专题12.2 复数的运算重难点题型讲义（2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题12.2 复数的运算重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 复数加减法的代数运算 题型二 复数加减法几何意义的运用 题型三 复数代数形式的乘法运算 题型四 复数的乘方 题型五 复数范围内方程的根 题型六 复数的除法运算 题型七 根据复数乘法运算结果求参数 题型八 根据除法运算结果求参数 题型九 共轭复数的概念及计算 题型十 求共轭复数的复数特征 拓展训练一 复数的四则运算 拓展训练二 共轭复数的运算 知识点一： 复数的加、减法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 4、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 5、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 6、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南·月考）已知复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据共轭复数的概念、复数相等及复数的加法运算法则即可求解. 【详解】设，则，所以由题可得， 则，解得，故，其虚部为. 故选：A. 2．（2025高三·全国·专题练习）计算：______． 【答案】 【分析】根据复数的加法运算计算即可. 【详解】, 故答案为：. 知识点二： 复数的乘、除法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 5、规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 【即时训练】 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）复数 满足 ，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数的除法求，再求，确定其虚部即可. 【详解】由题意， 则. 所以的虚部为. 故选：B 2．（2025·江苏·一模）已知为虚数单位，复数，，且，则__________． 【答案】 【分析】利用复数的乘除运算化简，可得． 【详解】，， 故答案为： 【经典例题一 复数加减法的代数运算】 【例1】（2025高二上·河南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算即可求解. 【详解】， 故选：D. 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】根据题意，结合复数的加法与减法的运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】（1）解：由复数的运算法则，可得. （2）解：由复数的运算法则，可得. （3）解：由复数的运算法则，可得. （4）解：由复数的运算法则，可得 1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 2．（25-26高三上·山西运城·期中）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】计算出后，利用模长的计算公式即可求解. 【详解】由，则，则. 故选：B. 3．（24-25高一下·浙江·期中）已知，复数，，且，若，则的最小值______. 【答案】 【分析】根据复数加减法则运算可得，再由二次函数性质计算可得当时取得最小值. 【详解】由可得，即可得； 因此； 当时，取得最小值. 故答案为： 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复数的四则运算法则进行计算即可. 【详解】（1）； （2） ； （3）； （4） . 【经典例题二 复数加减法几何意义的运用】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解. 【详解】因为，又向量分别表示复数， 所以表示复数， 所以. 故选：B 【例2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 【答案】(1)-2-i，作图见解析 (2) 【分析】（1）利用复数的减法运算和复数的几何意义求解； （2）利用复数的模的运算求解. 【详解】（1）解：复数． 如图，． （2）． 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 2．（24-25高三上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆. B．复数的虚部为. C．若，则复平面内对应的点位于第二象限. D． 【答案】D 【分析】对于A：由减法的几何意义判断出的轨迹是线段的垂直平分线，故A选项不正确； 对于B：利用复数的定义直接判断； 对于C：利用复数的几何意义直接判断； 对于D：直接计算可得. 【详解】对于A：表示到和两点的距离相等，故的轨迹是线段的垂直平分线，故A选项不正确. 对于B：的虚部为，故B选项错误. 对于C：，对应坐标为在第三象限，故C选项错误. 对于D：，故D选项正确. 故选：D 3．（24-25高三上·上海浦东新·月考）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 【答案】8 【分析】表示以为圆心，3为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可. 【详解】解：因为且， 所以，根据复数模的几何意义，表示以为圆心，3为半径的圆， 所以，表示圆上的点和点的距离， 因为圆心到点的距离为， ， 故答案为： 4．（2026高一·全国·专题练习）设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，利用几何图形求解该圆上点到原点距离的范围即为的取值范围； （2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，利用几何图形求解即可. 【详解】（1）满足不等式的复数所对应的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆内，如图所示. （1）解法代表满足已知圆及圆内点到原点的距离，因此距离最大值为圆心到原点的距离5加半径1，最小值为圆心到原点的距离5减半径1，即. 解法2：由不等式，得，即，解得. （2）（2）代表满足已知圆及圆内点到的距离，所以点到点的距离为，所以，即最大值为6. 【经典例题三 复数代数形式的乘法运算】 【例1】（2026·陕西咸阳·二模）设，若复数是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 由题意，，所以． