第14讲 复数的三角表示（知识点+4大题型+分层练习）-2024-2025学年高一数学考试满分全攻略同步备课备考系列（苏教版2019必修二）

第14讲 复数的三角表示 目录 题型归纳 1 题型01 复数的三角表示 2 题型02 复数乘、除运算的三角表示 3 题型03 三角表示下复数的几何意义 4 题型04 三角表示下复数的乘方与开方 4 分层练习 5 夯实基础 5 能力提升 8 知识点01复数的三角形式 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 4、复数的代数式与三角式互化 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 题型01复数的三角表示 【例1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（21-22高一下·广东珠海·期中）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（22-23高一下·河北石家庄·期末）1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得 ． 【变式3】（2022高一·全国·专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)． 题型02 复数乘、除运算的三角表示 【例2】（22-23高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【变式2】（21-22高二上·上海杨浦·期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 【变式3】（21-22高一下·湖北武汉·期中）已知复数，，为虚数单位． (1)若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值． 题型03 三角表示下复数的几何意义 【例3】（21-22高一下·福建宁德·期中）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1】（20-21高一下·上海浦东新·期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2】（20-21高一下·天津滨海新·期中）若复数，，则的辐角的主值为 ． 【变式3】（20-21高一下·福建漳州·期末）如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 . 题型04 三角表示下复数的乘方与开方 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（    ） A． B． C．1 D． 【变式1】（21-22高一下·浙江温州·期中）欧拉公式（是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.试用欧拉公式计算 . 【变式2】（20-21高一下·福建莆田·阶段练习），则 . 【变式3】（20-21高一下·上海·单元测试）已知复数，若（，且），则的最小值为 ． 【夯实基础】 一、单选题 1．（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 2．（20-21高一下·山西朔州·期中）已知复数则（    ） A． B． C． D． 3．（20-21高一下·江苏·期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 4．（21-22高一下·河北张家口·期末）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一下·江苏苏州·期中）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 6．（21-22高一下·福建三明·期末）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（    ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 7．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（   ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 8．（21-22高一下·湖北·期中）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 三、填空题 9．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 10．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 11．（21-22高一下·重庆江北·阶段练习）已知复数为虚数单位），则的最大值为 四、解答题 12．（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的代数形式化为三角形式： (1)； (2). 13．（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数表示成代数形式． (1)； (2)． 【能力提升】 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 2．（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（    ） A． B． C． D．0 4．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 5．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 二、多选题 6．（20-21高一下·福建福州·期中）下列命题正确的是（    ） A．若复数满足，则是纯虚数 B．若，互为共轭复数，则 C．是复数的三角形式 D．“复数为纯虚数”的充要条件为“” 7．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 8．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（   ） A．