ， 故选：C 6．（多选）（25-26高一下·全国·单元测试）对于下列四个命题，正确的是（   ） A．任何复数的模都是非负数； B．如果复数，，，，那么这些复数的对应点共圆 C．的最大值是，最小值为0 D．轴是复平面的实轴，轴是虚轴 【答案】ABD 【分析】由复数模的计算判断即可判断A；分别计算出的模即可判断B；计算即可判断C；由复平面的定义判断D． 【详解】设，则 ，故A正确； 因为，，，， 这些复数的对应点均在以原点为圆心，为半径的圆上，故B正确； 因为为定值，最大、最小值相等，都是1，故C错误； 根据复平面的定义，轴是复平面的实轴，轴是虚轴，故D正确． 故选：ABD． 7．（多选）（24-25高一下·海南省直辖县级单位·期中）在复平面内，复数，对应的向量分别为，则下列说法正确的是（    ） A．的实部与虚部相等 B． C．向量对应的复数为 D．若在复平面内对应的点位于第三象限，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据复数对应点计算判定C，D，根据复数运算及模长计算可判断选项A，B. 【详解】复数，对应的向量分别为， 则对应的，实部与虚部互为相反数，A选项错误； ，所以，B选项正确； 向量对应的复数为，C选项正确； 若， 在复平面内对应的点位于第三象限，则，则的取值范围为，D选项错误； 故选：BC 8．（多选）（25-26高一下·山东青岛·月考）若z为复数，则（   ） A．若，则为实数 B． C．若，则的最大值为 D．若，则在复平面内对应的点在第四象限 【答案】AC 【分析】由复数相等的定义即可判断A，举出反例代入计算，即可判断B，由复数的几何意义代入计算，即可判断CD. 【详解】对于A，设，则，若，则，即， 则为实数，故A正确； 对于B，若，则，，故B错误； 对于C，若，即，可得在复平面内对应点的轨迹为圆心，半径为的圆，原点到圆心的距离为，故的最大值为，故C正确； 对于D，因为，， 即，对应点在第二象限，故D错误； 9．（多选）（2025·重庆·三模）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．可能为 B． C．的实部与虚部之积不大于3 D．在复平面内对应的点可能是 【答案】BCD 【分析】设，可得.对于AD：根据复数的概念和几何意义分析判断即可；对于B：根据共轭复数结合复数乘法运算即可；对于C：利用基本不等式分析判断即可. 【详解】设，则， 可得，即. 对于选项A：若，即，不满足，故A错误； 对于选项B：，故B正确； 对于选项C：因为，即， 当且仅当时，等号成立， 所以的实部与虚部之积不大于3，故C正确； 对于选项D：若在复平面内对应的点是， 即，满足，故D正确； 故选：BCD. 10．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）（多选题）若复数为实数，则正整数值可以是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BD 【分析】根据复数的三角形式分析得即可. 【详解】， 由， 得，又为正整数， 检验各选项，可知当或时符合为正偶数的条件， 或4． 故选：BD. 11．（2025高三上·江西南昌·专题练习）若为虚数单位，复数在复平面中对应的点为，则的值是______. 【答案】 【分析】由题可知，再根据，即可得解. 【详解】由题可知， 则， ， 因此， 故答案为：. 12．（2024·四川·一模），若与关于复平面虚轴对称，则__________ ． 【答案】或或. 【分析】设，根据复数间关系即可求解. 【详解】设，则， 因为，所以，① 因为与关于复平面虚轴对称， 所以，② 由①②解得或， 所以当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时. 故答案为：或或. 13．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 【答案】1 【分析】利用复数的运算法则得，结合条件得，再利用复数和圆的几何意义，即可求解. 【详解】复数是纯虚数， ，，解得， ，其对应的点为， 为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上， 所以与之间的最小距离. 故答案为：. 14．（25-26高一下·全国·课后作业）设复数，则的模和辐角的主值分别为________． 【答案】32； 【分析】先将复数化成三角形式，再利用复数的乘方公式化简，即可求得复数的模与辐角主值. 【详解】因为 ， 所以复数的模为32，辐角的主值为． 故答案为：32；． 15．（25-26高一·全国·课后作业）÷()=_____. 【答案】 【分析】先复数化成三角形式，再利用乘方和除法运算，即可得到答案； 【详解】解：原式 ， 故答案为： 16．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）已知为复数，和均为实数，其中i是虚数单位. (1)求； (2)若复数是方程的一个解，求的值. (3)若在第四象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，依据题设，建立方程求出，即可求得z； （2）代入可得，求得，进而得到答案； （3）先求出，再根据题意建立不等式组求解即可. 【详解】（1）设，则为实数，所以. 为实数，所以， 所以. （2）因为复数是方程的一个解， 代入可得， 整理可得，解得，， 所以. （3）， 由在第四象限，得， 解得或， 故的取值范围为. 17．（24-25高一下·湖北武汉·期中）（1）计算： （2）若对于复数z，为其共轭复数，其满足，求，并指出z在复平面对应的点位于第几象限？ 【答案】（1）；（2），z在复平面对应的点位于第一象限. 【分析】（1）根据复数的运算性质解题即可； （2）设，，则，根据化简可得，然后求解即可. 【详解】（1）； （2）设，，则， 由可得，化简得， 所以，所以，，所以， 所以， 在复平面对应的点坐标为，位于第一象限. 18．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数． (1)若，求； (2)若||，且是纯虚数，求 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据复数的四则运算法则求解； （2）设，根据题意得到关于的方程组，求出的值即可． 【详解】（1） ∵复数， ∴； （2）设， ∵， ∴①， 又∵， ∴，②， 由①②联立，解得或， ∴或. 19．（25-26高一下·重庆·月考）已知复数z满足：为实数，且为纯虚数． (1)求z； (2)设，若在第二象限，求实数t的取值范围； (3)若复数z是方程的一个根，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）设，利用已知求得，可得z； （2）结合（1），利用在第二象限，可得t所满足的条件，进而求得实数t的取值范围； （3）利用实系数方程的根的性质可得，计算可求得的值． 【详解】（1）设． 因为为实数，所以，故， 又， 因为它是纯虚数，所以其实部为0，即，故． （2）由（1）知，所以其共轭复数为． 因此． 因为在第二象限，所以 由，得． 由，得，得． 综上，． （3）因为方程系数为实数，所以另一个根为． 于是． 故，，所以． 20．（25-26高一·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据复数三角表示的乘法和除法的运算法则，进行适当变形和整理逐一计算即可得出（1）~（3）的结果. 【详解】（1） （2） （3） 学科网（北京）股份有限公司 $