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的加减运算和乘法运算法则求解即可． （2）利用复数的乘法运算法则和加减运算法则求解即可. 【详解】（1）. （2）． 1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】先将复数 展开，再根据纯虚数的定义列方程求解. 【详解】， 因为是纯虚数，所以实部为0，虚部不为0， ，解得 . 故选：A 2．（多选）（24-25高一下·甘肃白银·期末）下列各式的运算结果为纯虚数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据复数的乘方运算法则求解复数，然后利用纯虚数的概念判断各个选项即可. 【详解】A项，，2不是纯虚数； B项，，不是纯虚数； C项，，2i是纯虚数； D项，，i是纯虚数. 故选：CD 3．（2025高一·全国·专题练习）设是复数，且，则的最大值是______，最小值是______. 【答案】 3 0 【分析】先设，再结合复数的乘法运算化简，再计算模长，结合二次函数的值域得出最值即可. 【详解】 设， 因为，所以，且， 则 ， 从而 . 故当时，取得最大值9，即的最大值为3； 当时，取得最小值0，即的最小值为0. 故答案为：3；0. 4．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知i为虚数单位，复数满足：，其中． (1)若为实数，试问当取什么值时，复数为实数； (2)若为实数，试问当取什么值时，复数在复平面内对应的点位于虚轴上： (3)若为纯虚数，试问当取什么值时，复数也为纯虚数． 【答案】(1)或； (2) (3). 【分析】（1）由虚部为0，求解值； （2）由实部为0且虚部不为0，列式求解值； （3）设，整理复数的实部与虚部，令实部为0且虚部不为0，列式求解值． 【详解】（1）由题可知，复数， 当为实数时，则虚部为， 由，解得：或； （2）复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则， 解得：； （3）设，为实数， 所以 ， 因为复数为纯虚数，所以， 解得：，所以. 【经典例题四 复数的乘方】 【例1】（2026高一下·全国·专题练习）已知i为虚数单位，则（   ） A．i B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据复数的除法及乘法运算化简求值. 【详解】， 故选：D． 【例2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，且是实数. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)或， (2) 【分析】（1）首先化简，根据为实数得到，再由余弦函数的性质计算可得； （2）由（1）可得，即可得到，再根据复数的乘方法则计算可得. 【详解】（1）因为， 所以， 因为是实数，所以，则， 所以或，， 解得或，. （2）当，时， 若为偶数，则， 若为奇数，则， 所以； 同理当，时，， 又， 所以当时， 则 ； 当时， 则 ； 故. 1．（25-26高三上·广东·月考）设，若的实部为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】设，根据题意可得，结合化简，即可求得答案. 【详解】设，则， 的实部为1，故，则，， 而 ， 当时，取最小值3，即取最小值， 故的最小值为， 故选：C 2．（多选）（24-25高一下·广西河池·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若是实数，则与的虚部互为相反数 B．若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】A.利用复数的运算求解；B.利用复数相等求解；C.由复数不能比较大小求解；D.取判断. 【详解】设，所以，所以，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 取，此时，满足，但与不能比较大小，故C错误； 若，满足，但是，故D错误． 故选：AB． 3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则__________． 【答案】 【分析】结合，利用周期性即可求解． 【详解】由题意可知，又因为， 所以． 4．（24-25高一下·山东菏泽·月考）计算： (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数的乘法运算计算得解. （2）利用复数乘除法化简和，再代入所求式，结合复数乘方运算求解. 【详解】（1） ； （2）因，， 则 . 【经典例题五 复数范围内方程的根】 【例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为方程的判别式， 所以该方程有虚数根， 所以， 因此. 【例2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）（1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由纯虚数的概念即可列式求解； （2）由韦达定理即可求解. 【详解】（1）若复数为纯虚数， 则，解得； （2）关于的实系数一元二次方程的一个根为， 则另一个根为， 所以由韦达定理得，解得. 1．（2025高三·全国·专题练习）在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B． C． D．8 【答案】A 【分析】设，代入方程后利用复数的运算法则列方程组求得，即可得解. 【详解】设，代入方程： 展开得： 实部与虚部分别为零： 由虚部： 情况1：（实数解）代入实部：，解得或，即， 情况2：（虚数解）则，代入实部： 即， 化简得：，即（无实数解）， 仅有2个实数解（无虚数解），故解的个数为2， 故选：A. 2．(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】将已知根代入方程，利用复数为的条件列方程组求解即可． 【详解】因为是关于的实系数方程的一个根，所以， 整理得，则，解得． 故选：BD. 3．（25-26高三下·上海·月考）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】因为实系数的一元二次方程若有虚数根，则两根共轭，可设两根分别为和，则，结合，再由可求b的取值范围. 【详解】由题意可知实系数方程有两个虚数根， 设实系数一元二次方程的两个虚数根为和， 则. 所以，则， 实系数方程有虚数根， 则, 则实数的取值范围为. 4．（25-26高三上·安徽·期中）已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）因为 由是纯虚数得，解得. 所以当是纯虚数时，. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 【经典例题六 复数的除法运算】 【例1】（2026·山东东营·模拟预测）若，则复数（   ） A．