＋i B．＋i C．＋i D．＋i 三、填空题 9．（2024高一下·全国·专题练习） . 10．（21-22高一下·全国·单元测试）已知复数，，则 . 11．（23-24高一下·江苏淮安·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 12．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根． （1）设，则 ； （2）满足方程的复数的值所组成的集合为 ． 四、解答题 13．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) 14．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 15．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 16．（24-25高一上·浙江宁波·期中）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第14讲 复数的三角表示 目录 题型归纳 1 题型01 复数的三角表示 2 题型02 复数乘、除运算的三角表示 4 题型03 三角表示下复数的几何意义 8 题型04 三角表示下复数的乘方与开方 11 分层练习 14 夯实基础 14 能力提升 22 知识点01复数的三角形式 1、辅角的定义：设复数的对应向量为，以轴的非负半轴为始边，向量所在的射线（射线）为终边的角，叫做复数的辅角. 2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差的整数倍. 规定：其中在范围内的辅角的值为辅角的主值，通常记作 【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。 3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成的形式，其中是复数的模，是复数的辅角. 【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。 4、复数的代数式与三角式互化 将复数化为三角形式时，要注意以下两点： （1）， （2），，其中终边所在象限与点所在象限相同， 当，时， 每一个不等于零的复数有唯一的模与辅角的主值，并且由它的模与辅角的主值唯一确定。因此，两个非零复数相等当且仅当它们的模与辅角的主值分别相等。 题型01复数的三角表示 【例1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）复数的辐角的主值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据辐角主值的知识求得正确答案. 【详解】， 所以辐角的主值为. 故选：A 【变式1】（21-22高一下·广东珠海·期中）复数的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数的三角表示 【分析】根据复数的三角形公式可求解. 【详解】解： 故选：C. 【变式2】（22-23高一下·河北石家庄·期末）1748年，数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，得到公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学的天桥”，据此公式可得 ． 【答案】 【知识点】复数的三角表示 【分析】由已知公式直接计算即得. 【详解】， . 故答案为：. 【变式3】（2022高一·全国·专题练习）下列复数是不是三角形式？若不是，把它们表示成三角形式． (1)； (2)； (3)z3＝ －2(cos θ＋isin θ)． 【答案】(1)是三角形式． (2)不是三角形式， (3)不是三角形式，z3＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]． 【知识点】复数的三角表示 【分析】(1) 由复数的三角形式的特征判断即可； (2) 由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案； (3) 由复数的三角形式的特征判断，求出复数的模和辐角可得答案. 【详解】（1）解：符合三角形式的结构特征，是三角形式． （2）解：由“加号连”知，不是三角形式． ， 模，.复数对应的点在第三象限，所以取， 所以； （3）解：由“模非负”知，不是三角形式． 复平面上的点Z1(－2cos θ，－2sin θ)在第三象限(假定θ为锐角)，余弦“－cos θ”已在前，不需要变换三角函数名称，因此可用诱导公式“π＋θ”将θ变换到第三象限． 所以z3＝－2(cos θ＋isin θ)＝2[cos(π＋θ)＋isin (π＋θ)]． 题型02 复数乘、除运算的三角表示 【例2】（22-23高一下·江苏盐城·期末）欧拉公式（为自然对数的底数，为虚数单位）由瑞士数学家（欧拉）首先发现.它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被称为“数学中的天桥”，则下列运算一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】利用欧拉公式结合复数的指数运算可求得结果. 【详解】. 故选：C. 【变式1】（2024高一下·全国·专题练习）计算的结果为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】复数乘、除运算的三角表示 【分析】根据题意，结合复数三角形式的运算，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得 . 故选：A. 【变式2】（21-22高二上·上海杨浦·期末）已知复数､满足，若和的幅角之差为，则 . 【答案】 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示、求复数的模 【分析】分别设，，可得 ，由题意可得或，即可得，再代入计算即可求解. 【详解】因为，设，， 所以 由题意可知或， 当时，， ， 当时，， ， 综上所述：， 故答案为：. 【变式3】（21-22高一下·湖北武汉·期中）已知复数，，为虚数单位． (1)若在复平面内对应向量，将绕点O顺时针旋转得到向量对应的复数为，求； (2)若是关于x的方程的一个根，求实数m与n的值． 