13.1.1 棱柱、棱锥和棱台-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

13.1.1 棱柱、棱锥和棱台 一、空间几何体的相关概念 1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。 例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等。 2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体. （1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面； （2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱； （3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。 二、棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 【注意】 （1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。 （2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 三、棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。 棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 四、棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 题型一 棱柱的几何特征 【例1】（2023春·全国·高一专题练习）观察下面的几何体，哪些是棱柱？（ ） A．①③⑤ B．①②③⑤ C．①③⑥ D．③④⑥ 【变式1-1】（2022秋·山东潍坊·高二昌邑市第一中学校考阶段练习）下列命题不正确的是（ ） A．正方体一定是正四棱柱 B．底面是正多边形的棱柱是正棱柱 C．有相邻两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱 D．平行六面体的六个面均为平行四边形 【变式1-2】（2022秋·内蒙古呼和浩特·高二呼市二中校考期中）（多选）一个棱柱是正四棱柱的条件是（ ） A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．底面是菱形的直四棱柱，且对角线长度相等 D．底面是正方形，每个侧面是全等矩形的四棱柱 【变式1-3】（2022·高一单元测试）满足下列条件的棱柱中，一定是直棱柱的是（ ） A．底面是矩形 B．有一个侧面与底面垂直 C．有一个侧面是矩形 D．相邻两个侧面是矩形 题型二 棱锥的几何特征 【例2】（2022·高一课时练习）下面图形中，为棱锥的是（ ） A．①③ B．①③④ C．①②④ D．①② 【变式2-1】（2023春·高一课时练习）对于棱锥，下列叙述正确的是（ ） A．三棱锥共有三条棱 B．四棱锥共有四个面 C．五棱锥的顶点有五个 D．六棱锥有一个底面 【变式2-2】（