1 B． C．i D． 【答案】C 【详解】由题意可得，即， 化简可得. 【例2】（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用复数的乘法可求乘积； （2）利用复数的减法可求差； （3）利用复数的除法可求商. 【详解】（1）. （2）. （3）. 1．（2026·云南昭通·模拟预测）设i为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的四则运算及模的运算即可得解. 【详解】由题意可化简得，则， 故选：D. 2．（25-26高一下·重庆·月考）若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的运算求出z，再由复数的定义得出结论. 【详解】由题意，虚部为. 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）设是虚数单位，__________． 【答案】/ 【分析】根据复数的除法的运算以及复数的周期性即可求解. 【详解】原式． 故答案为： 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数满足 (1)求复数 (2)若复数是关于的方程的一个根，求，的值 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复数除法运算及复数模长运算即可； （2）把代入方程化简，再利用复数相等条件列方程组求实数，的值. 【详解】（1）因为， 所以. （2）因为复数是关于的方程的一个根， 所以， 所以，解得. 【经典例题七 根据复数乘法运算结果求参数】 【例1】（2026·全国·模拟预测）已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】利用复数的乘法运算化简复数，然后根据实部和虚部的定义求解即可. 【详解】由复数的乘法运算可知，， 因为复数的实部与虚部的和为12，所以，解得，. 故选：B. 【例2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，虚数满足. (1)求； (2)若，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）解方程即可求解； （2）先化简，再根据可求解. 【详解】（1）易解得，所以； （2）由（1）可知，， 所以， 又，所以. 1．（24-25高三上·陕西榆林·月考）已知（，为虚数单位），则复数（    ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】由复数的乘法运算结合复数相等的定义求出，，再由模长公式得出. 【详解】，即，根据复数相等的充要条件，得且，解得，，所以． 故选：C． 2．（多选）（25-26高二上·云南保山·期末）若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数的乘法运算计算即可. 【详解】因为，所以， 所以，解得或， 则或． 3．（24-25高一下·广西·月考）已知，则的值为___________． 【答案】 【分析】根据复数模长的性质与计算求解即可. 【详解】，则，解得，因为，所以． 故答案为：4 4．（25-26高一·全国·随堂练习）设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数． 【答案】. 【分析】先化简复数，再化简复数，再由的虚部减去其实部，即可求得，再将代入求解即可. 【详解】由已知，， ∴ ∴复数的实部为，虚部为， 由已知， ∵，∴解得. ∴复数的实部为，虚部为， ∴复数. 【经典例题八 根据除法运算结果求参数】 【例1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】首先变形求出的表达式，再根据纯虚数的定义求解即可. 【详解】∵，， 因为为纯虚数， 故选：D 【例2】（24-25高一·全国·随堂练习）已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值. 【答案】. 【分析】将化简后，令实部与虚部相等求解即可. 【详解】∵， ∴ ∵的实部与虚部相等， ∴， 解得. 1．（2025·辽宁·一模）复数，且，则的值是 A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以，即，由此可得，结合可解之得，应选答案A． 2．（多选）（24-25高一下·河北沧州·期中）已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 【答案】ABD 【分析】根据复数的乘方运算结合复数概念判断A；根据复数的除法运算判断B；举反例判断C；根据复数的共轭复数概念以及复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A选项，令，a，，则， 因为，且，所以，则，故，故A正确； 对于B选项，令，则由，得， 所以，故B正确； 对于C选项，令，，此时，，，故C错误； 对于D选项，令，， 则，所以， ，故D正确. 故选：ABD 3．（24-25高三上·天津南开·期中）已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则____________． 【答案】 【分析】根据复数的除法运算法则，化简复数，根据复数的概念即可求解. 【详解】 因为复数为纯虚数，所以，. 故答案为：-3. 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，根据复数除法运算和加减法运算化简，再根据复数的分类列出方程组，解之即可； （2）根据，可得等式左边化简后得复数虚部等于零，可得出关系，再根据复数的模的计算公式即可得解. 【详解】（1）设， 由，得， 即，整理得， 因为，即， 所以，解得， 所以； （2）由（1）结合， 可得，所以， 所以. 【经典例题九 共轭复数的概念及计算】 【例1】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知，其中为虚数单位，则（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【详解】，则， ． 【例2】（24-25高一下·安徽·月考）已知复数， ，其中 . (1)若为纯虚数，求b的值; (2)若与互为共轭复数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据纯虚数的定义求出的值，再将化简， （2）结合共轭复数的性质求出的值，进而求出的值. 【详解】（1）已知为纯虚数，则可得 解，可得，此时，满足条件. 所以. （2）对进行化简， ， 因为与互为共轭复数，且， 所以.解得，则. 1．