【答案】(1) (2)或 【知识点】复数乘、除运算的三角表示、复数范围内方程的根 【分析】（1）根据复数的三角形式以及复数乘法运算的三角表示即可求出，再根据复数代数形式的运算法则，模的计算公式即可求出； （2）根据方程的根与方程的关系，以及复数相等的概念即可列出方程组解出． 【详解】（1）依题意可知， ， ∴． （2）由条件可知：，整理得： ∵，∴解得：或 题型03 三角表示下复数的几何意义 【例3】（21-22高一下·福建宁德·期中）欧拉公式（为虚数单位，）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【知识点】三角表示下复数的几何意义、判断复数对应的点所在的象限 【分析】根据复数的几何意义，以及弧度制即可求解. 【详解】解：，又，为第二象限角，故 ，故在复平面内对应的点位于第二象限. 故选：B. 【变式1】（20-21高一下·上海浦东新·期末）设复数满足条件，则对应复平面上的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数的三角表示、判断复数对应的点所在的象限 【分析】设出复数的三角形式，利用复数的运算法则化简求解，即可判断出对应点所在的象限即可. 【详解】复数满足条件，所以可设 所以 所以 因为，所以，所以， 所以对应复平面上的点位于第四象限. 故选：D 【变式2】（20-21高一下·天津滨海新·期中）若复数，，则的辐角的主值为 ． 【答案】. 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数代数形式的乘法运算 【分析】首先求出，然后根据复数三角形式下的几何意义即可求出辐角主值. 【详解】 ， 所以的辐角的主值为. 故答案为：. 【变式3】（20-21高一下·福建漳州·期末）如果向量对应复数绕原点按顺时针方向旋转后再把模变为原来的倍得到向量，则对应的复数是 . 【答案】 【知识点】三角表示下复数的几何意义、复数乘、除运算的三角表示、复数的三角表示 【分析】先求出复数的三角形式，然后利用三角形式变换求解对应的复数 【详解】解：因为， 所以由题意可得对应的复数为 ， 故答案为： 题型04 三角表示下复数的乘方与开方 【例4】（2024高一下·全国·专题练习）复数，将复数z对应向量按逆时针方向旋转，所得向量对应的复数为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数乘、除运算的三角表示、复数的除法运算 【分析】由复数的除法运算得，进一步由复数乘法的几何意义即可运算求解. 【详解】，又将复数z对应的向量按逆时针方向旋转， ∴旋转后的向量对应的复数为. 故选：A. 【变式1】（21-22高一下·浙江温州·期中）欧拉公式（是虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关系.试用欧拉公式计算 . 【答案】 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方 【分析】由题设有，再由指数幂的运算性质及欧拉公式即可求值. 【详解】由题设， 所以，则. 故答案为： 【变式2】（20-21高一下·福建莆田·阶段练习），则 . 【答案】400 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、三角表示下复数的几何意义、复数乘、除运算的三角表示 【分析】将分子、分母化为复数的三角形式，根据复数乘除的几何含义，求的三角形式，即可求. 【详解】， 若，则， ∴. 故答案为：. 【变式3】（20-21高一下·上海·单元测试）已知复数，若（，且），则的最小值为 ． 【答案】7 【知识点】三角表示下复数的乘方与开方、复数的三角表示 【分析】根据复数的三角表示及三角形式下的乘方求得，然后根据的范围求得最小值. 【详解】复数，若 则， 则，，且 故的最小值为7， 故答案为：7. 【夯实基础】 一、单选题 1．（2023高一下·上海·专题练习）的三角形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用复数三角形式的意义求解即得. 【详解】，故B正确； 经检验，ACD都错误. 故选：B 2．（20-21高一下·山西朔州·期中）已知复数则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复数的辐角为即可求解. 【详解】由设复数的辐角为， 则， 又复数在复平面内对应的点为，在第二象限， 所以，即. 故选：D 3．（20-21高一下·江苏·期中）欧拉是瑞士著名数学家，他首先发现：（为自然对数的底数，为虚数单位），此结论被称为“欧拉公式”，它将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数和指数函数的关系.根据欧拉公式可知，（    ） A．1 B．0 C．-1 D． 【答案】C 【分析】利用欧拉公式和诱导公式求解. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 4．（21-22高一下·河北张家口·期末）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家、自然科学家莱昂哈德·欧拉发现的，被誉为数学上优美的数学公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出即可. 【详解】 ， 故选：B. 5．（22-23高一下·江苏苏州·期中）欧拉公式是由18世纪瑞士数学家､自然科学家莱昂哈德･欧拉发现的，被誉为数学上优美的公式.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按已知公式展开，由等式列出方程组，解出，进而求解. 【详解】 ， ， ， ，， 即，， . 故选：A. 二、多选题 6．（21-22高一下·福建三明·期末）设复数，其中i是虚数单位，下列判断中正确的是（    ） A． B． C．z是方程的一个根 D．满足最小正整数n为3 【答案】ACD 【分析】由共轭复数的定义写出，应用复数加法、乘方运算判断A、B；在复数域内求的根判断C；应用复数的三角表示有，即可判断最小正整数n判断D. 【详解】由题设，，则，， 所以A正确，B错误； 由的根为，故z是该方程的一个根，C正确； 由，则，故最小正整数n为3时，，正确. 