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由复数的乘法、除法运算结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】， 所以， 所以， 故选：A 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的四则运算及共轭复数的概念求解即可. 【详解】因为， 所以复数的共轭复数为. 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数z满足，则_____________． 【答案】2 【分析】化简等式可得，由与为共轭复数，可得即可求解. 【详解】由，得，所以，因为与为共轭复数，所以，因此． 故答案为：2 4．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可求解； （2）（i）由已知虚部为0，得到的值，利用韦达定理即可求解；（ii）由已知两根为共轭复数，设出两根列方程组求出两根，利用韦达定理即可求解. 【详解】（1）因为为纯虚数，所以，所以； （2）（i）因为两个根都是实数，所以的虚部为， 所以，解得或， 当时，，当时，， 所以方程的两个根为和， 所以，； （ii）因为两个根都是虚数，所以两根为共轭复数， 设两根分别为， ，且， 所以，解得或， 所以，或，， 所以，. 【经典例题十 求共轭复数的复数特征】 【例1】（24-25高二下·河北承德·月考）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据复数除法运算，化简复数，再求其共轭复数. 【详解】， 所以. 故选：A 【例2】（24-25高一下·上海长宁·期末）关于的方程（）的两个根为，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】（1）由得到，即可求解； （2）分别讨论方程有两实数根或方程有两虚数根，即可求解. 【详解】（1）由得方程有一对共轭复数根，所以， 所以，所以. （2）①当，即时，方程有两实数根， 所以，， 则， 解得； ②当，即时，方程有两虚数根， 即，不妨设，； 则 解得； 综上：实数的值为或． 1．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的运算性质，化简得到，即可求解. 【详解】由复数的运算性质，可得，则， 所以，所以. 2．（2025·河南·模拟预测）已知，复数的共轭复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算和共轭复数的概念可得选项. 【详解】， 复数的共轭复数在复平面内对应的点是，在第一象限. 故选：A. 3．（24-25高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 【答案】1 【分析】根据条件等式化解复数，再求其共轭复数及其虚部. 【详解】， 所以，所以的共轭复数的虚部是1. 故答案为：1 4．（24-25高一下·浙江温州·期末）在复平面内，复数，对应的点分别为，. （1）求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【答案】（1）． （2），． 【分析】（1）利用复数的运算法则，结合共轭复数的定义，即可求解； （2）根据已知条件，可得实系数的一元二次方程的两虚根为共轭复数，再结合韦达定理，即可求解． 【详解】（1）复数，对应的点分别为，， ，， ， ． （2）是关于的方程的一个根 易知也为方程的一个根， ，， ，． 【拓展训练一 复数的四则运算】 【例1】（24-25高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设复数,再计算即可求出复数. 【详解】设，则, 所以, 所以, 所以. 故选：A. 【例2】（25-26高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数的四则运算即可直接求解； （2）由复数的四则运算即可直接求解. 【详解】（1） ； （2）. 1．（25-26高三下·山东菏泽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】根据复数的除法运算求出，再由共轭复数的概念得到，从而解出． 【详解】因为， 所以，即． 故选：A． 2．（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）设为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 【答案】AD 【分析】通过反例可说明BC错误；设，，根据模长运算和复数乘法运算可分析得到AD正确. 【详解】对于A，设，，则， ，即，，A正确； 对于B，令，，则，此时，B错误； 对于C，令，，则，此时，C错误； 对于D，设，，则， ，即，则； 若，则成立，此时； 若，，由知：；由知：；此时； 同理可知：当，时，； 若，，由得：，，此时； 综上所述：若，则或，D正确. 故选：AD. 3．（25-26高一下·河北唐山·月考），则________. 【答案】 【详解】由已知， 所以 . 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用复数的乘法法则及复数相等的条件列式求解即可. （2）利用除法运算化简，根据纯虚数的概念知，则然后根据的周期性求和即可. 【详解】（1）因为，，， 所以，即， 所以，解得实数a的值为2. （2）由题意得， 因为是纯虚数，所以，解得或， 又因为a是正实数，所以，所以， 所以 【拓展训练二 共轭复数的运算】 【例1】（25-26高二上·广西南宁·开学考试）若．则 =（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算，再用复数模公式即可算出的值. 【详解】因为，所以, 所以. 故选：D． 【例2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)0 (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义即可得解； （2）根据共轭复数的概念及复数的乘法运算化简求解即可. 【详解】（1）为纯虚数，则， 解得， 所以的值为0； （2）由可得， 所以， 解得. 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先将已知等式进行化简求出，再求出的共轭复数即可. 【详解】已知，等式两边同时乘以得到. 将右边展开，移项可得，即. 且.所以.则 故选：C. 2．（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）已知都是复数，则以下命题是真命题的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则是实数 D．若，则 【答案】AC 【分析】由复数的运算可知A正确；通过举例，可说明BD错误；由复数共轭的概念和加法运算可判断C. 【详解】若，则或，故A项正确； 若，则，所以，故B，D项错误； 若，则是实数，故C项正确， 故选：AC. 3．