故选：ACD 7．（2024高一下·全国·专题练习）已知复数z对应的向量为，复数对应的向量为，复数对应的向量为，则下列说法正确的是（   ） A．将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到 B．将的模扩大为原来的2倍，再顺时针旋转可得到 C．将的模缩小为原来的，再逆时针旋转可得到 D．将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到 【答案】AD 【分析】根据题意，化简得到，，结合选项，即可求解. 【详解】因为， ， 所以，将的模扩大为原来的2倍，再逆时针旋转可得到，将的模缩小为原来的，再顺时针旋转可得到. 故选：AD. 8．（21-22高一下·湖北·期中）任何一个复数（其中，i为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式.法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理.根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A． B．当，时， C．当，时， D．当，时，若n为偶数，则复数为纯虚数 【答案】AC 【分析】根据复数的相关定义及性质，逐项分析即可得出答案. 【详解】对于复数有， ，而，所以选项A正确； 根据复数的三角形式，时， 此时，，选项B错误； 时， 根据棣莫弗定理，，所以选项C正确； 时，，n为偶数时， 设, ， 所以k为奇数时，为纯虚数；k为偶数时为实数，选项D错误. 故选：AC. 三、填空题 9．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 10．（22-23高一下·上海杨浦·期末）已知为虚数单位，，则的辐角主值为 . 【答案】 【分析】根据复数的三角表示分析求解. 【详解】因为， 所以的辐角主值为. 故答案为：. 11．（21-22高一下·重庆江北·阶段练习）已知复数为虚数单位），则的最大值为 【答案】2 【分析】将复数带入，再利用模长公式化简即可得出答案. 【详解】由题意知; ; 当时，. 故答案为：2. 四、解答题 12．（2024高一下·江苏·专题练习）把下列复数的代数形式化为三角形式： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】运用复数的三角形式公式计算即可. 【详解】（1）由题意知，， 在复平面内对应的点在第三象限，设为辐角主值， 所以，即， 所以. （2）由题意知，， 在复平面内对应的点在第四象限，设为辐角主值， 所以，即， . 13．（2024高一下·全国·专题练习）把下列复数表示成代数形式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据特殊角的三角函数值化简即可. 【详解】（1）； （2）． 【能力提升】 一、单选题 1．（2024高一下·全国·专题练习）－6的辐角的主值为（　　） A．0 B． C．π D． 【答案】C 【分析】根据代数形式和三角形式之间的转化公式即可求解. 【详解】，辐角的主值. 故选：C. 2．（20-21高一下·重庆渝中·期中）复数的辐角主值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式化简可得出复数的辐角主值. 【详解】 ， 因此，复数的辐角主值为. 故选：D. 3．（2024高一下·全国·专题练习）已知(a，b∈R，且ab≠0)，复平面内，把对应的向量绕原点分别按逆、顺时针方向旋转，得向量，，则，，所对应的复数之和等于（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】 利用复数的三角表示可得出向量，对应的复数，可得结果. 【详解】易知向量，对应的复数分别为， ； 所以 ； 故选：D 4．（23-24高一下·河南安阳·阶段练习）法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】化为三角形式，根据棣莫弗定理求解. 【详解】. 故选：B 5．（23-24高一下·上海松江·期末）瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被举为“数学中的天桥”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B．复数在复平面内对应的点位于第二象限 C． D．若在复平面内分别对应点，则面积的最大值为 【答案】D 【分析】代入即可判断A；代入即可判断B；对等式右边进行代换化解即可判断C；代入，再计算相应相应的模，再利用三角形面积公式即可判断D. 【详解】对于A，，其虚部为1，A错误； 对于B， ，复数在复平面内对应的点位于第一象限，B错误； 对于C， ，故C错误； 对于D，，， ，， 因此的面积为：，面积的最大值为，D正确. 故选：D 二、多选题 6．（20-21高一下·福建福州·期中）下列命题正确的是（    ） A．若复数满足，则是纯虚数 B．若，互为共轭复数，则 C．是复数的三角形式 D．“复数为纯虚数”的充要条件为“” 【答案】ABC 【分析】根据复数的定义判断，可设进行求解判断． 【详解】设，，则， 由得或，若，则不成立， 所以，，，为纯虚数，A正确； 若，则，，B正确； ，是复数的三角形式，C正确； 当时，不是纯虚数，D错误． 故选：ABC． 7．（23-24高一下·湖北·期中）已知复数，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D．若，且，则 【答案】BCD 【分析】对于B,C,D选项，，可以选设复数的代数形式或者三角形式，利用复数的运算法则和共轭复数的定义运算判断结果；对于A选项，可以考虑举反例说明其错误. 【详解】对于A项，当时，而故A项错误； 对于B项，设其中， 则，则； 而 ，故B项正确； 对于C项，设其中， ，则，而，故C项正确； 对于D项，设其中，,依题，不全为零， 则由可得，化简得 ，即 因不全为零，不妨设，则有，即, 故得，即，故D项正确. 故选：BCD. 8．（2024高一下·全国·专题练习）在复平面内，已知正三角形ABC的顶点A，B对应的复数为2＋i，3＋2i，则顶点C对应的复数可能是（   ） A．＋i B．＋i C．＋i D．＋i 【答案】CD 【分析】根据题意，得到对应的复数为，得到对应的复数为或或，结合＝＋，即可求解. 