（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 【答案】 【分析】借助复数运算法则求出该复数后利用共轭复数定义即可得. 【详解】，故复数的共轭复数为. 4．（25-26高一下·全国·期中）（1）已知，且（i为虚数单位），求复数的虚部． （2）已知，（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数的值． 【答案】（1）1；（2） 【分析】（1）利用复数模及共轭复数的意义，结合复数相等求出，再利用复数除法运算求解. （2）利用除法运算，结合纯虚数的定义列式求解. 【详解】（1）设，代入方程， 得出， 因此，解得， 则，复数，所以所求虚部为1． （2），且为纯虚数，则且，所以． 1．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）设为虚数单位，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据性质化简，再判断选项. 【详解】 , 所以 故选：A 2．（25-26高三下·北京·月考）若是虚数单位，计算复数（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 3．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，结合列方程求出的值. 【详解】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先应用复数的除法及乘法计算化简得出虚部即可. 【详解】由于．故其虚部为． 故选：B. 5．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】， 所以 的共轭复数为 . 6．（多选）（25-26高三上·云南·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据复数的运算求解即可． 【详解】， ；；； ． 故选：ABD． 7．（多选）（24-25高一下·安徽·月考）设z是复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．必是实数 【答案】CD 【分析】对于AB，举反例即可判断；对于CD，由模的计算公式、复数加法和乘法验算即可. 【详解】对A，取，则，A错． 对B，取，则，B错． 对C，设，则，因此，C对． 对D，设，则，因此为实话，D对． 故选：CD． 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为 【答案】BD 【分析】根据复数的运算法则化简复数，结合复数的基本概念，复数的乘方及模的运算逐项判定即可. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B正确； C选项，z的共轭复数为，C错误； D选项，z的虚部为－1，D正确. 故选： 9．（多选）（24-25高一下·安徽·期中）设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】设，根据共轭复数的定义，复数相等，复数模的定义，复数除法运算逐项判断即可． 【详解】设，则， 对A，，故A正确； 对B，，故B正确； 对C，或，故C不正确； 对D，，故D正确； 故选：ABD． 10．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若，则 C．复数的共轭复数为 D．关于复数的方程（）有实数根，则 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合复数的运算及性质，依次分析选项是否正确，即可得答案． 【详解】设，，则为实数，A选项正确． 设，，则，正确． ，其共轭复数是，C选项错误． 设是方程的实根， 则，，．D选项正确． 故选：ABD． 11．（24-25高二下·云南昆明·期末）设是虚数单位，则复数等于______． 【答案】 【分析】利用复数四则运算法则计算出结果. 【详解】复数． 故答案为：． 12．（2024高一下·全国·专题练习）实数x，y满足，且，则的值是________. 【答案】1 【分析】直接根据复数相等列式计算即可. 【详解】. 因为， 所以，解得 所以. 故答案为：. 13．（2026·上海松江·模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则__________. 【答案】 【分析】根据题意，利用复数的运算法则，求得，得到，进而得到答案. 【详解】由复数满足，可得， 则，所以. 14．（24-25高一下·山东济南·期中）已知复数满足为虚数单位，则复数的虚部为__________. 【答案】-1 【分析】根据复数的计算规则先求解复数z，再写出复数z的虚部即可. 【详解】设 解得 所以复数z的虚部为 故答案为：. 15．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，是复数的共轭复数，则复数的虚部等于_________． 【答案】 【分析】根据复数的运算法则化简求出即可得出结果. 【详解】根据题意，， 则， 其虚部为． 故答案为： 16．（24-25高一下·江苏·月考）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是实数，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别化简，进而可得，根据纯虚数的概念列出方程求解． （2）由（1）可得，根据实数的概念列出方程求解，再由复数的模的计算公式求解即可． 【详解】（1）， ， 所以， 因为是纯虚数，所以，解得. （2）由（1）知，， 因为为实数，所以，解得， 所以 所以． 17．（25-26高一下·全国·月考）（1）计算：； （2）已知，求的模． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用复数代数形式的乘除运算以及乘法运算法则计算， （2）化简后结合模长定义即可求解. 【详解】（1）原式． （2）， 的模为． 18．（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程根的特征结合韦达定理计算求参； （2）应用复数乘法计算结合纯虚数定义计算求参. 【详解】（1）由复数是实系数一元二次方程的一个根， 得该方程的另一个实根为，因此， 所以. （2）依题意，， 由为纯虚数，得，解得 19．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)． (1)求实数的值; (2)若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，可得，再由共轭复数及复数乘法计算得解. （2）利用方程根的意义，结合复数乘方运算、复数相等求解即得. 【详解】（1）依题意，点在第四象限，即，由，得，即， 所以. （2）由（1）知，，由复数是关于的方程的根， 得，整理得，而， 因此，解得， 所以. 20．（24-25高一下·安徽·月考）设a是实数，复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限． (1)求a的取值范围； (2)若a取整数，且复数满足，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由复数乘法、复数的几何意义即可求解； （2）由题意得，由待定系数法即可求解. 【详解】（1）因为， 所以，且，解得． 故a的取值范围是． （2）因为，且a取整数，所以． 设，则．代入得， ，即， 因此，且，解得． 故． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.2 复数的运算重难点题型专训 （2个知识点+10大题型+2大拓展训练+自我检测） 题型一 复数加减法的代数运算 题型二 复数加减法几何意义的运用 题型三 复数代数形式的乘法运算 题型四 复数的乘方 题型五 复数范围内方程的根 题型六 复数的除法运算 题型七 根据复数乘法运算结果求参数 题型八 根据除法运算结果求参数 题型九 共轭复数的概念及计算 题型十 求共轭复数的复数特征 拓展训练一 复数的四则运算 拓展训练二 共轭复数的运算 知识点一： 复数的加、减法 1、加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数， 规定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i. 即两个复数相加，就是实部与实部、虚部与虚部分别相加，显然两个复数的和仍然是复数． 注意：对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形， 即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni， 则z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i. 2、加法运算律：复数的加法满足交换律、结合律，即对任意的z1、z2、z3∈C， 有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． 3、相反数：已知复数a＋bi(a，b∈R)，根据复数加法的定义， 存在唯一的复数－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反数． 4、减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i. 即两个复数相减，就是实部与实部、虚部与虚部分别相减，显然两个复数的差仍是一个复数． 5、复数可以用向量来表示，已知复数z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)， 其对应的向量，， 如图1，且和不共线， 以OZ1和OZ2为两条邻边作平行四边形OZ1ZZ2， 根据向量的加法法则，对角线OZ所对应的向量， 而所对应的坐标是(x1＋x2，y1＋y2)， 这正是两个复数之和z1＋z2所对应的有序实数对． 6、复数的减法是加法的逆运算，如图2， 复数与向量等于）对应， 这就是复数减法的几何意义． 【注意】（1）根据复数加减法的几何意义知，两个复数对应向量的和向量所对应的复数就是这两个复数的和；两个复数对应向量的差向量所对应的复数就是这两个复数的差． （2）求两个复数对应向量的和，可使用平行四边形法则或三角形法则． （3）在确定两复数的差所对应的向量时，应按照三角形法则进行． 拓展：由复数加减运算的几何意义可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|. 【即时训练】 1．（24-25高一下·河南·月考）已知复数满足，则的虚部为 （    ） A． B． C． D．2 2．（2025高三·全国·专题练习）计算：______． 知识点二： 复数的乘、除法 1、运算法则：两个复数的乘法可以按照多项式的乘法运算来进行，只是把i2换成－1， 并把最后结果写成a＋bi(a、b∈R)的形式． 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则 z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 显然两个复数的积仍是复数． 2、复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有 （1）z1·z2＝z2·z1(交换律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)； （3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)． 【注意】实数范围内的乘法公式在复数范围内仍然成立． 3、复数的乘方：复数的乘方也就是相同复数的乘积，根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立．即对复数z1、z2、z和自然数m、n有 zm·zn＝zm＋n，(zm)n＝zm·n，(z1·z2)n＝z·z，z0＝1；z－m＝(z≠0)． 【注意】实数范围内的乘方公式、运算律在复数范围内仍然成立． 4、虚数单位i的乘方 计算复数的乘积要用到虚数的单位i的乘方，in有如下性质： i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1， 从而对于任何n∈N＋，都有i4n＋1＝i4n·i＝(i4)n·i＝i， 同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 这就是说，如果n∈N＋，那么有i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1. 由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－1，＝i，＝－i. 5、规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0） 在进行复数除法运算时，通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式， 再把分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，把分母变为实数，化简后就可得到所求结果． 【注意】（1）两个复数相除(除数不为0)，所得的商仍是一个复数． （2）z＝a＋bi(a，b∈R)，z·＝a2＋b2是复数除法运算中实现分母“实数化”的一个手段． 【即时训练】 1．（25-26高三上·河北秦皇岛·月考）复数 满足 ，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏·一模）已知为虚数单位，复数，，且，则__________． 【经典例题一 复数加减法的代数运算】 【例1】（2025高二上·河南·学业考试）（    ） A． B． C． D． 