【详解】由正的顶点对应的复数为，可得对应的复数为， 则对应的复数为，或， 所以对应的复数为或， 即或. 故选：CD． 三、填空题 9．（2024高一下·全国·专题练习） . 【答案】 【分析】借助复数的三角表示的运算法则计算即可得. 【详解】 . 故答案为：. 10．（21-22高一下·全国·单元测试）已知复数，，则 . 【答案】 【分析】设出复数的三角形式，根据复数的三角形式运算即可得解. 【详解】因为， 可设， 所以：， 所，则. 故答案为：1 11．（23-24高一下·江苏淮安·期末）欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将复数、指数函数与三角函数完美联系起来的一个公式，e是自然对数底数，i是虚数单位，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，被誉为“数学中的天桥”．利用欧拉公式解决问题， ；关于x的方程，的解为 ． 【答案】 ； 或或或或或或或或． 【分析】将代入欧拉公式，可以求出，将2x看成一个整体，利用三角恒等变换可得，结合可以求出结果． 【详解】由题意，； 由， 得， 则 ， 即， 即， 即， 即， 解得或， 又，， 故或或或或或或或或， 故x的取值集合为 故答案为1，或或或或或或或或． 12．（23-24高一下·河南洛阳·期末）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式．其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线OZ）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式．②被称为欧拉公式，是复数的指数形式．③方程（n为正整数）有个不同的复数根． （1）设，则 ； （2）满足方程的复数的值所组成的集合为 ． 【答案】 【分析】（1）根据给定的定义，转化为复数的三角形式求解即得. （2）设，利用指数运算，结合定义求得，进而求出得解. 【详解】（1）依题意，， 所以. （2）设，则， 因此，，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对已知条件的理解辨析，以及复数乘法的计算. 四、解答题 13．（23-24高一下·福建泉州·阶段练习）计算： (1)； (2)； (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）直接利用复数的四则运算求解； （3）利用复数的三角运算求解. 【详解】（1）； （2） ； （3） 14．（23-24高一下·安徽马鞍山·期中）已知：①任何一个复数都可以表示成的形式.其中是复数的模，是以轴的非负半轴为始边，向量所在射线（射线）为终边的角，叫做复数的辐角，叫做复数的三角形式.②方程（为正整数）有个不同的复数根； (1)求证：； (2)设，求； (3)试求出所有满足方程的复数的值所组成的集合. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据题意，由复数的四则运算代入计算，即可证明； （2）根据题意，将复数化为复数的三角形式，然后结合三角形式的运算，代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由复数的三角形式的运算代入计算，结合终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）证明： . （2）依题意，， 所以 . （3）设，则， 因此，解得， 由终边相同的角的意义，取，则对应的依次为， 因此对应的依次为， 所以所求的集合是. 15．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）（1）写出复数的三角形式． （2）在复数集内解方程． （3）如图，在复平面的上半平面内有一个等边三角形，点所对应的复数是，求顶点所对应的复数的代数形式． 【答案】（1）；（2），，，，，；（3）． 【分析】（1）根据复数三角形式定义直接求解； （2）根据复数定义直接求解； （3）作出图形，根据为等边三角形，将点对应的复数表示为，利用复数旋转可得出点所对应的复数为，利用两角和的正弦、余弦公式求出的正弦值和余弦值，即可得出点所对应的复数． 【详解】（1）， （2）因为，所以， 即 所以 解得，，，，， （3）如图，由题意可知，为等边三角形． 又，其中为的辐角． 将绕原点按逆时针方向旋转可得， 则， 又，，∴， ， ∴， ∴所对应的复数为． 16．（24-25高一上·浙江宁波·期中）我们知道复数有三角形式，其中为复数的模，为辐角主值.由复数的三角形式可得出，若，，则. 其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍. 已知在复平面的上半平面内有一个菱形，其边长为，，点所对应的复数分别为，，. (1)若，求出，； (2)如图，若，以为边作正方形. （ⅰ）若在下方，是否存在复数使得长度为，若存在，求出复数；若不存在，说明理由； （ⅱ）若在上方，且向量，求证：. 【答案】(1)， (2)（ⅰ）存在，；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形式运算的几何意义与运算法则求复数，. （2）（ⅰ）设，，借助复数三角形式的运算，用表示出点的坐标，求的长度，根据长度为，看看是否存在即可. （ⅱ）根据，把表示成与有关的三角函数，结合角的取值范围，求函数值域即可. 【详解】（1）连接，因为四边形，， 所以，又，所以，即， 因为， 所以， ， 所以，. （2）设，，则， 设对应的复数为，则， （ⅰ）设对应的复数为，， 设对应的复数为，所以， 所以， 由已知可得， 所以，又，所以，所以. （ⅱ）设对应的复数为， 所以， 所以，又，，， 所以 所以， 所以，所以，又， 所以，所以的范围为. 【点睛】方法点睛：求函数最值的问题，常用的方法有： （1）转化为二次函数在给定区间上的值域，求解； （2）利用基本（均值）不等式求解； （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解； （4）分析函数的单调性，利用单调性求值域. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司6 学科网（北京）股份有限公司 $$