【例2】（2024高一下·全国·专题练习）计算 (1) (2) (3) (4) 1．（25-26高三上·江苏无锡·月考）已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 2．（25-26高三上·山西运城·期中）若，则（    ） A．1 B． C． D．2 3．（24-25高一下·浙江·期中）已知，复数，，且，若，则的最小值______. 4．（24-25高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【经典例题二 复数加减法几何意义的运用】 【例1】（25-26高一下·全国·课后作业）若向量分别表示复数，则=（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·福建龙岩·期中）已知复数及复数． (1)求，并在复平面内用向量表示出其运算的几何意义； (2)求． 1．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（24-25高三上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知i为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A．已知复数z满足，则z在复平面内对应的点的轨迹为圆. B．复数的虚部为. C．若，则复平面内对应的点位于第二象限. D． 3．（24-25高三上·上海浦东新·月考）已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 4．（2026高一·全国·专题练习）设复数满足，求： (1)的取值范围； (2)的最大值. 【经典例题三 复数代数形式的乘法运算】 【例1】（2026·陕西咸阳·二模）设，若复数是纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）计算下列各题． (1)； (2)． 1．（25-26高三上·山东菏泽·期末）已知复数为纯虚数，则实数的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（多选）（24-25高一下·甘肃白银·期末）下列各式的运算结果为纯虚数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025高一·全国·专题练习）设是复数，且，则的最大值是______，最小值是______. 4．（24-25高一下·新疆克拉玛依·期中）已知i为虚数单位，复数满足：，其中． (1)若为实数，试问当取什么值时，复数为实数； (2)若为实数，试问当取什么值时，复数在复平面内对应的点位于虚轴上： (3)若为纯虚数，试问当取什么值时，复数也为纯虚数． 【经典例题四 复数的乘方】 【例1】（2026高一下·全国·专题练习）已知i为虚数单位，则（   ） A．i B． C．1 D． 【例2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）已知复数，且是实数. (1)求的值； (2)求的值. 1．（25-26高三上·广东·月考）设，若的实部为1，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 2．（多选）（24-25高一下·广西河池·期末）已知复数，则下列说法正确的是（    ） A．若是实数，则与的虚部互为相反数 B．若且，则在复平面内对应的点关于实轴对称 C．若，则 D．若，则 3．（2026·山西晋中·模拟预测）已知复数在复平面内对应的点为，则__________． 4．（24-25高一下·山东菏泽·月考）计算： (1)； (2). 【经典例题五 复数范围内方程的根】 【例1】（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 【例2】（24-25高一下·上海浦东新·期末）（1）是虚数单位，为何值时，复数为纯虚数？ （2）已知关于的实系数一元二次方程的一个根为，求的值. 1．（2025高三·全国·专题练习）在复数范围内，方程的解的个数为（    ） A．2 B． C． D．8 2．(多选)（25-26高一下·全国·单元测试）若是关于的实系数方程的一个复数根，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高三下·上海·月考）若实系数方程有一个虚数根的模为4，则实数的取值范围为___________． 4．（25-26高三上·安徽·期中）已知复数，． (1)当为纯虚数时，求的值； (2)当时，是关于的方程的一个根，求实数，的值． 【经典例题六 复数的除法运算】 【例1】（2026·山东东营·模拟预测）若，则复数（   ） A．1 B． C．i D． 【例2】（24-25高一下·江西南昌·月考）计算： (1)； (2)； (3). 1．（2026·云南昭通·模拟预测）设i为虚数单位，若复数，则（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（25-26高一下·重庆·月考）若复数满足，其中是虚数单位，则的虚部是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）设是虚数单位，__________． 4．（24-25高一下·安徽合肥·期末）已知复数满足 (1)求复数 (2)若复数是关于的方程的一个根，求，的值 【经典例题七 根据复数乘法运算结果求参数】 【例1】（2026·全国·模拟预测）已知复数的实部与虚部的和为12，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【例2】（24-25高一下·辽宁·期末）已知复数满足，虚数满足. (1)求； (2)若，求的值. 1．（24-25高三上·陕西榆林·月考）已知（，为虚数单位），则复数（    ） A． B．4 C． D．5 2．（多选）（25-26高二上·云南保山·期末）若复数，则的值可以是（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25高一下·广西·月考）已知，则的值为___________． 4．（25-26高一·全国·随堂练习）设复数，若复数的虚部减去其实部的差等于，求复数． 【经典例题八 根据除法运算结果求参数】 【例1】（24-25高三上·重庆沙坪坝·月考）已知复数满足，若为纯虚数，则的值为（    ） A． B． C．4 D．3 【例2】（24-25高一·全国·随堂练习）已知为实数，并且的实部与虚部相等，求的值. 1．（2025·辽宁·一模）复数，且，则的值是 A． B． C． D．2 2．（多选）（24-25高一下·河北沧州·期中）已知复数，，均不为0，则下列说法正确的是（    ） A．若复数满足，且，则 B．若复数满足，则 C．若，则 D．若复数，满足，则 3．（24-25高三上·天津南开·期中）已知（i为虚数单位，）为纯虚数，则____________． 4．（24-25高一下·江苏常州·期中）在复平面内，复数对应的点在第四象限，设． (1)若，求； (2)若，求． 【经典例题九 共轭复数的概念及计算】 【例1】（25-26高三下·浙江·开学考试）已知，其中为虚数单位，则（   ） A． B．2 C． D．4 【例2】（24-25高一下·安徽·月考）已知复数， ，其中 . (1)若为纯虚数，求b的值; (2)若与互为共轭复数，求的值. 1．（25-26高三上·辽宁鞍山·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）复数的共轭复数是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数z满足，则_____________． 4．（24-25高一下·湖南·期中）已知复数. (1)若为纯虚数，求. (2)若关于的方程有两个不同的根，且两个根都能写成题中的形式，分别求下面两种情况下的值： （i）两个根都是实数； （ii）两个根都是虚数. 【经典例题十 求共轭复数的复数特征】 【例1】（24-25高二下·河北承德·月考）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·上海长宁·期末）关于的方程（）的两个根为，． (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值． 1．（2026高三下·福建厦门·专题练习）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·河南·模拟预测）已知，复数的共轭复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（24-25高一下·山东淄博·期中）复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是_____________. 4．（24-25高一下·浙江温州·期末）在复平面内，复数，对应的点分别为，. （1）求的值； （2）若是关于的方程的一个根，求实数，的值. 【拓展训练一 复数的四则运算】 【例1】（24-25高一下·辽宁·期末）如果复数满足：，那么 （   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·单元测试）计算： (1)； (2)． 1．（25-26高三下·山东菏泽·开学考试）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 2．（多选）（2026·福建泉州·模拟预测）设为复数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或 3．（25-26高一下·河北唐山·月考），则________. 4．（24-25高一下·山东青岛·期中）已知复数，，其中i是复数单位. (1)若，求实数a的值； (2)若是纯虚数，a是正实数，求的值. 【拓展训练二 共轭复数的运算】 【例1】（25-26高二上·广西南宁·开学考试）若．则 =（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·江苏苏州·月考）已知复数． (1)若z为纯虚数，求实数m的值； (2)若，求实数m的值． 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）已知都是复数，则以下命题是真命题的是（   ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则是实数 D．若，则 3．（2026·天津和平·一模）为虚数单位，复数的共轭复数为___________． 4．（25-26高一下·全国·期中）（1）已知，且（i为虚数单位），求复数的虚部． （2）已知，（i为虚数单位），且为纯虚数，求实数的值． 1．（24-25高二下·上海嘉定·开学考试）设为虚数单位，则与的关系是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·北京·月考）若是虚数单位，计算复数（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 4．（2026·辽宁大连·模拟预测）已知，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·云南曲靖·月考）已知复数（为虚数单位），则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 6．（多选）（25-26高三上·云南·期中）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（24-25高一下·安徽·月考）设z是复数，是其共轭复数，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D．必是实数 8．（多选）（2025高三·全国·专题练习）（多选）下面是关于复数（i为虚数单位）的命题，其中真命题为（    ） A． B． C．z的共轭复数为 D．z的虚部为 9．（多选）（24-25高一下·安徽·期中）设是复数，是其共轭复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．（多选）（24-25高三上·湖南长沙·月考）下列命题为真命题的是（    ） A．若，互为共轭复数，则为实数 B．若，则 C．复数的共轭复数为 D．关于复数的方程（）有实数根，则 11．（24-25高二下·云南昆明·期末）设是虚数单位，则复数等于______． 12．（2024高一下·全国·专题练习）实数x，y满足，且，则的值是________. 13．（2026·上海松江·模拟预测）已知复数满足（其中为虚数单位），则__________. 14．（24-25高一下·山东济南·期中）已知复数满足为虚数单位，则复数的虚部为__________. 15．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，是复数的共轭复数，则复数的虚部等于_________． 16．（24-25高一下·江苏·月考）已知复数，，，为虚数单位. (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若是实数，求. 17．（25-26高一下·全国·月考）（1）计算：； （2）已知，求的模． 18．（24-25高一下·上海·期末）已知，复数是实系数一元二次方程的一个根. (1)求和的值； (2)若，，为纯虚数，求的值. 19．（24-25高一下·福建福州·期中）已知复数为虚数单位)，在复平面上对应的点在第四象限，且满足(为的共轭复数)． (1)求实数的值; (2)若复数是关于的方程，且的一个复数根，求的值． 20．（24-25高一下·安徽·月考）设a是实数，复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在第三象限． (1)求a的取值范围； (2)若a取整数，且复数满足，求． 学科网（北京）股份有限公司 $